Problemas y cuestiones del Tema 2

Astronáutica // Mecánica Orbital y Vehı́culos Espaciales
Problemas y cuestiones del Tema 2
(problemas marcados con *: para ampliar, con †:problema teórico complementario a teorı́a)
1. Unidades canónicas: Para evitar el problema de trabajar con números muy grandes (y de difı́cil interpretación) se
definen “unidades canónicas” para adimensionalizar las variables. En problemas geocéntricos (respectivamente, planetocéntricos), se utiliza el radio de la Tierra R⊕ (respectivamente, del planeta RPlaneta ) como unidad depdistancia
(UD). Como unidad
p de velocidad (UV) se usa la “velocidad circular en la superficie de la Tierra”, U V = µ⊕ /R⊕
(resp. UV = µPlaneta /RPlaneta ). Finalmente, definimos la unidad de tiempo (UT) como UT = UD/UV. De
esa forma se tiene que µ⊕ (resp. µPlaneta ) expresado en unidades canónicas vale 1. En problemas heliocéntricos se
usa UD = 1 AU y la velocidad media de la Tierra como UV. Determinar las unidades canónicas para problemas
geocéntricos, heliocéntricos, y centrados en Júpiter.
2. ¿Cuál es la velocidad de un satélite en una órbita circular a altitud 250 km? ¿Cuál es su periodo?
3. (†) Cuando se definen órbitas, en ocasiones se utiliza la notación hp × ha para denotar una órbita con altitud de
perigeo hp y altitud de apogeo ha . Encontrar el semieje mayor y la excentricidad de una órbita hp × ha .
4. Un satélite ha sido observado a 1200 km de altitud con una velocidad de 10 km/s y un ángulo de trayectoria igual
a 23,174o . Determinar el tipo de órbita, su excentricidad y el valor, si procede, de a. Repetir el problema para una
velocidad de 12 km/s.
5. Dado un objeto en órbita elı́ptica alrededor de la Tierra, con radios de apogeo y perigeo respectivamente rp =
6600 km y ra = 55000 km, encontrar la anomalı́a verdadera de su posición al entrar en la anomalı́a del Atlántico
Sur en el cinturón de Van Allen a altitud h = 500 km.
6. (*) Dados dos puntos en un plano por sus coordenadas polares r1 , θ1 y r2 , θ2 , determinar la cónica que pasa por
ambos puntos y tiene como foco al origen de coordenadas. ¿Bajo qué condiciones se puede encontrar una solución
a este problema? ¿Es dicha solución única?
7. (*) Aplicar la solución a encontrar una órbita de transferencia entre la Tierra y Plutón (\), suponiendo que la
elipse de transferencia tiene la lı́nea de ápsides a una longitud (respecto de ) de 25o , y las longitudes de la Tierra
al inicio y Plutón al final (supuestos ambos en órbitas circulares coplanarias) son 40o y 195o respectivamente.
¿Cuánto tiempo se tardarı́a en realizar dicha transferencia? Dato: L\ = 39,48 AU.
8. Calcular la velocidad de escape de la Tierra, la Luna (µ$ = 4902,9 km3 /s2 , R$ = 1737,4 km), Júpiter (µX =
126711995,4 km3 /s2 , RX = 71492 km) y Marte (µ♂ = 42828,3 km3 /s2 , R♂ = 3397 km).
9. El primer satélite de Júpiter (Io) tiene un periodo de aproximadamente 1 dı́a, 18 horas, 27 minutos y 33.5 segundos,
y una distancia media al centro de Júpiter de 421700 km. Estimar la masa de Júpiter en términos de la masa de la
Tierra.
e sen θ
10. (†) Demostrar que el ángulo de trayectoria verifica tan γ = 1+e
cos θ . Demostrar que esta fórmula implica que si γ
es negativo, θ es negativa. Usar la fórmula para demostrar que en el caso de una parábola, γ = θ/2, y explicar el
significado geométrico de dicho resultado.
11. A partir de los elementos orbitales de la ISS y del METEOSAT 7 en el formato de 2 lı́neas, tal como se dan en
teorı́a, encontrar: sus elementos orbitales keplerianos, y su posición y velocidad en la época.
12. La órbita de cartografı́a de la sonda Magallanes alrededor de Venus (µ♀ = 324858,8 km3 /s2 , R♀ = 6051,8 km)
tiene como valores a = 10424,1 km y e = 0,39433. La misión cartográfica comenzó en el punto que tiene una
anomalı́a verdadera θ = 280o . Calcular el ángulo de trayectoria, velocidad y tiempo desde periapsis en dicho punto.
13. (*) Aproximar a primer y segundo orden de e la ley horaria de una órbita elı́ptica de excentricidad pequeña e.
14. Un cuerpo es lanzado desde la superficie de la Tierra justo con la velocidad de escape. Suponiendo el perigeo de
la trayectoria en la superficie de la Tierra, ¿cuánto tiempo tarda en escapar? Suponer que el radio de escape es
2/5
r∞ = L⊕ µ⊕ /µ
.
15. Dada una órbita elı́ptica con e = 0,85 y altitud del perigeo hp = 600 km, calcular el tiempo que transcurre entre
dos posiciones A y B tales que θA = 120o y θB = 230o .
16. (†) Parap
una órbita elı́ptica de excentricidad e y semieje mayor a, sabemos que su velocidad angular (orbital) media
es n = aµ3 . Su velocidad angular instantánea θ̇ no será en general constante y dependerá de la anomalı́a verdadera
θ. Encontrar el valor de θ̇ como función de θ, e y n. ¿Para qué valores de θ coincidirán θ̇ y n? ¿Para qué valores de
θ tendrá θ̇ la máxima discrepancia de n? Aproximar los resultados para un pequeño valor de excentricidad.
1
17. (†) Demostrar (para una órbita no circular) la fórmula θ̈ = −2θ̇2 tan γ, donde θ es la anomalı́a verdadera y γ el
ángulo de trayectoria. En base a la fórmula, ¿en qué partes de la órbita será la aceleración angular negativa, y en
cuáles positiva? ¿Cuándo se hará cero?
18. (†) Demostrar, para una órbita elı́ptica con e > 0, que el vector excentricidad ~e apunta siempre en dirección a
periapsis.
19. El 24 de Agosto de 1989 el Voyager 2 tuvo un encuentro con Neptuno (µ[ = 6871307,8 km3 /s2 , R[ =
24764 km), siguiendo una órbita hiperbólica de parámetros a = −19985 km y e = 2,45859. En su alejamiento, la sonda pasó cerca de Tritón, a 354600 km de Neptuno. ¿Cuánto tiempo (∆t) transcurrió desde periapsis hasta
el encuentro con Tritón ?
20. Un vehı́culo espacial se acerca a Venus con una velocidad de exceso v∞ = 10 km/s y un ángulo θ∞ = 140o .
Encontrar el radio de periapsis. ¿Cuál es el ángulo de giro de la velocidad respecto a la velocidad de llegada cuando
vuelve a “escapar” de Venus? ¿Cuánto tarda en escapar? Volver a responder a la última pregunta suponiendo que el
2/5
radio de llegada y de salida, en vez de infinito, es r∞ = L♀ µ♀ /µ
, donde L♀ = 0,723327 AU.
21. Se realizaron dos observaciones de un satélite en órbita geocéntrica; la altitud de la primera observación fue hA =
2298 km y de la segunda hB = 6476 km. El ángulo entre las dos observaciones fue ∆θ = θB − θA = 90o . Se sabe
que el semieje mayor de la órbita es a = 12000 km. Encontrar el tiempo de vuelo tv , e, θA , θB , hp y ∆tA .
22. (*) Encontrar el error que se comete en la anomalı́a verdadera δθ y en el radio, δr, a partir de un error en la anomalı́a
excéntrica δE.
23. Un satélite geocéntrico en órbita elı́ptica tiene un semieje mayor a = 4R⊕ y un perigeo rp = 1,5R⊕ . Encontrar
la anomalı́a verdadera 4 horas después del paso por el perigeo. Repetir el problema si a = 40R⊕ (órbita muy
excéntrica). ¿Cuál es el error aproximado, en ángulo y en distancia, que se ha cometido resolviendo la ecuación de
Kepler en ambos casos?
24. Repetir el problema anterior para una órbita parabólica con perigeo rp = 1,5R⊕
25. (*) Desde la Tierra se determina la posición y velocidad de un satélite respecto al sistema de referencia Geocéntrico
Ecuatorial como
~r0
=
~v0
=
(−0,8~i + 0,6~j + 0,5~k) UD,
(−0,4~i − 0,8~j + 0,6~k) UV.
Determinar los elementos orbitales (a, e, i, Ω, ω, ∆t) del satélite. Si la medida está tomada a las 15:00 UT el 23 de
Julio de 2006 ¿Cúando fue el último paso por el perigeo? ¿Y por el apogeo?
26. Se sabe que en una cierta época, un cuerpo orbitando la Tierra tiene como posición y velocidad las siguientes,
expresadas en unidades canónicas en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial inercial:




