Problemas y cuestiones del Tema 4

Problemas y cuestiones del Tema 4
(problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con †:problema teórico complementario a teorı́a)
1. (*) Demostrar la fórmula de la esfera de influencia.
2. (†) Dada la fórmula de ∆V para una maniobra asistida por gravedad, demostrar el valor del máximo ∆V teórico,
ası́ como la excentricidad de la hipérbola que corresponde a dicha maniobra máxima. Calcular dicho máximo para
los planetas del Sistema Solar.
3. ¿Cuáles son los elementos a y e de una órbita selenocéntrica si el punto de llegada de la órbita geocéntrica a la
esfera de influencia lunar tiene v = 1,3133 km/s, γ = 20o , λ = 30o ? ¿Se trata de una órbita de impacto/alunizaje?
4. Estudiar una misión lunar para h0 = 200 km, λ = 30o y Vi = V0 + ∆V = 10,93 km/s. ¿Cuál es el ángulo de fase
Ψ y el tiempo de vuelo? ¿Es una misión de impacto/alunizaje o de sobrevuelo? En el segundo caso, calcular el ∆V
necesario para obtener una órbita lunar circular en el mı́nimo radio de sobrevuelo. Repetir para λ = 60o .
5. Repetir el problema anterior para unos valores iniciales de ri = 6700 km, Vi = 10,88 km/s, λ = 60o .
6. (†) Plantear el problema del cálculo del tiempo de escape de la esfera de influencia lunar, para una misión de
sobrevuelo. Aplicar al problema 5.
7. Demostrar, para el caso λ = 0o , h0 = 200 km, e inyección tangencial, que si la órbita geocéntrica es elı́ptica, la
órbita selenocéntrica es siempre hiperbólica.
8. El Voyager 2 tardó 12 años en visitar Neptuno gracias a sus múltiples maniobras asistidas por gravedad. ¿Cuánto
tiempo habrı́a tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usar una transferencia tipo Hohmann)
9. Se pretende realizar una misión a Venus que consta de las siguientes fases: una primera fase con escape directo
desde una órbita de aparcamiento de 200 km de altitud. Una segunda fase que consiste en una transferencia de
Hohmann heliocéntrica. Una tercera fase que consiste en adquirir una órbita venusiana con una altura de periapsis
de 500 km y un periodo de 12 h (se supone que la órbita de llegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada,
gracias a correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el coste energético total de la misión (km/s), y el
tiempo de transferencia.
10. Se desea realizar una misión interplanetaria a Mercurio mediante una transferencia tipo Hohmann. ¿Cuál es el
tiempo de vuelo? ¿Cuál es el ángulo de fase inicial que debe tener Mercurio? Si se perdiera una oportunidad de
lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardarı́a en repetirse? Considerar las órbitas de la Tierra y Mercurio coplanarias en el
plano de la eclı́ptica y circulares.
11. Se planea una misión Tierra-Saturno con cuatro fases: una primera fase con escape desde una órbita de aparcamiento
de 180 km de altitud. Una segunda que consiste en una transferencia de Hohmann heliocéntrica hasta Júpiter.
Una tercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad, con una aproximación de 11 radios jovianos.
Finalmente una nueva órbita heliocéntrica hasta Saturno. Se pide: encontrar la órbita joviana, y describir la maniobra
asistida por gravedad. ¿Llega la nave a Saturno? (suponiendo éste adecuadamente ubicado en su órbita). En caso
afirmativo, calcular la órbita de llegada, suponiendo una altitud de periapsis de 1000 km, y calcular ∆V para
circularizar la órbita.
12. El 1 de Diciembre de 2008 el ángulo de fase entre la Tierra y Urano es de 20o . Si se quisiera realizar una misión
interplanetaria directa a Urano, mediante una transferencia de Hohmann, ¿aproximadamente en qué fecha habrı́a
que realizar el lanzamiento? Si no se pudiera en dicha fecha, ¿cuándo serı́a la siguiente oportunidad? Calcular el C3
necesario, y el ∆V para la inyección desde una órbita de aparcamiento a 200 km.
