5. Sistemas dinámicos planos (Práctica 5) (Hacer ejercicios 5.1 a

5.
Sistemas dinámicos planos (Práctica 5) (Hacer ejercicios 5.1 a 5.2)
Ejercicio 5.1. El siguiente procedimiento de Maple permite visualizar las órbitas de puntos
del plano. Tiene por argumentos:
f = función que queremos analizar.
p = punto inicial.
n = número de puntos de la órbita de p.
d = extremo izquierdo del intervalo de visualización.
e = extremo derecho del intervalo de visualización.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
orbitas2d:=proc(f,p,n,d,e)
local p0,p1,p2,i,a,l,k,b:
p0:=plot([p],x=d..e,d..e,style=point,symbol=BOX,color=blue):
a:=p:
l:=[p]:
for k from 1 to n do:
b:=f(a[1],a[2]):
l:=[op(l),b]:
a:=b:
od:
p1:=plot(l,x=d..e,d..e,style=point,symbol=diamond,color=blue):
p2:=plot(l,x=d..e,d..e,style=line):
plots[display]({p0,p1,p2},scaling=constrained);
end:
A partir del procedimiento anterior obtener un procedimiento para cada uno de los casos
siguientes:
Que nos muestre la órbita de varios puntos simultáneamente.
Que nos muestre un estado avanzado de la órbita, no representando la parte inicial de
la órbita, pintando solo los puntos de la órbita (y no los segmentos que los unen).
Aplicar el primero de estos procedimientos para representar las órbitas de L : R2 −→ R2
dada por L(x) = Ax, escogiendo puntos adecuados, en los siguientes casos




Ã
!
Ã
!
1
0
−1
0
1 0
−1 0
i) A =
ii) A =
iii) A = 
1  iv) A = 
1 
0 2
0 2
0
0
2
2
√ 

3
1
 2
2 
v) A =  √
.
1
3
−
2
2
1
Ejercicio 5.2. La aplicación de Hénon Hab : R2 −→ R2 viene dada por
Hab (x, y) = (1 + y − ax2 , bx)
(obsérvese que H es casi lineal, con la excepción del sumando ax2 ).
Dibujar la órbita avanzada de (0, 0) para a = 0,3 y b = 0,3. El conjunto por el que es
atraı́da la órbita de (0, 0) es el atractor de Hénon correspondiente a esos valores de a y b. ¿En
qué consiste? Comprobarlo calculando la órbita numéricamente.
Repetir la operación para a = 0,4. ¿En qué difiere del caso anterior?
Calcular con la mayor precisión posible el valor de a para el que cambia el comportamiento.
Estudiar cómo cambia el atractor para a desde 0,3 a 1,4.
Ejercicio 5.3. La aplicación de Ikeda F : R2 −→ R2 , F (x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)), viene
dada por
¶
µ
¶¶
µ
µ
C3
C3
F1 (x, y) = R + C2 x cos C1 −
−
y
sen
C
−
1
1 + x2 + y 2
1 + x2 + y 2
µ
µ
¶
µ
¶¶
C3
C3
F2 (x, y) =
C2 x sen C1 −
+ y cos C1 −
1 + x2 + y 2
1 + x2 + y 2
donde R, C1 , C2 , C3 ∈ R. Esta aplicación ha sido propuesta como modelo de célula en un
ordenador óptico. Para R = 1, C1 = 0,4, C2 = 0,9 y C3 = 6,
i) Calcular la órbita del origen. El conjunto por el que es atraı́da es el atractor de Ikeda.
ii) Calcular la órbita del punto (3, 3), comprobando que es atraı́da por un punto fijo.
iii) Calcular las coordenadas de ese punto fijo.