Analisis de Sistemas Muestreados.

Ingeniería de Control
Tema 5. Análisis de sistemas
muestreados
Daniel Rodríguez Ramírez
Teodoro Alamo Cantarero
Contextualización del tema
• Conocimientos que se adquieren en este tema:
– Relacionar la estabilidad de un sistema con el módulo de los polos de
su función de transferencia.
– Aplicar el criterio de Jury para determinar la estabilidad de un sistema.
– Caracterizar y hallar el error en régimen permanente de un sistema
frente a señales de entrada estandar.
– Relacionar de manera cualitativa la posición de los polos del sistema
con su respuesta transitoria.
– Conocer como se corresponden puntos y lugares del plano s con sus
equivalentes en el plano z.
Esquema del tema
4.1. Introducción.
4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.
4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.
4.4. Errores en régimen permanente.
4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y
el plano z.
Introducción
•
•
•
•
•
•
El análisis de sistemas es un paso previo al diseño que resulta
imprescindible.
En otros cursos se ha hecho lo mismo para sistemas continuos:
– condiciones de estabilidad,
– métodos para comprobar la estabilidad en bucle cerrado,
– errores en régimen permanente,
– estudio del efecto de polos y ceros en la respuesta temporal.
Ahora se verá lo mismo para sistemas muestreados.
Resultados análogos a los de sistemas continuos.
Algunas diferencias cualitativas importantes (polos y ceros).
Además se estudiará la correspondencia en el plano z de algunas regiones
interesantes del plano s:
– Amortiguación constante,
– Frecuencia constante,
– Frecuencia natural constante, etc…
Esquema del tema
4.1. Introducción.
4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.
4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.
4.4. Errores en régimen permanente.
4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y
el plano z.
Estabilidad de sistemas discretos
•
La función de transferencia en Z de un sistema implica que:
donde
•
La señal de entrada U(z) puede ser un cociente de polinomios:
•
La salida quedaría entonces como:
•
Descomponiendo en fracciones simples:
Parte que depende de
los polos del sistema
Parte que depende de
los polos de la señal de
entrada
Estabilidad de sistemas discretos
•
La antitransformada de cada uno de las fracciones simples es de la forma:
•
•
La salida será estable si todos los términos son estables.
La estabilidad de cada término depende del valor del polo pi. Ejemplo:
1
3
2.5
0.5
2
1.5
0
0
2
4
6
8
10
1
0
2
0<p<1
4
6
8
10
8
10
p> 1
1
4
2
0.5
0
0
-0.5
-2
0
2
4
6
-1 < p < 0
8
10
-4
0
2
4
6
p < -1
Las secuencias
que se amortiguan
son aquellas en las
que -1<pi < 1
Estabilidad de sistemas discretos
• Se comprueba que:
• Los términos tenderán a cero si el módulo de pi es menor que la
unidad.
Un sistema descrito por G(z) es estable si y sólo si el módulo
de todos sus polos es menor que uno, es decir si todos los
polos pertenecen estrictamente al círculo unidad.
¿ Es este resultado equivalente al de
estabilidad de sistemas continuos ?
Estabilidad de sistemas discretos
• Tómese un punto en la frontera de la región de estabilidad del plano s:
• Su transformación en el plano z es:
describe el círculo unidad
• Por otra parte sea un punto del plano s con parte real distinta de cero:
• Manteniendo σ constante y variando ω z describe un círculo:
– De radio mayor que la unidad si σ > 0.
– De radio menor que la unidad si σ < 0.
• Finalmente si s=0, se transforma en z=eTm¢ 0=1, es decir en la frontera
de estabilidad.
Los puntos de la región estable (inestable) del plano S se
transforman en puntos de la región estable (inestable)
del plano Z.
El criterio de estabilidad de Jury.
•
•
Equivalente en discreto al criterio de Routh-Hurwitz.
Se utiliza para determinar si todas las raices de
•
están dentro del círculo unidad.
Se basa en la construcción de una tabla:
Las dos primeras filas están formadas
por los coeficientes de A(z)
Se añade una tercera igual a la primera
menos la segunda por α = an/a0.
Se añade otra: coef. de la tercera
(menos el último) en orden inverso.
Quinta linea = Tercera – Cuarta por
El proceso continuaría hasta
obtener una tabla de 2n+1 filas
En general:
Criterio de estabilidad de Jury
Si a0 > 0 entonces A(z) tiene todas las raices estables si y solo si:
Además, si ningún
es cero, entonces el número de valores
negativos es igual al número de raices inestables de A(z).
