¿cómo estimular el desarrollo de estrategias de aprendizaje a

Revista Pedagogía Universitaria
Vol. X No. 4 2005
¿CÓMO ESTIMULAR EL DESARROLLO DE ESTRATEGIAS DE
APRENDIZAJE A TRAVÉS DE LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR?.
Dra. C. Paula Tallart Fabré
Ing. Luis Laborde Cobas
Departamento de Matemática Aplicada.
Universidad de Oriente
Facultad
de
Ingeniería Eléctrica.
[email protected]
[email protected]
RESUMEN
La necesidad de un aprendizaje consciente de los estudiantes y además significativo exige
de un proceso de enseñanza aprendizaje consecuente con este propósito. De ahí que resulta
de gran importancia en su proceso de perfeccionamiento que se busquen las vías y/o
métodos que así lo permitan.
Una alternativa para conseguir tal propósito, es el proceso de formación y seguimiento del
desarrollo de los procedimientos lógicos del pensamiento, mediante el cual se consigue la
conformación en el sujeto de estructuras cognitivas devenidas en estrategias de
aprendizaje, que le posibilitan una sólida asimilación del conocimiento.
En el presente trabajo se muestra, a través del tratamiento del tema de series de numéricas
y en particular con un ejemplo, cómo estimular la formación de estrategias de aprendizaje
en los estudiantes estimulando a su vez el desarrollo del pensamiento lógico.
INTRODUCCIÓN
El desarrollo de la ciencia, la técnica, las comunicaciones, la informática y las fuerzas
productivas en general, evidencian que la humanidad ha alcanzado niveles superiores en su
desarrollo y la educación superior como organismo gestor y promotor que garantiza y
determina el desarrollo de la sociedad, no ha estado ajena a este proceso sino que, por el
contrario, ha sufrido transformaciones sustanciales con el objetivo supremo de perfeccionar
el proceso de enseñanza aprendizaje y que éste se corresponda con las nuevas exigencias.
Ante éstas exigencias, el proceso de enseñanza debe favorecer en los alumnos el desarrollo
de su pensamiento lógico y creador, un tipo de enseñanza que promueva la preparación del
sujeto para la asimilación independiente de los conocimientos necesarios y que sea capaz
de integrarlos con una estructura lógica de pensamiento que le permita operar con ellos.
En las dos últimas décadas, la Didáctica General y en particular la Didáctica de las
Matemáticas, se han visto influenciadas de diferentes partes del mundo, por tendencias
muy avanzadas en las que se aboga porque el alumno asuma un papel protagónico en el
proceso de enseñanza aprendizaje, que logre mayor independencia cognoscitiva, que se
formen y desarrollen los procedimientos lógicos, así como la capacidad de utilizar
correctamente los métodos inductivos y deductivos de la lógica, y que como resultado o
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como producto de su actividad, sometido a un proceso de socialización y de comunicación
alcance un desarrollo integral de su personalidad..
La formación de los procedimientos lógicos del pensamiento, constituye la vía de
concreción del trabajo que se puede realizar, en aras de lograr un determinado desarrollo
del pensamiento lógico de los estudiantes, dado a que, los procedimientos lógicos precisan
de forma sistémica, el conjunto de acciones dirigidas a realizar determinadas operaciones
lógicas, dígase: identificar, comparar, reconocer, deducir, asociar conceptos; así como
determinar la veracidad o falsedad de expresiones (juicios) y además a realizar
razonamientos de un tipo o de otro. Teniendo en cuenta éstos elementos resultaría de gran
importancia, incidir en el proceso de formación y desarrollo de los procedimientos lógicos
a través del tratamiento de los contenidos matemáticos previsto como parte del curriculum
en las diferentes carreras de ingeniería, lo que a su vez redundará en el desarrollo de un
pensamiento superior.
DESARROLLO
El proceso de aprendizaje es un proceso complejo, diversificado, en el que influyen
determinados factores como las características del sujeto que aprende, las situaciones y
contextos socio-culturales en que aprende, los tipos de contenidos o aspectos de la realidad
de los cuales debe apropiarse y los recursos con que cuenta para ello, el nivel de
intencionalidad, conciencia y organización con que tienen lugar estos procesos, entre
otros.
