Razonamientos para la lógica Proposicional

CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N° 2
INTRODUCCIÓN A LA LOGICA SIMBOLICA
PRIMER AÑO
GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICOS Nº 2:
LOGICA PROPOSICIONAL
RAZONAMIENTOS PARA LA
La lógica deductiva es la ciencia que estudia los métodos y principios usados para
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.
EL RAZONAMIENTO SE DEFINE COMO EL CONJUNTO DE PROPOSICIONES, EN EL
CUAL, UNA DE ELLAS SE PRETENDE QUE ESTE FUNDADA SOBRE LA BASE O A
PARTIR DE LAS DEMÁS.
Ejemplo:
Si el condicional es falso,el antecedente es verdadero y el consecuente es
falso.
El condicional es falso
Por lo tanto, el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Todo razonamiento tiene una estructura cuyas componentes son:
- Las proposiciones, una o mas, de las que se parte se denominan PREMISAS.
Las premisas están encabezadas por expresiones como: "puesto que", "porque", "pues",
"ya que", "como", "pero", etc.
-
La proposición a la que se arriba se denomina CONCLUSIÓN.
La conclusión esta encabezada por expresiones como: "luego", "por lo tanto", "en
consecuencia", "por ende", "así", "podemos inferir", etc.
Las expresiones que encabezan premisa y conclusión son llamadas
EXPRESIONES DERIVATIVAS.
- La conclusión puede estar al final, o al comienzo o en el medio del razonamiento.
Ejemplo:
Esta proposición es molecular puesto que, esta proposición es atómica
o es molecular y esta proposición no es atómica.En este ejemplo, la conclusión encabeza el razonamiento.-
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-
PREMISA y CONCLUSIÓN son términos relativos, en el sentido
que la misma
proposición puede ser premisa en un argumento y conclusión en otro, dependiendo del
contexto.
Ej:
a) Esta proposición es atómica o es molecular.
Esta proposición no es atómica.
POR TANTO, esta proposición es molecular.
b) Si analizo esta proposición, entonces es atómica o es molecular.
Analizo esta proposición.
EN CONSECUENCIA, esta proposición es atómica o molecular.
Para obtener una estructura lógica necesitamos un conjunto de proposiciones y una
relación o nexo que las vincule. Un tipo de nexo lógico son las inferencias.La inferencia es un proceso por el cual a partir de uno o varios conocimientos dados,
obtenemos un nuevo conocimiento. En este proceso se llega a una proposición y se la
afirma sobre la base de otra u otras proposiciones aceptadas como punto de partida.A cada inferencia posible corresponde un razonamiento y de estos razonamientos trata la
lógica primordialmente. Los términos inferencia y razonamiento tienen notables
diferencias: los razonamientos son estructuras lógicas integradas por proposiciones,
mientras que las inferencias no son estructuras sino nexos lógicos que permiten obtener
razonamientos.Entre los razonamientos distinguimos los deductivos y los no deductivos. Los
DEDUCTIVOS pueden caracterizarse como aquellos razonamientos en los que se
pretende que la conclusión se infiera en forma NECESARIA de las premisas. En los NO
DEDUCTIVOS, en cambio la conclusión se infiere con cierto grado de PROBABILIDAD,
no con necesidad.
NOTA: En este curso estudiaremos los razonamientos deductivos.
ACTIVIDAD 1: Indicar cuáles de los siguientes razonamientos son deductivos:
1.- Ya he encontrado tres muebles de la sala apolillados. Luego es probable que
también lo estén los restantes muebles de la sala.
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2.- Todos los niños menores de tres años tienen muy poco desarrollada la capacidad
de abstracción. Por lo tanto, mi sobrina, de dos años de edad, debe de tener también
su capacidad de abstracción muy poco desarrollada.
3.- Siempre que llueve hace frío. Luego, siempre que hace frío llueve.
4.- He oído decir a varias personas, que poseen auto de la misma marca del mío, que
han tenido problemas con el motor. Pienso, por eso, que el mío también podrá tenerlos.
ACTIVIDAD 2: Proponga ejemplos de razonamientos deductivos. Determine en cada caso
sus componentes
RAZONAMIENTOS Y FORMAS DE RAZONAMIENTOS
Para obtener la estructura de un razonamiento deductivo, necesitamos abstraer su forma
lógica sin considerar el contenido informativo de sus proposiciones y de sus términos
(conectivos).La forma lógica de un razonamiento debe abstraerse de acuerdo con las reglas de la
lógica proposicional: usamos letras minúsculas de la parte media del alfabeto, como
variables proposicionales y cada termino de conectivo por el correspondiente signo lógico
que lo abstrae.Ejemplo:
Razonamiento
Forma lógica
Si estudio, entonces aprendo
p⇒q
Si aprendo, entonces apruebo
q⇒r
Luego: si estudio, entonces apruebo.
p⇒r
La estructura de un razonamiento está centrada, fundamentalmente, en los conectivos de
mayor alcance dentro de la fórmula.
