Las cotas de Wald en los procesos secuenciales: Un análisis de su

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 106, 1985, p^gs. 139 a 153
Las cotas de Wald en los procesos
secuenciales: Un aná lisis de su precisión
y correcci ón de sus desviaciones
Por JOSE MARIA CARIDAD Y OCERIN
y RAFAELA DrOS PALOMAR ES
Escuela Técnica Superior de Ir,genieros
Agránomos de Córdoba.
RESU MEN:
Observamos unas serias desviaciones en la curva O.C. obtenida en un
proceso secuencial en problemas normales, al utilizar las cotas de Wald, estas desviaciones son modelizadas con objeto de poder utilizar dichas cotas
una vez fijadas dos ordenadas 1-a y J3 de dicha curva operativa característica sin que la aplicación del método de Wald provoque que los niveles
usuales de probabilidad de errar sean sensiblemente inferiores a los deseados.
Palahras clave: Métodos secuenciales, cotas de Wald, simulación.
INTRODUCCION:
En numerosos problemas de Estadística aplicada se utilizan métodos secuenciales de
constrastación de hipótesis, los cuales, como es bien sabido, suponen un menar costo
económico al disminuir generalmente la duración o el tamaño de los ensayos. Es bien
patente en el Control Estadístico de Calidad, y en Fiabilidad de Sistemas; así, las pruebas de fiabilidad, suelen ser ensayos de duración y su gran incoveniente práctico es el
tiempo requerido de experimentación antes del deterioro de una muestra completa, lo
t ^r ^^t^ttiric -^ t tit^^^^c^t_^t
que conduce de forrna lógica a considerar la utilización de contrastes secuenciales con o
sin truncamiento de las muestras.
En la elección de un plan de muesireo secuencial se suelen considerar varios elementos: el tamaño de la muestra media, la regla de parada y la curva operativa característica del plan. Dada la población X que supondremos absotutamente continua, y de función de densidad f(x, 8), y las h i pótesis:
H f, : 4 E E^„
H^:nE6-e„=®^
la curva O.C. en el caso uniparaméirico es C (f)) = P{aceptar H^,), y al seleccionar el
plan de muestreo se suele proceder fijando el valor de C (f1 ) en dos puntos: f^^, E f^,^ y ll^
E E^, ( por ejemplo, los puntos del fabricante y del comprador) : C(f^^,) = 1 - a y C(f^^) = B
El estadístico de cociente de verosimilitud es, para una muestra aleatoria simple xl,
_^,, ...,_x„ y considerando la contrastación sobre los dos valores de f1, 4,^ y f^1, limites del
"intervala de inferencia"
(1)
n
.^ (x;; ^r^)
i= l
.^^(-x,^ ^1)
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usándose generalmente su logaritmo
„
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a partir del cual definirnos el proceso de decisión secuencial: sean A y B dos constantes:
,
Si L;, ,
< B se rechaza H^ : 8= 8^ y se acepta H f: 4= 8,
Si L„ E( B, A) no se decide y se prosigue el proceso de muestreo.
Si L;, > A se acepta Ho
Este proceso es cerrado, y ya que la probabilidad de tomar una decisíón tiende a la
unidad de aumentar n; no obstante, a efectos prácticos es frecuente establecer una regla
de parada para evitar que en alguna muestra concreta, el tamaño muestral aumentase
excesivamente ( lo cual no es deseable, por ejemplo en cuestiones de Control de Calidad
o de Fiabilidad). La selección de observaciones sucesivas puede realizarse de muchas
formas: elección de una primera muestra de tamaño no, y utilización de nuevas observaciones en grupos de m datos, pudiendo ser m variable o fijo. En este trabajo elegimos:
n^=1 ; m=1
o sea partimos de una única observación xf, y aumentamos el tamaño muestral en un
dato x;♦, si L;^ E(B,A).
