s b.- 34J

FI]NCIONTS TRI60NOI\,1ETRICAs
Práetica I
Dibujar sobre el plano cartesiano los siguientes ángulos en posición normal.
Completar Ia tabla.
.fiadio'
,
h. -150"
l. - 60'
a. 30"
b. 60"
c. 45"
j
d.110"
k. -
e. 235"
l.
f.
m.225"
450'
3 metros
2 metros
1.080"
-365'
B metros
c.
330"
30'
a
6 metros
Tres cuartos de rotación en sentido contrario a las
6
a.
radianes
El minutero del reloj de la
manecillas del reloj.
fotografÍa mide 15,24 cm
Cinco sextos de rotación en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
de largo. ¿Cuántos centímetros se desplaza su pun-
ta en un cuarto de hora?
de rotación en el sentido de las mane-
e.
Siete medios de rotación en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
f.
Un quinto de rotación en el sentido de las maneci-
¿Cuántos centímetros
desplaza en 30 minutos?
b.
se
w
La medida del radio de las ruedas de un.automóvil
es 38 cm. Si las ruedas giran a razón de 4 revolu-
ciones por segundo, ¿con qué velocidad se desplaza el automóvil?
Convertir a radianes cada uno de los ángulos expresados
en grados. Escribir la respuesta como múltiplos de r.
a. 60'
b. 4s'
g.-60'
m. -450"
h. -175"
c.
i. -225"
j. - 180"
n. 1.080"
o. -650'
p. 900'
q. -240'
r.75"
f.
120'
1
k. -350'
l. - 700"
50'
C.
4. Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos:
5rl
a.T
.)., ¡¡
s b.34
5n
4¡t
d.6
s.i
e.
8'¡i"
h.
¿'|
1
t_
-
5n'
J -6
7t¡
J
5r¡'
J
t--
7¡r
k.
J
2¡
TI
6
!?.
E.
rad iá n
&" Resolver los siguientes problemas.
d. 3s"
e. 240'
h\.
OJ
0,2§ radianes
2 centÍmetros
lla del reloj.
Foz(n
radianes
3
cillas del reloj:
.
4
6 metros
Media rotación en el sentido de las manecillas del
d. Cinco octavos
3"
a
,l
reloj.
b.
*ngulb,,1. tr¡t'
: : l'¡: "1r: ¡,.$.:',,.,,,1.'.:.,:
2 metros
Encontrar la medida de cada ángulo en grados. Luego,
dibujarlo en el plano en posición normal.
a.
,..Y,,:'
-270"
n.
g. -120'
2"
5.
La curva de una vía de ferrocarril se va a trazar describiendo una porción de circunferencia. ¿Oué radio
debería usarse si la trayectoria cambia de dirección
25' en una distancia de 120 metros?
Una llanta de 40 cm de radio va rodando sobre una
superficie plana desde una posición A hasta una
¿Cuál es su velocidad angular en radianes por nrinu-
to? ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por
posición B. ¿Cuál es la distancia que recorre la llanta, para llegar hasta la posición B, si tiene que dar
seg u
ndo?
7" Si 0 es el ángulo central, expresado en radianes, de una
circunferencia de radio el área A del sector circular
subtendido por 0 se calcula por medio de la expresión:
22 vueltas?
I
A: 1
B
r2o
2
Por ejemplo, el área del sector circular de la figura es:
El péndulo del reloj de
Ia
'
fotografía mide B0 cm y describe un arco de 10 cm. ¿0ué
ángulo, en grados, recorre el
péndulo al balancearse?
f.
100
fotogra-
25r = 78,5 cm2
su
0
velocidad angular en radianes por segundoT ¿Cuál
es la velocidad lineal en centímetros por segundo de
un punto situado en el extremo de algún aspa?
g.
1T
Hallar el área del sector sombreado en cada fiqura
fía, tiene un diámetro de 60
cm y gira a una velocidad
angular de B0 revoluciones
por minuto. ¿Cuál es
(,CI'(;)
22
-x:
El ventilador de la
"
-
210"
La hoja de una sierra de forma circular cuyo radio
es de 9,4 cm, gira a 1.200 revoluciones por
minuto.
i
#sGffiEffisEft"EeEH#ii.ffi1ffiffitrmffiiE¿
.--..=-
FUNCION ES TRIGONOM ÉTNICRS
Sea 0 un ángulo en posición
normal, con vértice O y M(x, y), M'(x', y') dos puntos distintos sobre su lado final, tales que OM : r y OM' : r'.
Los triángulos Mo,\i y M'oN' de la figura 1, son semejanres, pues tienen lo:
tres ángulos correspondientes congmentes; de modo que se pueden establecer las siguientes proporciones:
y _y' *:r'
rr"rr"xx'
Por
iv
1o
tanto, las razones
+,
rrx+ v I
y:y'
están determinadas por el valor del ángu-
lo 0 y no por la posición del punto M.