Consecuentemente, el aprendizaje humano se conceptualiza como: el proceso dialéctico de
apropiación de los contenidos y las formas de conocer, hacer, convivir y ser construidos en
la experiencia socio histórica, en el cual se producen, como resultado de la actividad del
individuo y de la interacción con otras personas, cambios relativamente duraderos y
generalizables, que le permiten adaptarse a la realidad, transformarla y crecer como
personalidad.
Si somos consecuente con lo señalado anteriormente, debemos concebir un modelo de
enseñanza, que garantice un aprendizaje con estas características, donde el empleo de
métodos y procedimientos en el proceso de enseñanza movilicen todos los recursos de que
dispone el sujeto para enfrentar su aprendizaje, y por otra parte se estimule la formación
de nuevas estrategias o perfeccionar las ya existentes para que la asimilación de los
conocimientos sea profunda y tenga un carácter perdurable. .
¿Qué son las estrategias de aprendizaje y cómo desarrollarlas?.
Las estrategias de aprendizaje son el conjunto de recursos: ya sean formas de trabajo o de
pensamiento, procedimientos que le permiten al individuo asimilar un determinado
conocimiento.
Las estrategias de aprendizaje ya en el proceso de enseñanza deben constituir objeto de
formación y darle un seguimiento al desarrollo de aquellas con que cuenta el individuo.
Desarrollar estrategias de aprendizaje en el sujeto es una tarea básica de cualquier proceso
de enseñanza aprendizaje, en tanto propiciar que en el sujeto estén dadas todas las
condiciones para lograr un aprendizaje más consciente y efectivo, indicarles los caminos
para ello, significa trabajar en aras de una asimilación más profunda del material de
estudio, que realmente para el sujeto tenga un significado importante lo que estudia.
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Una alternativa, potente a nuestro juicio, que promueve indudablemente el desarrollo de
estrategias de aprendizaje es la implementación de un procedimiento didáctico dirigido a
la formación y desarrollo de los procedimientos lógicos del pensamiento, que en
resumidas cuentas incide en el desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes.
El desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes es uno de los objetivos declarados
en todos los planes de estudio y programas de las disciplinas matemáticas de las diferentes
carreras de manera enfática y sin embargo no se cuenta con procedimientos establecidos o
estrategias bien diseñadas dirigidas a lograr este fin un poco se deja a la espontaneidad del
trabajo del maestro.
Los procedimientos lógicos determinan la conformación de estructuras cognitivas del
pensamiento que le permiten al individuo, a partir de la asimilación o apropiación del
sistema de acciones previsto para cada procedimiento y el nivel de concientización acerca
de las operaciones racionales que debe realizar necesariamente, poder utilizarlos en
cualquier rama del saber, de ahí su grado de generalidad (lo que hace viable el
procedimiento).
El desarrollo de los procesos y procedimientos lógicos del pensamiento es una tarea
verdaderamente difícil y no se cuenta en la didáctica de la educación superior con las
indicaciones para potenciar el desarrollo de estos y en algunos casos incidir en su
formación, dadas a las insuficiencias que presenten los estudiantes que egresen de la
enseñanza media superior en este sentido. Ahora bien insistir en la conformación de tales
estructuras cognitivas no debe quedar a la espontaneidad del profesor, es decir que lo que
él pueda hacer en el orden didáctico no sólo sea por la experiencia y la preparación que se
tenga en relación con esta materia, sino que se requiere de un material didáctico de
indicaciones precisas en este sentido.
