Espacios vectoriales reales.

Tema 3
Espacios vectoriales reales.
3.1
Espacios vectoriales.
Definición 3.1 – Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que
recibe el nombre de “producto de vectores por números reales” o “producto por escalares”, que
verifica las siguientes propiedades:
(1). u + v ∈ V ; ∀u, v ∈ V
(2). u + v = v + u; ∀u, v ∈ V
(3). u + (v + w) = (u + v) + w ; ∀u, v, w ∈ V
(4). Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u;
∀u ∈ V
(5). Para cada vector u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por
−u, tal que u + (−u) = 0
(6). ku ∈ V ; ∀k ∈ IR y ∀u ∈ V
(7). k(u + v) = ku + kv ; ∀k ∈ IR y ∀u, v ∈ V
(8). (k + l)u = ku + lu; ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V
(9). (kl)u = k(lu); ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V
(10). 1u = u; ∀u ∈ V
Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre cuerpos de escalares distintos de IR, en particular, suelen ser
interesantes los espacios vectoriales complejos, donde los escalares son de C.
Proposición 3.2 – Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
a) 0u = 0
b) k 0 = 0
c) (−1)u = −u
d) ku = 0 ⇐⇒ k = 0 ó u = 0
e) El vector cero de un espacio vectorial es único
f) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único
3.2
Subespacios vectoriales.
Definición 3.3 – Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio
vectorial de V si W es por si solo un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .
Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto
es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es
decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W :
Preliminares.
35
3.3 Base y dimensión.
(1’). u + v ∈ W ; ∀u, v ∈ W
(6’). ku ∈ W ; ∀u ∈ W y ∀k ∈ IR
Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única:
ku + lv ∈ W ;
∀u, v ∈ W y ∀k, l ∈ IR.
Observación:
Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .
Definición 3.4 – Se dice que un vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores
v1 , v2 , . . . , vn si, y sólo si, ∃c1 , c2 , . . . , cn ∈ IR tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn .
Definición 3.5 – Dado un conjunto de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V ,
podemos considerar el subespacio vectorial más pequeño que contiene al conjunto de vectores S
(ver ejercicios 3.4 y 3.5). Dicho subespacio, es el conjunto de todas las combinaciones lineales que
se pueden formar con los vectores del conjunto S , que se denomina subespacio lineal generado
por S y se denota por lin S ó lin{v1 , v2 , . . . , vk }, y se dirá que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S .
Definición 3.6 – Dado un conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vk } de vectores del espacio vectorial V , la
ecuación vectorial c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0 tiene al menos una solución, a saber: c1 = c2 =
· · · = ck = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente
independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras
soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente
dependientes).
Se tiene la siguente caracterización para que un conjunto de dos o más vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 3.9):
“Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos
uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes.”
3.3
Base y dimensión.
Definición 3.7 – Si V es un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vn } es un conjunto finito de
vectores de V , diremos que S es una base de V si:
a) S es linealmente independiente, y
b) S genera a V .
Se podrı́a pensar que dos bases de un mismo espacio vectorial pudieran tener un número distinto
de vectores, pero no es ası́, como nos asegura el teorema siguiente
Proposición 3.8 – Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores.
Entonces cualquier conjunto {v1 , v2 , . . . , vm } de vectores de V , con m > n, es linealmente
dependiente.
Teorema de la base 3.9 – Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número
de elementos.
Definición 3.10 – Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si contiene un conjunto
finito de vectores que forman una base.
Si no existe un conjunto de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita.
Preliminares.
36
3.4 Intersección y suma de subespacios vectoriales.
Al espacio vectorial {0} le consideramos de dimensión finita, aún cuando no tiene conjuntos
linealmente independientes.
Si un espacio vectorial V es de dimensión finita, teniendo en cuenta el teorema de la base,
diremos que la dimensión de V , dim V , es el número de vectores de cualquier base de V .
