1ª Parte

PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO.
2o Cuatrimestre. Temas XIV y XV de la Unidad Didáctica IV
PROBLEMA 1.- Se desea adaptar una carga ZL = (800 + j300)Ω en
una línea de transmisión de Zo = 400Ω que transmite con longitud de onda
λ = 1, 5 m con un mono-stub en paralelo. Determinar las longitudes l del
stub ya sea operando en abierto o en cortocircuito, y las correspondientes
separaciones d de la carga.
Figura 1
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PROBLEMA 2.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω se carga con una impedancia desconocida ZL . Mediante un
doble sintonizador de cortocircuitos móviles se logra una adaptación perfecta
cuando las longitudes de los stubs son l1 = 0, 114λ y l2 = 0, 414λ. La separación entre los stubs es D = 0, 375λ y la carga se halla a una distancia
d = 0, 2λ del doble sintonizador. a) Determinar el valor de la impedancia
de carga. b) Comprobar que el acoplo perfecto también se consigue con las
longitudes menores l10 = 0, 061λ y l20 = 0, 044λ. ¿Existen otras longitudes que
lo obtengan?
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Figura 2
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PROBLEMA 3. - En una línea de transmisión sin pérdidas de Zo =
100Ω se propaga una onda incidente de amplitud V+ = 5 V y λ = 3 cm,
pudiéndose producir , por reflexión según la carga ZL , ondas estacionarias.
a) Represente gráficamente las amplitudes del voltaje y de la intensidad
de la corriente en los 6 cm. terminales de la línea para una carga ZL =
100Ω. Señale bien las escalas en los ejes de coordenadas e indique la razón
de onda estacionaria correspondiente, S. Repita lo mismo para las seis cargas
siguientes: cortocircuito, circuito abierto, 200 Ω, 50 Ω, j100Ω y (80+j60)Ω
b) Cuál podría ser la realización práctica de las dos últimas, utilizando
por ejemplo, trozos sobrantes de la misma línea?
c) Marque en el ábaco de Smith los puntos exactos que corresponden a las
seis cargas anteriores, indicando el coeficiente de reflexión (módulo y fase)
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PROBLEMA 4.- Es sabido que un sintonizador de cortocircuitos móviles
con una separación D fija entre los dos stubs, no permite adaptar cualquier
admitancia de carga YL = GL + jBL a la línea de transmisión de admitancia
característica Yo = 1/ZL .
Concretamente, para conseguir la adaptación (acoplo) perfecta debe verificarse que
"
· µ
¶¸ #
2πD 2
GL ≤ Yo 1 + f
λ
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donde f (x) es una cierta función trigonométrica y λ es la longitud de onda.
Demuestre este enunciado hallando cuál es f(x)
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PROBLEMA 5.- Con un doble sintonizador de cortocircuito móvil, en
el que la separación entre los stubs es 3λ/8, se pretende acoplar una admitancia normalizada YL = 3 + j2. ¿Es posible? ¿Hay acaso una región de
admitancias normalizadas que son inadaptables con este sintonizador?. Justifique en el diagrama de Smith sus respuestas y señale, en su caso, la región
de imposiblidad de acoplamiento.
Figura 5
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PROBLEMA 6.- En el diagrama de Smith está trazado el círculo correspondiente a las impedancias normalizadas cuya componente
R = 2, 0. Halle su ecuación en coordenadas cartesianas en el plano del
coeficiente de reflexión. ¿Cuál es su centro? ¿Cuánto vale el radio? b) Una
carga ZL = 50 + j50 se conecta a una línea de transmisión de impedancia
característica Zo = 50 Ω. Marque en el diagrama de Smith las cargas normalizadas que se medirán a distancias l = 0, λ/16, λ/8, λ/4, 3λ/8, y λ/2
a partir de la carga. ¿Cuál es su lugar geométrico?
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PROBLEMA 7.- Mediante un sintonizador en paralelo de 31,5 cm de
longitud situado a 6,5 cm. de una carga de impedancia normalizada ZL se ha
conseguido una adaptación perfecta a una línea que trabaja a una frecuencia
de 300 kHz. Halle otro stub que situado en otra posición realice también el
acoplo perfecto y determine la carga.