Se observa ento.nces, que las correspondencias de la
z
I
o-+l,o-+avo-+l
r
r'
x
X'1
-X-
forma
son funciones. A estas funciones, se les denomina funciones
!!.
F
trigonométricas.
FI]ÑCIONF§ f RIGONOl\,4ETRICAS
*12.1
DEFTNTCTÓN
DE LAS FUNCIONES TRIGONoMETRICAS
un ángulo en posición normal, U$_l) tt cualquier punto sobre su lado
final, diferente de (0, 0), y t : OtW : t *2 I y2, entonces, las funciones trigonométricas para eIángulo 0 se definen de la siguiente manera:
Si
0 es
.senoe:sentl:L
cofe: tanI 0
,..
g
:-lcos
.r.0 :
V
r
x
f
cosenoO:cos0:
tangenteS:tan0' _v ,x*0
0
x
I
cotangente0: cot 0:
sen 0
ton0:cot 0
i
1
,y + O
secante0:sec0:l,x*0
x
.o, 0 :1
sec 0
cosecanleO
seng: csc 0
1
:
csc 6
: l,
v
y
*
0
Como consecuencia de las definiciones aíteriores, se obtienen las relaciones
se plantean en la tabla de la izquierda.
recíprocas que
Dominio y ranqo de las funciones trigonométricas
Dada la definición de las funciones trigonométricas es posible determinar su
dominio y su rango mediante el siguiente análisis:
Como en el lado final del ángulo 0 está el punto M(x, y) + (0, 0) entonces,
r---------.r : Y x¿ * yl nunca es cero. Por 1o tanto, el dominio de las funciones seno y
coseno está constituido por todos los ángulos 0.
Pero, las funciones tangente y secante no están definidas para los ángulos cuyo
lado final coincide con el eje y, es decir, para x : 0. De modo que los dominios de las funciones tangente y secante están formados por todos los valores
de o, excepto los valores
Dom
lseni:
Ron (sen)
Dom
[cos]:
Ron (sen 0)
Dom (tan)
:
1,
(*rrT._l
1)
Dom
P
: l'
1,
17
f R-{ele+}+"n,
2
J
tr
z
^cv1
tt v Ll
to
Ron
(ronl:
P
o
!+
..
En general, los dominios de las funciones tangente y secante se enuncian así
R
: l-
,t
ran: ]oto *(2n + l\
lzllL)
"
,n =Zl Domsec: ]elo *(2n
- 1);,n
e Zl
Las funciones cotangente y cosecante no estárr definidas para ángulos cuyo
lado final coincide con el eje x, es decir, para y : 0. Así, los dominios de las
funciones cotangente y cosecante comprenden todos los ángulos 0, excepto
ángulos como +T, +2T, +3r, entre otros.
En general, los dominios de estas dos funciones son: {0 I 0 * n¡r, n e Z}.
f5"
Ahora, teniendo en cuenta que:
*i ,
l*l: l*,
entonces
r-fr,
t
17
rs
+
l
+l
Sea
:
= \E
< 1 porlo que
lil = ,tlil
l1
rol
9
B
7
I
et
5
se concruye que:
l vlsec 0l> t para todo dngulo
U, fu'nriorrr.
o un ángulo.,
T:i:]r:
0
normat,tat qu,e M(_8,15)
es un punro ubicado
,alo, Oe sen;,.;r"; y tan o.
sobre su lado final (figura
2). Determina, el
5*lución
:
ffi:#;l;ti,[#;::,.es x -B v v: 15.
r: \F;7: \4:8)21? : fl*s : ,.
3
Así,sen
Figuro 2
\F =f|ly, = ,
lsen 0l< 1, lcos 0J 1, lcsc 0l >
=
en el dominio de cada
una a)
13
tZ-l
b,l=
o=
: -+
+,cos0
trno
Er
varor de rse carcura a partir
: _#
Encontrar el varor de
fu.nciones trígonométricas para
I,a-s-seis
cada ánguro en
posición normar' pv 0son
puntos roicrJo's sobre er rrd;
ánguro dado.
a. B, si P(2,
b. o, si o(_1, _2)
ii;ri;r
-3)
Solución
a.
Dado que P(2,
-3),
entonces X
= 2y
frl+ ÁP : {B,por tanto,
senB:--L--3v{J
'
Vrs t3
y
:
-3.
Luego,
r=
cosp:
v13--L
tanB: -33
22
+:
b. Como 0 : (-
2\/13
,..