En el proceso del pensamiento el hombre realiza generalizaciones teóricas, forma
conceptos y juicios, los relaciona a través de la construcción de razonamientos e hipótesis;
es decir, que el hombre no piensa de manera aislada sino de forma integrada y dinámica,
no obstante al estudiar el pensamiento nos basamos en las tres formas lógicas en que este
se manifiesta: los conceptos, los juicios y los razonamientos y en correspondencia existen
varios procedimientos lógicos asociados a cada una de ellas, al respecto el Dr Luis
Campistrous da una clasificación de los procedimientos lógicos del pensamiento, entre los
que destaca asociados a conceptos: reconocer propiedades, asociar propiedades, distinguir
propiedades, deducir propiedades, identificar propiedades, clasificar y definir, asociados a
juicios: determinar valor de verdad, trasformar juicios, modificar juicios y asociados a
razonamientos: realizar inferencias inmediatas, deducir por separación, refutación, realizar
inferencias silogísticas elementales, demostración directa, demostración indirecta,
argumentación y realizar inferencias reductivas.
En el trabajo se debe realizar con los diferentes procedimientos lógicos, resulta totalmente
necesario que el individuo despliegue un conjunto de acciones con determinadas
estructuras que lo orienten tanto en el proceso de formación, como en la aplicación del
mismo; ahora bien atendiendo a la forma lógica del pensamiento de que se trate y a los
procedimientos lógicos seleccionados para trabajar existe una estructura de pensamiento
que propicia la cognición del sujeto ante una situación determinada, es decir los llamados
esquemas lógicos para cada procedimiento lógico.
Los esquemas lógicos muestran la interrelación entre los diferentes momentos o pasos por
los que el sujeto transita desde que recibe la orientación previa hasta que emite una
conclusión de la situación de análisis y por otra parte la relación entre las acciones
diseñadas para cada procedimiento y las diferentes operaciones racionales del
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pensamiento que sirven de “vehículo” para la concreción del sistema de acciones; es decir,
permiten el tránsito de una acción a otra ( Ver Trabajo de Tesis de Doctorado de la
autora).
Cuando se trabaja con conceptos resulta imprescindible analizar las propiedades relativas
a los objetos y asociado a esto se encuentran varios procedimientos lógicos que
esencialmente están destinados a formar y a desarrollar la capacidad del sujeto para el
trabajo con las propiedades de los objetos y específicamente las propiedades esenciales o
necesarias - suficientes que son las relativas a un concepto determinado.
Algunos autores como Luis Campistrous (1997), entre otros han señalado que los
procedimientos lógicos se pueden subdividir en elementales y complejos, esta subdivisión
es relativa puesto que entre ellos existe una estrecha relación, en el sentido en que algunos
procedimientos lógicos en dependencia del contexto o de la actividad a realizar se
convierten en acciones de otros y éstos a su vez pueden constituir acciones de otros.
Entre los procedimientos lógicos asociados a conceptos, existe una interrelación que se
muestra a través del siguiente árbol de dependencia.
Distinción de propiedades
Definir
Asignación de propiedades
Identificación
de conceptos
Reconocimiento
de conceptos
Deducción de propiedades
El procedimiento lógico distinguir propiedades es uno de los procedimientos más
elementales, consiste en determinar de que tipo es una tal propiedad relativa a un objeto,
para nosotros constituye la base de todo el trabajo que podamos realizar a base de
conceptos, los siguientes procedimientos dígase asignar propiedades y definir son
procedimientos que están relacionados a la fase de la formación de un concepto y los
restantes a la fase de la asimilación, es decir la identificación y el reconocimiento de
conceptos y la deducción de propiedades.
Existen diferencias entre los procedimientos lógicos asignación de propiedades y definir,
el primero permite trabajar tanto con las propiedades esenciales que determinan un
concepto y con las propiedades no esenciales para el mismo, es decir secundarias
permitiendo llegar a los conceptos subordinados o colaterales de un concepto partiendo del
concepto superior o el genérico, de modo que permite caracterizar otros conceptos
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relativos al concepto genérico y el segundo se refiere a las propiedades esenciales de los
objetos que determinan un concepto.
