Temas de exposición

Fenomenologı́a
Licenciatura en Fı́sica
Sistemas Dinámicos y Fı́sica No Lineal
Temas de Exposición para Alumnos.
La siguiente guı́a se entrega para sugerir posibles temas de exposición asociados con Sistemas Dinámicos; si Ud. elige alguno de ellos, no está obligado
a seguir rigurosamente las pautas acá entregadas. De hecho, Ud. es libre de
organizar su exposición o trabajo del modo que estime conveniente, poniendo
énfasis en los aspectos que le interesen, y eventualmente dejando de lado otras
facetas del problema. También Ud. puede proponer temas distintos a los acá
indicados.
La baterı́a de programas adjuntos (los que aparecen descritos en el “INDICE”
incluido en este directorio), le ayudará a explorar la mayor parte de los temas
acá propuestos, y también otros temas que no hemos incluido en esta guı́a.
(I)
“La Escalera del Diablo” y El Kick Rotator.:
Trabajo para dos estudiantes, o bien con doble ponderación.
Estudie el artı́culo de Per Bak: “The Devil’s Staicase”; Phys. Today, Diciembre 1986, pag. 38. Allı́ se describe el fenómeno de “phase locking”
(“trabadura de fase”), que puede dar lugar a una “escalera del diablo”. Tal
artı́culo entrega numerosos ejemplos fı́sicos, sobre todo del ámbito de la Fı́sica
del Estado Sólido.
Es posible encontrar en la naturaleza bellos ejemplos de trabadura de fase:
sincronismo de los perı́odos de rotación y translación de diversos satélites
y planetas, como la relación 1/1 para los sistemas Luna–Tierra, y otros
satélites respecto a sus planetas “madre” (en especial Júpiter y Saturno);
la relación 2/3 para el sistema Mercurio–Sol, o la aun más exótica razón
1/5 para el perı́odo de rotación de Venus respecto a su perı́odo sinódico
con la tierra. Estas relaciones de perı́odo se deben, en último término, a la
disipación de energı́ rotacional por la “fricción de mareas” (cuyo efecto puede
ser tan dramático, como para generar volcanes que eyectan azufre hirviendo
desde la helada superficie de Io).
También en el ámbito de “sistemas conservativos” existen trabaduras de fase;
tal es el caso de la razón 2/3 entre los perı́odos de Neptuno y Plutón, o la
razón 3/4 correspondiente a Neptuno versus el asteroide 1995DA2 asociado
al cinturón de Kuiper 1 , la relación 4:2:1 entre los perı́odos de los satélites
Ganı́mides, Europa y Io resp. girando en torno a Júpiter, y la posible trabadura 2/5 entre Júpiter y Saturno (en rigor, estas trabaduras corresponden
más bien al perı́odo sinódico versus el perı́odo entre dos pasos consecutivos del
cuerpo “liviano” por su periastro). Sin embargo, las trabaduras en sistemas
conservativos siguen una sistemática algo distinta a la del caso “disipativo”
(p.ej. ellas dependen básicamente de las condiciones iniciales), y preferimos
dejar su estudio para otra exposición de alumnos.
Los fenómenos de “phase locking” son usuales en sistemas biológicos 2 , y
aparecen también en el contexto de reacciones quı́micas 3 , de estructuras
magnéticas en sólidos (en especial hélices, como en el Erbio, ver artı́culo de
Per Bak), etc...
Para hacerse cargo del significado de estas “trabaduras de fase” en sistemas
disipativos, le sugerimos estudiar el llamado “Kick Rotator Disipativo”, que
resulta reminiscente de los fenómenos de trabadura que ocurren en Mecánica
Celeste debido a la “fricción de mareas” (aunque los mecanismos envueltos
en la fricción de mareas son mucho más dificiles de modelar que el “Kick–
Rotator”, de modo que la analogı́a entre ambos sistemas es más bien distante). A continuación describimos el “Kick Rotator” (rotor pulsado):
El “Kick–Rotator” es un disco giratorio con roce sometido a un torque constante. El disco sufre una perturbación externa de frecuencia angular ωext ;
por simplicidad consideramos una señal percusiva aplicada periódicamente
1
Más información sobre este tipo de cuerpos celestes podrá encontrar en la dirección
WEB: http://www.ifa.hawaii.edu/ faculty/jewitt/kb.html
2
Ver p.ej. L. Glass; “Cardiac arrhythmias and circle maps”; Chaos 1, pag. 13; 1991
3
Ver M. Eiswirth, P. Möller and G. Ertl; “Periodic Forcing of the oscillatory C O
oxidation on P t single crystal surfaces
en cada unidad de tiempo (i.e. ωext = 2π ). Para ser más precisos, al llamar
φ(t) a la variable angular del Kick Rotator, la ecuación de movimiento de
sistema es
X
∂ 2 φ(t)
∂φ(t)
= −Γ
− Ω + A sin[φ(t)]
δ(t − `)
2
∂t
∂t
`
"
#
Acá A es la amplitud de la señal externa, Γ es el roce, ΓΩ es el
torque, y Ω es la velocidad lı́mite que alcanzarı́a el disco (una vez superado el transiente) en caso de no haber perturbación externa. El programa
KICK ROT.BAS estudia esta ecuación de movimiento; en dicho programa
se ha introducido la definición auxiliar K = A[1 − exp(−Γ)] / Γ .
