AN´ALISIS MATEM´ATICO I - PRIMERO DE FÍSICAS EXAMEN

ANÁLISIS MATEMÁTICO I - PRIMERO DE FÍSICAS
EXAMEN FINAL, 24 de junio de 1996
NOMBRE ...........................................................................................................
CUESTIONES.
Responder, justificando adecuadamente las respuestas, a las siguientes cuestiones.
C1.- Sean f y g funciones continuas en [0, 1] tales que f (0) < g(0) < g(1) < f (1).
¿Es cierto que existe algún c ∈ (0, 1) tal que f (c) = g(c) ?
C2.- Sea f una función continua en [0, 1] que sólo toma valores racionales. ¿Es f constante
en [0, 1]?
C3.- Sea f una función derivable en x0 . ¿Es |f | derivable en x0 ?
P
P
C4.- a) Sea an > 0 y
an convergente. ¿La serie
1/an es convergente?
P
P 2
b) Si
|an | converge, ¿ an converge?
P
c) Si
|an | converge, ¿es cierto que lim(|an+1 |/|an |) < 1?
C5.- Supongamos que f es continua, que a < b y que
Z
b
f (x) dx = 0.
a
a) ¿Se deduce necesariamente que f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]?
b) ¿Se deduce necesariamente que f (x) = 0 para al menos algún x ∈ [a, b]?
c) ¿Se deduce necesariamente que
Z
b
|f (x)| dx = 0?
a
C6.- Sea {xn }n≥1 una sucesión de números reales.
a) Si {xn }n≥1 converge, ¿está acotada?
b) Si {xn }n≥1 está acotada, ¿es convergente?
c) Si {xn }n≥1 es monótona, ¿es convergente?
PROBLEMAS.
P1.- Se considera la función f (x) =
1
.
−2 + 21/(x−3)
a) Hallar su dominio.
b) ¿Es posible definir f (3) para que la función sea continua en x = 3?
P2.- Estudiar y representar la gráfica de la función f (x) =
P3.- Se considera la función g(x) =
0
x
π
+x
2
sen x1
1
− ln|x|.
x
si x = 0
si x =
6 0.
a) ¿Es g derivable en todo R?
b) Calcular, en caso de existir, g 0 (0).
c) ¿Hay algún intervalo que contenga al origen donde la función es monótona?
a3
y el eje de abscisas,
x2 + a2
y el volumen engendrado por la misma región al girar alrededor del eje OX.
P4.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva y =
P5.- Hallar la relación entre los parámetros a y b para que se verifique
lim
n→∞
P6.- Dada la serie
n+a
n+1
2n+3
= lim
n→∞
n+3
n+2
bn+4
.
x
x
x
+
+
+ ...,
1 + x (1 + x)(1 + 2x) (1 + 2x)(1 + 3x)
demostrar que es convergente para cualquier valor de x y que su suma no depende de x.