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PROBLEMA 8.- Utilizamos una línea de transmisión sin pérdidas de
impedancia característica Zo = 100Ω y la terminamos, en dos experimentos
sucesivos, con las dos impedancias de carga ZL que describimos a continuación: a) una sección de la misma línea de longitud λ/8 terminada en
cortocircuito. b) la misma sección terminada con una resistencia de 200 Ω.
Marque estas cargas en el diagrama y determine en cada caso ZL , el coeficiente de onda estacionaria, el coeficiente de reflexión y la posición del primer
mínimo de voltaje (desde la carga). Dibuje la forma del voltaje en la línea.
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PROBLEMA 9.- En la posición A de una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Zo = 100Ω se mide el coeficiente de reflexión
de voltaje ρ = 1/36 − 90o . A la derecha de A hay una sección λ/8 en cuyo
extremo una impedancia ZL cierra la línea. A) Utilizando únicamente el
diagrama de Smith determine el valor de ZL y del coeficiente de onda estacionaria S. b) Dibuje la gráfica del voltaje en la línea, señalando con exactitud
las escalas. c) Halle el valor de la impedancia ZA que se mide en A.
Figura 9
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PROBLEMA 10.- En el extremo A de una línea de transmisión de
impedancia característica Zo = 100Ω se coloca una carga ZL la cual produce
en la línea la distribución de voltaje (perfil de onda estacionaria) representada
en la figura 10.1, con un coeficiente de onda estacionaria S = 2, estando el
mínimo a la distancia λ/2 del extremo A. Represente en el diagrama de Smith
la carga Z1 y halle su valor.. Si en el mismo extremo A se coloca una sección
de línea de longitud λ/8 seguida de una carga Z2 , se obtiene la distribución
que se indica en la figura 10.2 con el mínimo xvm a λ/8 de A y también S=2.
Represente Z2 y halle su valor.
Figura 10.1
Figura 10.2
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PROBLEMA 11.- Se dispone de un doble sintonizador con D = λ/4 de
cortocircuitos móviles para adaptar una carga ZL = 50 + j100 Ω situado a
una distancia λ/4 en una línea de transmisión de impedancia característica
Zo = 100 Ω. Se quiere encontrar las longitudes más cortas l1 y l2 de los stubs
para lograr acoplo perfecto. ¿Cuáles son las longitudes l1 y l2 si λ = 10 cm.?
Represente la gráfica de la variación del coeficiente de onda estacionaria S a
lo largo de la línea (o sea, en función de la distancia a la carga)
Figura 11
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PROBLEMA 12.- Halle la impedancia de entrada de la línea de transmisión cuyo esquema se muestra en la figura, en la que se han introducido
elementos colocados en serie y que termina con la carga ZL = (2.5 − j3)Zo .
Utilice únicamente el diagrama de Smith.
Figura 12
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13.- Una línea de transmisión de impedancia Zo = 50Ω trabaja a una frecuencia f = 300 MHz. Se consigue adaptar una carga terminal ZL mediante
un segmento de línea cortocircuitado en paralelo de longitud l1 = 8, 8 cm.
colocado a una distancia d1 = 28 cm. de la carga. Utilizando únicamente el
diagrama de Smith determine: a) el valor de la carga. b) otro par posible de
valores l2 y d2 (no del tipo de los que difieren de l1 y d1 un número entero de
semilongitudes de onda) con los que pueda también realizarse la adaptación.
Figura 13
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PROBLEMA 14.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 100Ω trabaja a una frecuencia f = 1 GHz. Se consigue adaptar
una carga terminal ZL mediante un stub de longitud l1 = 12, 4 cm colocado
a una distancia d1 = 12, 6 cm. de la carga. Determine el valor de la carga
y otro par posible de valores l2 y d2 (no del tipo de los que difieren de l1 y
d1 un número entero de semilongitudes de onda) con los que pueda también
realizarse la adaptación.
Figura 14
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PROBLEMA 15.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω termina en una carga ZL = 100 + j50 Ω propagándose ondas
de longitud de onda λ = 2, 45 cm. Entre la carga y la línea se ha colocado una sección de línea de longitud d = 1, 53 cm y una sección de línea
cortocircuitada en paralelo de longitud l1 = 0, 30 cm. Calcule mediante el
diagrama de Smith el valor de la impedancia vista desde el punto A. Repita
analíticamente el cálculo y compruebe que da el mismo resultado.