Sea ωmedia = limt → ∞ [π(t) − φ0 ] / t la frecuencia angular media que adopta
el disco al modificarse la frecuencia original Ω por efectos de la perturbación. En la literatura ωmedia aparece usualmente normalizada por la
frecuencia externa ωext = 2π , esto es, ωmedia / 2π ≡ W̄ ; esta magnitud
se conoce como “Winding Number”. El fenómeno de “trabadura de fase”
se manifiesta en que la frecuencia angular media del sistema tiende a hacerse conmensurable con la frecuencia de la perturbación externa, teniéndose
W̄ = ωmedia / ωext = p/q , donde p/q es un número racional y p, q primos relativos.
Más concretamente, para ωext y el racional p/q fijos, se cumple W̄ = p/q
dentro de un intervalo finito de la frecuencia angular Ω del sistema aislado,
Ω1 (p/q) < Ω < Ω2 (p/q) . Justamente es la existencia de estos intervalos
finitos “de trabadura” lo que hace observable el fenómeno en la naturaleza.
El grafico W̄ versus Ω (“winding number” versus frecuencia propia) se
conoce como “Escalera del Diablo”, dado que posee infinitos escalones, cada
escalón asociado a un racional p/q . Como hay infinitos racionales entre dos
racionales dados, para pasar de un peldaño a otro necesitamos cruzar infinitos
peldaños, lo que pone de manifiesto el carácter fractal de esta estructura. Ud.
deberá constatar lo anterior mediante sucesivas amplificaciones, identificando
cada escalón con el correspondiente racional.
Note que el tamaño de estos escalones coincide con un ordenamiento
jerárquico de los racionales, el que se obtiene partiendo de una “jerarquı́a
cero”, constituida por { 0/1, 1/1 } , generándose las restantes jerarquı́as
tomando los “mediantes” entre racionales sucesivos; esto es, si p1 / q1 y
p2 / q2 son racionales sucesivos al llegar a cierta jerarquı́a, entonces la sigu-
iente jerarquı́a contiene el racional:
Mediante { p1 /q1 , p2 / q2 } = (p1 + p2 ) / (q1 + q2 ) .
Si p1 /q1 < p2 /q2 , entonces p1 /q1 < (p1 + p2 ) / (q1 + q2 ) < p2 / q2 .
P.ej, la primera jerarquı́a corresponde al racional 1/2 ; luego vienen
1/3, 2/3 ; después 1/4, 2/5, 3/5, 3/4 ; etc... En otros sistemas, p.ej.
hélices magnéticas, pueden privilegiarse racionales con denominador par o
impar, según la simetrı́a del campo externo que actúa sobre los spines.
Otro ejemplo de trabadura de fase: Desde un punto de vista histórico,
un sistema famoso en relación a “trabaduras de fase” corresponde al circuito
eléctrico analizado por Van der Pol y Van der Mark hacia 1927; ellos trabajaron con un tubo de descarga (Neón) en serie con una fuente externa A.C.
E0 cos(ωt) , estando ambos unidos en paralelo con un condensador variable; este último conectado a una fuente D.C.; además, el circuito contenı́a
una resistencia; eventualmente se puede insertar también una inductancia.
En ausencia de la fuente A.C. el circuito tiene un perı́odo “natural” caracterı́stico T0 que crece con la capacidad del condensador; al aplicar la fuente
A.C. se produce una competencia entre el perı́odo externo Text = 2π / ω
y el asociado al condensador, llegándose a un perı́odo efectivo T que es
múltiplo entero de Text (resonancia sub–armónica).
En términos cualitativos el sistema está descrito por la “Ecuación de Van der
Pol”,
∂X
∂2 X
2
+
γ
X
−
1
+ X = F cos(ω t)
∂t2
∂t
donde X(t) es proporcional a la corriente a través del Neón. El lado
derecho de esta ecuación corresponde a la fuente externa A.C. Muestre
numéricamente la existencia de las trabaduras de fase vistas por Van der
Pol; le recomendamos trabajar con los siguientes parámetros: ω = 1 ,
γ = 10, 6.4, 5.55, 5.12, 5 y F = 0.475γ . Use condiciones iniciales
[X0 , Ẋ0 ] = [0, 0] . Una vez eliminado el transiente, analice el “winding number” W̄ para cada uno de estos parámetros, y otros en cierta vecindad de
los recién enumerados; esboce un gráfico W̄ versus 1 / γ , identificándolo
con una “escalera del diablo”. ¿ Le interesarı́a repetir el experimento de Van
der Pol en el laboratorio ?.
