Problemario - Escuela de Matemática

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Ejercicios de Análisis I
Ramón Bruzual
Marisela Domı́nguez
Caracas, Venezuela
Febrero 2005
Ramón Bruzual
Correo-E: [email protected]
Marisela Domı́nguez
Correo-E: [email protected]
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de Análisis
Escuela de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg
Nota: Este material está disponible en la página web
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg/guias.htm
En general mantenemos una réplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el vı́nculo se encuentra indicado en esa misma página web.
PROBLEMARIO
Práctica 1.
Números reales.
1
Topologı́a de la recta.
4
Sucesiones.
7
Práctica 2.
Práctica 3.
Práctica 4.
Lı́mites y continuidad.
11
Derivadas.
16
Integrales.
23
Series Numéricas.
27
Sucesiones y series de funciones.
31
Integrales impropias.
36
Práctica 5.
Práctica 6.
Práctica 7.
Práctica 8.
Práctica 9.
Bibliografı́a
37
iii
PRÁCTICA 1.
NÚMEROS REALES.
1
Práctica 1.
Números reales.
(1) Demostrar las siguientes afirmaciones (x e y denotan números reales):
(a) Si a x = a para algún número real a 6= 0 entonces x = 1.
(b) x2 − y 2 = (x − y) (x + y).
(c) Si x2 = y 2 entonces x = y ó x = −y.
(d) Si n es un número natural entonces
xn − y n = (x − y) (xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 )
(e) Si n es un número impar y xn = y n entonces x = y.
(f) Si n es un número par y xn = y n entonces x = y ó x = −y.
(2) Encontrar el error en la siguiente “demostración”.
Sean x e y números reales. Supongamos x = y. Entonces
x2 = y 2
x2 − y 2 = x y − y 2
(x + y) (x − y) = y (x − y)
x+y =y
2y = y
Si tomamos x = y = 1 obtenemos 2 = 1.
(3) Demostrar que si a, b, c, d son números reales y b, d 6= 0 entonces
a c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
(4) El máximo de dos números reales x e y se denota por max(x, y) y el mı́nimo por
min(x, y) . Demostrar:
x + y + |y − x|
,
2
x + y − |y − x|
.
min(x, y) =
2
max(x, y) =
(5) Demostrar que no existe ningún número racional de cuadrado igual a 2.
2
PROBLEMARIO
(6) Demostrar que la suma de un número racional y un número irracional es un número
irracional.
(7) ¿Es la suma de números irracionales un número irracional?
(8) Demostrar que el producto de un número racional no nulo por un número irracional
es un número irracional.
(9) ¿Es el producto de números irracionales un número irracional?
(10) Demostrar que existe un único número real positivo cuyo cuadrado es igual a 2.
Indicación: Considerar el conjunto
A = {x ∈ R : x2 < 2},
demostrar que A es acotado y que si a = sup A entonces a2 = 2.
(11) Utilizar la misma idea del ejercicio anterior para demostrar que si n es par y a > 0
entonces a tiene una única raı́z n-ésima positiva. Enunciar y demostrar el resultado
correspondiente para n impar.
Tal como veremos más adelante, el Teorema ?? permite dar una demostración
sencilla de este resultado.
(12) Demostrar que
√
2+
√
3 es un número irracional.
(13) Demostrar que si x e y son números reales entonces
(a) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
(b) |x y| = |x| |y|.
¯ ¯
¯1¯
(c) ¯¯ ¯¯ =
x
¯ ¯
¯x¯
(d) ¯¯ ¯¯ =
y
1
, si x 6= 0.
|x|
|x|
, si y 6= 0.
|y|
(e) |x − y| ≤ |x| + |y|.
(f) |x| − |y| ≤ |x − y|.
PRÁCTICA 1.
NÚMEROS REALES.
3
(14) Demostrar las siguientes afirmaciones (a, b, c y d denotan números reales).
(a) Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
(b) Si a < b entonces −b < −a.
(c) Si a < b y c > d entonces a − c < b − d.
(d) Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c.
(e) Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c.
(f) Si a > 1 entonces a2 > a.
(g) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.
(h) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d entonces a · c < b · d.
(i) Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2 .
(j) Si a, b ≥ 0 y a2 < b2 entonces a < b.
(k) Si a > 0 entonces a−1 > 0.
(15) Demostrar que la unión de dos conjuntos numerables es numerable
(16) Sean a y b números reales tales que 0 < a < b. Demostrar que
√
a+b
a < ab <
< b.
2
(17) Demostrar que si A es un subconjunto acotado superiormente de R entonces sup A
es único.
(18) (a) Dar la definición de ı́nfimo.
(b) Demostrar que si A es un subconjunto acotado inferiormente de R entonces A
posee ı́nfimo e inf A es único.
4
PROBLEMARIO
Práctica 2.
Topologı́a de la recta.
(1) (a) Demostrar que entre dos números racionales existe un número irracional.
(b) Demostrar que entre dos números racionales existen infinitos números irracionales.
(c) Demostrar que entre dos números irracionales existe un número racional.
(d) Demostrar que entre dos números irracionales existen infinitos números racionales.
(2) ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R son abiertos? ¿Cuáles son cerrados?
¿Cuáles son compactos?.
(a) (0, 1).
(b) [0, 1].
(c) (0, 1) ∪ {2, 3}.
(d) {1, 2}.
(e) (0, 2) ∪ {1}.
(f) Q.
(g) Z.
(h) Q ∩ [0, 2].
(i) (−∞, 5].
(j) (1, +∞) ∩ N.
(k) El conjunto de los números irracionales.
(l) El conjunto de los números irracionales intersectado con [0, 1].
(m) (0, +∞)
(n) {x ∈ R : x2 < 2}
(o) {x ∈ Q : x2 < 2}
(3) (a) Demostrar que la unión de una familia arbitraria de subconjuntos abiertos de
R es un conjunto abierto.
(b) Demostrar que la intersección de una familia finita de subconjuntos abiertos de
R es un conjunto abierto.
(c) Mostrar, mediante un ejemplo, que puede ocurrir que la intersección de una
familia infinita de subconjuntos abiertos de R no sea un conjunto abierto.
PRÁCTICA 2.
TOPOLOGÍA DE LA RECTA.
5
(4) (a) Demostrar que la intersección de una familia arbitraria de subconjuntos cerrados de R es un conjunto cerrado.
(b) Demostrar que la unión de una familia finita de subconjuntos cerrados de R es
un conjunto cerrado.
(c) Mostrar, mediante un ejemplo, que puede ocurrir que la unión de una familia
infinita de subconjuntos cerrados de R no sea un conjunto cerrado.
(5) Hallar el conjunto de los puntos de acumulación de los siguientes subconjuntos
de R.
(a) R.
½
¾
1
(b) 1 − : n = 1, 2, . . . .
n
¶n
¾
½µ
1
(c)
: n = 1, 2, . . . .
1+
n
√
(d) { n n : n = 1, 2, . . . }.
(e) Los conjuntos que aparecen en el ejercicio 2.
