INTRODUCCIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
Sistemas de Control (67.22)
INTRODUCCIÓN AL MATLAB – CLASE 3
LUGAR DE RAÍCES
Se denomina Lugar de Raíces a la gráfica de la posición de las raíces de la
ecuación característica de un sistema, es decir el denominador de la función de
transferencia de lazo cerrado, con la variación de cero a infinito de algún parámetro,
normalmente la ganancia de la función de transferencia de la rama directa.
De acuerdo con lo señalado, al resultar la función de transferencia de lazo
cerrado la forma:
C ( s)
G(s)
=
R( s) 1 + G ( s) H ( s)
Por lo tanto la ecuación característica es:
1 + G ( s) H ( s) = 0
O bien:
G ( s ) H ( s ) = −1
Las raíces de la ecuación característica determinan tanto la estabilidad del
sistema como la forma de la respuesta del mismo.
Función :
rlocus
La función rlocus produce la gráfica del lugar geométrico de raíces de la
función de transferencia polinómica de ciclo abierto:
G ( s) H ( s) =
K (b0 s n + b1 s n −1 + ..... + bn −1 s + bn )
(a 0 s m + a1 s m −1 + ..... + a m −1 s + a m )
en esta se tiene un polinomio numerador (num) y un polinomio denominador (den) y
una ganancia K.
Instrucción:
[r,k] = rlocus (num,den,m)
Esta instrucción determina los vectores r y k de las raíces (r) y las ganancias
correspondientes (k) de la función de transferencia definida por los vectores num y
den, de los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la
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Clase 3
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función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s) y la variable de entrada opcional m,
un vector de ganancias de entrada especificadas por el usuario.
Ejemplo 1:
Obtener la gráfica del Lugar Geométrico de Raíces del siguiente sistema de
de realimentación unitaria:
G ( s)
s 2 + 2s + 3
s 2 + 2s + 3
=
=
1 + G ( s) H ( s)
( s + 1) 3
s 3 + 3s 2 + 3s + 1
MATLAB
% Obtener el Lugar Geométrico de Raíces
» num=[1,2,3];
» den=[1,3,3,1];
» [r,k]=rlocus(num,den)
r=
-1.0000
-1.4169
-1.5631
-1.7735
-2.0965
-2.6505
-3.7724
-4.2834
-9.9758
Inf
-1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i
-0.8082 + 0.3509i -0.8082 - 0.3509i
-0.7570 + 0.4633i -0.7570 - 0.4633i
-0.7023 + 0.6098i -0.7023 - 0.6098i
-0.6576 + 0.7961i -0.6576 - 0.7961i
-0.6506 + 1.0155i -0.6506 - 1.0155i
-0.7138 + 1.2268i -0.7138 - 1.2268i
-0.7431 + 1.2732i -0.7431 - 1.2732i
-0.8913 + 1.3927i -0.8913 - 1.3927i
-1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i
k=
Columns 1 through 7
0
0.0333
0.0771
0.1781
0.4117
0.9517
Columns 8 through 10
2.7696
8.7584
Inf
» plot(r,'x'),title ('Gráfica del Lugar de Raíces'),...
xlabel('Eje real'),ylabel('Eje imaginario'),grid
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Clase 3
2.2000
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Gráfica del Lugar de Raíces
1.5
1
Eje imaginario
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-10
-9
-8
-7
-6
-5
Eje real
-4
-3
-2
-1
0
En definitiva, la respuesta obtenida con Matlab debe interpretarse, asignando
la ganancia calculada por el programa del modo que gráficamente se indica para
algunas de las raíces graficadas, a continuación:
Gráfica del Lugar de Raíces
0.6
k=0,0771
0.4
k=0,0333
Eje imaginario
0.2
k=0,0333
0
k=0
k=0,0771
-0.2
k=0,0333
-0.4
k=0,0771
-0.6
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
Eje real
-2
-1.5
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-1
-0.5
0
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