(II) Sistemas Hamiltonianos: Resonancias y Trabaduras de Fase;
Curvas Invariantes y “Franjas Estocásticas” sobre un Corte de
Poincaré; Conductas Caóticas.:
(Trabajo que puede tener doble ponderación, en caso de una exposición suficientemente completa).
Los sistemas Hamiltonianos tienen leyes de evolución algo peculiares:
(a) Ellos preservan el volumen en el espacio de fase (teorema de Liouville).
Esto contrasta con los sistemas “disipativos”, que contraen el volumen en el
espacio de fase, de modo que en general existe una etapa transiente en la
órbita de un sistema disipativo, correspondiente a la región del espacio de
fase que “va quedando atrás” en el proceso contractivo. (b) En contraste
con lo recientemente indicado, el sistema Hamiltoniano no tiene una etapa
transiente en su órbita, y si ésta es acotada, regresa tan cerca como se quiera
de las condiciones iniciales. En este sentido, no podemos hablar de “atractor”, sino que de “órbita”. Acá sólo habrá una “trabadura de fase” si se elige
la condición inicial en una región adecuada del espacio de fase (digamos, si
se parte desde “una isla” del corte de Poincaré). En contraste, un sistema
disipativo (como el Kick–Rotator) ajustará su movimiento en la etapa transiente, para caer en una trabadura de fase donde la relación de perı́odos está
principalmente determinada por los parámetros del sistema, y la condición
inicial sólo es relevante cuando coexisten dos atractores.
(c) La dinámica Hamiltoniana es “invertible”; i.e. se trata de una aplicación
1–1; dada una órbita en el espacio real, podemos darnos condiciones iniciales
de modo que esta órbita se recorra “con el tiempo invertido” (claro que esto
lleva a una órbita distinta en el contexto del espacio de fase).
Considere sistemas Hamiltonianos, como el “billar circular inclinado” (programa BILL I A.BAS), el problema de dos astros “pesados” y uno “liviano” (programa 3 KORP A.BAS) o el “Kick Rotator” sin torque ni roce
(programa STANDMAP.BAS). Mientras los dos primeros ejemplos son
sistemas cerrados (por tanto conservan la energı́a), el último sistema no conserva la energı́a; pero todos estos sistemas tienen una descripción Hamiltoniana, y “son conservativos” en el sentido que preservan el volumen del espacio
de fase.
Prepare una presentación donde muestre el efecto de ir, paulatinamente,
rompiendo una constante de movimiento del sistema; p.ej. el momento an-
gular L respecto al eje perpendicular al plano en cualquiera de estos tres
sistemas.
Considere el caso del billar o del Kick–Rotator, donde es fácil efectuar un
corte de las órbitas con el plano de Poincaré [θn , Ln ] ; aumente progresivamente la perturbación que rompe la simetrı́a cilı́ndrica (inclinación del
billar, o fuerza de los kicks) de modo que L se va perdiendo como Cte.
de movimiento; ilustre mediante una secuencia de parámetros del programa
como la recta L = Cte. se transforma primero en una “curva invariante”
sobre el plano de Poincaré [θn , Ln ] , para luego dar lugar a una franja estocástica. Haga ver que estas franjas estocásticas surgen de las separatrices
entre las zonas de “libración” 4 y “circulación” 5 Muestre, usando dos réplicas
cercanas, que las órbitas en las franjas estocásticas son caóticas. Trabajando
con órbitas en el espacio real explique el significado de las zonas de “libración”
y “circulación” del corte de Poincaré. Muestre que, al aumentar la perturbación, las zonas de circulación dan lugar a “islas” rodeadas por un “mar
estocástico”; en tal caso se torna evidente una estructura jerárquica infinita,
donde islas mayores tienen a su alrededor islas de menor tamaño; muestre
esto con sucesivas amplificaciones del corte de Poincaré (acá use el programa
STANDMAP.BAS, que tiene las facilidades para estas amplificaciones).
Muestre, en el espacio real, el significado de estas islas e islas satélites.
Ilustración con ejemplos de Mecánica Celeste.
Despliegue también cortes de Poincaré (programa POINC GF.BAS) asociados al problema de tres cuerpos celestes (se usa allı́ el plano [θn , Rn ] ,
donde Rn es la distancia del planeta liviano al sol al pasar por su perihelio
(o afelio) y θn es la separación angular que tiene en ese momento con el
“planeta pesado” (Júpiter o Neptuno). Ilustre el significado de las “islas”
en este problema de 3 cuerpos usando el programa 3 KORP A.BAS, y
como ellas representan “resonancias protectoras”, que evitan que el pequeño
planeta sea expulsado del sistema solar, o enviado a su interior, donde su
fin más probable es un choque con el sol 6 . Ilustre sus resultados con información observacional sobre el sistema solar (como la trabadura de fase 2/3
entre los perı́odos de Neptuno y Plutón, o la razón 3/4 correspondiente
a Neptuno versus el asteroide 1995DA2 asociado al cinturón de Kuiper, y
4
Curvas cerradas en torno a un “punto elı́ptico”.
Curvas abiertas, que cubren todo el rango de la variable angular θ.