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PROBLEMA 16.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω y que trabaja a la frecuencia f = 300 MHz, termina con una
carga ZL que ha sido adaptada perfectamente mediante un stub de longitud
l2 = 41, 1 cm colocado a una distancia d2 = 20, 6 cm. de la carga. El acoplo
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se hubiese podido lograr por medio de otro stub de longitud y distancia a la
carga menores. Determínelos.
Figura 16
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PROBLEMA 17.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω termina en una carga ZL = 15 − j20 Ω. Mediante el diagrama
de Smith encuentre: a) el coeficiente de reflexión de voltaje en la carga. b) el
coeficiente de onda estacionaria S. c) Distancia a la carga del primer mínimo
de voltaje. d) Impedancia de la línea a 0, 05λ de la carga. e) Admitancia de
la línea en el mismo punto. f)Posición mas cercana a la carga en la que la
parte real de la admitancia de la línea es igual a la admitancia característica.
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PROBLEMA 18.- Por una línea de transmisión sin pérdidas de Zo =
100Ω se propaga una onda incidente de amplitud V + = 5 V y λ = 3 cm.
Cuando se termina con una carga se producen en general, y como es sabido,
ondas estacionarias, resultantes de la superposición de la onda incidente y
reflejada, cuya envolvente constituye el perfil de onda estacionaria.
a) Represente en el diagrama de Smith las cargas ZL siguientes (note que
las dos últimas incluyen una seción de longitud λ/8
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Figura 18
b)Halle gráficamente para cada una de ellas el coeficiente de reflexión ρ
(módulo y fase) y la ROET (razón de onda estacionaria)
c) Represente en cada caso la gráfica del perfil de onda estacionaria en
los 6 cm finales de la línea.
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PROBLEMA 19.- En una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω se propaga una onda de longitud de onda λ = 10 cm. Se
ha podido adaptar la carga ZL mediante una sección cortocircuitada de la
misma línea, de longitud l1 = 4, 12 cm y colocada en paralelo a una distancia
d1 = 4, 2 cm. Calcule el valor de la carga y un par de valores más cortos para
d y l que adapten la carga.
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PROBLEMA 20.- En una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 400Ω se propaga una onda de longitud de onda λ = 1.5 m. Se
ha podido adaptar la carga ZL mediante una sección cortocircuitada de la
misma línea, de longitud l1 = 0, 55 m y colocada en paralelo a una distancia
d1 = 0, 56 m. Calcule el valor de la carga y un par de valores más cortos
para d y l que adapten la carga.
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PROBLEMA 21.-Para determinar el valor de una impedancia de carga
no adaptada colocada en el extremo de una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω se dispone de una línea ranurada de igual
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impedancia en la que se han realizado las siguientes medidas a frecuencia
2 GHz: Coeficiente de onda estacionaria S = 2, 8 ; Colocando un plano de
cortocircuito a una distancia de 20,85 cm. de la carga, la posición de cada
mínimo existente en las condiciones iniciales se ha desplazado hacia la carga
una distancia de 2,28 cm.
a) Muestre de forma gráfica el perfil de onda estacionaria que se produce
en la línea en cada una de ambas situaciones. Indique bien la posición de los
mínimos en una escala de abcisas adecuada.
b) Trabajando con el diagrama de Smith determine la impedancia Zv
vista desde la posición donde va a colocar el cortocircuito y a partir de ella,
la impedancia ZL .
c) La distancia mínima donde debe colocarse en paralelo una susceptancia
jB inductiva para adaptar la carga.
Figura 21
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PROBLEMA 22.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω termina en una carga ZL = 100 − j50 Ω. Mediante el diagrama
de Smith encuentre la distancia más corta a la que debe colocarse en pararelo
una sección de la misma línea cortocircuitada para adaptar dicha carga. Represente el perfil de onda estacionaraia (con escalas explícitamente marcadas)
desde dicha carga hasta un punto a 20 cm a su izquierda en la línea. Lo
mismo en el stub.