Proposición 3.11 – Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, con dim V = n, entonces:
a) un conjunto de n vectores de V es base de V , si el conjunto es linealmente independiente
o si genera a V .
b) a un conjunto de r vectores de V linealmente independiente, con r < n, se le pueden
agregar n − r vectores hasta formar una base de V .
3.4
Intersección y suma de subespacios vectoriales.
Definición 3.12 – Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V , llamaremos
intersección de E y F , y lo denotaremos por E ∩ F , al conjunto:
E ∩ F = {u ∈ V : u ∈ E, y u ∈ F }.
Como puede probarse facilmente, la intersección de dos subespacios vectoriales de un mismo
espacio vectorial V , también es un subespacio vectorial de V . En cambio la unión de dos
subespacios no tiene porque serlo.
Definición 3.13 – Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V , llamaremos
suma de E y F , y lo denotaremos por E + F , al conjunto:
E + F = {u ∈ V : u = v + w; v ∈ E, w ∈ F }.
Es fácil ver que E + F es un subespacio de V , y además se verifica que lin(E ∪ F ) = E + F ,
es decir, E + F es el menor subespacio que contiene a E ∪ F .
Definición 3.14 – Un espacio vectorial V se dice suma directa de los subespacios E y F , y
se escribe V = E ⊕ F (también se dice que E y F son subespacios suplementarios de V ) si y
sólo si:
V =E+F
y
E ∩ F = {0}
Si se verifica que V = E + F , la segunda propiedad es equivalente a decir que cualquier vector
u ∈ V puede escribirse de forma única como suma de un vector de E y otro de F .
Teorema de Grassman 3.15 – Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y E y F subespacios de V , entonces:
dim(E + F ) = dim E + dim F − dim(E ∩ F ).
3.5
El espacio vectorial IRn
Es frecuente representar el conjunto de los números reales, IR, mediante el conjunto de puntos
de una recta en la que se ha definido un sistema de referencia (un origen, un sentido, y una
unidad de medida). Esta representación nos permite identificar gráficamente cada número real
con un punto de la recta, y viceversa.
También es conocida la representación de IR2 = IR × IR mediante el conjunto de los puntos
de un plano en el que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (dos rectas perpendiculares entre sı́ en las que se definen dos sistemas de referencia que tienen en común el punto
Preliminares.
37
3.5 El espacio vectorial IRn
origen, y la unidad de medida). En este caso, se identifican pares de números reales, (x, y), con
puntos del plano.
Análogamente se identifican ternas de números reales (x, y, z) con puntos del espacio en el
que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (tres rectas perpendiculares entre sı́
. . . ). De esta forma se establece una biyección entre el conjunto IR3 = IR × IR × IR y el conjunto
de los puntos del espacio tridimensional.
Aunque no sea identificable con una representación gráfica, nada impide considerar nuplas de números reales (x1 , x2 , . . . , xn ), con n ≥ 4. De este modo, llamaremos espacio ndimensional, IRn , al conjunto
IRn = IR × IR × · · · × IR = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ IR; ∀i = 1, . . . , n.}.
Utilizaremos la notación x para designar más brevemente al punto (x1 , . . . , xn ) de IRn . En
este caso, al número real xi lo llamaremos coordenada o componente i-ésima del punto o
vector x.
Está claro que lo más frecuente es trabajar con IR2 ó IR3 , pero también es cierto que los
casos en que n > 3 se presentan con suficiente frecuencia en la práctica como para justificar su
estudio. Nos encontramos con un espacio n-dimensional cada vez que consideremos un objeto
cuyo estudio requiera contemplar n aspectos distintos susceptibles de variación.
Definición 3.16 – Diremos que dos puntos x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) de IRn son
iguales, y escribiremos x = y si y sólo si xi = yi ; ∀i = 1, . . . , n.