6
P. Farinella et al.; “Asteroids falling into the Sun”; Nature, Vol. 371, pag. 314, año
1994
5
de carácter trans–plutóniano); para más información vea el planteamiento
de la propuesta (I). También ilustre estas “trabaduras de fase” usando el
ejemplo de los asteroides troyanos (que forman un triángulo equilátero con
Júpiter y el Sol), o de los trios Saturno–Dione–1980S6 y Saturno–Tethys–
{Telesto,Calipso}, también formando triángulos equiláteros. ¿ Hasta que
valor de la razón de masas de los astros pesados persisten trabadas (y por
tanto son estables) las órbitas tipo “Troyanos” ?. Haga el mismo análisis con
astros co–orbitales (i.e. situados inicialmente en posiciones diametralmente
opuestas, y casi equidistantes, respecto al astro mayor); tal es el caso real de
los satélites de Saturno Janus–Epimetheus, o la leyenda de “Clarión”.
Por último, ilustre como una resonancia afecta la excentricidad de una órbita;
p.ej. parta de una órbita circular en el cinturón de asteroides, en la resonancia 2/1 respecto a Júpiter (use 3 KORP A.BAS). Explique como esta perturbación pudo haber sido fatal en la época de formación del sistema solar,
impidiendo que surgiera un planeta de tamaño moderado en lo que hoy es el
“cinturón de asteroides”; explique también las brechas de Kirkwood de dicho
cinturón. ¿ En que sentido es favorable que dos planetas tengan
una relación
q
de perı́odos aproximadamente igual a la “golden mean” ( 5/4 − 1/2) ?; (incidentalmente, la Tierra y Venus tienen una razón de perı́odos cercana a este
valor).
Hay otros programas que permiten ilustrar conductas caóticas u ordenadas
en sistemas Hamiltonianos: ANHARMON.BAS, ANHARM C.BAS,
PEND MAG.BAS. Ellos describen partı́culas en potenciales anarmónicos
bidimensionales; mientras el primero lleva a órbitas ordenadas, los dos
últimos producen órbitas caóticas, permitiendo el seguimiento de dos réplicas
al mismo tiempo. En especial, PEND MAG.BAS reproduce aproximadamente el experimento del péndulo caótico hecho en clases; en tal sistema
también hay órbitas ordenadas (p.ej una órbita relativamente externa a los
3 imanes, o el caso donde el péndulo está fuertemente capturado por uno de
los imanes).
(III)
Caos Temprano.:
Ver artı́culo de M. Kiwi, M. Markus y J. Rössler, “Periodically and Randomly Modulated Non–Linear Process”; en Instabilities and Non–equilibrium
Structures II, pags. 67–74 (año 1989).
(IV)
Ventanas de Orden: Intermitencia y Crisis.:
(Trabajo eventualmente para dos alumnos, o bien para un alumno y ponderación doble).
Muchos sistemas fı́sicos experimentan una transición de una conducta ordenada a una caótica a través de “intermitencias”; esto es, el sistema tiene una
conducta aparentemente regular gran parte del tiempo, la cual es interrumpida por esporádicos episodios caóticos. Tal situación se da, por ejemplo, en
relación a fenómenos de convexión en fluidos, siendo ésta una posible ruta
hacia la conducta turbulenta. (Y. Pomeau and P. Manneville; Comm. Math.
Phys. 74, pag. 189, año 1980). ¿ Conoce Ud. alguna conducta de este tipo
en otros sistemas, p.ej. algún circuito eléctrico ?.
Dadas las dificultades que involucra analizar matemáticamente el fenómeno
de convexión en fluidos, le recomendamos centrar su análisis de la ruta
al caos vı́a intermitencia en mapas unidimensionales (cuya conducta es
análoga al fenómeno de convexión discutido por Y. Pomeau y P. Manneville).
Para tal efecto considere el recurrido mapa log’ıstico, perteneciente a la universalidad MSS. Estudie el escenario para la transición del orden al caos
cuando, partiendo del interior de la ventana de perı́odo 3, nos movemos hacia la izquierda bajando el parámetro de control, hasta penetrar a la región
caótica. De hecho esa ruta al caos es del tipo “intermitencia”. Para su estudio use los programas MAY.BAS, FEIGEN 1.BAS, ITERA A.BAS
u otros que Ud. encuentre conveniente. Explique lo que es la “bifurcación
tangente”, y analice la “vida media” τ en torno a cada cuasi–solución de
la ecuación f [3] (U
√ ) = U , esto para el parámetro de control A algo menor
que AT = 1 + 8 (lı́mite izquierdo de la 3–ventana, caso mapa logı́stico,
conocido en general
√ como punto de “bifurcación tangente”). Ud. concluirá
que τ ∼ Cte. / AT − A cuando A → AT por la izquierda.
