I. Selecciona la mejor contestación (15%)

Segundo Examen Cálculo I
RUM-Ciencias Matemáticas
15 de marzo del 2016
Nombre y número de estudiante SOLUCIONES
Profesor y sección_______________________________________________
Instruccciones. Lea cuidadosamente cada pregunta. En la primera parte seleccione la mejor alternativa.
En la segunda parte, llene los blancos. En las preguntas abiertas presente todo su trabajo. No se permite el
uso de calculadora grá…ca.
I. Selecciona la mejor contestación (15%)
1. Si f (3) = 4; f 0 (3) =
2; y g(x) = xf (x); entonces g 0 (3) =
a. 0
b. 1
c.
2
d. ninguna de las anteriores
2. La derivada de y = x5=3
5 2=3
x
3
2
b. y 0 = x2=3
3
0
c. y = x2=3 x
a. y 0 =
2
x
3
5
x
3
x2=3 es
1=3
1=3
1=3
d. ninguna de las anteriores
3.
d2
(sin x) =
dx2
a. cos x
b.
sin x
c. sin x
d. ninguna de las anteriores
4. limx!0
sin 3x
5x
a. 1
b. 0
3
c.
5
d. ninguna de las anteriores
5. Si F (x) = (1 + x + x2 )99 ; entonces F 0 (x) =
a. no existe
b. 99(1 + 2x)98
c. 99(1 + 2x)(1 + x + x2 )98
d. ninguna de las anteriores
Contestaciones
1:C
2:A 3:B
4:C
5:C
II. Llene los blancos (15%)
6.
1
d
(ln(sin2 x)) = 2
cos x = 2 cot x
dx
sin x
7. La pendiente de la recta tangente a y = sin(sin x) en ( ; 0) es y 0 = cos(sin x) cos x; y 0 ( ) = cos(sin ) cos
1; y = 1(x
); y = x +
8.
d
3x2
dx
9. limx!0
ex +
2
= 6x
e
cos x 1
cos x
= limx!0
sin x
x
1 x
=0 1=0
sin x
10. La derivada de f (x) = cos(x2 ) es f 0 (x) =
2x sin(x2 )
=
III. Conteste las siguientes preguntas (75%)
11. (16%) Suponga que f (4) = 2; g(4) = 5; f 0 (4) = 6; g 0 (4) =
3: Halla h0 (4) si
a. h(x) = 3f (x) + 8g(x); h0 (x) = 3f 0 (x) + 8g 0 (x); h0 (4) = 3(6) + 8( 3) = 18
24 =
b. h(x) = f (x)g(x); h0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x); h0 (4) = (6)(5) + (2)( 3) = 30
c. h(x) =
g(x)f 0 (x) g 0 (x)f (x) 0
(5)(6) ( 3)(2)
36
f (x) 0
; h (x) =
; h (4) =
=
g(x)
g(x)2
25
25
d. h(x) =
g(x)
(f (x) + g(x))g 0 (x) (f 0 (x) + g 0 (x))g(x) 0
; h0 (x) =
; h (4) =
f (x) + g(x)
(f (x) + g(x))2
6
6 = 24
36
49
12. (8%) Halle g 0 (0) si
g(x) + x sin g(x) = x2
g 0 (x) + sin(g(x) + x cos(g(x))g 0 (x) = 2x; sustituyendo x = 0 se obtiene
g 0 (0) =
13. (12%) Si y =
1
2;
(1 + tan x)
1
=
sin(g(0))
csc(g(0))
halla y 0 y y 00 :
2
sec2 x
(1 + tan x)3
6
4
y 00 =
sec4 x
sec2 x tan x
4
(1 + tan x)
(1 + tan x)3
y0 =
14. (10%) Halle las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva y = x4 + 2ex en el punto (0; 2)
y 0 = 4x3 + 2ex
y 0 (0) = 2
y 2 = 2x o y = 2x + 2 es la tangente.
y 2 = 21 x o y = 12 x + 2 es la normal.
15. (9%) Halla y 0 usando diferenciación logarítmica si y = xsin x :
ln y = ln xsin x = sin x ln x
1 0
sin x
y =
+ cos x ln x
y
x
sin x
y 0 = xsin x (
+ cos x ln x)
x
16. (10%) Halla y 00 usando diferenciación implícita si x2 + 4y 2 = 4 :
2x + 8yy 0 = 0
x
y0 =
4y
y 00 =
4y
4y 0 x
=
16y 2
4y
4
x
4y
x
16y 2
=
4y 2 + x2
16y 3
17. (10%) Suponga que f ( =3) = 4; f 0 ( =3) =
2; y sean g(x) =
sin x
y h(x) = cos x ln(f (x)): Halla:
f (x)
a. g 0 ( =3)
f (x) cos x f 0 (x) sin x
f (x)2
p
f ( =3) cos( =3) f 0 ( =3) sin( =3)
2+ 3
0
g ( =3) =
=
f ( =3)2
16
g 0 (x) =
18. b. h0 ( =3)
h0 (x) =
h0 ( =3) =
sin x ln(f (x)) + cos x
f 0 (x)
f (x)
sin ( =3) ln(f ( =3)) + cos ( =3)
f 0 ( =3)
f ( =3)
=
"p
3
1
ln 4 +
2
4
#