Diseño de Compensadores Mediante Lugar de Raíces

Diseño de Compensadores
Mediante Lugar de Raíces
Cátedras: - Control de Procesos
- Control Avanzado y Automatismo
Carrera: Bioingeniería
Facultad de Ingeniería - UNER
Tipos de compensadores
y
Atraso o retardo de Fase
y
Adelanto de Fase
y
Atraso - Adelanto
Circuito de un Compensador
T .s + 1
E ( s ) R 2.R 4 ( R1.C1.s + 1)
=
=Kβ
β .T .s + 1
E ( s ) R1.R3 ( R 2.C 2.s + 1)
o
c
i
R 4.C1
R3.C 2
T = R1.C1
β .T = R 2.C 2
K =
c
R1.C1 < R 2.C 2 ⇒ Comp. ATRASO
R1.C1 > R 2.C 2 ⇒ Comp. ADELANTO
Cátedras de Control
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1
Introducción al Diseño de Compensadores
mediante Lugar de Raíces (LR)
y
El diseño basado en el LR se emplea cuando las
especificaciones vienen dadas en términos de la
respuesta temporal: Tiempo de establecimiento,
tiempo de subida, coeficiente de amortiguamiento, error
en régimen permanente.
y
El objetivo general es fijar un punto sobre el
plano complejo en base a las especificaciones para
luego forzar a que las ramas del LdR pasen por él.
Compensador en adelanto de fase
G c (s) = K c .α
1
s+
(T .s + 1)
T
= Kc.
1
(α .T .s + 1)
s+
αT
con 0 < α < 1
y
En serie con la planta, aporta un cero (-1/T) que
es dominante con respecto al polo (-1/(αT)).
y
Efecto estabilizador: reducción de oscilaciones y
mejora de los tiempos de respuesta.
Pasos para el diseño del Comp. de
ADELANTO mediante LR:
1.
De las especificaciones de funcionamiento
se determinan la ubicación deseada de los
polos dominantes de lazo cerrado.
2.
Ver si con el ajuste de la ganancia se logra
los polos en lazo cerrado deseados. En caso
negativo calcular la deficiencia angular que
se compensara con la red de adelanto.
Pd
-180 = -αp1 -αp2 -αp3 -αpc +αcc
Aporte ang. = αcc -αpc = αp1 +αp2 +αp3 -180
αpc
αcc
αp3
αp2
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αp1
2
Del compensador de Adelanto: alfa y T se
determinan a partir de la deficiencia angular y
Kc se determina a partir de la condición de
módulo del LR. Primero ubicar el cero:
3.
a) En la vertical de los polos
deseados.
b) Cancelando polo no
dominante.
Pd
Pd
c) Bisectriz.
Pd
4.
Calcular la ubicación del polo para
cumplir con la condición de ángulo.
Interesa un valor de alfa lo más grande
posible.
5.
Determinar Kc se determina a partir de la
condición de módulo del LR.
6.
Verificar las condiciones de diseño
mediante la respuesta temporal en bucle
cerrado
Ejemplo:
Considérese el siguiente sistema:
G( s) =
4
s ( s + 2)
Diseñar un controlador de ADELANTO que proporcione
una respuesta en bucle cerrado con frecuencia natural no
amortiguada (wn) de 4 rad/seg y coeficiente de
amortiguamiento (zita) de 0.5.
x(t)
Gc(s)
G(s)
y(t)
-
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Compensador en atraso de fase
1
s+
(T .s + 1)
T
= Kc
G c (s) = K c . β .
1
( β .T .s + 1)
s+
βT
con β > 1
y
En serie con la planta, aporta un polo (-1/βT) que
es dominante con respecto al cero (-1/T).
y
Efecto de reducción del error en régimen
permanente.
Pasos para el diseño del Comp. de
ATRADO mediante LR
1.
Trazar el lugar de las raíces e identificar
los polos dominantes del sistema en bucle
cerrado.
Polos dominantes
2.
Evaluar el coeficiente de error estático que
se desea mejorar y calcular el valor de β
necesario (Suponer Kc=1 con lo que el
aporte lo hace todo beta).
3.
Colocar el polo y cero del compensador
en las proximidades del origen del plano s.
Criterios:
- Cero a 1/10 de la distancia al polo o cero del sistema en BA más cercano al
origen.
- Ángulo menor que 5º desde los polos dominantes.
- Relación de módulos ≈1.
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P.dom.
4
4.
Calcular Kc para que los nuevos polos
dominantes se sitúen lo más cerca posible
de los antiguos.
5.
Verificar el resultado. Mediante la respuesta
temporal tanto del régimen permanente
como del transitorio.
Blanco: LdR antes de la
compensación.
Amarillo: LdR después de la
compensación.
Polos dominantes
Ejemplo:
Diseñar un compensador de ATRASO para incrementar la
constante de error de velocidad del sistema tipo 1 que se
indica hasta Kv=5 s−¹ sin afectar a su comportamiento
dinámico.
G(s) =
x(t)
1.06
s (s + 1) (s + 2)
Gc(s)
G(s)
y(t)
-
Compensador en atraso/adelanto
de fase
1 ⎞
1 ⎞⎛
⎛
⎟
⎜ s+ ⎟⎜ s+
T
T
1⎟⎜
2 ⎟
⎜
,donde γ > 1, T 2 > T 1 y β > 1
Gc = K c
⎜ s+ γ ⎟⎜ s+ 1 ⎟
⎟⎜
⎜
⎟
β T2 ⎠
T1 ⎠ ⎝
⎝
y
Combinación de factores en adelanto (cero en 1/´T1 y polo en -γ/T1) y atraso (polo en -1/βT2 y
cero en -1/T2).
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5
Procedimiento de diseño por Lugar de
Raíces:
Pueden presentarse dos situaciones:
A.- Si γ≠β: Se realizan dos diseños independientes,
en adelanto con las especificaciones transitorias y
en atraso con las permanentes.
B.- Si γ=β: Diseño por aproximaciones debido a la
falta de flexibilidad.
Ejemplo:
Diseñar un compensador de ATRASO - ADELANTO para
tener un zita=0,5 un Wn=5 [rad/seg] e incrementar la
constante de error de velocidad del sistema hasta Kv=80
s−¹. Obtener dos compensadores distintos para γ≠β y γ=β
G(s) =
x(t)
Gc(s)
4
s (s + 0,5 )
G(s)
y(t)
-
FIN !!!!
Dudas ……
Preguntas???
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