Haga ver que si A > AT se tiene, junto al 3–ciclo inicialmente estable, un
segundo 3–ciclo que es siempre inestable. Comente que rol tiene este ciclo
inestable en la llamada “crisis”, donde las 3 bandas caóticas se funden de
un modo discontinuo, cerrándose ası́ la ventana de orden de perı́odo 3. El
estudio de otras ventanas es básicamente equivalente al caso de perı́odo 3,
de modo que Ud. puede extrapolar sus conclusiones a dichos casos. Use su
análisis para explicar porqué un atractor caótico contiene en su interior una
infinitud de ciclos periódicos inestables.
Es útil trabajar alternando los colores con un ciclo de perı́odo 3, de modo de
entender mejor el efecto de la “crisis” y la bifurcación tangente en la dinámica
del sistema.
Le recomendamos leer los artı́culos:
(i) “Theory of Intermitence”, de J.E. Hirsch, B. Huberman y D. Scalapino;
Phys. Rev. A, Vol. 25, # 1, pag. 519 (año 1982)
(ii) “Caotic Attractors in Crisis”, de C. Grebogi, E. Ott y J. Yorke; Phys.
Rev. Letts, Vol. 48, # 22, pag. 1507 (año 1982).
(V)
Universalidad en Mapas Unidimensionales: ¿ Cuando ellas
se pierden ?.:
El pionero estudio de E. Lorenz 7 sobre conductas caóticas en convexión,
mostró que un mapa unidimensional con máximo “en punta” (no derivable)
puede tener interés fı́sico. Para analizar que ruta une continuamente la conductas de estos mapas con los “más tradicionales” de máximo derivable, le
proponemos el siguiente trabajo:
Estudie un mapa unimodal en el intervalo [0, 1] , con máximo terminado
“en punta”. Use
f (X) = AX(1 + − X) / (1 + 2) si X < 1/2
f (X) = A(1 − X)( + X) / (1 + 2) si X > 1/2 .
Notar que f (0) = 0 = f (1) , y que existe un único máximo en [0, 1] ,
ubicado en X = 1 / 2 (se supone ≥ 0). Como f (1/2) = A / 4 , el
rango de A es el intervalo [0, 4] . Para = 0 recuperamos el mapa
logı́stico, que cumple con condiciones MSS (máximo derivable,...).
Analice el efecto de ir violando progresivamente condiciones MSS al ir aumentando continuamente . ¿ Qué pasa con la cascada de infinitas bifurcaciones
de perı́odo del caso MSS ?; ¿ y con las ventanas de orden dentro del caos ?.
¿ Cuáles ciclos estables de la lista MSS persisten observables para algún
valor tı́pico de ?; ¿ mantienen estos ciclos el orden original ?. ¿ Se respeta
aproximadamente el valor de la constante de Feigenbaum δ = 4.6692... para
valores pequeõs de ?. Compare sus resultados con los obtenidos en mapas
de máximo cuadrático o cuártico.
7
Journal of Atmospheric Science, Vol 20, Num. 2, pag. 130
(VI)
Un Mapa Caótico que Cumple Bernoulli.:
Una de las formas de caracterizar la naturaleza caótica de un sistema determinista consiste en darse una secuencia completamente al azar del tipo
DDIDIIIDIIDD... (secuencia de Bernoulli). Efectuamos una apropiada partición de la región del espacio ocupado por la órbita del sistema, llamando
a una sub–región “D” (“derecha”), y a su complemento “I” (“izquierda”).
Si es posible darse una condición inicial que se mueva siguiendo la secuencia
de Bernoulli elegida decimos que el sistema es caótico (esta no es la única
definición de Caos; otra definición corresponde a exponente de Lyapunov
positivo).
De acuerdo a lo antes especificado, un sistema que cumple Bernoulli contiene
todos los perı́odos posibles (1,2,3,4,...), y los puede recorrer en cualquier
orden; por cierto que ninguno de estos ciclos periódicos es estable. A continuación le proponemos un ejemplo muy simple que cumple Bernoulli, y que
tiene la rara propiedad de poderse describir analı́ticamente:
Trabajando en el eje real, use el formalismo de Newton–Raphson para intentar resolver la ecuación:
f (X) = 1 + X 2 = 0
Al no existir solución real, dicho formalismo da lugar a una iteración de
naturaleza caótica. Interprete geométricamente esta iteración visualizando
el método de Newton–Raphson como la “aproximación de la tangente” al
gráfico de f (X) . Encuentre el mapa discreto H(Xn ) = Xn+1 que describe
tal iteración. Use la transformación
Xn = Cotan(πθn ) y concluya θn = 2n θ0 .
Llame “I” al caso Xn < 0 y “D” al caso Xn > 0 ; pruebe que este sistema es capaz de seguir una secuencia arbitraria de Bernoulli al elegir una
condición inicial apropiada X0 . Además pruebe que el exponente de Lyapunov es Λ = loge (2) > 0 , lo que indica que el sistema también es caótico
según la definición dada en clases. Haga ver que, para n ≥ N , la órbita
{Xn } está determinada por los dı́gitos N –esimo y superiores de la condición
inicial θ0 , al expresar ésta en representación binaria. Esta afirmación resulta “demoledora” en cuanto a reafirmar la impredictibilidad “práctica” de
ciertos sistemas deterministas.