13. Un cometa viaja en una órbita que se puede suponer parabólica, en el plano de la eclı́ptica, con el elemento orbital
p = 9 AU. El cometa, antes de llegar a su perihelio, tiene un encuentro con Júpiter (µX = 126711995,4 km3 /s2 ,
LX = 5,2 AU, RX = 71492 km), pasando a una distancia de 10 radios jovianos, que lo propulsa al interior del
sistema solar. Hallar la órbita tras el encuentro (se puede modelar como una “maniobra” asistida por gravedad que
“deflecta” la órbita en dirección al interior del sistema solar) y calcular si el cometa podrı́a llegar hasta la órbita de
la Tierra.
14. Como parte de una misión a Urano (Z) una sonda realiza una maniobra asistida por gravedad en Saturno (Y) a
una distancia igual a seis veces el radio de Saturno. Suponiendo las órbitas de los planetas coplanarias en el plano
de la eclı́ptica y circulares (de radio igual a su radio medio), se pide estudiar la maniobra sabiendo que la órbita
heliocéntrica de la sonda, antes de su encuentro con Saturno (que sucede justo antes del afelio de la sonda), tiene
como elementos a = 5,8 AU y e = 0,7. Encontrar los elementos de la órbita heliocéntrica tras el encuentro y
determinar si se alcanza o no la órbita de Urano. En caso afirmativo, ¿cuánto se tardarı́a en alcanzar Urano desde
Saturno?
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15. La NASA decide diseñar una misión interplanetaria para visitar Júpiter (X). Para ello se pide comparar tres posibles
escenarios:
a) Viaje directo a Júpiter mediante una trayectoria elı́ptica con perihelio en la Tierra y e = 0,7, de forma que la
llegada a la órbita de Júpiter sucede después del perihelio y antes del afelio.
b) Viaje a Júpiter mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita de
la Tierra).
c) Viaje a Venus (♀) mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita
de Venus), se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una altitud de 2 veces el radio de Venus) y se
continúa hacia Júpiter. (Observación: La salida de la Tierra no es tangente).
Suponiendo que se parte de una órbita geocéntrica de aparcamiento a 150 kilómetros de altitud, calcular para los
tres casos si el escenario es viable (es decir si se puede llegar a Júpiter por dicho procedimiento), el ∆V empleado
a partir de la órbita de aparcamiento geocéntrica, el tiempo total de vuelo y el ángulo de fase que debe tener Júpiter
el dı́a del lanzamiento. Rellenar con los resultados la siguiente tabla:
Escenario
a
b
c
∆V (km/s)
¿Viable o no viable?
Tvuelo (dı́as)
ψ (o )
Si el dı́a que se dé dicho ángulo la misión no se puede llevar a cabo, ¿cuánto tiempo habrı́a que esperar para que
se repitiera el ángulo de fase? Elegir el escenario más favorable en términos de tiempo que no supere un ∆V de
9 km/s desde la órbita de aparcamiento, y para dicho escenario calcular el ∆V adicional que serı́a necesario para
dejar la sonda interplanetaria en una órbita circular en torno a Júpiter con un radio igual a 10 veces el radio del
planeta.
Planeta
Mercurio
Venus
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
Sı́mbolo
'
♀
♂
X
Y
Z
[
\
µ (km3 /s2 )
42828.3
324858.8
42828.3
126711995.4
37939519.7
5780158.5
6871307.8
1020.9
Radio planetario (km)
2439.7
6051.8
3397
71492
60268
25559
24764
1195
Distancia media al Sol (AU)
0.387098
0.723327
1.52372
5.2033
9.58078
19.2709
30.1927
39.3782
Valores de constantes fı́sicas para planetas del Sistema Solar
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