(6) Construir un subconjunto acotado de R que tenga exactamente tres puntos de acumulación.
(7) Sea A0 el conjunto de los puntos de acumulación del conjunto A. Demostrar que A0
es cerrado.
(8) ¿Es la unión de conjuntos conexos un conjunto conexo? ¿Es la intersección de
conjuntos conexos un conjunto conexo?
(9) Demostrar que los únicos subconjuntos de R que son a la vez abiertos y cerrados
son R y ∅.
(10) Demostrar que cada componente conexa de un subconjunto abierto de R es un
conjunto abierto ( y por lo tanto un intervalo abierto).
6
PROBLEMARIO
(11) (*) Demostrar que todo subconjunto abierto de R es la unión de una cantidad a lo
sumo numerable de intervalos abiertos disjuntos.
(12) (*) Se dice que un números real a es algebraico si a es raı́z de una ecuación de la
forma
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + a0 = 0
donde a0 , . . . , an son números enteros.
Demostrar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.
PRÁCTICA 3.
SUCESIONES.
7
Práctica 3.
Sucesiones.
(1) (a) Demostrar, a partir de la definición, que toda sucesión convergente es acotada.
(b) Dar un ejemplo de una sucesión acotada que no es convergente.
(2) Demostrar que toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente.
(3) (a) Demostrar que si la sucesión {xn } converge entonces la sucesión {|xn |} también
converge y
¯
¯
¯
¯
lim |xn | = ¯¯ lim xn ¯¯ .
n→+∞
n→+∞
(b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente {xn } tal que {|xn |} converge.
(4) (a) Demostrar que si la sucesión {xn } converge entonces la sucesión {x2n } también
converge y
lim x2n = ( lim xn )2 .
n→+∞
n→+∞
(b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente {xn } tal que {x2n } converge.
(5) ¿ Qué puede decirse de una sucesión convergente {an } tal que an ∈ Z para todo n?
(6) Sean {xn } e {yn } sucesiones convergentes.
Demostrar que si c ∈ R entonces la sucesión {cxn } es convergente y
lim c xn = c lim xn .
n→+∞
n→+∞
(7) Conseguir una expresión más simple para la función
f (x) = lim ( lim (cos(n!πx) )2k ),
n→+∞ k→+∞
x ∈ R.
(8) Sean {xn } e {yn } sucesiones tales que existen
limn→+∞ xn y limn→+∞ yn .
Indicar cuales de las siguientes propiedades se cumplen, o bajo qué condiciones
adicionales se cumplen:
(a) Si c ∈ R entonces limn→+∞ c xn = c limn→+∞ xn .
8
PROBLEMARIO
(b) limn→+∞ xn + yn = limn→+∞ xn + limn→+∞ yn .
(c) limn→+∞ xn · yn = limn→+∞ xn · limn→+∞ yn .
(d) limn→+∞
xn
limn→+∞ xn
=
.
yn
limn→+∞ yn
En caso de que afirme que la propiedad se cumple hacer la demostración. Si
afirma que la propiedad no se cumple dar un contraejemplo.
( Utilizar las convenciones usuales a + ∞ = +∞, a − ∞ = −∞ si a ∈ R ,
a · (+∞) = +∞ si a > 0, etc. )
(9) (a) Demostrar que si limn→+∞ an = L entonces
a1 + a2 + · · · + an
= L.
n→+∞
n
lim
(b) Dar un ejemplo de una sucesión {an } tal que existe
a1 + a2 + · · · + an
,
n→+∞
n
lim
pero sin embargo no existe limn→+∞ an .
(10) (a) Demostrar que si 0 < a < 2 entonces a <
√
2a < 2.
(b) Demostrar que la sucesión
√
q
2,
√
2 2,
r q
√
2 2 2, . . .
es convergente.
(c) Hallar el lı́mite de la sucesión anterior.
(11) Demostrar o dar un contraejemplo:
(a) Si {xn } es una sucesión convergente tal que limn→+∞ xn > 0 entonces xn > 0
para todo n.
(b) Si {xn } es una sucesión convergente tal que limn→+∞ xn > 0 entonces existe
N ∈ N tal que xn > 0 para todo n ≥ N .
PRÁCTICA 3.
SUCESIONES.
9
(c) Si {xn } es una sucesión convergente tal que limn→+∞ xn > 0 entonces existen
r > 0 en R y N ∈ N tales que xn > r para todo n ≥ N .
(d) Si {xn } es una sucesión convergente tal que limn→+∞ xn ≥ 0 entonces existe
N ∈ N tal que xn ≥ 0 para todo n ≥ N .
(e) Si {xn } es una sucesión convergente tal que a ≤ xn ≤ b para todo n (a y b
reales) entonces
a ≤ lim xn ≤ b.
n→+∞
(f) Si {xn } es una sucesión convergente tal que a < xn < b para todo n (a y b
reales) entonces
a < lim xn < b.
n→+∞
(12) Hallar todas las subsucesiones convergentes de las sucesiones
(a) 1, −1, 1, −1, . . .
(b) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .
(c) 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
(13) Demostrar que si {xn } e {yn } son sucesiones entonces
lim sup xn + yn ≤ lim sup xn + lim sup yn .
(14) Demostrar que si {xn } e {yn } son sucesiones tales que xn ≤ yn para todo n entonces
(a) lim sup xn ≤ lim sup yn .
(b) lim inf xn ≤ lim inf yn .
(15) Sea {α(n)} el número de números primos que dividen a n. Demostrar que
lim
n→+∞
α(n)
= 0.
n
10
PROBLEMARIO
(16) Demostrar que si a > 1 entonces
lim an = +∞.
n→+∞
Indicación: Notar que {an } es una sucesión monótona creciente. Por lo tanto si
suponemos que esta sucesión es acotada entonces debe converger. Notar también
que an+1 − an = an (a − 1) ≥ (a − 1).
(17) Demostrar que si 0 < a < 1 entonces
lim an = 0.
n→+∞
(18) Sean a y b números reales positivos. Hallar
√
n
lim
a n + bn .
n→+∞
(19) Hallar el lı́mite superior y el lı́mite inferior de las siguientes sucesiones:
½ ¾
1
(a)
n
½
¾
n1
(b) (−1)
n
¶¾
½
µ
1
n
(c) (−1) 1 +
n
½
µ
¶n ¾
1
n
(d) (−1) 1 +
n
√
√
(e) { n + 1 − n}
√
n
(f) {( n n − 1) }
(g) x1 = 0, x2n =
x2n−1
1
, x2n+1 = + x2n
2
2
(h) {(−1)n n}
(20) Hallar los siguientes lı́mites:
µ
¶ n2
4
(a) lim 1 + 2
n→+∞
n
µ µ ¶¶3n2
2
(b) lim cos
n→+∞
n
µ
¶n
1
(c) lim 1 −
n→+∞
n
µ
¶
1
(d) lim n ln 1 +
n→+∞
n
(21) Hallar una sucesión de números racionales que converja a
√
3.
PRÁCTICA 4.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
11
Práctica 4.
Lı́mites y continuidad.
(1) Sea D un subconjunto de R, f : D → R una función y x0 ∈ R un punto de
acumulación de D. Supongamos que existe limx→x0 f (x) y es positivo. Demostrar
que existe δ > 0 tal que si x ∈ D y 0 < |x − x0 | < δ entonces f (x) > 0.
(2) Sea D un subconjunto de R, f : D → R una función y x0 ∈ D tal que f es continua
en x0 . Supongamos f (x0 ) > 0. Demostrar que existe δ > 0 tal que si x ∈ D y
|x − x0 | < δ entonces f (x) > 0.
(3) Sea D un subconjunto de R, f, g : D → R funciones continuas en x0 ∈ D. Supongamos que f (x0 ) > g(x0 ).
Demostrar que existe δ > 0 tal que si x ∈ D y |x − x0 | < δ entonces f (x) > g(x).
¿ Sigue siendo cierta la conclusión si en vez de suponer f (x0 ) > g(x0 ) suponemos
f (x0 ) ≥ g(x0 ) ?
(4) Demostrar que la función definida por