(VII)
Cuencas de Atracción de Apariencia Fractal.:
Hay muchos sistemas fı́sicos donde coexisten varios atractores. Esto es, para
el lı́mite en que el tiempo va a infinito el sistema puede alcanzar distintas
órbitas (sean éstas periódicas, cuasi–periódicas, o caóticas), siendo las condiciones iniciales determinantes de la órbita asintótica alcanzada. Llamamos
“cuenca de atracción” de un atractor Aj al conjunto Cj de condiciones
iniciales que convergen a Aj al transcurrir el tiempo.
A veces (p.ej. para péndulos perturbados) estas distintas cuencas de
atracción están muy intermezcladas, teniéndose que condiciones iniciales muy
cercanas entre sı́ pueden llevar a muy distintas conductas a largo plazo. Para
algunos sistemas especı́ficos puede haber tal grado de mezcla que, al tomar
una vecindad arbitraria de un punto de una de estas cuencas, tal vecindad siempre contendrá puntos de otras cuencas (lo que recuerda la situación
del conjunto de los racionales respecto a los reales); estos son los llamados
“riddles” de la literatura. Lo anterior es válido aunque los atractores a los
cuales se converge sean no caóticos. Esto es otra fuente de “indeterminismo
práctico” en un sistema gobernado por leyes deterministas, pues resulta imposible elegir las condiciones iniciales con suficiente precisión de modo de
predecir la evolución a largo plazo.
Dado que el estudio de cuencas de atracción en sistemas de ecuaciones diferenciales es un trabajo muy exigente en tiempo de CPU, se propone estudiar
el caso más simple de un mapa discreto. Para ello considere una ecuación
algebraica en una o dos variables, con varios juegos de soluciones, digamos:
~ j }j=1,2,...K .
F~ (~r) = 0 con soluciones { U
La idea es resolver tal sistema mediante una iteración Newton–Raphson a
partir de cierta “semilla” ~r0 . Un modelo del procedimiento a emplear
lo puede encontrar en los programas CANTOR.BAS y RAIZ 3 C.BAS.
Ud deberá barrer un intervalo del eje real, o un rectángulo del plano con la
semilla ~r0 , e iterar cada ~r0 mediante el algoritmo de Newton–Raphson,
~ rn ) , hasta llegar a una solución Uj . Acá
~rn+1 = H(~
~ r) = ~r − [Fα ,β ]−1 F~ (~r)
H(~
donde [Fα ,β ]−1 es la matriz inversa de Fα, β ≡ ∂Fα / ∂Xβ .
Como es bien sabido, este algoritmo es muy eficiente para buscar soluciones
~ ;
de ecuaciones algebraicas si ~r0 se elige “cerca” de la solución, deseada U
~ es de carácter “superestable”
de hecho, la convergencia al “punto fijo” U
~ U
~) = U
~ y ∂Hα / ∂Xβ = 0 al evaluar esta
(recordar que se cumple H(
~ ).
última expresión en ~r = U
Asignando previamente un color especı́fico a cada solución, todos los puntos
~r0 que convergen a ella reciben ese color, de modo de representar las “cuencas
de atracción” de las distintas soluciones con una clave de color. También
puede darse que algunos puntos ~r0 den lugar a ciclos u órbitas caóticas, en
~ j ; para tal efecto debe
vez de converger a los “puntos fijos super–estables” U
esperar un número máximo de iteraciones para la convergencia, al cabo de
las cuales se interrumpe el proceso, y se sigue con otro ~r0 . Busque algún
sistema de ecuaciones algebraicas y resuelvalo por este método (en particular,
puede trabajar el caso de una ecuación en variable compleja).
Conviene aclarar que, en este tipo de iteraciones, las cuencas de atracción no
son fractales, pero pueden estar muy intermezcladas. Sin embargo las fronteras entre dos cuencas de atracción pueden ser fractales, de modo que para
pasar de una a otra cuenca se debe cruzar por infinitas fronteras inter–
cuencas (vea p.ej. los programas CANTOR.BAS y RAIZ 3 C.BAS). A
veces estos diagramas tienen cierta calidad estética.
Sugerencia– Considere la ecuación unidimensional:
sin(X) = AX o su versión compleja sin(X + iY ) = A · (X + iY ) ,
donde A es un parámetro.
(VIII)
Control de Caos.:
Le recomendamos leer el artı́culo “Mastering Chaos”, de W. Ditto y L. Pecora, aparecido en Scientific American, Pag. 62 de Agosto 1993. En relación
a su trabajo personal, le sugerimos que intente controlar el caos en el mapa
logı́stico usando una débil señal que “sintoniza resonantemente” una ventana
de orden cercana (se darán más detalles al alumno interesado).