Las constantes A y B deberán ser elegidas de forma que sea
C(^^^)=1-a
C(B^)=t3
o expuesto de otra forma:
(3)
1 - a = P (LI > A) + ^ P (L; ? A; B < L; < A, i -- 1, 2 . . . , j-1) j=2
00
-P(L^>A*)+
'
P(L;>A*;B*
< L^< A*,i=1,2,...,j-1
j=2
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(4)
= P (L^ ^ B*) + ^ P (L^ ^ B*; B* < L! < A*, r = 1, 2, . . . , j - 1
j=2
siendo A* =1n.A y B* = ln. B.
Prefijados a y I3 la determinación de los valores A y B no es fácil; inciuso en algunas
situaciones, como por ejemplo si la población X es de tipo Weibull, la distribución
muestral de L^ no han sido estudiadas. Sin embargo, es un hecho notable, propuesto por
A. Wald (1947) que los valores A y B puedan aproximarse por las conocidas cotas:
(5)
A, -- 1-- a
B
B
a
-_^
1- Li
f-a7^A[^lSTI(^A t:SPAtioE_^.^1
que verifican las desigualdades
(6}
B <A(1 --a)
1 -B> Ba
o sea que gráficamente tenemos
B'
.
B
^--^
A A`
-^- L„
No se trata de un procedimiento no paramétrico, ya que el estadístico de cociente de
verosimilitudes depende de la forma de la poblacián.
Tanto A. Wald ( 19^47), como M. Kendall y A. Stuart (1979) y otros autores, señalan
que la aproximación anterior ( 5) es aceptable, y como es fácil deducir de (b), tenemos
que los valores reales C (f^„} - 1- a' y C (l^,) = B' que se obtienen al emplear las cotas
aproximadas B' y A' en lugar de las reales A y B, verifican:
a'+B' < a+f,i
con lo que al menos es ^< a o B' < B, verificándose frecuentemente ambas. desigualdades, y en todo caso, como los valores a y B suelen tomarse pequeños, las diferencias
entre los valores a y:z', y, B y Li' no son importantes.
Si bien estas consideraciones son correctas, y las eotas de Wald A y B son utilizadas
habitualmente, J, M. Caridad (1978) señala que, al menos con distribuciones que surgen
en problemas de Fiabilidad de Sistemas, en términos relativos, las discrepancias entre
los valores deseados a y B, y los obtenidos realmente mediante las cotas de Wald, a' y
f3', existen diferencias notables. Desde el punto de vista práctico, la tendencia es a
disminuir ías probabilidades de ambos errores de tipo I y I1, y es quizás este el motivo
de que no hayan atraido la atención de los usuarios de métodos de Controi de Calidad y
Fiabilidad. Sin embargo, no es posible construir así unas tablas estadísticas para este
tipo de aplicaciones pues, si para elegir el plan de muestreo, "fabricante" y"comprador" acuerdan pref jar unos determinados niveles de calidad con probabilidades de error
a y Li, y las reales pueden dar origen, por ejemplo a un valor a' < a/^, como ocurre en
la realidad, el proceso indicado en las tablas les conducirá a unas probabilides reales a^
y B' alejadas de las deseadas a y^3.
Desarrollamos aquí, utilizando métodos de Monte Carlo, un análisis comparativo de
los valrn-es realies a' y B' en relación con los teóricos a y B a partir de los cuales se
determinan las cotas de Wald. Para ello consideramos una poblaeión aC, cuya distribución suponemos normal, para la cual estimamos las reíaciones:
l. AS ('O fAS f)F V1"AL.[) F^.N l..OS PFL(X'FSUS SE('l'E^ `^('I ^^l f-.S: l'ti :^tiAL ISIti
[)F: Sl^ PRE^(:'IS1ON ^" C`ORREC'C^ION DE^ St..'^^ C)Eti^'IAC'IOtiES
(7)
Q' = a' (a, a)
a' = a' ( a, a)
que nos permiten conocer el valor real de las probabilidades de error en los puntos F y
C cuando empleamos las cotas de Wald con los valores a y Li, o alternativamente, si
queremos obtener unos valores reales a^ y Li', unas funciones
(8)
B=[3 (a', Li')
a= a(a', B')
que nos determinan dos valores a y 13 con los que al utilizar las cotas A' y B', (5), se
consiguen Ias probabilidades deseadas a' y B'.