µ ¶

x sen 1
si x 6= 0
x
f (x) =

0
si x = 0
es continua en 0.
(5) Sea f : R → R una función continua. Demostrar que si C ⊂ R es cerrado entonces
f −1 (C) es cerrado.
(6) (a) Sea f : R → R una función continua.
Demostrar que el conjunto {x ∈ R : f (x) = 0} es cerrado.
(b) Sean f, g : R → R funciones continuas.
Demostrar que el conjunto {x ∈ R : f (x) = g(x)} es cerrado.
(7) Sean A y D subconjuntos de R. Se dice que A es denso en D si A ⊂ D y todo
entorno de un punto de D contiene puntos de A (por ejemplo, Q es denso en R).
(a) Sea f continua en D y A un conjunto denso en D. Demostrar que si f (x) = 0
para todo x ∈ A entonces f (x) = 0 para todo x ∈ D.
12
PROBLEMARIO
(b) Sean f y g continuas en D y A un conjunto denso en D. Demostrar que si
f (x) = g(x) para todo x ∈ A entonces f (x) = g(x) para todo x ∈ D.
(8) Sea f : R → R una función tal que f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R.
Demostrar:
(a) f (nx) = nf (x) para todo n ∈ N , para todo x ∈ R.
µ
(b) f
µ
(c) f
1
x
q
¶
p
x
q
=
1
f (x) para todo q ∈ N, q 6= 0, para todo x ∈ R.
q
=
p
f (x) para todo p, q ∈ Z, q 6= 0, para todo x ∈ R.
q
¶
(9) Sea f : R → R una función continua tal que f (x + y) = f (x) + f (y) para todo
x, y ∈ R. Demostrar que existe a ∈ R tal que f (x) = ax para todo x ∈ R.
(10) Sea D ⊂ R y f : D → R una función uniformemente continua. Demostrar que si D
es acotado entonces f (D) es acotado. Mostrar con un ejemplo que la conclusión no
es cierta si omitimos la hipótesis D acotado.
(11) Sea D ⊂ R y f : D → R una función uniformemente continua. Demostrar que si
{xn } ⊂ D es una sucesión de Cauchy entonces {f (xn )} también es una sucesión de
Cauchy. Buscar un ejemplo que muestre que la hipótesis “f uniformemente continua”
no puede ser omitida.
(12) Demostrar que si I es un intervalo y f : I → R es una función continua y estrictamente creciente entonces la imagen de todo intervalo abierto contenido en I es un
intervalo abierto.
(13) Demostrar que todo polinomio de grado impar posee por lo menos una raı́z real.
(14) Sean f y g funciones continuas definidas en el intervalo [a, b] tales que f (a) < g(a)
y f (b) > g(b). Demostrar que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = g(c). Interpretar
gráficamente.
(15) Utilizar el Teorema ?? para demostrar que existe a ∈ R tal que a2 = 2 (ver Ejercicio
10 del Capı́tulo ??).
PRÁCTICA 4.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
13
(16) Demostrar que si n es un número natural par y a > 0, existe un único x > 0 tal que
xn = a.
(17) Demostrar que si n es un número natural impar y a ∈ R, existe un único x ∈ R tal
que xn = a.
(18) Todo número racional x se puede escribir en la forma
x=
m
,
n
donde m y n son enteros sin divisores comunes y n > 0. Cuando x = 0 tomaremos
n = 1. Consideremos la función definida en R por

