Cuerdas, arcos y ángulos centrales

Tema 61
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Cuerdas, arcos y ángulos centrales
Matemáticas
En la figura dentificamos:
Ángulo central  ACB : ángulo con vértice en el centro de la circunferencia.
 : puntos de la circunArco menor AB
Medida de un arco
mayor
Z
C
D
60˚
N
M
Medida del
ángulo central.
X
120˚
Arco subtendido por un
ángulo
S
T
Y
U
360º - (medida del arco Arco en el interior de un
menor asociado).
ángulo TUS, asociado a
la circunferencia, con
 = 60ϒ– 120ϒ = 240
 = 60ϒ
m XZY
ϒ
m MN
extremos en los lados del
 = 60ϒ– 120ϒ = 240ϒ
ángulo.
m XZY
 es el arco subtendido
TS
por TUS .
T
C
r
S
30˚
Arcos, en la misma
o en diferentes
circunferencias, con
la misma medida.
D
Ángulo inscrito.
M
E
C
C
C
Circunferencias
congruentes.
r
C
Estas son otras definiciones relacionadas con arcos, cuerdas y
ángulos:
Medida de un arco
menor
A 30˚
G
B
ferencia contenidos en el interior de un
ángulo central. (En la figura indicado
en color verde).
 : puntos de la circunArco mayor ADB
ferencia contenidos en el exterior de un
ángulo central. (En la figura indicado
en color rojo).
Arcos congruentes.
A
 ≅ DE

AC
Circunferencias con el
mismo radio.
Ángulo MST con vértice
sobre la circunferencia
y lados que contienen
cuerdas.
MST es un ángulo
inscrito.
A continuación aparecen algunos teoremas relacionados con arcos, cuerdas y ángulos.
1. Arcos y ángulos centrales. En una circunferencia o circunferencias congruentes, dos arcos menores son congruentes
si y sólo si sus ángulos centrales son congruentes. Puedes
realizar la demostración.
2. Cuerdas y arcos. En una circunferencia o en circunferencias
congruentes, dos arcos menores son congruentes si y sólo si
sus cuerdas asociadas lo son.
3. Diámetro y arcos. Si un diámetro es perpendicular a una
cuerda, entonces biseca a la cuerda y al arco asociado.
Como la demostración es muy sencilla la puedes hacer como
ejercicio.
Matemáticas
4. Comparación de distancias y longitudes de cuerdas. En una
circunferencia o circunferencias congruentes, dos cuerdas
son equidistantes del centro si y sólo si son congruentes.
Adición de medidas de arcos. La medida del arco formado por
dos arcos con un punto en común es la suma de las medidas de
los arcos.
2
La circunferencia C tiene radio 13 cm. En ella se ha trazado
una cuerda que dista 12 cm del centro C. ¿Cuál es la longitud de la cuerda? ___________________
3
En la circunferencia C de radio 20 cm, se trazan dos
diámetros con un ángulo central de 60º. Se unen los puntos extremos de los diámetros con cuerdas que forman un
cuadrilátero. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero? _______
_______________________________
4
Completa la demostración del teorema enunciado en la
página anterior.
Ejemplo
T
En una circunferencia C, de radio 5
cm, la longitud de una cuerda RS es
8 cm. ¿Cuál es la distancia VA de la
cuerda al centro C?
En la figura observamos que el
∆ AVS es rectángulo.
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A
R
Por el Teorema de Pitágoras
m VA = 25 – 16 = 3 cm .
1
V
U
Demostración:
S
Afirmación
PQ y RS equidistantes de C
En la figura se han trazado tres
diámetros, dos de los cuales son

D
perpendiculares. Si la medida de AB
es 30º, encuentra:
E
a. Cuatro arcos menores y los
correspondientes mayores.
F
___________________
b. Dos pares de arcos complementarios. ______________
Dados: PQ y RS equidistantes de C. Demuestra: PQ ≡ RS
n°
4
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Justificación
Dado.
CX ≡ CY , CX ⊥ PQ , CY ≡ RS
G
Trazamos CQ y CR
B
C
A
30º
CQ ≅ ___, CXQ y CYR son rectos,
CXQ y  ___ son rectángulos
 CXQ ≅  __
Postulado: dados
dos puntos, sólo
una recta pasa
por ellos.
Matemáticas
XQ ≅ YR y m XQ = m YR y
2 m XQ = 2 m YR
Lados de
triángulos
congruentes.
Definición de
congruencia.
Álgebra.
CX biseca PQ y CY biseca RS .
2 m XQ = m PQ 2 m YR = m RS
m PQ = m RS . Luego ________
X
P
Q
C
S
Y
R
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Construye un cuadrado inscrito y otro circunscrito respecto a una circunferencia C. Explica, paso a paso cómo lo
haces. ___________________
 es la suma de OP
 + PQ
 . ¿La cuerda correspondiEl OQ
 es la suma de las cuerdas correspondientes
ente a OQ
 y OQ
 ? ¿Qué relación existe entre estas cuerdas?
a OP
____________
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