Definición 3.17 – Llamaremos suma de dos puntos x, y ∈ IRn , y lo representaremos por x + y ,
al punto:
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
Definición 3.18 – Llamaremos producto del punto x ∈ IRn por el número real λ ∈ IR, y
lo denotaremos por λx, al punto:
λx = λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
Estas dos operaciones dotan a IRn de una estructura de espacio vectorial. Por esta razón,
llamaremos también vectores a los puntos de IRn .
El espacio vectorial IRn tiene dimensión n, y cualquier vector puede escribirse de la forma
(x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · · + xn (0, 0, . . . , 1).
El conjunto de los vectores
B = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)},
se denomina base canónica, y es la base más sencilla y cómoda, en general.
Evidentemente, existen otras operaciones que pueden dotar a IRn de estructura de espacio
vectorial, pero las aquı́ definidas son las más usuales ya que supone trabajar con ellas a nivel
geométrico en los casos IR2 y IR3 .
Otros ejemplos de espacios vectoriales son:
a) El conjunto de todas las matrices de tamaño n × m con elementos reales, junto con las
operaciones de suma de matrices y producto de números reales por matrices, ya indicadas.
b) El conjunto de las funciones f : IR −→ IR con las operaciones
(i) (f + g)(x) = f (x) + g(x); ∀f, g: IR −→ IR
(ii) (kf )(x) = kf (x); ∀k ∈ IR y ∀f : IR −→ IR
Preliminares.
38
3.6 Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas.
3.6
Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas.
Definición 3.19 – Consideremos la matriz Am×n ,



A=


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.
...
am1 am2 . . . amn



.


Los m vectores r1 = (a11 , . . . , a1n ), r2 = (a21 , . . . , a2n ), . . . , rm = (am1 , . . . , amn ) ∈ IRn , se
denominan vectores fila de A y el subespacio vectorial de IRn generado por ellos, Ef (A) =
lin{r1 , r2 , . . . , rm }, espacio de las filas de A.
Los n vectores c1 = (a11 , . . . , am1 ), c2 = (a12 , . . . , am2 ), . . . , cn = (a1n , . . . , amn ) ∈ IRm ,
se denominan vectores columna de A y el subespacio vectorial de IRm generado por ellos,
Ec (A) = lin{c1 , c2 , . . . , cn }, espacio de las columnas de A.
Proposición 3.20 – Si A es una matriz de tamaño m × n, entonces las operaciones elementales
sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A.
Corolario 3.21 – Sea A una matriz, entonces:
a) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz A, forman una base del espacio
de las filas de A.
b) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz At , forman una base del espacio
de las columnas de A.
Teorema 3.22 – Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces:
dim(Ef (A)) = dim(Ec (A)).
Demostración:
El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(At ), y que el rango de una
matriz coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, ası́ como el resultado
anterior.
Definición 3.23 – Dado un espacio vectorial V de dimensión finita y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una
base de V , para cada vector v ∈ V existen unos únicos números reales c1 , c2 , . . . , cn tales que
v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn . Estos números se denominan coordenadas de v relativas a la
base B . El vector de coordenadas de v relativo a la base B se denota mediante (v)B y es
el vector de IRn : (v)B = (c1 , c2 , . . . , cn ). La matriz de coordenadas de
a la base
 v relativas

c1


 c2 
t

B se denota por [v]B y es la matriz n × 1 definida por: [v]B = (v)B =  . 
.
 .. 
cn
3.7
Cambios de base.
Definición 3.24 – Sean B = {u1 , u2 , . . . , un } y B 0 = {v1 , v2 , . . . , vn } son bases de un espacio
vectorial V . Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B a
la base B 0 , la matriz de dimensiones n × n, que por columnas es
³
P =
´
[u1 ]B 0
[u2 ]B 0
· · · [un ]B 0
,
es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas del vector ui en la base B 0 .
Preliminares.
