Relación 3

LICENCIADO EN CIENCIAS Y TÉCNICAS ESTADÍSTICAS
INFERENCIA Y DECISIÓN. Curso 2010-2011
Tercera relación de ejercicios propuestos
Intervalos de confianza
1. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable aleatoria con distribución en una familia paramétrica.
Si la familia {Fµ : µ ∈ R} es de localización, verificar que X − µ, X(1) − µ y X(n) − µ son pivotes.
X X(n) X(1)
,
y
son pivotes.
σ
σ
σ
X−µ
Si la familia {Fµ,σ : µ ∈ R, σ > 0} es de localización y escala, verificar que
es un pivote,
S
2
donde S es el estadı́stico varianza muestral.
Si la familia {Fσ : σ > 0} es de escala, verificar que
2. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable normal N1 [µ; σ 2 ]. Determinar, mediante el método
de la cantidad pivotal, un intervalo de confianza al nivel de confianza 1 − α, 0 < α < 1, para θ en los
siguientes casos:
θ = µ con σ 2 conocido.
θ = µ con σ 2 desconocido.
θ = σ 2 con µ conocido.
θ = σ 2 con µ desconocido.
En cada caso determinar el intervalo de mı́nima longitud.
3. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 , n > 1, una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria con función de
densidad
θ
fθ (x) = 2 I[x≥θ] , θ > 0
x
Calcular un intervalo de confianza, al nivel 1 − α (0 < α < 1), de longitud mı́nima para θ basado en el
método de Neyman usando T (X) = X(1) . ¿Podrı́amos haber usado el método de la cantidad pivotal?
4. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable con función de densidad
fθ (x) = (θ + 1)xθ , x ∈ (0, 1), θ > 0.
Determinar un intervalo de confianza al nivel de confianza 1 − α, 0 < α < 1, para θ.
5. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria con función de densidad
fθ (x) =
γ γ−1
x I[x≤θ] , γ, θ > 0
θγ
donde γ es conocido.
a) Demostrar que T (X, θ) = X(n) /θ es un pivote para θ.
b) Calcular un intervalo de confianza, al nivel 1 − α (0 < α < 1), de longitud mı́nima para θ basado
en el anterior pivote.
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