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Figura 22
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PROBLEMA 23.- En una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 100Ω se ha logrado adaptar una carga ZL mediante una sección de línea cortocircuitada de longitud l = 0, 112λ colocada en paralelo a
una distancia d = 0, 042λ de dicha carga. Utilizando el diagrama de Smith
determine el valor de la carga. Dibuje el perfil de onda estacionaria entre
la carga terminal y el punto de la línea situado a 10 cm. a su izquierda, y
también en el ”stub”. Tomo λ = 100 cm.
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PROBLEMA 24.- En una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Zo = 100Ω, cerrada por una carga de impedancia
ZL = 200 + j200 Ω se propagan una ondas de longitud de onda λ = 1 m.
Mediante el diagrama de Smith determine:
a) El coeficiente (complejo) de reflexión de voltaje de dicha carga y la
relación de onda estarionaria.
b)Marque en el diagrama de Smith el punto que representa la impedancia
ZA que se mediría en el punto A de la línea, a 37,5 cm de la carga y determine
su valor.
c) ¿En qué posición B de la línea se tendrá una impedancia puramente
resistiva? ¿Cuál sería su valor en ohmios?
d) Dibuje el perfil de onda estacionaria en la línea entre la carga y un
punto situado a 2m a la izquierda. Marque claramente las escalas y los valores
significativos.
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Figura 24
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PROBLEMA 25.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω, cerrada por una impedancia desconocida ZL está alimentada
por un generador de frecuencia 1GHz. Ha sido adaptada mediante un ”stub”
colocado a 0, 188λ de la carga. El stub está formado por una sección de línea
de longitud 0,236λ y de impedancia característica Zo0 = 100Ω terminada por
una autoinducción de L = 73 nH. a) Calcule la impedancia Zs del stub y
su impedancia normalizada. Determine el valor de la impedancia de carga
y dibuje el perfil de onda estacionaria de la línea entre la carga y un punto
situado a 9 cm a su izquierda. Lo mismo para el stub. Marque claramente
las escalas y los valores numéricos necesarios.
Figura 25
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PROBLEMA 26.- Mediante una bobina L y un condensador C colocados tal como indica la figura, se puede adapter una carga ZL = 140 + j60 Ω
a una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω. Halle
mediante el diagrama de Smith las reactancias XL y XC que realizan dicho
acoplo, y los valores de L y C si se propagan ondas de 1kHz.
No toda craga es adaptable con el tipo de dispositivao considerado. Puede
comprobar que, por ejemplo, ZL /Zo = 0, 5 + j2, 0 no lo es. Identificque la
zona de impedancias normalizadas no adaptables.
Si la frecuencia varía, el acoplo ya no se verifica. Considere la frecuencia
de 2kHz y estime aproximadamente, mediante el diagrama de Smith, qué
relación de onda estacionaris S se medirá ahora en la línea de transmisión.
Figura 26
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PROBLEMA 27.-Transformador de curato de onda. Se desea adaptar
una carga Z3 = 400Ω a una línea de transmisión de impedancia característica
Zo = 100Ω que opera a la frecuencia de fo = 300 MHz. Con este fin se inserta
una sección de longitud λ/4 de una línea de impedancia característica Z2 .
a) Determine el valor de Z2 que produce la adaptación deseada.
b) Localice en el diagrama de Smith los puntos que corresponden a las
impedancias normalizadas Z3 /Z2 , ZL /Z2 y ZL /Z1
c) Es obvio que no hay adaptación para f 6= fo . Localice en el diagrama
de Smith los puntos que identifican las impedancias normalizadas ZL /Z1 que
se obtienen cuando se opera con f = 200, 250, 350 y 400 MHz
d) A partir de estos datos dibuje la gráfica de la relación de onda estacionaria S en función de la frecuencia en el intervalo entre 200 y 400 MHz.
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Figura 27
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PROBLEMA 28.- Para acoplar una carga ZL a una línea de transmisión
de impedancia característica Zo = 50Ω se utiliza un adaptador en paralelo
cortocircuitado, con valores d1 = 3, 42 cm y l1 = 3, 00 cm, siendo la frecuencia
de operación de 3,75 GHz. Halle el valor de la carga. Represente la gráfica
del perfil de onda estacionaria en la línea principal desde la carga hasta una
distancia de 5 cm a la izquierda, y en el stub. Encuentre otro par de valores
menores que los anteriores que realicen también la adaptación.