SIMULACION DEL PROCESO SECUENCIAL
Sea la población X^rN (,u; a) en la que realizamos un contraste secuencial con las hi,
pótesis H^,: µ=^^„ respecto de H1: ,u = µ, =,u^, + f^. EI estadístico de cociente de verosimilitudes L„ es tal que
(9)
Lñ =1n.Ln = - ^ ( Xn _ ^o + ^! )
2
Q2
,
Siendo .xr la media muestral de las n prirneras observaciones y f^ = µ^ µ^,, y la
distribución muestral de la sucesión de estadísticos L* es normal multivariante de vector
de medias
_ ^ (^o + ^^ _µ (1, 2,,.., n)'=^n
)
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Q
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E (L^,
^ ^ L;,..., L;1). ^
y la matriz de covarianzas
V ^ (L1, Lz, . . . , L;^ ^
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2.... 2 2
3.... 3 3
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. ....
3.... n--1 n
A partir de esta distribución pueden teóricamente evaluarse las expresiones (3) y(4)
^^
teniendo en cuenta que L^ _ ^; +^ z;; no obstante el proceso numérico es complejo,
^= i
por lo que recurrimos a una simulación en ordenador.
I^la
EST,Af)ISTiC^A FSP.AtiOi_A
En el proceso de simulacicín observamos que el estadístico L* es invariante en las
homotecias
X'=aX ,u'--a^c
Q'--arr ^c^=u,u, i=0,1
por lo que eonsideramos N=2U00 muestras para la estimaci©n de cada punto de la curva
(J.C., utilizando las cotas de Wald, resultando que
G(8}-N,q/N
,
siendo el número N q el número de muestras en las que se ha aceptado H«.
Los valores de ,u„ y^, _^t, +^ se ha elegido para
^
ó=- = i 0/i
Q
i= 2, 3, ..., 10
con desviaciones típicas ^= i. Lus prvbabilidades de error seleecionadas han s^ido todas
lus^ comhinaciones (a, [i), tales que
a, 8=0.01,0.03,0.05,0.07,0.09,0.11,0.13,0.15,0.17,O.19
estimándose
^'= 1 - ^ (^)
^'-.+^(^)
así como el tamaño medio muestral (ASN), y el tamaí^o de la muestra rnayor (GSN)
para la toma de una decisión.
En todas las simulaciones efectuadas se comprueba que
á' < a
t^' < n
siendo las desviaciones considerables como puede comprobarse en los cuadros adjuntos.
Al variar el número N de muestras, y el algoritmo generador de números aleatorios, los
resultados han sido coincidentes.
Así por ejernplo, para un valor ^S = 1, y con unos niveles de probabilidades de error a
y 13, obtenemos unas estimaciones á d^' y ^' para las que es
^^ ^ < ^c a
1^' < <B
(ver tabla número 1 adjunta)
para otros valores de b se observa el mismo comportamiento, como puede observarse
en las tablas siguientes ( ver tablas números 2 y 3 adjuntas).
LAS C'OTAS DE V4'ALD EN LOS PR(X'ESOS SE(^l:E:ti('L^1LES: l.^ti AtiALISiS
DE Sl! PREC'ISION Y C'ORRECClON DF: Sl'S [^f^SVIA('IONES
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DETERMtNAC[ON DE i.^NAS COTA^ S DE WALD CORREC..;IDAS
Aunque el contraste secuencial es cerrado, y aunque a efectos prácticos, se suele
emplear una regla de parada con el fin de evitar que en un proceso conereto aumente
excesivamente el tamar^o muestral ( y p^or lo tanto el coste del muestreo); hemos evitado
la introduceión de una regla de truncarniento para no confundir su posible efecto en la
estimacicín de la curva O.C., con las subestimaciones observadas en la probabilidades de
error; también se han empleado las mismas sucesiones de números aleatorios en todas
las simulaciones.