Ej:
1- A ⇒ B
B⇒C
________
A⇒C
2- p ⇒q
q ⇒r
________
p⇒r
3- p ∨ q ⇒q
q⇒s∧t
__________
p ∨ p ⇒s ∧ t
4- t ∧ s ⇒ t ∧ r
t ∧r⇒p∨q
____________
t∧s⇒p∨q
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Estos ejemplos son
distintos entre sí, pero tienen en común que en todos ellos la
conectiva principal es el condicional.
En (1) la forma lógica es la más general de las cuatro y cada variable de este esquema
puede ser sustituída por variables proposicionales atómicas como en (2); atómicas y
moleculares como en (3), o fórmulas proposicionales moleculares como en el esquema
(4).
A pesar de presentar formas lógicas distintas entre si, todas tienen la estructura de una
misma regla lógica, llamada "regla del silogismo hipotético".
ACTIVIDAD 3: Dadas las siguientes formas de razonamientos proposicionales, proponer
un ejemplo de sustitución para cada una de ellas. En cada caso indique el nombre de la
regla de inferencia.
3.1.
p⇒q
p
_______
∴q
3.2.
p⇒~q
q
_______
∴~ p
3.3.
p∨ ~ q
~p
__________
∴~ q
3.4.
p∧q
_______
∴q
Ej: Si estudio desde el primer díal, aprobaré el parcial.
Estudio desde el primer día.
Luego, aprobaré el parcial.
3.5.
p
q
________
∴p ∧ q
3.6. p ∧ ~ r
____________
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∴(p ∧ ~ r)∨ q
3.7. p ⇒ q
____________
∴~ q ⇒ ~ p
3.8.
p ∧~q⇒~r
p ∧~q
_______________
∴~ r
p∨q⇒~p∧q
p∨~q
______________
∴~p∧~q
3.9.
ACTIVIDAD 4: Para cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, inferir su
conclusión. Escriba la regla de inferencia aplicada.
4.1. Una misma proposición puede ser premisa o conclusión. La proposición no es
premisa.
Respuesta: La proposición es conclusión.
4.2. Es suficiente que una proposición sea molecular para que contenga conectivos. La
proposición no contiene conectivos.
Luego,..................................................................................
4.3. Si resuelvo correctamente los ejercicios y estudio la teoría, apruebo el examen. No
apruebo el examen. Por consiguiente,......................................
4.4. Es necesario que el razonamiento sea válido para que el condicional asociado a su
forma lógica sea tautológico. El razonamiento no es válido.
Por lo tanto,............................................................................
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4.5. Si apruebo el parcial no rindo el recuperatorio y además, regularizo la asignatura. Por
tanto .................................................................................
4.6. Para participar, es suficiente ver una injusticia y callar. No participar.
Luego........................................................................................
VALIDEZ e INVALIDEZ
Un razonamiento es válido cuando constituye un ejemplo de sustitución de una forma
válida de razonamiento. Una forma de razonamiento es válida cuando sus premisas y
conclusión están relacionadas de modo tal que es absolutamente imposible que las
premisas sean verdaderas, a menos que la conclusión lo sea también.
Luego, la validez de un razonamiento deductivo no depende del contenido informativo de
las proposiciones que lo integran, sino de su forma lógica.
MÉTODOS PARA DEMOSTRAR LA VALIDEZ
Analizaremos los siguientes Métodos:
1- CONDICIONAL ASOCIADO
2- MÉTODO DEMOSTRATIVO
1- CONDICIONAL ASOCIADO
Dado un razonamiento, si construimos un condicional cuyo antecedente sea la
conjunción de las premisas y su consecuente, la conclusión del razonamiento, ocurrirá
que si el razonamiento es válido, el condicional construido será una TAUTOLOGÍA y
recíprocamente, si el condicional es tautológico, entonces el razonamiento que le dio
origen será válido.
En síntesis: UN RAZONAMIENTO ES VÁLIDO SI Y SOLO SI EL CONDICIONAL
ASOCIADO A SU FORMA LÓGICA ES TAUTOLÓGICO.
Este método tiene la ventaja de ser un procedimiento mecánico que permite determinar la
validez de un razonamiento en forma simple.
La desventaja se presenta cuando hay que trabajar con muchas variables.
Ej:
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Razonamiento
Si la conclusión de un razonamiento es falsa, entonces el razonamiento no es
válido o por lo menos una de las premisas es falsa.
La conclusión de un razonamiento es falsa.