0 si x es irracional
f (x) = 1
m

si x =
n
n
Demostrar que f es continua en todo punto irracional y que f tiene una discontinuidad simple en todo punto racional.
(19) ¿Cuáles de las siguientes funciones son uniformemente continuas?
(a) f : R → R definida por f (x) = x2 .
(b) g : [−2, 2] → R definida por g(x) = x2 .
(c) h : R → R definida por h(x) = sen(x)
(20) (a) Demostrar que si f es una función continua, definida en un conjunto D entonces
la función |f | también es continua en D.
(b) Sea f una función continua definida en R. Demostrar que f se puede escribir
en la forma f = P + I, donde P es una función par y continua en R e I es una
función impar y continua en R.
(c) Demostrar que si f y g son funciones continuas definidas en D entonces las
funciones max(f, g), min(f, g) también son continuas.
(21) Demostrar que si f es una función continua tal que su dominio contiene un entorno
de L y limx→a g(x) = L entonces limx→a f (g(x)) = f (L). Mostrar con un ejemplo
que si no se supone la continuidad de f el resultado anterior no se cumple.
14
PROBLEMARIO
(22) Sea f : R → R definida por

0 si x es irracional
f (x) =
1 si x es racional
¿En cuáles puntos es f continua?
(23) Dar un ejemplo de una función que no sea continua en ningún punto, pero tal que
|f | es continua en todo R.
(24) Demostrar que existe x ∈ R tal que sen x = x − 1.
(25) Supóngase que f y g son funciones continuas en R , que f 2 = g 2 y que f (x) 6= 0
para todo x ∈ R. Demostrar que f (x) = g(x) para todo x ∈ R ó f (x) = −g(x) para
todo x ∈ R.
(26) Demostrar que si f : [0, 1] → [0, 1] es una función continua entonces existe x ∈ [0, 1]
tal que f (x) = x.
(27) Supóngase que f es continua en [a, b] y que f (x) es siempre racional. ¿Qué puede
decirse acerca de f ?
(28) (a) Demostrar que no existe ninguna función continua f : R → R que tome exactamente dos veces cada uno de sus valores.
(b) Construir una función continua f : R → R que tome exactamente tres veces
cada uno de sus valores.
(29) Demostrar el siguiente Teorema:
Sean X e Y subconjuntos de R, f : X → Y una función.
f es continua si y sólo si la imagen inversa de un conjunto abierto en Y es un
conjunto abierto en X.
(30) Utilizar el Teorema ?? para demostrar que si f : R → R es una función continua e
inyectiva, entonces f −1 : f (R) → R es continua.
PRÁCTICA 4.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
15
(31) ? Dar un ejemplo de una función f : D → R (D un subconjunto de R) que es
inyectiva, continua y f −1 : f (D) → R no es continua.
(32) Sea f : (0, 1) → R una función uniformemente continua. Demostrar que existe
lim f (x).
x→0+
(33) Sea f : R → R una función continua tal que existen los lı́mites
lim f (x) y
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
y son finitos.
Demostrar que f es uniformemente continua en R.
16
PROBLEMARIO
Práctica 5.
Derivadas.
(1) Sea f (x) = |x|3 . Hallar f 0 (x), f 00 (x) para cualquier x de R y demostrar que f 000 (0)
no existe.
(2) Sea f : R → R una función tal que
|f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2
para todo x, y en R. Demostrar que f es constante. ¿Puede generalizar este
resultado?
(3) Supóngase que f es una función definida en un entorno de x y que f 00 (x) existe.
Demostrar que
f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)
= f 00 (x).
h→0
h2
Dar un ejemplo que muestre que el lı́mite anterior puede existir aunque f 00 (x)
lim
no exista.
(4) Sean f y g funciones que poseen derivadas de todos los órdenes y sea h = f · g
(a) Demostrar que
h00 (x) = f 00 (x) g(x) + 2f 0 (x) g 0 (x) + f (x) g 00 (x).
(b) Demostrar que si n es un entero positivo entonces
(n)
h
(x) =
n
X
k=0
n!
f (k) (x) g (n−k) (x).
k! (n − k)!
(Este resultado lleva el nombre de fórmula de Leibnitz)
(5) Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que tiene derivada por la derecha
en un punto c ∈ [a, b]. Demostrar que f es continua por la derecha en c.
(6) Sea f la función definida por