(IX)
Efecto del Ruido en Sistemas Dinámicos.:
Es muy impresionante la riquı́sima estructura del diagrama de bifurcaciones
obtenido con un mapa unidimensional tipo MSS; dicho mapa no sólo es relevante en el estudio de poblaciones, sino que también puede describir sistemas
más complejos, como se puede establecer al efectuar un corte de Poincaré;
tal es el caso de la reacción de Belousov–Zhabotinskii (ver corte de Poincaré
del atractor en el espacio de retardo, asociado a la concentración de Br(−) ;
artı́culo de J. Roux, R. Simoyi y H. Swinney; Physica 8d, 257, año 1983,
entregado en clases).
Por cierto que ningún sistema está perfectamente aislado, lo que de algún
modo deberı́a introducir “ruido” en las ecuaciones que –idealmente– describen su dinámica. Concentremosnos en el caso de mapas unidimensionales.
Por ejemplo, en la modelación ecológica hecha a través del mapa logı́stico,
la tasa de crecimiento puede afectarse por factores externos, como el clima
o la interacción con otras especies. La pregunta que cabe hacerse es: ¿ cuan
dramático es el efecto de este “ruido” en la estructura del “diagrama de bifurcaciones” ?; ¿ hasta que ciclo 2n es posible observar en presencia de
ruido ?; ¿ qué pasa con las ventanas de orden ?,... Para responder lo anterior, le sugerimos estiudiar el mapa logı́stico introduciendo ruido; para ello
considere la iteración
Xn+1 = (A + ∆ηn ) Xn (1 − Xn )
acá ηn es un número al azar distribuido uniformemente en [−1, 1] que
representa el ruido, y ∆ mide la amplitud promedio de este ruido. Constate
que, si con cierta amplitud de ruido ∆ Ud. logra ver hasta la bifurcación
2n−1 → 2n , entonces se necesita reducir ∆ en un factor aproximado de
6.6 para ver la bifurcación 2n → 2n+1 . Esto exige un trabajo muy “limpio”
p.ej. para verificar experimentalmente el valor de las Ctes. de Feigenbaum.
Estime el nivel de ruido en el cual se cierra una ventana de orden. También
haga ver que el umbral del caos se adelanta en la presencia de ruido; este
fenómeno tiene una explicación simple: el ruido puede llevar al sistema a una
de las órbitas inestables (existentes en la región de orden al desestabilizarse
los 2n –ciclos en las bifurcaciones), lo que genera inestabilidades de tipo
caótico en la órbita, de modo análogo a lo que ocurre en el “caos temprano”
(ver tema (III)).
Recomendamos leer artı́culo de J.Crutchfield, M. Nauenberg y J. Rudnick;
“Scaling for External Noise at the Onset of Chaos”; Phys. Rev. Letts. 46,
933, (1981), en relación a este problema.
(X)
Resonancias Subarmónicas en Osciladores No–Lineales.:
Una de las peculiaridades de un oscilador anarmónico corresponde al hecho
que, al ser perturbado por fuerza externa de perı́odo Text , él puede adquirir
una órbita de perı́odo 2 Text , 3 Text ,... etc. Estas son las llamadas “resonancias sub–armónicas”; ellas suelen ocurrir para ωext ≈ 2ω0 , 3ω0 , ... , aunque
la última condición no es necesaria 8 ; acá ω0 es la frecuencia propia del
oscilador no perturbado moviéndose con baja amplitud (lı́mite armónico).
Para ser más precisos, el oscilador anarmónico perturbado está descrito por
la ecuación:
"
∂2
∂
+ 2γ
+ ω0
2
∂t
∂t
#
X(t) = − α [X(t)]2 − β [X(t)]3 + F cos(ωext t)
con Text = 2π/ωext .
Ud. podrá analizar estas resonancias subarmónicas usando los programas
ANHAR FS.BAS y ANHARM 2.BAS para trabajar casos especı́ficos. Existe un estudio bastante interesante en tal sentido de Y. Ueda (“Randomly
Transitional Phenomena in Systems Governed by Duffing’s Equation”; J.
Stat. Phys. Vol. 20, pags. 181–196, año 1979). El trabajó con los parámetros
ω0 = 0, ωext = 1, α = 0, β = 1, γ = 0.04, F = 0.2 . , obteniendo al menos 5
atractores. Para obtenerlos use las condiciones iniciales:
[X0 , V0 ] = [1.2, 0] (oscilación de gran amplitud, perı́odo T = Text ),
[X0 , V0 ] = [0.3, 0] (oscilación de muy baja amplitud, perı́odo T = Text ),
[X0 , V0 ] = [0.64, 0] y [X0 , V0 ] = [−0.29, −0.17] (oscilaciones con quiebre
de simetrı́a, uno de estos atractores es la inversión a través del origen del otro;
ambos con perı́odo T = 2Text , i.e. se trata de resonancia sub–armónica);
por último, [X0 , V0 ] = [0, 0] (oscilación subarmónica, perı́odo T = 3Text ).
También Ueda da cuenta de conductas caóticas, p.ej. para F = 12 ,
restantes parámetros sin modificar, y [X0 , V0 ] = [4, 0] (las condiciones iniciales [X0 , V0 ] = [0, 0] llevan a orden en este caso).