Con relación a los procedimientos lógicos asociados a juicios de igual manera existe una
estrecha relación entre todos y desde luego sus bases se centran en los conocimientos de
lógica que tenga el individuo. Es decir básicamente el procedimiento lógico referido a
emitir un valor de verdad de los mismos constituye el centro, en tanto la transformación y
la modificación de juicios deben ser tales que podamos emitir un valor de verdad de los
mismos. Como se puede apreciar en esto juega un papel determinante la base de
conocimientos del sujeto.
Existen desde luego operaciones racionales y acciones determinadas para cada uno de
estos procedimientos lógicos. Así mismo ocurre con los procedimientos lógicos asociados
a razonamientos.
El tema de Series de funciones cuenta con un total de -24- horas, a continuación
exponemos los diferentes conceptos, juicios más comunes y razonamientos que son
expuestos en el tratamiento de este contenido.
Conceptos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sucesión Numérica
(definición)
Sucesión convergente
Sucesión Acotada.
Sucesión Monótona
Serie Numérica
(definición)
Sucesión de las sumas
parciales (definición)
Serie Alternada
Serie armónica y
geométrica
Serie convergente
(definición).
Serie de términos
positivos
Serie absolutamente
convergente
Serie condicionalmente
convergente
Serie divergente
Juicios
Razonamientos
• La sucesión An= 1 + (1/n) • i)lim rn = 0, si r < 1
converge a a = 1.
• La sucesión
ii) lim r n = ∞ ,
n −1
(−1)
diverge.
r >1
• El término n – ésimo de
la serie infinita
• Teorema de intercalación
∞
para sucesiones infinitas.
1
cumple con
∑
• Teorema que relaciona la
n =1 n( n + 1)
monotonía, el
la condición necesaria de
acotamiento y la
convergencia.
existencia del límite de
• La serie infinita
una sucesión.
∞
n −1
(
−
1
)
es
divergente
Sea a≠0. La serie
•
∑
n =1
geométrica a + ar + ar2 +
∞
...+arn-1 + ... es
• La serie infinita ∑ 1 es
n
convergente y su suma es
n =1
a
divergente
si r < 1 y diverge
1− r
• La serie
∞
si r ≥1
7
2
[
+ n −1 ]
∑
3
• Teorema de la condición
n =1 n( n + 1)
necesaria de la
converge y su suma es
convergencia de series
10.
• Teorema sobre las
• Bajo el criterio de la
operaciones algebraicas
integral la serie armónica
entre series.
es divergente
• Teoremas sobre los
criterios de convergencia.
{
}
A continuación se presenta un ejemplo de una de las formas lógicas del pensamiento y de
uno de los procedimientos lógicos asociados a éstas con el objetivo de mostrar como es
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posible estimular a la formación en el sujeto de determinadas estructuras cognitivas que
pueden regular su aprendizaje y hacerlo cada vez más efectivo y consciente, que se
desarrolle el pensamiento lógico matemático y que este sea potencialmente superior en los
estudiantes de carreras técnicas a través del tratamiento de diferentes contenidos del tema
referido.
Analicemos como se manifiesta el procedimiento lógico asignación de propiedades a
través de la definición de:
Sucesión Numérica:
Para introducir el concepto y finalmente definir sucesión numérica, se puede partir de
hacer consideraciones acerca del concepto intuitivo de sucesión como:
Concepto de sucesión: Colección de objetos de la misma naturaleza con determinada
secuencia entre los mismos.
Luego presentar algunos ejemplos de carácter general, es decir, algunos pudieran estar
relacionados con la vida práctica; por ejemplo:
a) 1,2,3,4,...,n,...
b) Sucesión de los segmentos donde la longitud del sucesor es el doble de la longitud
del antecesor.
c) Árbol hereditario.
d) 1, 1 , 1 , 1 ,...., 1 ,....
2 3 4
n
Desde luego que el análisis que se orienta realizar tiene que estar dirigido, debe
especificarse que aspectos deben ser analizados, sobre que base se debe realizar tal análisis
y que buscar. En este momento se produce la primera acción del sistema de acciones, es
decir:
•
Análisis de diferentes casos o ejemplos atendiendo a un rasgo específico.