x
si x es racional;
f (x) =
sen x si x es irracional.
Probar que f 0 (0) = 1.
PRÁCTICA 5.
DERIVADAS.
17
(7) Demostrar o dar un contraejemplo:
Si f : (a, b) → R es una función diferenciable en c ∈ (a, b) y f 0 (c) > 0 entonces
f es creciente en un subintervalo abierto de (a, b) que contiene a c.
(8) Demostrar que no existe k en R tal que la ecuación
x3 − 3x + k = 0
tenga dos soluciones en [0,1].
(9) Demostrar que si
C0 +
C1
Cn−1
Cn
+ ··· +
+
= 0,
2
n
n+1
donde C0 , . . . Cn son constantes reales, entonces existe x ∈ (0, 1) tal que
C0 + C1 x + · · · + Cn−1 xn−1 + Cn xn = 0.
(10) Supóngase que f está definida y es diferenciable para todo x > 0 y que f 0 (x) → 0
si x → +∞. Sea
g(x) = f (x + 1) − f (x).
Demostrar que g(x) → 0 si x → +∞.
(11) Supóngase que
f es continua para x ≥ 0.
f es derivable para x > 0.
f (0) = 0.
f 0 es monótona creciente.
Sea
f (x)
(x > 0).
x
Probar que g es monótona creciente.
g(x) =
(12) Demostrar que entre todos los rectángulos de igual perı́metro, el que tiene mayor
área es el cuadrado.
18
PROBLEMARIO
(13) Trazar los gráficos de las siguientes funciones:
x
−1
x2 + 1
x
(d) f (x) =
x2 + 1
(b) f (x) =
x2
(e) f (x) =
x2
x2 − 4
(f) f (x) =
x3
x2 − 9
(a) f (x) =
−x2
(c) f (x) = e
(14) Demostrar, sin calcular
√
x2
66 , que
1 √
1
< 66 − 8 < .
9
8
(15) Supóngase que f es n veces derivable y que f (x) = 0 para n + 1 diferentes valores
de x. Demostrar que f (n) (x) = 0 para algún x.
(16) Demostrar que si f es una función inyectiva, derivable en un intervalo y
f 0 (f −1 (a)) = 0 entonces f −1 no es derivable en a.
(17) Demostrar el siguiente Teorema:
Sea f : (a, b) → R una función diferenciable tal que f 0 (x) > 0 para todo x de
(a, b), o f 0 (x) < 0 para todo x de (a, b) y sea g su función inversa. Entonces g es
diferenciable y
g 0 (f (x)) =
1
f 0 (x)
.
(18) Deducir las fórmulas para las derivadas de las funciones arcsen, arccos, arctan,
arcsec, etc...
(19) * Demostrar que si |f | es derivable en a y f es continua en a entonces f es derivable
en a.
(20) ** Sea f : R → R una función diferenciable tal que f (0) = 0 y |f 0 (x)| ≤ |f (x)| para
todo x ∈ R. Demostrar que f (x) = 0 para todo x ∈ R.
PRÁCTICA 5.
DERIVADAS.
19
(21) Sea f : (a, b) → R una función continua. Supongamos que para cierto c ∈ (a, b) se
cumple que f es derivable en (a, c) y en (c, b) y que limx→c f 0 (x) = L. Demostrar
que f es derivable en c y f 0 (c) = L.
(22) Demostrar que si x ∈ R entonces
sen x =
+∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
.
(2n + 1)!
Hallar fórmulas similares para las funciones cos, exp, cosh y senh.
(23) Demostrar que sen x < x para todo x > 0.
(24) Sea f : [a, b] → R derivable y tal que f 0 es continua en [a, b]. Demostrar que para
cada ε > 0 existe δ > 0 tal que
¯
¯
¯ f (t) − f (x)
¯
0
¯
¯<ε
−
f
(x)
¯ t−x
¯
si 0 < |t − x| < δ, a ≤ x, t ≤ b.
(25) Sea f : R → R una función derivable. Demostrar que si existen limx→+∞ f (x) y
limx→+∞ f 0 (x) y son finitos entonces limx→+∞ f 0 (x) = 0.
(26) Dar un ejemplo de una función derivable f : R → R tal que existe limx→+∞ f (x) y
es finito y no existe limx→+∞ f 0 (x).
(27) Demostrar las siguientes variantes de la regla de L’Hopital (colocar en detalle las
hipótesis adecuadas en cada caso).
(a) Si limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0, y limx→a+
limx→a+
f (x)
= l.
g(x)
(b) Si limx→a− f (x) = limx→a− g(x) = 0, y limx→a−
limx→a−
f 0 (x)
= l, entonces
g 0 (x)
f (x)
= l.
g(x)
f 0 (x)
= l, entonces
g 0 (x)
20
PROBLEMARIO
(c) Si limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0, y limx→a
limx→a
f (x)
= +∞.
g(x)
(d) Si limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0, y limx→a
limx→a
f 0 (x)
= +∞, entonces
g 0 (x)
f 0 (x)
= −∞, entonces
g 0 (x)
f (x)
= −∞.
g(x)
(e) Si limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0, y limx→a+
limx→a+
f (x)
= +∞.
g(x)
(f) Si limx→a− f (x) = limx→a− g(x) = 0, y limx→a−
limx→a−
f 0 (x)
= −∞, entonces
g 0 (x)
f (x)
= −∞.
g(x)
(h) Si limx→a− f (x) = limx→a− g(x) = 0, y limx→a−
limx→a−
f 0 (x)
= +∞, entonces
g 0 (x)
f (x)
= +∞.
g(x)
(g) Si limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0, y limx→a+
limx→a+
f 0 (x)
= +∞, entonces
g 0 (x)
f 0 (x)
= −∞, entonces
g 0 (x)
f (x)
= −∞.
g(x)
(i) Si limx→+∞ f (x) = limx→+∞ g(x) = 0, y limx→+∞
limx→+∞
f (x)
= l.
g(x)
Indicación: Considerar limx→0+
¡ ¢
f x1
¡ ¢.
g x1
(j) Si limx→−∞ f (x) = limx→−∞ g(x) = 0, y limx→−∞
limx→−∞
f 0 (x)
= l, entonces
g 0 (x)
f (x)
= l.
g(x)
(k) Si limx→+∞ f (x) = limx→+∞ g(x) = 0, y limx→+∞
limx→+∞
f 0 (x)
= l, entonces
g 0 (x)
f (x)
= +∞.
g(x)
f 0 (x)
= +∞, entonces
g 0 (x)
PRÁCTICA 5.
DERIVADAS.
21
0
(l) Notar que hasta ahora sólo se han considerado lı́mites de la forma . En este
0
∞
ejercicio se consideran lı́mites de la forma
y requiere de mayor manipulación.
∞
Si
lim f (x) = lim g(x) = +∞,
x→+∞
x→+∞
y
f 0 (x)
= l,
x→+∞ g 0 (x)
lim
entonces
f (x)
= l.
x→+∞ g(x)
lim
Indicación:
Para todo ε > 0 existe a ∈ R tal que
¯ 0
¯
¯ f (x)
¯
¯
¯
¯ g 0 (x) − l¯ < ε para x > a.
Por el teorema del valor medio de Cauchy se tiene que
¯
¯
¯ f (x) − f (a)
¯
¯
¯ < ε para x > a.
−
l
¯ g(x) − g(a)
¯
Notar que
f (x)
f (x) − f (a)
f (x)
g(x) − g(a)
=
·
·
.
g(x)
g(x) − g(a) f (x) − f (a)
g(x)
(m) Finalmente establecer el siguiente resultado:
Si
lim f (x) = lim g(x) = { },
x→[ ]
x→[ ]
y
f 0 (x)
= ( ),
x→[ ] g 0 (x)
lim
entonces
f (x)
= ( ),
x→[ ] g(x)
lim
donde [ ] puede ser a, a+ , a− , +∞ ó −∞; { } puede ser 0, +∞ ó −∞ y ( )
puede ser l, +∞ ó −∞.
22
PROBLEMARIO
(28) Hallar los siguientes lı́mites:
1−x
¡ ¢
x→1 1 − sen πx
2
(a) lim
(b) lim
x→+∞
(c) lim
x→+∞
(29) Sea
ex
(d) lim x sen
x→+∞
¡1¢
x
tan 5x
x→0 sen 8x
¡ ¢
x2 sen x1
(f) lim
x→0
sen x
(e) lim
x10000
sen x
x