Si Ud. quiere tomar este punto como tema de trabajo aislado, investigue
además la existencia de resonancias sub–armónicas de un modo más sistemático. P.ej. el caso ωext = 1, α = −2, β = 1, γ = 0.03 ↔ 0.1,
F = 0.2 y ω0 variable. Use distintas condiciones iniciales (p.ej.
[X0 , V0 ] = [0, 0], [1, 0] ) y varı́e ω0 en el rango 0.2–3.5, centrándose en
las vecindades de los casos potencialmente resonantes: ω0 ∼ p/q ωext , con
8
De hecho, Ueda mostró ejemplos de resonancias subarmónicas con ω0 = 0 ; ver luego.
p/q = 1/3, 1/2, 2/3, 1, 2, ... ¿ Observa resonancias sub–armónicas ? (donde
el oscilador adquiere un perı́odo qText ). ¿ Se tiene algo similar a la “escalera del diablo” ?, donde el “winding number” del oscilador asume valores
racionales (en unidades de la frecuencia angular ω de Fext ). Verifique que
existen “intervalos de trabadura” de ancho finito Ω1 < ω0 < Ω2 .
El programa ANHAR WA.BAS operado junto al archivo de datos ANHAR W también le puede ser útil.
Por otro lado, la ecuación de Van der Pol, asociada a un oscilador con un
“roce” de tipo no lineal, también tiene resonancias sub–armónicas. Si desea
trabajar tal sistema, vea la parte final del tema (I).
(XI)
Efecto del Ruido en la Dinámica de Oscilador Anarmónico.:
Tema con doble ponderación, o bien para dos alumnos; conviene revisar el
tema (X) como base.
Considere el mismo problema del “ruido externo ” plantado en tema (IX),
pero ahora en el contexto de un oscilador anarmónico perturbado, descrito
por la ecuación:
"
∂2
∂
+ 2γ
+ ω0
2
∂t
∂t
#
X(t) = − α [X(t)]2 − β [X(t)]3 + F cos(ω t) + ∆ηt
donde ∆ηt es el ruido externo, y ηt es un número al azar distribuido
uniformemente en [0, 1] . Ud. dispone de los programas ANHAR FS.BAS
y ANHARM 2.BAS para estudiar el caso ∆ = 0 , y sólo basta una ligera
modificación en la sub–rutina “FUERZA” para incorporar el ruido externo.
Esta propuesta de investigación es muy interesante; de hecho, si ajustamos
los parámetros del oscilador a un caso donde coexisten dos o más atractores,
uno de ellos asociado a una oscilación de gran amplitud, y los restantes a
menores amplitudes, existen varias conductas posibles del sistema: (i) El
ruido “funde” estos distintos atractores en uno sólo, donde se tiene una conducta caótica asociada a un rápido intercambio entre los viejos atractores
del caso sin ruido. Esta conducta se espera cuando las cuencas de atracción
están muy intermezcladas; es plausible esperar que la frontera entre dos cuencas sea una órbita inestable. (ii) Siendo válido el punto anterior, la órbita
se “expande” notablemente, al pasar una parte importante del tiempo en la
región del espacio de fase donde antes se tenı́an oscilaciones de gran amplitud.
(iii) A la inversa, el ruido desestabiliza las oscilaciones de gran amplitud, de
modo que podrı́a ser un artificio útil para evitar la fatiga de materiales altamente exigidos, como las alas de un avión o algunas piezas de una turbina
de alta revolución. Por cierto que para un uso tecnológico se necesitarı́a un
“ruido” inteligente, que sólo se aplica cuando el sistema entra en una resonancia indeseable. Para poner a prueba la eficacia de este método, lleve al
sistema a una oscilación de gran amplitud, y allı́ aplique el “ruido”. Controle
el ruido usando la misma opción del programa “ANHAR FS.BAS” donde se
borra el transiente. Es posible que Ud. descubra otras conductas de interés.
Le recomendamos usar los parámetros discutidos por Y. Ueda (ver tema
(X)).
(XII)
Mapas Discretos Bidimensionales.:
Analizar mapas discretos bidimensionales, como el sistema presa–predador
del programa POBL XY.BAS, o bien el mapa de ATRAC 1.BAS, o
algún otro mapa bidimensional, p.ej.
Xn+1 = ASin [π(Xn + CYn )]
Yn+1 = BSin [π(Yn + DXn )]
Encuentre regı́menes ordenados (conducta cı́clica), cuasi–periódicos y
caóticos en su mapa, esto al variar los parámetros del mapa, y eventualmente
las condiciones iniciales. Trate de hacer un análisis más o menos sistemático
(aunque no exhaustivo, dado el gran número de parámetros), indicando las
“rutas” al caos, y el escenario en el cual surgen atractores cuasi–periódicos.
¿ Tiene “bifurcaciones de Hopf” su sistema ?; ¿ coexisten múltiples cuencas
de atracción ?. ¿ Obtiene atractores con cierto valor estético ?.