39
3.8 Espacios vectoriales con producto interior.
Proposición 3.25 – Sea P la matriz de paso de una base B en otra base B 0 para un espacio
vectorial V . Entonces:
a) ∀x ∈ V se tiene que [x]B 0 = P · [x]B .
b) P es inversible y su inversa, P −1 , es la matriz de paso de la base B 0 a la base B .
3.8
3.8.1
Espacios vectoriales con producto interior.
Producto interior. Norma. Distancia
Definición 3.26 – Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a
cada par de vectores u, v ∈ V le asocia un número real, que denotaremos por hu, vi, de tal
manera que se cumplen las siguientes propiedades:
a) hu, vi = hv, ui; ∀u, v ∈ V .
b) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi; ∀u, v, w ∈ V .
c) hku, vi = khu, vi; ∀u, v ∈ V y ∀k ∈ IR.
d) hu, ui ≥ 0; ∀u ∈ V y hu, ui = 0 ⇐⇒ u = 0 .
Otra propiedades que se deducen de las anteriores son:
a) h0, ui = 0
b) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
c) hu, kvi = khu, vi
A partir de un producto interior sobre un espacio vectorial V se definen los conceptos de
norma, distancia y ángulo.
Definición 3.27 – Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma o
longitud de un vector v ∈ V se denota mediante kvk y se define como
q
kvk = + hv, vi.
La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v) y se define como
q
d(u, v) = ku − vk = + hu − v, u − vi.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz 3.28 – Para todo u, v ∈ V , espacio con producto interior, se
tiene que
hu, vi2 ≤ kuk2 kvk2 .
Definición 3.29 – Si u y v son vectores, distintos de cero, de un espacio con producto interior,
entonces, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que
−1 ≤
hu, vi
≤1
kuk kvk
y por tanto existe un único ángulo, θ , tal que
cos θ =
Preliminares.
hu, vi
, con 0 ≤ θ ≤ π
kuk kvk
40
3.8 Espacios vectoriales con producto interior.
Definición 3.30 – En un espacio vectorial con producto interior, V , dos vectores u y v se dicen
ortogonales si hu, vi = 0.
Además, si u ∈ V es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es
ortogonal a W .
Propiedades básicas de la norma 3.31 –
a) kuk ≥ 0; ∀u ∈ V
b) kuk = 0 ⇐⇒ u = 0
c) kkuk = |k| kuk; ∀u ∈ V y ∀k ∈ IR
d) ku + vk ≤ kuk + kvk; ∀u, v ∈ V
Propiedades básicas de la distancia 3.32 –
a) d(u, v) ≥ 0; ∀u, v ∈ V
b) d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v
c) d(u, v) = d(v, u); ∀u, v ∈ V
d) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v); ∀u, v, w ∈ V
3.8.2
El espacio euclı́deo n-dimensional IRn
Sobre el espacio vectorial IRn definimos la siguiente función
IRn × IRn −→ IR
(x, y) −→ x · y = x1 y1 + · · · + xn yn =
n
X
xi yi
i=1
siendo x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ).
Como puede verse fácilmente dicha función es un producto interior, el que se conoce como
producto interior euclı́deo. Este producto interior da lugar a las conocidas como norma y
distancia euclı́deas.
Se llama espacio euclı́deo n-dimensional a IRn con las operaciones de suma, producto
por escalares y producto interior definidos.
El producto interior euclı́deo, aquı́ definido, constituye una generalización a IRn del producto
escalar definido, y bien conocido, en IR2 y IR3 .
Teorema general de Pitágoras 3.33 – Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio
vectorial con producto interior, entonces
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Este resultado de fácil demostración, se reduce en IR2 con el producto interior euclı́deo, al
conocido teorema de Pitágoras.
3.8.3
Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt
Definición 3.34 – Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior y
B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Se dice que B es una base ortonormal de V si kvi k = 1,
∀i = 1, . . . , n y hvi , vj i = 0; ∀i, j = 1, . . . , n con i 6= j .
