Filtro eliminación de banda

4.2 Filtro eliminación de banda
R
Tomando como tensión de salida V 2 , la tensión en extremos de la conexión serie de la
bobina y el condensador, tenemos:
1 

V 2 = I 1 ⋅ j  ωL −


ωC 
1 


V 1 = I 1 ⋅  R + j  ωL −


ωC  

La ganancia en tensión es:
V2
=
G ( jω ) =
V1
1 

j  ωL −


ωC 
1 

R + j  ωL −


ωC 
1 

 ωL −

ωC 

G (ω ) =
V2
C
y la tensión de entrada es:
La magnitud o módulo de la ganancia es:
L
V1
1 

R +  ωL −

ωC 

G ( jω ) =
G (ω ) =
2
2
1 

 ± 90º
 ωL −

ωC 
2
1
ωL −
1 

ωC
R 2 +  ωL −
 arctg R

ωC 
1


R
1+ 
1

 ωL −
ωC







2
Dando valores crecientes a la frecuencia a partir de 0Hz se obtiene la curva de ganancia del circuito. Se observa que para la frecuencia
de 0Hz y para valores elevados, la ganancia es máxima y vale la unidad, es decir, las señales de baja y alta frecuencia aplicadas a la
entrada aparecen a la salida. Sin embargo existe un punto mínimo en la curva que corresponde a la frecuencia de resonancia del
circuito. A esta frecuencia la tensión de entrada V 1 y la intensidad I 1 están en fase, es decir, se anulan las impedancias reactivas del
circuito y por tanto V 2 se anula, atenuando completamente la señal de frecuencia igual a la frecuencia de resonancia.
1
ω rC
ω rL =
1
LC
ωr =
Existen dos puntos para un valor de la ganancia de Gc =
1
2
fr =
1
2π LC
, es decir, hay dos frecuencias de corte fc1 y fc2 :




R

2 = 1+ 
ω − 1 
L
 c

ω cC 

Como GVmax = 1 :
Gc =
1=
R
1
ω cL −
ω cC
ωcL −
1
=
2
1




R


1+
1 

 ωcL −

ω cC 

1
=R
ω cC
2
ω 2c LC − ω c RC − 1 = 0
ω 2c −
2
1
R
=0
ωc −
L
LC
Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones para ωc y para fc:
ωc 1 =
R 1
−
2L 2
4
R2
R 1
+
=−
+
2L 2
L2 LC
ωc 2 =
R 1
+
2L 2
4
R2
R 1
+
=
+
2L 2
L2 LC
4
R2
+
L2 LC
f c1 = −
4
R2
+
L2 LC
f c2 =
El ancho de banda eliminada del filtro es:
1
R
+
4πL 4π
1
R
+
4πL 4π
∆f = f c 2 − f c1 =
4
R2
+
L2 LC
4
R2
+
2
L
LC
R
2πL
La curva de la ganancia que se observa en la figura corresponde a unos valores de R=100Ω, L=20mH y C=2 µF.
La frecuencia de resonancia es por tanto:
La frecuencia de corte inferior es:
fr =
1
2π ⋅ 20 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6
. Hz
f c1 = 49182
La frecuencia de corte superior es:
f
2
1287 59 H
= 795.77 Hz
El ancho de banda del filtro es:
∆f =
100
= 795.77 Hz
2π ⋅ 20 ⋅ 10− 3
Entre las frecuencias de corte la ganancia es inferior a 0.707.
ωL 
 1
α G (ω ) = ±90º + arctg
−

R 
 ωRC
El ángulo de fase de la ganancia es:
Módulo de la ganancia en tensión
Ángulo de fase de la ganancia en tensión
Dando valores a la frecuencia el ángulo es:
para
para
para
ω=0
⇒
α G = 0º
ω = ω c1
⇒
α G = −45º
ω = ωr
⇒
α G = ±90º
para
para
ω = ω c2
⇒
α G = 45º
ω=∞
⇒
α G = 0º
La curva correspondiente al ángulo de la ganancia en función de la frecuencia es la mostrada en la figura.