Por consiguiente el razonamiento no es válido o por lo menos una de las
premisas es falsa.
Forma lógica
p⇒~ q ∨ r
p
_____________
~q ∨ r
Condicional asociado a la forma lógica
( p ⇒ ~ q ∨ r ) ∧ p
⇒ ~ q ∨ r
3- MÉTODO DE DEDUCCIÓN
Prueba formal de validez
Cuando los razonamientos contienen varias proposiciones atómicas diferentes como
componentes, se hace difícil y tedioso utilizar tablas de verdad para probar su validez.
Un método mas conveniente es DEDUCIR las conclusiones de sus premisas por una
secuencia de razonamientos mas cortos y mas elementales que ya se conocen que son
validos y aceptados como reglas de inferencia, que es todo esquema valido de
razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones compuestas.Iniciamos el desarrollo del método de deducción presentando una lista de solo nueve
formas de razonamiento validas elementales y de equivalencias lógicas que constituyen
nuevas reglas de inferencia al aplicar la regla de reemplazo: cualquiera de las siguientes
expresiones lógicamente equivalentes puede reemplazar a la otra en donde ocurran.Consideremos el siguiente razonamiento:
Si este es un ejercicio lógico, la unidad de control es el corazón del sistema.
Las computadoras más grandes son las más capaces o este es un ejercicio
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lógico.
Las computadoras más grandes no son las más capaces.
Luego. la unidad de control es el corazón del sistema.
Forma lógica
p⇒q (1)
r ∨ p (2)
~r
(3)
______________
q
Podemos probar su validez de la siguiente manera
a) De las premisas 2 y 3
válidamente inferimos
r∨p
~r
__________
p
(4)
por S D
b) De las premisas 1 y 4
válidamente inferimos
p ⇒q
p
_________
q
por MP, llegando así a la conclusión
Una manera más formal y más concisa de escribir esta prueba es hacer una lista de las
premisas y de las proposiciones deducidas de ellas en una columna con las
justificaciones escritas a un lado. La conclusión se escribe a la derecha de la última
premisa. La prueba formal de validez del ejemplo dado es:
1- p ⇒q
premisa
2- r ∨ p
premisa
3- ~r
premisa
4- p
2, 3, S D
5- q
1, 4, M P
DEFINICIÓN: Una PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ para un razonamiento, es una
sucesión de enunciados, cada uno de los cuales es una premisa de ese argumento o se
sigue de los precedentes por una R. de I. y tal que el último enunciado de la secuencia es
la conclusión del razonamiento cuya validez se esta demostrando.
PRUEBA DE INVALIDEZ
Para probar la invalidez de una F de R que tiene pocas variables proposicionales, nos
basta emplear el método del condicional asociado: Si el condicional formado por la
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conjunción de las premisas y la conclusión no es tautológico, decimos que se trata de una
forma no válida ya que por lo menos hay una hilera en el que el antecedente tiene en su
tabla el valor "V" y el consecuente el valor "F".
Si el razonamiento es complejo, podemos usar un método muy sencillo llamado
"MÉTODO DE ASIGNACIÓN DE VALORES", que consiste en lo siguiente:
1- Hallamos la forma lógica.
2- Si la forma es inválida, tendrá que suceder que podamos encontrar por lo menos un
caso que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. SUPONEMOS que se trata de un
razonamiento inválido; esto se lo logra colocando al lado de cada premisa el valor "V" y al
lado de la conclusión el valor "F". Si esta suposición se confirma , el razonamiento es
inválido, como así también todos los ejemplos de sustitución de su forma lógica.
Ejemplo: Si consideramos la forma lógica:
p ⇒q
r∨ p
r
_________
q
p ⇒q
F F
V
r∨p
V F
V
r
V
q
F
Asignando p : F, q : F y r : V, las premisas toman el valor V y la conclusión, F, con lo
que se prueba la invalidez de la forma dada.
ACTIVIDAD 5: Determinar la validez o invalidez de cada uno de los siguientes
razonamientos aplicando distintos métodos:
5.1- Si los razonamientos tienen una estructura, entonces una misma proposición puede
ser premisa o conclusión.
Una proposición es premisa.
Por lo tanto, si los razonamientos tienen una estructura, una proposición no es conclusión.
5. 2- Si Argentina manda tropas a Haití, será el único país latinoamericano que lo haga.
Si Argentina manda tropas a Haití, los argentinos residentes en ese país están en peligro.
Argentina manda tropas a Haití.
Luego, Argentina es el único país latinoamericano que manda tropas a Haití y los
argentino residentes están en peligro.
