Un sistema de vectores deslizantes está formado por los siguientes vectores concurrentes: G G G G G v 1 = x 1 i + y 1 j + z1 k |v 1|= 2 G G G G G v 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k |v 2|= 8 x 2 = y 2 G G G G G v 3 = x 3 i + y 3 j + z 3 k |v 3|= 27 G G G G G v 4 = x 4 i + y 4 j + z 4 k |v 4|= 14 G G Sabiendo que v1 es perpendicular al plano XOY; v2 es perpendicular al eje OZ; la recta soporte G G de v3 es la bisectriz del primer triedro; v4 es perpendicular al plano de ecuación 2x+4y+6z=0, y que los cuatro vectores tienen sus componentes positivas. Determinar: a) Invariantes del sistema. b) Vector momento mínimo. c) Reducción del sistema en un punto cualquiera de su eje central. G G G d) Reducción en el punto M(0,1,0) , sabiendo que C M = -8i + 6k , a dos vectores, uno de ellos aplicado en M y el otro en un punto A de coordenadas (a,1,a-1) y cuyo módulo sea 29 . Resolución Con las condiciones impuestas se obtiene el sistema de vectores. El primer vector es perpendicular al plano XOY, es decir, es paralelo al eje OZ y su módulo es 2, G G por lo que v1 = 2 k . El segundo vector es perpendicular al eje OZ, por lo que la componente z 2 es nula. El valor del módulo proporciona 2 x22 = 8 ; x2 = y2 = 2 . La recta soporte del tercer vector es la bisectriz del primer triedro lo que implica que sus 3x32 = 27 ; x3 = y3 = z3 = 3 . componentes son iguales; de su módulo se deduce Para calcular el cuarto vector imponemos la condición de paralelismo con el vector eje o vector G G G G característico del plano E = 2i + 4 j + 6k (vector que representa dicho plano y es perpendicular a él), G i G G P4 ∧ E = x4 G j y4 G k z4 = 0 2 4 6 Los menores complementarios proporcionan tres ecuaciones, cuya resolución, junto con el valor del módulo permite determinar las tres componentes, 3 y 4 = 2 z4 ⎫ ⎪ z4 = 3x4 ⎬ 2 x4 = y4 ⎪⎭ 14 x42 = 14 ; x4 = 1 y4 = 2 z4 = 3 El sistema de vectores y la resultante son de la forma: G G ⎫ ⎧v1 = 2 k ⎪ G G ⎪G G G G ⎪ G ⎪v2 = 2i + 2 j = + + 6 7 8 R i j k G G G ⎨G ⎬ ⎪v3 = 3i + 3 j + 3k ⎪ ⎪vG = iG + 2 Gj + 3kG ⎪ ⎩ 4 ⎭ a) Invariantes: G R = 149 G G G G C M ⋅ R = CO ⋅ R = 0 G G CM ⋅ R =0 R b) El vector momento mínimo es nulo (3ºinvariante es nulo): 0 c) Por ser nulo el segundo invariante, el sistema queda reducido a la resultante aplicada en cualquier punto del eje central. d) Imponiendo las condiciones de la reducción para el punto M (0,1,0) siendo las coordenadas de A(a,1,a-1) se tiene: 1ªcondición: CG ⋅ AMG = 0 M G G G 2ª Condición CM = MA ∧ P G G G i j k G G − 8i + 6k = −3 0 −4 Px Py Pz − 2a − 6 = 0 ⇒ a = −3; A(−3,1, −4) de donde se deduce Py = 2; − 4 Px + 3Pz = 0; Px = 3 Pz 4 Debe cumplir la condición del módulo del vector, tomando componentes positivas se tiene: ( 9 25 2 + 1) Pz2 + 4 = 29 ; Pz = 25 ⇒ Pz = 4 16 16 El sistema se reduce a: G G G G P = 3i + 2 j + 4k aplicado en A(−3,1,−4) G G G G R = 6i + 7 j + 8k aplicado en M (0,1,0) G G G G − P = −(3i + 2 j + 4k ) aplicado en M (0,1,0) Px = 3