Si todos los
condición
para k=1,L,n-1 son positivos, entonces la
es equivalente a las condiciones:
Condiciones necesarias para la estabilidad
antes de formar la tabla.
se pueden usar
Ejemplo
•
Se pretende discutir la estabilidad de un sistema de segundo orden en
función de sus coeficientes:
•
Se forma la tabla:
2.5
2
Las raíces serán estables:
1.5
1
0.5
a2
•
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
a
1
0.5
1
1.5
2
2.5
Esquema del tema
4.1. Introducción.
4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.
4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.
4.4. Errores en régimen permanente.
4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y
el plano z.
Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos
Polos en el eje real
Polos en el eje imaginario
Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos
Polos complejos conjugados
dentro del circulo unidad
Polos complejos conjugados en
el circulo unidad y fuera de el
Esquema del tema
4.1. Introducción.
4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.
4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.
4.4. Errores en régimen permanente.
4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y
el plano z.
Errores en régimen permanente
•
Para un sistema dado por una función de transferencia G(z) cuya entrada
es R(z) y la salida Y(z), el error vendrá dado por:
•
Para hallar el error en régimen permanente se aplica el th. del valor final:
•
Un caso muy común es que la entrada sea un escalón unitario:
•
Por ejemplo, si
:
Un sistema de primer orden tiene
erp ante escalón nulo si a+b=1
Errores en régimen permanente
•
Error en régimen permanente de un sistema con función de transferencia
G(s) en lazo cerrado:
•
El error en régimen permanente será:
•
Si R(z) es un escalón unitario:
donde
•
es la ganancia estática de bucle abierto de la planta.
Para que el error sea cero Kp debe ser infinita $ polo en z = 1, sistema de tipo
1.
Se llama tipo de un sistema al número
de polos en z=1 que tiene dicho sistema.
Errores en régimen permanente
•
En el caso de que la entrada sea una rampa,
:
donde
•
•
•
•
Un sistema tipo 0 tiene Kv = 0
error infinito.
Un sistema tipo 1 tiene Kv distinta de cero y finita
Un sistema tipo 2 tiene KV infinita
error cero.
En el caso de que R(z) sea una parábola:
error finito.
donde
•
Los sistemas de tipo 0 y 1 tienen Ka = 0, por lo que el errror es infinito. Los
de tipo 2 tienen Ka finita y error finito y los de tipo 3 y superior tienen Ka
infinita y error cero.
Errores en régimen permanente
• En resumen:
Esquema del tema
4.1. Introducción.
4.2. Estabilidad en sistemas de control por computador.
4.3. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos.
4.4. Errores en régimen permanente.
4.5. Características frecuenciales. Correspondencia entre el
plano s y el plano z.
Características frecuenciales: correspondencias
entre el plano z y el plano s.
•
Al ser z un número complejo cumple que:
•
Sea la frecuencia de muestreo
y
sean s_1 y s_2 dos puntos del plano s que
difieren en:
•
Los puntos en z que le corresponden son:
A puntos del plano s que difieran en múltiplos
de la frecuencia de muestreo en el eje
imaginario le corresponden el mismo lugar en
el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene
infinitos equivalentes en el plano s.
Correspondencias entre el plano z y el plano s
1:
5:
2:
3:
4:
Puntos de interes en el plano s
Puntos equivalentes
en el plano z
Correspondencias entre el plano s y el plano z
• Eje imaginario
• Eje real: s=σ
– σ·0
– σ>0
circulo unidad.
z=eTσ.
z entre 0 y 1.
z > 1.
• Lugares de atenuación constante:
– Corresponden en el plano s a rectas de parte real se transforman en
circunferencias en el plano z.
s
1
=
1
1
z
Correspondencias entre el plano s y el plano z
• Lugares de frecuencia constante:
– En el plano s toman la forma de s=σ +jω 1
imaginaria jω1.
– En el plano z
recta de ángulo ω1T.
recta horizontal con parte
σ = ∞
σ = −∞
Correspondencias entre el plano s y el plano z
• Lugares de amortiguación ζ constante:
– En sistemas continuos de segundo orden:
– En el plano s los lugares de amortiguación constante son rectas:
– La transformación es:
Espiral logaritmica
Correspondencias entre el plano s y el plano z
• Lugares de frecuencia natural constante:
– En el plano s son círculos perpendiculares a los de amortiguamiento
constante.
– Al ser la transformada z un mapeo conforme, los lugares serán
perpendiculares a la espiral logarítmica de los lugares de amortiguamiento
constante en el plano z.