Geometr´ıa Anal´ıtica II

Geometrı́a Analı́tica II
Trabajo 20
Prof. Pablo barrera
Alumno: Ernesto Velasco
Grupo: 4078
Dados los tres puntos en el plano Π1 : xa + yb + zc = 1 encontrar la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados, es decir los puntos
A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0) y C = (0, 0, c)
Para encontrar la ecuación del la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C considerese
una de todas las circunferencias que pasan por dichos tres puntos, en este caso yo he tomado
2
2
2
aquella que pasa por el origen, por lo que la ecuación de dicha
esferabes
2 C1 : x +y
+za2−ax−
2
2
c 2
a 2
by−cz = 0 completando cuadrados se tiene que C1 : x − 2 + y − 2 + z − 2 = +b4 +c ,
por lo que el centro de la esfera tiene coordenadas p0 a2 , 2b , 2c , si se toma la recta que pasa
por el centro de la esfera es perpendicular al plano Π1 , el punto de intersección con dicho
plano será el centro de la circunferencia, por lo que la recta que cumple dichas propiedades
es `1 : P (t) = p0 + tn donde n es el vector normal al plano Π1 por lo que se tiene que
`1 : P (t) = a2 + at , 2b + bt , 2c + ct ahora ya que el punto de intersección sobre le plano Π1
satisface la ecuación del mismo, se sustituye para obtener el valor de t es decir
a
2
+
a
t
a
+
b
2
+
b
t
b
+
c
2
+
c
t
c
=1
a
se puede observar es equivalente a 2a
+ at2 + 2bb + bt2 + 2cc + ct2 = 1 con lo cual t a12 + b12 + c12 = − 12
a2 b2 c2
por lo que t = − 2(b2 c2 +a
2 c2 +a2 b2 ) de esto se sustituye t en la ecuación paramétrica de la rec
a2 b2 c2
ta para obtener las coordenadas del centro de la circunferencia P − 2(b2 c2 +a
=
2 c2 +a2 b2 )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a
− 2a(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) , 2b − 2b(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) , 2c − 2c(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) por lo que el centro de la
2
3 b2 +a3 c2
b3 a2 +b3 c2
c3 a2 +c3 b2
circunferencia tiene coordenadas pc = 2(b2 ca2 +a
,
,
aho2 c2 +a2 b2 ) 2(b2 c2 +a2 c2 +a2 b2 ) 2(b2 c2 +a2 c2 +a2 b2 )
ra para encontrar el radio, este está dado por r = d (B, pc ), ahora lo adecuado es construir
un sistema ortogonal local sobre pc para ello hay que tomar un vector p1 ∈ Π1 sea p1 = A con
lo que p1 − pc = (a − xc , −yc , −zc ) ahora considerese otro vector cualquiera p2 sobre el plano
tal que (p1 − pc ) · (p2 − pc ) = 0 con lo que (a − xc ) x − (a − xc ) xc + yc2 + zc2 − yc y − zc z = 0
de aqui que (a − xc ) x − yc y − zc z = −yc2 − zc2 + (a − xc ) xc que se puede ver es un plano si
se toma el vector generador de la recta que se produce de la intersección de este con Π1 se
1
obtiene le vector que se busca por lo que
p2 =
b yc2 + zc2 − (a − xc )2
b yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc yc2 + zc2 − (a − xc )2
− a
−a +
,b −
,
a ab (a − xc ) + yc
c
(a − xc ) + yc
− cb yc + zc
b
yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc
− cb yc + zc
!
ahora con lo que
p2 − pc =
−a +
b yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc
b yc2 + zc2 − (a − xc )2
−
x
,
b
−
−
c
a ab (a − xc ) + yc
c
− cb yc + zc
yc2 + zc2 − (a − xc )2
yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc
− zc
−
y
,
c
a
(a − xc ) + yc
− cb yc + zc
b
!
con esos dos vectores se puede puede construir la circunferencia normalizando primeramente
1
1
(p1 − pc ) y v1 = kp2 −p
(p2 − pc ), ahora con esto todo
estos vectores es decir v1 = kp1 −p
ck
ck
punto en el plano se puede escribir como P (γ, δ) = pc + γv1 + δv2 ya que se quiere una
circunferencia de radio r = d (A, pc ) se debe cumplir que γ 2 + δ 2 = r2 de lo que se sigue
que γ = r cos θ y δ = r sen θ por lo que se tiene que P (γ, δ) = pc + d (A, pc ) cos θv1 +
d (A, pc ) sen θv2 por lo que la ecuación del circulo que se busca es
P (θ) = pc + d (A, pc ) cos θv1 + d (A, pc ) sen θv2
2