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5.3-
3 x 5 = 12
sii
5 + 5 + 5 = 12
4 x 4 ≠ 12
5 + 5 +5 = 12
sii
4 x 4 = 12
Por tanto 3 x 5 ≠ 12
5.4-El lago del Embalse de Río Hondo se contamina si y solo si los ingenios tucumanos
arrojan sus residuos a los ríos. Dirección de Saneamiento ambiental no realiza
inspecciones.
Si los ingenios tucumanos
arrojan sus residuos, Dirección de Saneamiento realiza
inspecciones.
Por consiguiente, el lago del embalse no se contamina.
5.5- Si el cerrojo fue levantado desde el interior, entonces el ladrón pudo atravesar la
puerta. Si el cerrojo fue levantado desde el interior, uno de los sirvientes se halla
implicado en el delito. El cerrojo fue levantado desde adentro. Luego, el ladrón atravesó
la puerta y uno de los sirvientes se halla implicado en el delito.
5.6- Si hay una obstrucción en la línea o la señal luminosa es roja, el tren se detendrá
antes de llegar al puente. El tren no se detiene antes de llegar al puente. Luego, no hay
obstrucción en la línea.
5.7- La propiedad es valiosa ó la compañía no hubiera ofrecido comprarla. O bien las
apariencias no son dignas de confianza o la propiedad no es valiosa. La compañía ofreció
comprar la propiedad. Luego, las apariencias no son dignas de confianza.
5.8- Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuiría el delito. Si el
cumplimiento estricto de la Ley hace disminuir el delito, entonces nuestro problema es de
carácter práctico. Las leyes son buenas. Luego, nuestro problema es de carácter práctico.
5.9 Si A se retira del torneo, entonces B ganará o C se retirará del torneo. B no ganará
el torneo. Por consiguiente si A se retira del torneo entonces C se retirará también.
ACTIVIDAD 6- Determinar si las siguientes formas de razonamiento son válidas o no
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a) ∼ ( p ∧ r )
q⇒r
q
b)
∼p
d) p ∧ q ⇒ r
∼r ∨ s
∼s
s ⇒ (p ∨ q)
s
∼p
q
p ∧q ⇒r
r ⇒q
p ∧ q
c)
.
q
∼s
e) p ∧ r
p ⇒s
r⇒t
∼p∨∼q
g)
p ⇒q
∼q
p ∨ r
s ⇒∼r
f)
s ∧ t
h)
p ∨ t
∼t
p⇒q∧s
i)
s ∧ q
p ⇒q
r ∨ p
∼r
_________
q
p ∨ q
t ⇒∼p
∼ (q ∨ r)
__________
∼t
Reglas de Inferencia
I) FORMAS DE RAZONAMIENTOS VÁLIDOS ELEMENTALES.
Modus Ponens (MP)
A⇒B
A
Modus Tollens (MT)
A⇒B
~ B
_________
∴B
____________
∴~A
Adición ( AD.)
A
Simplificación ( SIMP.)
A ∧B
_______
______
∴A∨B
∴A
Conjunción ( CONJ.)
A
Silogismo Disyuntivo (S.D.)
A∨B
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B
~A
_________
_________
∴A ∧ B
∴B
Silogismo Hipotetico (S.H.)
A⇒B
Dilema Destructivo (D.D.)
Dilema Constructivo
(A⇒B)∧(C⇒D)
B⇒C
(A ⇒ B ) ∧ ( C ⇒ D)
~B ∨ ~D
_____________
A∨C
_______________________
_______________
∴ A⇒C
∴~A ∨ ~C
B∨D
II) EQUIVALENCIAS LÓGICAS
2.Idem Potencia p ∨ p ≡ p ; p ∧ p ≡ p
3.Trasposición ( p ⇒ q ) ≡ ( ~ q ⇒ ~ p )
4.Conmutatividad ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p )
(p∨q)≡(q∨p)
5. Asociatividad [ p ∧ ( q ∧ r ) ] ≡ [ ( p ∧ q ) ∧ r ]
[p∨(q∨r)]≡[(p∨q)∨r]
6. Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción
[ p ∧ ( q ∨ r )] ≡ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )]
7. Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción
[ p ∨ ( q ∧ r )] ≡ [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )]
8. Distributividad del condicional con respecto de la conjunción
[ p ⇒ ( q ∧ r )] ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r )
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9. Distributividad del condicional con respecto de la disyunción
[ p ⇒ ( q v r )] ≡ ( p ⇒ q ) ∨ ( p ⇒ r )
10. De Morgan :
~(p∧q)≡(~p∨~q)
~(p∨q)≡(~p∧~q)
11. Exportación: [ ( p ∧ q ) ⇒ r ] ≡ [ p ⇒ ( q ⇒ r )]
12. Absorción :
p ≡ [ p ∧ ( p ∨ q )]
p ≡ [ p ∨ ( p ∧ q )]
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