La ventaja de trabajar con bases ortonormales es muy grande como ya es conocido en IR2 ó
IR3 .
Preliminares.
41
3.8 Espacios vectoriales con producto interior.
Teorema 3.35 – Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base ortonormal para un espacio, V , con producto interior, entonces ∀v ∈ V se tiene que:
v = hv, v1 iv1 + hv, v2 iv2 + · · · + hv, vn ivn ,
es decir, (v)B = (hv, v1 i, hv, v2 i, . . . , hv, vn i).
Teorema 3.36 – Si S = {v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales
dos a dos, entonces S es linealmente independiente.
Teorema 3.37 – Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B a otra base ortonormal
B 0 , entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P t = P −1 ).
Definición 3.38 – Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y
B = {v1 , v2 , . . . , vk } una base ortonormal de W . Para cada v ∈ V , llamaremos proyección
ortogonal de v sobre W al vector de W
ProyW v = w1 = hv, v1 iv1 + hv, v2 iv2 + · · · + hv, vk ivk .
Al vector v − ProyW v se le llama componente ortogonal de v sobre W .
Teorema 3.39 – Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B =
{v1 , v2 , . . . , vk } una base ortonormal de W , entonces para cada v ∈ V , el vector v − ProyW v
es ortogonal a cada vector de W .
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 3.40 – Sean V un espacio vectorial con producto interior de dimensión finita y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Vamos a describir un
proceso para conseguir a partir de la base B una base ortonormal B 0 = {u1 , u2 , . . . , un }. Este
proceso de ortonormalización es él de Gram-Schmidt y se basa en el teorema anterior.
Demostración:
1 a etapa.- Como v1 6= 0 por ser de la base B , el vector u1 =
v1
tiene norma 1.
kv1 k
2 a etapa.- Sea W1 = lin{u1 }, por el teorema anterior, el vector v2 − ProyW1 v2 es ortogonal
a W1 , en particular a u1 , y como es distinto del vector 0 se tiene que
v2 − ProyW1 v2
v2 − hv2 , u1 iu1
°
u2 = °
°v2 − Proy v2 ° = kv2 − hv2 , u1 iu1 k
W1
es ortogonal a u1 y tiene norma 1. En efecto, si fuera v2 − hv2 , u1 iu1 = 0 , entonces
0 = v2 − hv2 , u1 iu1 = v2 − hv2 , u1 i
v1
= λ1 v1 + λ2 v2 ,
kv1 k
hv2 , v1 i
y λ2 = 1 y, en consecuencia, {v1 , v2 } serı́a un conjunto linealmente dekv1 k
pendiente, lo que es absurdo por ser B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V .
para λ1 = −
3 a etapa.- Sea W2 = lin{u1 , u2 }, aplicando el teorema anterior, sabemos que el vector v3 −
ProyW2 v3 es ortogonal a W2 , en particular a u1 y u2 , y como es distinto del vector 0 , se tiene
que
v3 − ProyW2 v3
v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2
°
u3 = °
°v3 − Proy v3 ° = kv3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 k
W2
Preliminares.
42
3.9 Ejercicios.
es ortogonal a u1 y u2 , y tiene norma 1. En efecto, si fuera v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 = 0 ,
entonces
0 = v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 =
v1
v2 − hv2 , u1 iu1
= v3 − hv3 , u1 i
− hv3 , u2 i
= λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 ;
kv1 k
kv2 − hv2 , u1 iu1 k
y como λ3 = 1, {v1 , v2 , v3 } serı́a un conjunto linealmente dependiente, lo que es absurdo por
ser B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V .
Continuando con el proceso se va construyendo un conjunto ortonormal de n vectores no nulos,
B 0 = {u1 , u2 , . . . , un }. Dado que dim V = n y que todo conjunto ortonormal es linealmente
independiente, se concluye que B 0 es una base ortonormal de V .
3.9
Ejercicios.