Destacar el hecho de que por las características de los elementos que conforman estas
sucesiones ellas contienen una cantidad finita o infinita de elementos.
Continuar con la conducción del profesor de modo que con preguntas induzca al sujeto (el
estudiante) a precisar aquellas características más relevantes en cuanto a la naturaleza, la
relación entre los diferentes elementos de esas sucesiones (mostradas como ejemplos por
los estudiantes y por el profesor). Se deberá insistir en la búsqueda de aquellas
propiedades características comunes entre todos los casos presentados. Aquí se realiza
la segunda acción del procedimiento, que es:
•
Determinación de características comunes y no comunes atendiendo a un rasgo
especificador.
La acción anterior conduciría a que el sujeto distinga el tipo de relación que existe entre
los elementos de cada caso y como sería interesante el encontrar una forma que nos
permita la obtención de cada uno de ellos, de ahí se puede hacer la precisión del
elemento An y como el responde a una ley de formación, desde luego que estamos
hablando de una relación biunívoca entre los elementos del conjunto de los números
naturales y un conjunto formados por todos los elementos An. Es decir esto se concreta
en la tercera acción del procedimiento que es la:
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•
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Distinción de la regularidad a partir del rasgo especificador.
Constituyendo esta la propiedad esencial que caracteriza a los representantes de este
concepto, sería importante precisarles que las sucesiones numéricas no son más que
funciones reales pero con un dominio de definición restringido, al dominio natural..
Luego se realiza la última acción del procedimiento exponiendo la definición, actividad a
la que deben llegar los estudiantes de forma independiente, que sería:
•
Precisión de tal propiedad de tipo esencial inherente a todos los objetos pertenecientes
a la clase..
En este proceso de obtención de la definición de sucesión numérica se despliegan las
acciones correspondientes al procedimiento lógico definir, como ya se ha presentado y en
el tránsito por todas estas acciones el sujeto debe realizar operaciones racionales del
pensamiento tales como el análisis, la síntesis, la abstracción, y la generalización , entre
otras.
CONCLUSIONES
La tarea de desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes de cualquiera de los
subsistemas de Educación y de la Educación Superior resulta una labor ardua y totalmente
necesaria, por eso el trabajo debe estar encaminado a realizar acciones en aras de potenciar
el desarrollo de este tipo de pensamiento tanto en la formación general como ya en la
formación profesional y a más largo plazo, incidir en el desarrollo del pensamiento
ingenieril de los egresados de estas carreras, es decir atender el cumplimiento de este
objetivo en la educación superior tiene gran trascendencia, por cuanto la sociedad demanda
de un profesional que sea capaz de solucionar los problemas que se le presentan, pero que
además debe tener todas las herramientas para ir incorporando de manera sistemática los
adelantos que en el orden científico técnico ocurran en la rama en la que él se desempeña..
El trabajo realizado nos ha permitido mostrar como a través de la formación del
procedimiento lógico definir, se puede contribuir al desarrollo de estrategias de aprendizaje
a partir de la elaboración de conceptos y precisión de su definición correspondiente a un
tema determinado, en este caso: el concepto de Sucesión Numérica. En tal sentido es bueno
significar que el trabajo a realizar en función del desarrollo del pensamiento lógico debe
concebirse como un sistema, pues aunque el trabajo con los procedimientos lógicos
asociados a conceptos es fundamental por ser los conceptos la base del conocimiento, el
trabajo con las restantes formas lógicas del pensamiento y en consecuencia con los
procedimientos lógicos asociados a ellas, resulta también necesario e imprescindible.
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5. Silvestre Oramas, Margarita: Metodología y técnica que contribuyen a estimular el
desarrollo intelectual. Proyecto cubano TEDI. 1993.
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Vol. X No. 4 2005
Tallart Fabré, Paula : Dirección del proceso de formación de los procedimientos
lógicos: identificación y reconocimiento de conceptos y asignación y deducción de
propiedades en la escuela secundaria básica. Tesis en opción al grado de Dr en
Ciencias Pedagógicas. Santiago de Cuba 2000.
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