µ ¶

x4 sen2 1
si x 6= 0;
x
f (x) =

0
si x = 0.
Demostrar que:
(a) f posee un mı́nimo local en 0.
(b) f 0 (0) = f 00 (0) = 0.
(c) f no es creciente en ningún intervalo a la dercha de 0 y no es decreciente en
ningún intervalo a la izquierda de 0.
PRÁCTICA 6.
INTEGRALES.
23
Práctica 6.
Integrales.
(1) Sean a < b < c < d y f una función integrable sobre el intervalo [a, d]. Demostrar
que f es integrable sobre [b, c].
(2) Demostrar que si f es integrable sobre [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x de [a, b] entonces
Z b
f ≥ 0.
a
(3) Demostrar que si f y g son integrables sobre [a, b] y f (x) ≥ g(x) para todo x de
[a, b] entonces
Z
Z
b
b
f≥
a
g.
a
(4) Sea f una función definida en el intervalo [a, b] que es acotada y que es continua en
todo punto de [a, b], con la excepción de x0 ∈ (a, b). Demostrar que f es integrable
sobre [a, b].
Puede dar una generalización del resultado anterior?
(5) Supóngase que f es integrable sobre [a, b]. Demostrar que existe x en [a, b] tal que
Z b
Z x
f.
f=
x
a
(6) Sea f una función continua en el intervalo [a, b] tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].
Demostrar que si
Z
b
f =0
a
entonces f (x) = 0 para todo x de [a, b].
(7) Supóngase que f es continua sobre [a, b] y que
Z b
fg = 0
a
para toda función g continua en [a, b]. Demostrar que f (x) = 0 para todo x de [a, b].
(8) Sea f una función integrable en [a, b] tal que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b].
Demostrar que existe que existe un número real µ ∈ [m, M ] tal que
Z b
f = (b − a)µ.
a
24
PROBLEMARIO
Interpretar geométricamente.
(9) (Primer teorema del valor medio para integrales) Demostrar que si f es continua
sobre [a, b] entonces existe x ∈ [a, b] tal que
Z b
f = (b − a)f (x).
a
Interpretar geométricamente.
(10) (Segundo teorema del valor medio para integrales) Supóngase que f es continua
sobre [a, b] y que g es integrable y no negativa sobre [a, b]. Demostrar que existe
ξ ∈ [a, b] tal que
Z
Z
b
b
f g = f (ξ)
a
g.
a
Dar un ejemplo que muestre que la hipótesis sobre g es esencial.
(11) Demostrar que si f es una función integrable sobre el intervalo [a, b] entonces |f | es
integrable sobre [a, b] y
¯Z b ¯ Z b
¯
¯
¯
f ¯¯ ≤
|f |.
¯
a
a
(12) (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Demostrar que si f y g son funciones integrables
sobre el intervalo [a, b], entonces
¶
¶ µZ b
¶2 µZ b
µZ b
2
2
(g(x)) dx .
(f (x)) dx
f (x)g(x)dx ≤
a
a
a
(13) Supóngase que f es continua en [0, +∞) y que limx→+∞ f (x) = a. Demostrar que
Z
1 x
f (t)dt = a.
lim
x→+∞ x 0
(14) Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones
Z x5
(a) F (x) =
cos3 tdt
1
Z
R x6
1
(b) F (x) =
1
cos t dt
cos t
dt
2 + sen2 t
PRÁCTICA 6.
Z
x3
(c) F (x) =
x2
INTEGRALES.
25
2
e−u du
µZ
µZ
ex
(d) F (x) = cos
cos
0
¶
u
2
¶
3
cos t dt du
0
Z
x
(15) Para cada una de las siguientes funciones f , sea F (x) =
f (t) dt. ¿En cuáles
0
puntos x se cumple F 0 (x) = f (x)?

0 si x ≤ 1;
(a) f (x) =
1 si x > 1.

0 si x < 1;
(b) f (x) =
1 si x ≥ 1.
(c) f (x) =

0
si x ≤ 0;
x si x > 0.
(16) Sean h una función continua, f y g funciones derivables y F la función definida por
Z g(x)
h(t) dt.
F (x) =
f (x)
Hallar una expresión para F 0 (x) en términos de f , f 0 , g, g 0 y h.
(17) Hallar las siguientes primitivas
Z
(a)
Z
(b)
arcsen
Z
(c)
Z
(d)
(e)
1
dx
x4 + 1
√
x dx
x
dx
1 + sen x
arctan x dx
Z √
tan x dx
26
PROBLEMARIO
(18) (*) Sea f : [0, 1] → R definida por



0 si x es irracional;



f (x) = 0 si x = 0


p
1


si x = como fracción irreducible.

