Funciones de variación acotada

Funciones de variación acotada
Definición (partición de un intervalo). Sean a, b ∈ R, a < b. Una tupla (sucesión
finita) τ = (τ0 , . . . , τn ) se llama partición del intervalo [a, b], si a = τ0 < τ1 < . . . < τn = b.
El conjunto de todas las particiones de [a, b] denotemos por P[a, b].
Definición (variación de una función). Sea f : [a, b] → R. Para toda partición τ ∈
P[a, b], sea
n
X
Sabs (f, τ ) :=
|f (τk ) − f (τk−1 )|.
k=1
La variación total de f en [a, b] se define mediante la siguiente fórmula: :
Varba f := sup Sabs (f, τ ).
τ ∈P[a,b]
Definición (funciones de variación acotada). Una función f : [a, b] → R es de variación acotada en [a, b], si Varba f < +∞. El conjunto de todas las funciones de variación
acotada en [a, b] se denota por BV[a, b].
Notación (parte positiva y negativa de un número real). Para cualquier número
v ∈ R, denotemos por v + y v − su parte positiva y parte negativa:
(
(
v,
v
≥
0;
−v, v ≤ 0;
v + := máx(v, 0) =
v − := mı́n(v, 0) =
0, v < 0.
0,
v > 0.
Notemos que v − ≥ 0, i.e. la parte negativa siempre es un número no negativo.
1. Relaciones entre un número real, su valor absoluto, su parte positiva y
negativa.
v = v+ − v−,
|v| = v + + v − .
Definición (variación positiva y variación negativa). Sea f : [a, b] → R. Dada una
τ = (τ0 , . . . , τn ) ∈ P[a, b], introduzcamos las siguientes notaciones:
S+ (f, τ ) :=
n
X
+
(f (τk ) − f (τk−1 )) ,
n
X
S− (f, τ ) :=
(f (τk ) − f (τk−1 ))− .
k=1
k=1
La variación positiva de f en [a, b] se define por:
PVarba f := sup S+ (f, τ ).
τ ∈P
La variación negativa de f en [a, b] se define por:
NVarba f := sup S− (f, τ ).
τ ∈P
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Variación total como seminorma
2. Demostrar que Varba es una seminorma en BV[a, b], i.e.:
Varba (f + g) ≤ Varba (f ) + Varba (g),
Varba (αf ) = |α| Varba (f ).
3. Demostrar que
kf k := |f (a)| + Varba (f )
es una norma en BV[a, b].
Cálculo de la variación de funciones monótonas a trozos
4. Variación de una función creciente. Sea f : [a, b] → R una función creciente.
Entonces
Varba (f ) = PVarba (f ) = f (b) − f (a),
NVarba (f ) = 0.
5. Variación de una función decreciente. Sea f : [a, b] → R una función decreciente.
Entonces
Varba (f ) = NVarba (f ) = f (a) − f (b),
PVarba (f ) = 0.
6. Sea f : [a, b] → R, c ∈ (a, b). Entonces
Varba (f ) = Varca (f ) + Varbc (f ).
Las fórmulas similares también se cumplen para PVar y NVar.
7. Ejercicio: variación de una función monótona a trozos. Sea f : [0, 5] → R una
función creciente en cada uno de los intervalos [0, 1], [2, 3], [4, 5] y decreciente en cada uno
de los intervalos [1, 2] y [3, 4]. Calcule Var50 (f ), PVar50 (f ) y NVar50 (f ).
Relación entre la variación total, variación positiva y variación
negativa
8. Proposición. Sea f ∈ BV[a, b]. Entonces
Varba f = PVarba f + NVarba f,
f (b) − f (a) = PVarba f − NVarba f.
Demostración. Para toda partición τ de [a, b],
n
X
f (b) − f (a) =
(f (τk ) − f (τk−1 )) = S+ (f, τ ) − S− (f, τ ),
k=1
i.e.
S+ (f, τ ) = S− (f, τ ) + f (b) − f (a).