3.1 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:
a)
b)
c)
d)
IR2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) y k(x, y) = (2kx, 2ky).
A = {(x, 0) : x ∈ IR} con las operaciones usuales de IR2 .
IR2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 + 1, y + y 0 + 1) y k(x, y) = (kx, ky).
El conjunto de los números reales estrı́ctamente positivos, IR+ − {0}, con las operaciones: x + x0 = xx0 y kx = xk .
3.2 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR3 ó IR4 ?
a)
b)
c)
d)
Todos
Todos
Todos
Todos
los
los
los
los
vectores
vectores
vectores
vectores
de
de
de
de
la
la
la
la
forma
forma
forma
forma
(a, 1, 1).
(a, b, c) con b = a + c.
(a, b, c, d) con a + 2d = 7.
(a, b, c, d) con ba = 0.
3.3 Sean v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, −1, 5, 2) y v3 = (−1, 0, 2, 1). ¿Cuáles de los vectores
(2, 3, −7, 3), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4), están en lin{v1 , v2 , v3 }?
3.4 Sea V un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vk }. Probar que lin S es un subespacio vectorial
de V .
3.5 Sea V un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vk }. Probar que si W es un subespacio vectorial
de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W .
3.6 Sean V un espacio vectorial y E y F dos subespacios de V . Probar que E ∩ F y E + F
son subespacios de V .
−1
−1
−1
3.7 ¿Para qué valores reales de λ los vectores v1 = (λ, −1
2 , 2 ) v2 = ( 2 , λ, 2 ) y v3 =
3
−1 −1
( 2 , 2 , λ) forman un conjunto linealmente dependiente en IR ?
3.8 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w , demostrar que u + v , v + w y
w + u son también linealmente independientes.
3.9 Probar que si los vectores v1 , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos
se puede escribir como una combinación lineal de los restantes.
3.10 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de IR4 :
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0).
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b.
c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d.
Preliminares.
43
3.9 Ejercicios.
3.11 Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de
m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de IRn . ¿Qué ocurre si el sistema
es homogéneo, es decir, si B = 0?
3.12 Considerar en IR4 los siguientes conjuntos de vectores:
A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)}
a)
b)
c)
d)
e)
Hallar
Hallar
Hallar
Hallar
Hallar
B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}
las dimensiones de lin(A) y de lin(B).
las ecuaciones paramétricas de lin(A) y de lin(B).
una base de lin(A) + lin(B).
las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B).
la dimensión de lin(A) ∩ lin(B).
3.13 Consideremos en el espacio vectorial IR3 la base B = {u1 , u2 , u3 }. Sea E el subespacio
engendrado por los vectores
v1 = u1 + 3u3 , v2 = 2u1 − 3u2 + u3 , v3 = 4u1 − 3u2 + 7u3 .
Sea F el subespacio engendrado por los vectores
w1 = u1 + u2 + u3 , w2 = 2u1 + 3u2 + 4u3 , w3 = 3u1 + 4u2 + 5u3 .
Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F .
3.14 Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden
sea E
à 2 sobre IR y !
a
b+c
el subconjunto de M2×2 formado por las matrices de la forma
con
−b + c
a
a, b, c ∈ IR.
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
Ã
b) Probar que las matrices A1 =
1 0
0 1
!
, A2 =
Ã
0 1
−1 0
!
Ã
, A3 =
0 1
1 0
!
, forman
una base de E .
3.15 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto
{v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v1 ]B , [v2 ]B , . . . , [vn ]B } es una
base de IRn .
3.16 Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Determinar si hu, vi = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 define
un producto interior en IR3 .
3.17 Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de
los vectores v1 , v2 , . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v1 , v2 , . . . , vk }.
3.18 a) Encontrar dos vectores de IR2 con norma euclı́dea uno y cuyo producto interior euclı́deo
con (−2, 4) sea cero.
b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR3 con norma euclı́dea uno y
cuyo producto interior euclı́deo con (−1, 7, 2) es cero.