13
1, -2),se tiene
cos0= -t =-V5
t/s
-1
:
V13
tni
cscp:
fs
tan0= '-2
B
2
__
Que
x = -1 y
r: V(- 1)2 + ¡-2¡z - \,6, entonces,
sene: _1! :- 2\/i
_a
cotB: 2 :-2
-33
I
y:
-2,
-3
=
\4i
_
3
así,
coto: -1:
1
-22
seco: li:-rn
v
-1
csco: V6 --\6
-22
r
z
5
J
zF
o
F
€
FUNCiONES TRIGONO[/IETRICAS
FfA*tíC*
2
bi,u,,noruo
Dibujar los ángulos en posición normal, dadas las coordenadas de uno de los puntos que está ubicado sobre
el lado final. Luego, hallar elvalor delseno, la tangente y la cosecante del ángulo.
a. P(-1, 1)
b. P(-2,0)
c. P(-3,0)
, ,(+ +)
3)
f. P(1,2)
e.
P(4,
g.
P(:,
@morosrrrvr
J*ou**.ruo:
: 3. Observar Ia siguiente gráfica. Luego, escribir V o
i según corresponda. Justificar la respuesta.
F
¡
+)
:
i
n p(t -+)
\ zl
i
i
2. Hallar
el valor de las funciones trigonométricas en
ángulo indicado en cada gráfica.
el
i
La distancia entre el origen
número irracional.
i
4
b.
t
i'.'ll
il
y el punto M es un
El valor del sen 0 equivale al coseno de un ángulo
en posición normal cuyo lado final contiene
punto (5,
1B 2¡
c.
d.
t;
-
al
3).
Elvalor de tan 0 es mayor que elvalor de csc
El valor de ninguna de las funciones
0.
trigonométri-
cas de 0 es menor que cero.
*2.2
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo
determina según el cuadrante en el cual está ubicado q.
cr, se
: \F .
Si P(-r, y) es un punto sobre el lado final de o¿, la distan ciar
y'siempre es positiva, por 1o cual, los signos de las funciones trigonométricas de ct,
dependen de los signos de r yy.
Por ejemplo, para un ángulo del primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues ¡ ) 0 yI > 0 para cualquier punto (,r, y) ubicado en este cuadrante.
En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo 0 ubicado en cualquier cuadrante.
arX
I
II
f,
J
F
z
rO)
sen
+
0
cos
+
tan
+
CI
cot
+
0
sec
+
+
I
csc
+
+
UI
IV
I
+
+
+
+
§
1.
Si sen 0
- -*,25'
U es un
ángulo ubicado
en el cuarto cuadrante calcular cos 0 y tan
0.
§r¡luriór¡
¿Por qué o portir de
la expresión r2 x2
:
+
Como sen 0
y2
se tiene gue
así,
,:l*,*yryqu,
x=-
- -125
.n1onq.s y
x: lyi¡ - n¡ :
: -l
yr
:
25,
-24.
Pero 0 se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto,
..\F:7
x:
2.
:
24.Así, cos o
#ytan
o
+ : _+
:
lndicar, en cada caso, el cuadrante en el que está ubicado el ángulo
a. coscr(0ytancr.)0 b.
cx.
seno(0yseccr)0 c. tancr.(0ycsccr)0
Solución
De acuerdo con el cuadro de signos, se tiene en cada caso que:
a. a está en el cuadrante
b. cr está en el cuadrante
c.
lll.
cr está en el cuadrante ll.
lV.
3. Hallar todos los valores posibles de cada fracción teniendo en cuenta
las condiciones dadas.
LI
a.
sec 0, si sen
0 --
3
f,l
P
t-16
2
al
G
I
b. tan 0, si cos 0 :
+.
\l
-1.
§oluríén
a. como sen 0 :
,
*3 ,
o entonces 0 puede estar ubicado en el primer cuadrante
o en el segundo cuadrante. Como y
: 2, r:3
Flguro 3
Así, para el primer cuadrante, sec 0
cuadrante, sec o
b. Dado
que cos 0
: j
entonces,
y: *f
3z
j:
*\6.
.. ^^..^ ^, -- 3vG
U VParael segundo
VS=_=
: :_ _ _ 3\,6 (figura 3).
s
-v5
: -i-,
entonces, puede ser der segundo cuadrante o der
x:
r:
y: t\E- Ci2: *\6.
Por lo tanto, para el segundo cuadrante tan 0 :
+ : -f,6 y para el tercer
tercer cuadrante. Como
cuadrante, tan.6
Figuro 4
:
+
-
1,
2,entonces,
: f,6 (figura +).
-1
z
f
J
F
z
tó
'48
FUNCIONES TRiGONON,IÉTRICAS
*2.3
:tffqilffifiqi#
FUNC|oNES TRtc0NoMETRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
se denominan ángulos cuadrantales aquellos cuyo lado final coincide con
alguno de los ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son 0o, 90o, 1g0o,
270" y 360'.