q
q
R1
Demostrar que f es integrable sobre [0, 1] y que 0 f = 0.
Indicación:
Como todas las sumas inferiores para esta función son iguales a 0, basta demostrar que para cada ε > 0 existe una partición P de [0, 1] tal que U (f, P ) < ε.
Dado ε > 0, sea n tal que 1/n < ε/2 y sean {x0 , x1 , . . . , xm } todos los puntos
racionales de [0, 1] de la forma p/q con q < n.
Escoger una partición P = {to , . . . , tk } tal que la suma de las longitudes de los
intervalos [ti−1,ti ] que contiene a algún xj sea menor que ε/2.
Demostrar que U (f, P ) < ε.
(19) (*) Hallar dos funciones f y g que sean integrables, pero cuya composición g ◦ f no
lo sea.
Indicación: El ejercicio anterior puede ser de utilidad.
PRÁCTICA 7.
SERIES NUMÉRICAS.
27
Práctica 7.
Series Numéricas.
(1) Clasificar cada una de las siguientes series como convergente o divergente y, en caso
de que corresponda, absolutamente convergente o condicionalmente convergente.
(a)
(c)
(e)
(g)
∞
X
sen n
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=2
(i)
(b)
n3
∞
X
n=2
∞
X
log n
n
(d)
n5
n!
(f)
1
(log n)5
(h)
(j)
n=1
∞
X
n=2
∞
X
∞
X
n=2
1
(k)
2
n (log n)
n=2
∞
X 2n
(m)
n!
n=1
µ ¶
∞
X
1
(o)
sen
n
n=1
∞
X√
√
(q)
n+1− n
(l)
(n)
n=1
√
√
n3 + 5 − n3 + 3
n=1
µ ¶
∞
X
1
(w)
sen n
2
n=1
∞
X
√
√
(y)
n2 + 5 − n2 + 3
n=1
(2) Para cuales valores de a converge la serie
n=1
nn
√
3
1
n2 + n
1
log n
1
(log n)n
1
n (log n)2
1
log(log n)
n=3
∞
X 3n
n!
³π ´
1 − cos
n
n=1
µ
¶
∞
X
n2 + 1
(r)
log
n2
n=1
∞
X
1
p
(t)
n(n + 1)(n + 2)
n=1
∞
X
n4
(v)
n9 − n5 + 1
n=1
µ
¶
∞
X
1
(x)
tan √
n
n=1 √
√
∞
X
n+4− n
√
(z)
n
n=1
(p)
+∞ n
X
a n!
n
∞
X
n=1
∞
X
√
√
(−1)n ( n + 1 − n)
(s)
(u)
n=1
∞
X
n=2
1
n log n
n=1
∞
X
∞
X
log n
.
∞
X
28
PROBLEMARIO
(3) Demostrar que si las series
P+∞
n=1
a2n y
+∞
X
P+∞
2
n=1 bn
convergen, entonces la serie
an bn
n=1
también converge.
(4) Demostrar que si la serie
P+∞
n=1
a2n converge entonces la serie
+∞
X
an
n
n=1
converge.
(5) El siguiente resultado es el Criterio de condensación de Cauchy.
Supóngase que {an } es una sucesión decreciente y que limn→+∞ an = 0. DemosP
trar que si +∞
n=1 an converge, entonces
+∞
X
2n a2n
n=1
converge. Notar que de este criterio se puede concluir que la serie armónica diverge.
(6) Demostrar el siguiente Teorema:
P
P+∞
Si la serie +∞
n=1 an converge absolutamente entonces toda reordenación
n=1 bn
P+∞
de n=1 an también converge absolutamente y
+∞
X
an =
n=1
+∞
X
bn .
n=1
(7) Demostrar el siguiente Teorema:
P
Si la serie +∞
n=1 an converge condicionalmente entonces para todo número real
P+∞
P
α existe una reordenación +∞
n=1 an tal que
n=1 bn de
+∞
X
bn = α.
n=1
(8) Sean {an } y {bn } sucesiones de términos positivos y supongamos que existe
α = lim
n→∞
Consideremos las series
P∞
n=1 an y
P∞
an
.
bn
n=1 bn .
PRÁCTICA 7.
SERIES NUMÉRICAS.
29
(a) Demostrar que si α 6= 0 y finito se tiene que ambas series convergen o ambas
series divergen.
(b) Demostrar que si α = 0 y la serie
P∞
(c) Demostrar que si α 6= 0 y la serie
bn converge
Pn=1
∞
n=1 bn diverge
entonces
entonces
P∞
Pn=1
∞
(9) Hallar la suma de la serie
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ...
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1)
(10) Determinar para cuales valores de p y q es convergente la serie
∞
X
n=2
np
1
.
logq n
(11) (**) Estudiar el carácter de la serie
∞
X
sen(n)
n=1
n
.
(12) (*) Utilizar el criterio de la integral para demostrar que la integral
Z ∞ x
e
dx
xx
1
converge.
(13) (*) Utilizar el criterio de la integral para demostrar que la serie
∞
X
n=2
converge.
1
(log n)log n
n=1
an converge.
an diverge
30
PROBLEMARIO
PRÁCTICA 8.
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES.
Práctica 8.
Sucesiones y series de funciones.
(1) Para cada una de las siguientes sucesiones {fn }:
(i) determinar el lı́mite puntual de {fn } (si existe) en el intervalo indicado,
(ii) decir si {fn } converge uniformemente o no.
(a) fn (x) =
(b) fn (x) =
√
n
x, en [0, 1].

0
si x ≤ n;
x − n si x ≥ n;
en R.
(c) fn (x) =

0
si x ≤ n;
x − n si x ≥ n;
en un intervalo cerrado y acotado [a, b].
2
(d) fn (x) = e−nx en [−1, 1].
(2) Hallar cada una de las siguientes sumas infinitas
(a) 1 − x +
x2 x3 x4
−
+
− ...
2!
3!
4!
(b) 1 − x3 + x6 − x9 + . . .
(c)
x2
x3
x4
x5
−
+
−
+ ...
2
3·2 4·3 5·4
(3) Sea