3.19 Demostrar que si V es un espacio con producto interior, entonces ∀u, v ∈ V ,
hu, vi =
´
1³
ku + vk2 − ku − vk2
4
3.20 Sea {v1 , v2 , . . . , vk } una base del espacio vectorial V con producto interior. Demostrar
que 0 es el único vector en V que es ortogonal a todos los vectores de la base.
−1
3.21 Sean a = ( √15 , √
) y b = ( √230 , √330 ). Demostrar que {a, b} es ortonormal si IR2 tiene el
5
producto interior hu, vi = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), y que no lo es
si IR2 tiene el producto interior euclı́deo.
Preliminares.
44
3.9 Ejercicios.
3.22 Considera IR3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para
transformar, en cada caso, la base {u1 , u2 , u3 } en una base ortonormal.
a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1).
b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (3, 7, −2), u3 = (0, 4, 1).
3.23 Considera IR3 con el producto interior hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 . Utiliza el proceso de
Gram-Schmidt
para
transformar
la
base
formada
por
los
vectores
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal.
3.24 Sea {v1 , v2 , v3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Demostrar
que si w es un vector de V , entonces:
kwk2 = hw, v1 i2 + hw, v2 i2 + hw, v3 i2
3.25 Tomemos en IR4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en
la forma w = w1 + w2 donde, w1 está en el subespacio W generado por los vectores
u1 = (−1, 0, 1, 2) y u2 = (0, 1, 0, 1), y w2 es ortogonal a W .
3.26 Suponer que IR4 tiene el producto interior euclideo.
a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos
iguales con los vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0).
b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2 , tal que el coseno del ángulo
entre x y u3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u4 .
3.27 Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si a1 , a2 , . . . , an son números
reales positivos, entonces
µ
(a1 + a2 + · · · + an )
1
1
1
+
+ ··· +
a2 a2
an
¶
≥ n2
3.28 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) al subespacio generado por los vectores v1 =
(1, 1, 1, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0).
3.29 Dados los vectores x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) de IR3 , demostrar que la expresión
hx, yi = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 define un producto interior.
Encontrar una base {u1 , u2 , u3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que
u2 y u3 tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente.
3.30 En una cierta base {u1 , u2 , u3 , u4 } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas (3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de W en otra base {v1 , v2 , v3 , v4 } cuyos vectores
verifican que
v1 = u1 + u2 , v2 = 2u4 − u1 , v3 = u2 − u3 ,
v4 = 2u1 − u2 .
3.31 En IR3 se consideran las bases B = {e1 , e2 , e3 } (la base canónica) y B 0 = {v1 , v2 , v3 }
donde v1 = (2, 0, 0), v2 = (0, −1, 2) y v3 = (0, 0, −3). Hallar las coordenadas respecto de
la base B 0 del vector x = 4e1 + e2 − 5e3 .
3.32 Se consideran en IR3 las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 }, siendo
u1 = (−3, 0, −3), u2 = (−3, 2, −1), u3 = (1, 6, −1) y
v1 = (−6, −6, 0), v2 = (−2, −6, 4), v3 = (−2, −3, 7).
a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 .
b) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5, 8, −5).
c) Calcular [w]B 0 de dos formas diferentes
3.33 Sea V el espacio generado por f1 (x) = sen(x) y f2 (x) = cos(x).
Preliminares.
45
3.9 Ejercicios.
a)
b)
c)
d)
Demostrar que g1 (x) = 2 sen x + cos x y g2 = 3 cos x forman una base para V .
Hallar la matriz de transición de B = {f1 , f2 } a B 0 = {g1 , g2 }.
Calcular la matriz de coordenadas, [h]B 0 , donde h(x) = 2 sen x − 5 cos x.
Calcular la matriz de transición de B 0 a B .
3.34 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un
conjunto ortonormal en IRn .
Preliminares.
46