Lección 8: Potencias con exponentes enteros

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Lección 8:
Potencias con exponentes
enteros
Cuando queremos indicar productos de factores iguales,
generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplo
podemos expresar 11 x 11, como 112 (11 al cuadrado), del
mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 85
(8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores,
también decimos que "el 11 está elevado al cuadrado" o que el
"8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado esta
notación en los cursos anteriores y en algunas lecciones de
este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el concepto
de potenciación.
En la notación exponencial, la base es el factor que debe
multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el
exponente. Así en la expresión 95, tenemos:
Exponente
95
base
102
LECCIÓN 8
95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9
5 veces
En general, si tenemos un número real cualquiera que
llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces:
an = a x a x a x a x ..... x a
n veces
La expresión anterior nos dice que an significa que hay que
multiplicar a x a x a..., n veces.
Cuando la base de una potencia es un número positivo, el
resultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo del
resultado depende del exponente, si el exponente es un número
par, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo.
Ejemplos:
• (–5)4 = (–5) (–5) (–5) (–5) = 625
• (–5)5 = (–5) (–5) (–5) (–5) (–5) = –3125
Observe que el signo del resultado es consecuencia de las
reglas de multiplicación de los números racionales.
Operaciones con potencias
Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que:
103
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
• Si a es un número cualquiera, entonces:
a1 = a
Esto significa que si el exponente es uno el resultado es igual
a la base de la potencia.
Ejemplos:
•
•
•
•
13281 = 1328
0.041 = 0.04
(–2456)1 = –2456
(–0.378)1 = –0.378
•
(
34
59
)
1
=
34
59
Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces:
a0 = 1
Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado
de la potencia siempre es igual a 1.
Ejemplos:
104
•
•
•
•
13280 = 1
(–0.375)0 = 1
2.180 = 1
(–4.30)0 = 1
•
(
34
59
) =1
0
LECCIÓN 8
Aquí hay que considerar la condición a ≠ 0, ya que
no se puede resolver la potencia 00.
Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son números
naturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero el
exponente de una potencia también puede ser un número entero
negativo. En este caso
• Si a es un número cualquiera distinto de cero,
y n es un
número natural, entonces:
a =
-n
( )=
1
a
n
1
an
Esto significa que cuando el exponente es negativo se
debe transformar la potencia en otra cuya base sea el inverso
multiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso
aditivo del que se tenía.
Ejemplos:
• 2–3 =
( )=
1
2
3
1
23
=
( ) =-
• (–2) –3 = -
( ) = (–2)
• •
1
2
3
1
2
-3
3
-4
3
2
1
23
=-
=
1
8
1
8
= –8
( )=( )=
2
3
1
2x2x2
4
81
16
Hemos dicho que en matemáticas es útil el uso de letras para
expresar un número cualquiera, para representar una cantidad
105
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
que no conocemos o para expresar relaciones entre números;
entonces, así como usamos los exponentes para indicar productos
entre números, también los usamos cuando los números están
representados por letras. De este modo podemos escribir 2x2, z–3,
etc.
Por otro lado es importante recordar que si una expresión
está encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, esto
significa que toda la expresión debe elevarse a la potencia
indicada.
Por ejemplo:
1
• (5 + 2 – 2)2 = 3.5 2 = 12.25
• (x + 2 y)3 = (x + 2 y) (x + 2 y) (x + 2 y)
Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer
operaciones con potencias.