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PROBLEMA 29.-En una línea de trasmisión la razón de onda estacionaria vale 2,3 y se detectan dos mínimos contiguos, uno a 5 cm y otro a 17
cm de un punto arbitrario de la línea. Si en lugar de la carga ZL se coloca un
cortocircuito se observa un mínimo a 31 cm del punto de referencia anterior.
a) Trace cuidadosamente, con los valores numéricos apropiados, el perfil
de onda estacionaria con ZL y con el cortocircuito, entre el punto de referencia
y otro punto situado a 35 cm del anterior.
b) Suponga un cortocircuito deslizante construído con una porción de la
misma línea. Dibuje las gráficas de las componentes real e imaginaria de su
impedancia Zccd (l) en función de la posición l entre 0 y 15 cm.
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Figura 29
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PROBLEMA 30.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 100Ω en la que se propaga una señal de 300 MHz, termina en una
carga ZL = 50 + j40 Ω. Mediante el diagrama de Smith determine:
a) La razón de onda estacionaria S
b) La impedancia Zx en un punto de la línea a 20 cm de la carga.
c)Cuáles son las dos distancias más cercanas a la carga en las que se tiene
una impedancia puramente resistiva y cuál es su valor.
d) Dibuje el perfil de onda estacionara en los últimos 100 cm de la línea,
tomando como unidad la amplitud de la onda incidente. Indique los valores
numéricos indispensables.
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PROBLEMA 31.- Para determinar el valor de una impedancia de carga
ZL no adaptada colocada en el extremo de una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω se dispone de una línea ranurada, de igual
impedancia, en la que se han realizado las siguientes medidas:
a) Coeficiente de onda estacionaria S = 3, 6
b) La separación entre mínimos sucesivos es de 14 cm. Al sustituir la
carga por un cortocircuito se observa que la posición de cada uno de los
mínimos existentes en la condición anterior se ha desplazado hacia la carga
una distancia de 3,2 cm.
¿Cuál es el valor de estos mínimos ahora? Determine a qué frecuencia
opera la línea y el valor de la impedancia de carga. Represente la gráfica del
perfil de onda estacionario en un tramo de 0,5 m de la línea a partir de la
carga.
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PROBLEMA 32.- Con dos bobinas con el mismo coeficiente de autoinducción L1 = L2 = 2, 5 mH, colocadas tal como indica la figura 32, se ha
adaptado una cierta carga ZL a una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 50Ω que trabaja a una frecuencia de 3183 Hz. Utilizando el
diagrama de Smith, determine el valor de la carga.
No toda impedancia puede adaptarse con este tipo de dispositivo, incluso
con L1 6= L2 . Señale precisa y claramente, qué región del diagrama de Smith
contiene impedancias normalizadas no adaptables.
Figura 32
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PROBLEMA 33.- Una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 100 Ω está excitada por una fuente de voltaje sinusoidal de longitud
de onda λo y acaba en una impedancia ZL = 100(1 − j)Ω. Determinar
mediante la carta de Smith
a) ¿A que distancia de la carga se encuentran el primer y segundo máximo
de tensión? ¿Cuál es la razón de onda estacionaria?
b) Calcular a que distancia d de la carga y qué longitud l debe tener un
stub en abierto de impedancia característica Zo = 100Ω para que la línea
quede adaptada para λo .
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PROBLEMA 34.- Una línea de transmisión de impedancia Zo = 100
Ω trabaja a una frecuencia de f=300 MHz. Se consigue adaptar una carga
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terminal ZL mediante un segmento de línea cortocircuitado en paralelo, de
longuitud l1 = 11, 1 cm, colocado a una distancia d1 = 23, 8 cm de la carga.
Utilizando el diagrama de Smith determine:
a)El valor de la carga ZL
b)Otro posible par de valores l2 y d2 (no del tipo de los que difieren de
l1 y d1 en un número entero de semilongitudes de onda) con los que pueda
también realizarse la adaptación.
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PROBLEMA 35.- La razón de onda estacionaria de una línea de transmisión es 2,1. Si los dos primeros mínimos de tensión tienen lugar a una
distancia de 1,25 y 2,77 m de la carga, calcular la longitud y la posición de
un mono-stub que acople la línea, utilizando el diagrama de Smith.
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