PROPORCIONALIDAD Situaciones como las siguientes nos puede

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología
Matemática –1º Cuatrimestre Año 2013
Prof. María Elena Ruiz
PROPORCIONALIDAD
Situaciones como las siguientes nos puede remitir a pensar en relaciones de proporcionalidad
directa:
- En la librería todos los artículos están rebajados un 20%.
- Cada 2 kg de fruta se obtiene 1,5 kg de mermelada.
- El tren marcha a 100km/h.
- El plano de la casa está hecho a una escala de 1:250.
- La presión del agua bajo la superficie del mar es directamente proporcional a la
profundidad.
- Calcular cuántos paquetes de figuritas (todos iguales) es necesario comprar para tener 60
figuritas.
DEFINICIÓN
Una relación de proporcionalidad directa entre dos variables, es aquella en la que el cociente
entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina constante de
proporcionalidad.
PROPIEDADES
1- En una situación de proporcionalidad directa, si un elemento a de la primera magnitud
está multiplicado por un número n, su correspondiente en la segunda magnitud es
igual a n multiplicado por a’, como lo muestra el siguiente esquema:
a
×𝑛
×𝑛
a´𝑛 × 𝑎´
𝑛×𝑎
a directa, a la suma de los elementos de una de las
2- En una situación de proporcionalidad
variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos
considerados. El siguiente esquema permite ejemplificar esta propiedad:
a
+
𝑏
𝑎+𝑏
a´
+
𝑏´
𝑎´ + 𝑏´
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son directamente proporcionales, sus valores correspondientes se
relacionan de manera que el cociente (razón) entre ambos es constante. Este cociente se
denomina constante de proporcionalidad (factor de ampliación o factor de reducción).
𝑦
Si dos valores, x e y, corresponden a magnitudes directamente proporcionales, es 𝑥 = 𝑘,
(𝑘 ∈ 𝑅, 𝑘 ≠0).
Razones y proporciones
𝑎
La razón entre los números a y b, con b ≠ 0, es el cociente entre a y b, y se expresa 𝑏 , en el
cual a se denomina antecedente y b consecuente.
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Una proporción está formada por dos razones iguales:
𝑎 𝑐
= ; 𝑏 ≠ 0y𝑑 ≠ 0
Se lee: 𝑎 es a 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑.
𝑏 𝑑
Los números a y d reciben el nombre de extremos, mientras que c y b son los medios de la
proporción.
Propiedades de las proporciones
 El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En símbolos:
 Si
, al intercambiar los extremos de una proporción se obtiene otra proporción.
 Si
, al intercambiar los medios de una proporción se obtiene otra proporción
 La suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente
como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su
consecuente.
En símbolos:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
 La diferencia del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su
consecuente como la diferencias entre el antecedente y el consecuente de la segunda
razón es a su consecuente.
En símbolos:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
Los diversos niveles de complejidad de cada una de las situaciones anteriores están dados,
entre otras cosas, por los tipos de números en juego (naturales, enteros, racionales); la
naturaleza de las magnitudes intervinientes (longitud, peso, área, volumen, peso específico,
velocidad, presión); la conceptualización acerca de la medida; la variedad de contextos de
utilización; los conceptos derivados de ciertos contextos de utilización (porcentaje, escala,
velocidad, peso específico)
Escala
A la correspondencia que se establece entre una longitud real y una representación de esa
longitud (por ejemplo un mapa o un plano) se la llama escala.
Procedimientos de resolución
Diferentes tipos de procedimientos o estrategias se pueden utilizar al resolver un problema de
proporcionalidad directa. El uso de uno u otro procedimiento muestra las diversas maneras de
percibir los datos y las relaciones existentes entre ellos y si se tiene en cuenta la definición
del concepto de proporcionalidad directa o las propiedades derivadas de dicha definición.
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 Escalar
En este tipo de procedimiento, se expresa una relación entre elementos de un mismo espacio
de medida, y luego se traduce esta relación a los elementos correspondientes en el espacio
asociado. Se llama escalar pues es una relación sin dimensión.
Este tipo de procedimiento explota una de las propiedades de la proporcionalidad que
señaláramos anteriormente. Si consideramos la siguiente tabla de proporcionalidad directa:
En un procedimiento escalar observamos que si la
×n
a
a’
b
x
×n
relación existente entre a y b es tal que
b
=n,
a
entonces la relación entre a’ y x será la misma,
x
=n
a´
 Función
El procedimiento “función” utiliza el coeficiente de proporcionalidad
k
f (a) f (b)

, por eso se llama función, pues alude a la función lineal que veremos
a
b
más adelante: f(x) = k x.
Aquí se consideran los valores correspondientes a dos espacios de medida. La relación
existente entre a’ y a es la misma que la existente entre x y b. Esto es
k
a' x
 . Luego, si
a b
a'
x
, entonces k  .
a
b
 Recurso a la unidad
Este procedimiento se utiliza cuando, para encontrar la solución al problema, se recurre a un
paso intermedio que consiste en encontrar el valor correspondiente a la unidad de un espacio
de medida. Puede confundirse con el “procedimiento función” debido a que los cálculos
efectuados son los mismos. La diferencia está en que en el procedimiento “recurso a la
unidad” se explicita la búsqueda de la imagen de 1, mientras que en el función, lo que se
busca es un valor k, que permita pasar de un espacio de medida a otro.
 Regla de tres
El empleo de este procedimiento consiste en el respeto de ciertos ritos: solución dada en tres
líneas, la última conduce a la respuesta, el empleo de palabras claves.
 Descomposición aditiva
Es un procedimiento del tipo “escalar”, pero aquí no se encuentra un único número que
relacione los valores de un espacio de medida, sino que esa relación se establece como suma
reiterada, por lo que entra en conflicto si el número que relaciona a los valores de un espacio
de medida no es entero. Es un procedimiento utilizado más a nivel elemental.
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