2
0
~r1 =  0  UD,
~v1 =  1  UV.
0
0
Se pide encontrar los elementos orbitales del cuerpo, en dicha época, expresados también en unidades canónicas.
Repetir el problema para los siguientes otros dos casos:
 
 




0
1
0
1
~v3 =  0  UV.
~r2 =  4  UD,
~v2 =  0  UV; ~r3 =  0  UD,
0
0
0
2
27. Se ha descubierto un asteroide errante con elementos orbitales (relevantes para el problema): a = −2797,425 km,
e = 2,8, θ = 249,27o . ¿Es un peligro para la Tierra? En tal caso, ¿cuánto tiempo queda para su impacto?
28. (†) Explicar
la paradoja del satélite: Una vez dentro de la atmósfera, si la órbita es aproximadamente circular,
p
µ⊕ /r. Puesto que el efecto de la resistencia atmosférica es disminuir r, se concluye que la resistencia
v =
incrementa la velocidad!
29. (*) Comprobar que las soluciones dadas para el potencial de la Tierra verifican, en efecto, la ecuación de Laplace.
30. (*) Repetir el cálculo realizado para los efectos del J2 con el J3 . ¿Existen variaciones seculares?
31. Calcular la magnitud (grados/dı́a) del avance del perigeo y regresión de los nodos para un satélite en órbita baja
circular, a una altitud de 1000 km y con una inclinación de 30o . ¿Es un efecto apreciable?
32. (*) Puesto que una vela solar siempre recibe su fuerza propulsiva en la dirección opuesta al Sol, ¿Podrı́a utilizarse
para viajar hacia los planetas inferiores?
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