• Producto de potencias de igual base. Al multiplicar dos
potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado
otra potencia cuya base es la misma que tienen los factores, y
cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados. Es
decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros:
an·am = an + m
Ejemplos:
• 5 6 x 5 7 = 513
• 10 3 x 10–3 = 10 0
• (–14.5) –9 x (–14.5) 7 = (–14.5) –2
106
LECCIÓN 8
• Cociente de potencias de igual base. Al
dividir dos
potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado
otra potencia cuya base es la misma que tienen el dividendo y el
divisor, y cuyo exponente es igual a la resta del exponente del
dividendo menos el exponente del divisor. Es decir, si a es un
número cualquiera distinto de cero, y m y n son números enteros:
an ÷ am = an – m
Ejemplos:
• 85 ÷ 8 3 = 82
• 6 2 ÷ 6 –5 = 67
• (–7.03) –4 ÷ (–7.03) –3 = (–7.03) –1
• Potencia de otra potencia. Al elevar una potencia a otra
potencia, se obtiene como resultado una potencia cuya base es
la misma de la potencia original y cuyo exponente es el producto
de los dos exponentes. Es decir, si a es un número cualquiera, y
m y n son números enteros:
(an)m = an·m
Ejemplos:
• (18 6)2 = 18 12
• (–95)–3 = –9 –15
• (6.3 –2)–3 = 6.3 6
107
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Ejercicio 1
Calcule las siguientes potencias:
a) 3.5 3
b) 0.50 –2
c) –3.2 0
d) 1.28 1
f) (–1.02)3
g) (–28) 2
h) 0.5 3
i) 10 –12
( )
e) -
3
4
-4
j)
( )
7
9
-2
k) (–5.4) –1
l) 0.4 2
m) (1.25) –3
n) (–1.25) 3
o)
( )
4
5
-2
p) 10 9
q) 1876 0
r) 1 165
s) (–4.2) 2
(
t) -
2
3
)
5
Ejercicio 2
Exprese como potencias cuyos exponentes sean números
naturales los resultados de las siguientes operaciones:
a) 105 x 10 –2
b) 2 6 x 2 –10 x 2 5
c) 128 –3 ÷ 128 3
d) –34 4 ÷ (–34) 6
e) (5 3)4
f) [(–4) 3]2
g) (3x)5 (3x)2
h) z8 · z2 ÷ z4
i) (w 2)–4
j) (–2h)3 (–2h)–4 (–2h)
k) a18 ÷ a–12
l) [(u3)–5]–2
Propiedades de la potenciación
Así como la suma y la multiplicación tienen propiedades, también
la operación de potenciación tiene propiedades, que son las que
veremos a continuación.
108
LECCIÓN 8
• La potenciación es distributiva con respecto al
producto. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un
número entero, entonces:
(a · b)m = am · bm
Ejemplo:
• (2 x 5)3 = 10 3 = 1000, y también 23 x 5 3 = 8 x 125 = 1000
Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una
multiplicación a una potencia dada, podemos seguir cualquiera
de los dos procesos siguientes:
• Resolver primero la multiplicación y después elevar el
producto a la potencia indicada.
• Elevar a la potencia dada cada uno de los factores y
después resolver la multiplicación.
• La potenciación es distributiva con respecto de la
división. Si a y b son dos números cualesquiera, con b distinto
de cero, y m es un número entero, entonces:
(a ÷ b)m = am ÷ bm
Ejemplo:
• (6 ÷ 3)2 = 2 2 = 4, y también 62 ÷ 3 2 = 36 ÷ 9 = 4
Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una
división a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de
los dos procesos siguientes:
109
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
• Resolver primero la división y después elevar el cociente a
la potencia indicada.
• Elevar a la potencia dada el dividendo y el divisor y
después resolver la división.
• La potenciación no es distributiva con respecto de la
suma o la resta. Si a y b son dos números cualesquiera y m es
un número entero, entonces en general:
(a + b)m ≠ am + bm
(a – b)m ≠ am – bm
Ejemplos:
• (3 + 5) 2 = 8 2 = 64,
pero este resultado es diferente de 32 + 5 2 = 9 + 25 = 34
• (3 – 5) 2 = (–2) 2 = 4,
pero este resultado es diferente de 32 – 5 2 = 9 – 25 = –16
Esto significa que si debemos elevar a una potencia dada una
suma o una resta debemos:
• Resolver primero la operación indicada y después elevar el
resultado a la potencia dada.
Ejercicio 3
Resuelva los siguientes ejercicios:
a) (5 x 4)3
b) (103 ÷ 102)4
110
h) (–8.6 ÷ 4.3)5
i) (7.23 + 2.77)6
o) (r · s · t)4
p) (x · 5y)2
LECCIÓN 9
c) (8 + 3)3
d) (3 – 5)4
e) (2.1 ÷ 0.3)2
f) (–5) 3 + (–4) 3
g) (10 x 0.23)2
j) [–19.56 – (–19.56)]8
k) (6z)2
l) (y · z)3
m) (c ÷ d)7
n) (g7 ÷ g3)2
q) (3a x 2b)3
r) [k–10 ÷ (k5 · k3)]2
s) (v2 ÷ u3)4
t) (p + q)2
Lección 9:
Polinomios
Nosotros ya hemos trabajado con distintas expresiones
algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos
que en las expresiones algebraicas, las letras representan
números. Ahora veremos algo más referente a estas
expresiones y cómo podemos operar con ellas recordando
las propiedades que hemos visto para las operaciones
aritméticas.
Definiciones
Comenzaremos por conocer algunos nombres con los
que se identifican algunas expresiones algebraicas.
• Se llama monomio a una expresión algebraica en la que
no hay sumas ni restas. Por ejemplo:
1
3xz2, 5y, - 2 w, ab, etc.
111