Los valores de las funciones trigonométricas para estos ángulos,
utilizando cualquier punto P ubicado sobre su lado final.
se obtienen
Calcular el valor de las funciones trigonométricas para 90".
5*luci*n
/
Sea P(0
sengo'cos 90"
tan
un punto sobre el lado final de g0". Como r
Y
r
- o!: t :1
0p
: ¡ entonces.
0 _^
: I
--u
r
r
0Pr: Indefinida
0 0 _ 0 _^
0P---u
g0': /
X
cot 90"
:
: I
Y
.r
r
'x : --
sec 90"
0
lndefin ida
- L:1
csc9o.:!:J
,y)Pr
La tabla que se muestra a-continuación resume los valores de las funciones
trigonométricas para los ángulos cuadrantales.
L*|
-':-§unción
Ángxlo---\
rI
ri
B
cos
0
tan
coi
{:i
{j
sec
B
csc
00
0
1
0
Indefinida
1
Indefinida
1
0
Indefinida
0
Indefinida
I
0
-1
0
Indefinida
-1
lndefinida
270'
-1
0
Indefinida
0
Indefinida
-1
3600
0
0
Indefinida
1
Indefinida
80"
E
l
: Determinar el valor de:
.7¡
b.
:
l a. cot 450"
o
CSC
]0lrtilr}n
z
sJ
zt-
,
Figuro 6
I
90"
1
Figuro 5
sen
-2
: cot g0. : 0.
f raAescoterminaf con f rad (figura 6), tuego*.+:.r. f : -1.
a. 450" es coterminal con 90" (figura 5), por lo tanto,
.b.
7,n
49
cot 450.
Fyeictiea 3
1.
|C_ltdlly
Escribir el cuadrante en el cual se
encuentra ubicado el
lado final de un ángulo 0 de acuerdo
co, las dos con_
Segunda
tondirión
esndieÍén
sen0)0
tan0(0
cos0)0
sen0)0
cot0(0
cos0)0
sec0(0
csc0(0
sec0(0
tan0)0
sen0(0
sen0)0
4.
E
a-
3'
2
Hallar el valor de todas las funciones
trigonométricas de
0, dados los valores de dos de ellas.
.oro:f
b. costi:+,tano: _+
a. seno:
c.
cot0)0
csc0)0
+
seno:-1,.oro:2f
:,
/c
d. cos0--l9,cot0:\6
de cada una de las expresiones, sin uti_
lizar la calculadora.
e.
a. sen 90' * csc 90"
b. tan 180' - cos90" ]_ 4sen90.
f. tane:-\/r,cot0:-#
c.3sen,,-1,rn360.+1
3-5
csc 90"
+ 3\/isen
a.
4 tan 180"
.1r.3r¡.
l. ¡cos, t3cot; 3"
El lado terminal de un ángulo de
420. en posición
normal se ubica en el cuaño cuadrante.
d. Si sen 0 :
6.
Encontrar el valor exacto de todas las
funciones trigo_
nométricas para 0.
4
Representar sobre un plano cartesiano
un ángulo 0
en posición normal en el cual los puntos p(_2, _4)
y
b.
a.
seno:-+,rr<o<3,
3' ' 2
c.
u.
coso:+,0<o<90.
d.
5'
_9.
Resolver cada Iiteral.
a.
2senrr
de tan 450".
:5',y el lado final de 0 está ubicado en el
segundo cuadrante, entonces, tan
O=
?
90"+:sen270'
- cos
5
-+
b. EI valor de cos 350. es positivo.
c. EI signo de sen i20" es igual al signo
- 3cosn
g. B tan 0" - + sen tBO" * 7 tan 180.
5
h. 4sen 90" - 3 tan lB0. sen g0"
-
i.
e=#,coso:
Luego, modificar las afirmaciones que
sean falsas para
convertirlas en afirmaciones verdaderas.
270.
ocos0"
sen
S" Determinar el valor de verdad de cada
afirmación.
1 ¡r
-^-- 3t
^ sen-+cosrn_isen7
e.
f. 3sentr * sen I *
2
i
52
2. Hallar elvalor
d. \,5
-e1ññ,^*
4tc. tane :i,n,<0<J'¡r
diciones dadas.
Primcra',
_ry,lil,-,,*
.*
A?+, -B)
se ubiquen sobre su lado terminal.
Utilizar el punto ppara calcular el valor
de las fun_
ciones trigonométricas del ángulo
0.
Utilizar el punto 0 para calcular el valor
de las fun_
ciones trigonométricas del ángulo
0.
Elaborar una conclusión que resuma
los resultados
de los literales b y c.
z
Js
F
z
@
§9