Pasando al supremo con respecto a τ ∈ P, se obtiene PVarba f = NVarba f . Además,
Sabs (f, τ ) = S+ (f, τ ) + S− (f, τ ) = 2S+ (f, τ ) + f (a) − f (b).
De allı́
Varba f = 2 PVarba f + f (a) − f (b) = PVarba f − NVarba f.
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Funciones de variación acotada y funciones monótonas
9. Teorema (criterio de una función de variación acotada). Sea f : [a, b] → R una
función. Entonces f es de variación acotada ⇐⇒ se puede escribir como diferencia de
dos funciones crecientes en [a, b].
Demostración. 1. Sea f ∈ BV[a, b]. Definamos g y h:
g(x) := PVarxa (f ),
h(x) := NVarxa (f ).
2. Al revés, si f = g − h, donde g y h son crecientes, entonces para toda partición
(τ0 , . . . , τn ) de [a, b] tenemos que
n
X
(f (τk ) − f (τk−1 )) ≤ g(b) − g(a) + h(b) − h(a).
k=1
10. Corolario. Si f ∈ BV[a, b], entonces f 0 existe c.t.p.
11. Ejercicio. Sea f ∈ BV[a, b]. Entonces
Zb
|f 0 (x)| dx ≤ Varba (f ).
a
Discontinuidades de funciones monótonas
12. Ejercicio. Sea f una función monótona en [a, b]. Entonces en todo punto x ∈ (a, b)
existen los lı́mites laterales f (x + 0) y f (x − 0). También existen f (a + 0) y f (b − 0). Por
lo tanto, f sólo puede tener discontinuidades evitables (removibles) y saltos.
13. Ejercicio. Construye una función creciente en [0, 1] que tenga un salto en cada punto
racional de [0, 1].
14. Ejercicio. Sea f una función monótona en [a, b]. Entonces para todo ε > 0 el número
de puntos x tales que |f (x + 0) − f (x − 0)| ≥ ε es finito. Por consecuencia, el conjunto de
saltos de f es finito o numerable.
15. Ejercicio. Generalizar los resultados de los dos ejercicios anteriores al caso de una
función de variación acotada.
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¿Variación acotada o no acotada?
16. Ejemplo. Sea
(
x cos(1/x), x > 0;
f (x) :=
0,
x = 0.
Entonces f ∈ C[0, 1], pero Var10 (f ) = +∞.
Demostración. Para un k ∈ N, consideremos la partición
0<
1
1
1
<
< . . . < < 1.
kπ
(k − 1)π
π
Para la sumatoria correspondiente Sabs (f, τ ) tenemos la siguiente cota inferior:
k−1
k−1
k−1
k−1 j
X
X
X
(−1)j+1
(−1)
1
1
2X1
=
−
+
≥
.
Sabs (f, τ ) ≥
(j + 1)π
jπ
π(j
+
1)
jπ
π
j
j=1
j=1
j=2
j=1
La serie harmónica diverge, por eso Var10 (f ) = +∞.
17. Condición de Lipschitz y variación acotada. Sea f : [a, b] → R. Supongamos
que f satisface en [a, b] la condición de Lipschitz con la constante L:
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L|x1 − x2 |
∀x1 , x2 ∈ [a, b].
Por ejemplo, esto se cumple si f es continua en [a, b], derivable en (a, b), y sup[a,b] |f 0 | ≤ L.
Entonces Varba (f ) ≤ L(b − a).
18. Ejemplos. Para cada una
acotada en [0, 1] o no. Sean
(
x2 cos(1/x),
g(x) :=
0,
(
x cos(1/x2 ),
s(x) :=
0,
de las siguientes funciones determinar si tiene variación
x > 0;
x = 0;
x > 0;
x = 0;
(
x2 cos(1/x2 ),
h(x) :=
0,
(
x3 cos(1/x),
v(x) :=
0,
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x > 0;
x = 0;
x > 0;
x = 0.