 sen x
x
f (x) =
 1
si x 6= 0;
si x = 0.
Hallar f (k) (0) para k = 1, 2, 3, . . .
(4) Para x ∈ (−R, R) sea
f (x) =
∞
X
n=0
a n xn .
31
32
PROBLEMARIO
Demostrar que:
(a) si f es par, entonces an = 0 para n impar,
(b) si f es impar entonces an = 0 para n par.
(5) Sea f una función diferenciable en R. Demostrar que la función f 0 es el lı́mite
puntual de una sucesión de funciones continuas.
(6) Consideremos
f (x) =
∞
X
n=1
1
.
1 + n2 x
(a) ¿Para cuáles valores de x la serie converge absolutamente?
(b) ¿En cuáles intervalos converge uniformemente?
(c) ¿En cuáles intervalos falla la convergencia uniforme?
(d) ¿Es f continua en el conjunto donde la serie converge?
(e) ¿Es f acotada?
(7) Demostrar que toda sucesión uniformemente convergente de funciones acotadas es
uniformemente acotada.
(8) Demostrar que si {fn } y {gn } son sucesiones de funciones que convergen uniformemente en un conjunto E entonces {fn + gn } también converge uniformemente en E.
Demostrar que si además las funciones fn y gn son acotadas entonces {fn gn } también
converge uniformemente en E.
(9) Construir un par de sucesiones {fn } y {gn } que convergen uniformemente en E pero
sin embargo su producto {fn gn } no converge uniformemente en E.
(10) Demostrar que si f es continua en [a, b] y
Z
b
f (x) xn dx = 0
a
entonces f (x) = 0 para todo x en [a, b].
n = 0, 1, 2, . . .
PRÁCTICA 8.
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES.
33
P∞
(11) Supóngase que la serie
Entonces es claro que la serie de
n=0 an converge.
P∞
n
potencias
n=0 an x es uniformemente convergente en [−a, a] para 0 < a < 1.
Sin embargo puede no converger uniformemente en [−1, 1]; de hecho puede no converger en el punto −1 (ejemplo: la serie de ln(1 + x)).
P∞
Un Teorema de Abel dice que si la serie
n=0 an converge entonces la serie
P∞
de potencias n=0 an xn converge uniformemente en [0, 1] y por lo tanto la función
f (x) =
∞
X
an xn
n=0
es continua en [0, 1]. Esto implica que, en este caso,
∞
X
n=0
an = lim−
x→1
∞
X
an xn .
n=0
Demostrar el Teorema de Abel.
Sugerencia:
Demostrar primero el lema de Abel:
Si {bn } es una sucesión monótona decreciente, no negativa y
m ≤ a1 + · · · + an ≤ M
para todo n
entonces
b1 m ≤ a1 b1 + · · · + an bn ≤ b1 M.
(Indicación:
Sea sk = a1 + · · · + ak , entonces
a1 b1 + · · · + an bn = b1 s1 + b2 (s2 − s1 ) + · · · + bn (sn − sn−1 )
= s1 (b1 − b2 ) + s2 (b2 − b3 ) + · · · + sn−1 (bn−1 − bn ) + sn bn ,
notar que, para cada i, bi − bi−1 ≥ 0 y m ≤ si ≤ M )
Deducir que
bk m ≤ ak bk + · · · + an bn ≤ bk M.
34
PROBLEMARIO
(12) Se dice que una sucesión {an } es sumable Abel si existe
lim
x→1−
∞
X
a n xn .
n=0
Por el ejercicio anterior toda sucesión sumable es sumable Abel. Hallar una
sucesión que no sea sumable y que sin embargo si sea sumable Abel.
(13) Determinar el conjunto de convergencia de cada una de las siguientes series. Investigar en cuáles conjuntos la convergencia es uniforme y en cuáles conjuntos la
convergencia es absoluta.
∞
X
1
(a)
nx
n=1
∞
X
1
(b)
n!xn
n=1
∞
X
1
(c)
(−1)n+1 x
n
n=1
∞
X
1
(d)
(2n − 1)xn
n=1
∞
X
1
(e)
(−1)n+1 log x
n
n=1
√
∞
X
n
(f)
(x − 2)n
n=1
∞
X sen(2n − 1)x
(g)
(2n − 1)2
n=1
∞
X
2n + 1
(h)
(n + 1)5 x2n
n=1
(i)
∞
X
2n sen
n=1
(j)
∞
X
n=1
(k)
(l)
³x´
3n
(−1)n−1
n 3n (x − 5)n
∞
X
cos nx
n=1
∞
X
n=1
enx
nn
xn n
∞
X
(m)
(−1)n+1 e−n sen x
n=1
(n)
∞
X
xn +
n=1
1
nxn
∞
X
n!
(o)
xn
n=1
∞
X
(p)
xn
n=−1
(14) Hallar el intervalo de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias,
e investigar la convergencia en los extremos de dicho intervalo.
(a)
(b)
∞
X
n=0
∞
X
n=1
x
n
n!xn
nn
(c)
(d)
∞
X
xn
n=1
∞
X
n=2
n
xn−1
n 3n log n
PRÁCTICA 8.
(e)
∞
X
x2(n−1)
n=1
(f)
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES.
∞
X
(n)
2n − 1
n=1
xn!
(o)
n=1
(g)
(h)
(i)
(j)
∞
X
22n−1 x2n−1
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(k)
(l)
n! xn!
∞
X
(p)
(r)
5 2n
(n + 1) x
2n + 1
(s)
n
2n + 1
n2
3 x
xn
n2
(u)
n=1
∞
X
∞
X
∞
X
n!
n! (x + 3)n
nn
xn
log(n + 1)
( log(n + 1) ) xn
n=1
(v)
n=1
2n 4n
¶n2
1
1+
(x − 1)n
n
∞
X
(x − π)n
n=1
¶
n ³ x ´n
n+1 2
n=1
∞ µ
X
n=1
(t)
nn (x + 3)n
∞
X
(x + 5)2n−1
n=1
(−1)n−1 xn
n
n2
∞
X
n=0
(q)
∞
X
(x + 3)n
n=1
(m)
(4n − 3)2
n=1
∞ µ
X
∞
X
35
∞
X
( 2n log n ) (x − 25)n
n=2
(15) Demostrar la convergencia uniforme de cada una de las siguientes series en los
intervalos que se indican:
(a)
∞
X
xn
n=1
(b)
n2
en el intervalo [−1, 1].
∞
X
sen nx
n=1
2n
en toda la recta
36
PROBLEMARIO
Práctica 9.
Integrales impropias.
(1) Estudiar la convergencia de cada una de las siguientes integrales impropias
Z
+∞
√
(a)
Z
0
+∞
(b)
Z
e−|x| dx
−∞
+∞
(c)
Z
x
dx
+1
x4
2
e−x dx
−∞
1
(d)
0
log x
dx
1−x
(2) Para un cierto valor de C la integral
Z
+∞
µ
1
C
√
−
1 + 2x2 x + 1
0
converge. Determinar C y calcular la integral.
Z
¶
dx
+∞
sen x
dx converge.
x
0
Z +∞ ¯
¯
¯ sen x ¯
(4) Demostrar que
¯
¯ dx diverge.
x
0
(3) Demostrar que
(5) La función Γ se define por
Z
+∞
Γ(x) =
e−t tx−1 dt.
0
(a) Demostrar que la integral impropia Γ(x) está definida si x > 0.
(b) Demostrar que Γ(x + 1) = xΓ(x) si x > 0.
(c) Demostrar que Γ(1) = 1 y deducir que Γ(n) = (n−1)! si n es un entero positivo.
(d) Hallar Γ( 12 ).
Bibliografı́a
[1] Apostol, T. Calculus. Tomos 1 y 2. Reverté.
[2] Apostol, T. Mathematical Analysis.
[3] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Series de Fourier. Libro elaborado para el III y IV Taller de Formación
Matemática.
[4] Cohen, L. and Ehrlich, G. The structure of the real number system. Van Nostrand, 1963.
[5] Deminovich, B. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.MIR
[6] Halmos, P. Teorı́a intuitiva de los conjuntos. CECSA, 1971.
[7] Horváth, J. Introducción a la topologı́a general Monografı́a N 9, Serie de Matemática. O.E.A.
[8] Lick, D. The advanced calculus of one variable. Appleton-Century-Crofts, 1971.
[9] Protter, M. H. and Morrey, C. B. A First Course in Real Analysis.
[10] Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill
[11] Spivack, M. Calculus. Tomos 1 y 2. Reverté, 1981
[12] Stromberg, H. An Introduction to Classical Real Analysis.
[13] White, A. Real Analysis; An Introduction.
37