Las discrepancias observadas en la curva 4.C. debido a la aplicación de las cotas de
Wald pueden ser en principio debidas a las series concretas de números seudo-aleatorios
empleados en el proceso; para refutar `esta hipótesis se han utilizado repetidamente
distintas sucesianes y muestras, observándose siernpre resultados coincidentes, lo que
nos permite afirmar que la aproximación de Wald impone unos errores de tipa I y II
bastante inferiores en términos relatívos a los deseados. Para cuantificar esta situación
construimos los siguientes modelos:
(1 1)
^
a=-- 0.0562 + 2.0846 a^ --0.1485 B` +0.0458 cS
(-14.80) (75.71)
(-5.45)
(27.09)
ri = 0.892
(12)
F= 1918.2
N= 700
^ _ - 0.0606 - 0.1318 a' +2.0470 B' +0.0481 d
(-15.16)
(- 4.54)
(71.39)
(27.00)
r' - 0.880
F = 1707.5
N= 700
apl icables en el intervalo
d E (1;2.5)
y que nos sirven para determinar los valores a y B con los que calcular las cotas de
Wald de forma que se obtengan unos valores a^ y B' reales prefijados. Por ejemplo, para
^ = 1.25, obtenemos:
Estimación de a, B; ^= 1.25
a'
Gi'
_
a
B
0.05
0.05
0,10
0.05
0.05
0.10
0.10
0.10
0.09 7 8 5 5
0.095285
0.20208 5
0.08869
0.09043
0.197635
0.19466
0.191045
LAS C'OTAS DE WALD EN L^S PRCK'ESOS SECUEtiC'IAl_ES^ U1^ ANALISIS
DE SL.^ PREC'ISION Y C'C)RRECCIQN DE Sl.'S DESVIACI4NES
14y
Los valores á y 13, como puede apreciarse, difieren sensiblemente de las niveles de probabilidad de error a' y B', realmente deseados.
En los modelos anteriores se tiene en cuenta el parámetro cS que nos indica la "separación" entre ambas poblacianes, lo que nos permite construir las ecuaciones (11) y
(12), en cuyo análisis de residuos no se detectan desviaciones sensibles de ias hipótesis
básicas de los modelos lineales, ni residuos anormalmente altos. No obstante, para cada
valar de ^, y procediendo can un número de 100 estimaciones de a' y B', se construyen
los siguientes modelos condicionados a dicho parámetro.
8
5
Estimación a y B
_
a= 0.0492 + 32.1009 a' + 6.6898 B'
(4.35)
(5.99)
(1.43)
r2=0.271
F= 18.0?
n= 100
^= 0.034$ + 14.7200 a' + 33.5206 B'
(3.41)
(3.05)
(7.96)
r2 = 0,407
3.3333
F= 3 3. 3 5
n= 100
^X = 0.027 + 6.2566 a' + 0.6992 B'
(2.44)
(12.25)
(1.10)
r^ = 0. 613 F= 7 7. 02 n= 100
L^=0.0085 -0.5937 a'+9.171 B'
(1.37)
(-1.73)
(21.44)
r2 = 0.826 F= 229.75 n= 100
0.25
^X = 0.025 + 4.5698 a' - 0,1605 B'
(0.55)
(32.90)
(-1.13)
rZ = 0.918 F= 543.56 n= 100
1^ _--0.0012 -- 0.2079 a' + 4.b694 B'
(--0.28)
(-1.55)
(34.20)
r2 = 0.924 F= 586.47 n= 100
2
^=0.0014+3.OÓ78a'-0.0914B'
(0.39)
(40.80)
(34.20)
r2 = 0.945 F=$38.49 n= 100
t^.^;^TA[^IS^T[(^.^ ESPAtiOE_A
i gC)
L^ = 0.005 5-- 0.198 7 a` + 3.08 56 Ci'
(-2.92)
(45.43)
(1.70)
r= = 0.9 5 5 F' = 1034.66 n= 100
l.bb67
^X = 0.0085 + 2.4186 aC' - 0.1798 13'
(2.73)
r^ = 0.955
(45.31)
(-3.34)
F= i 029.59 n= l 00
Í3=0.0060--0.1264 ^+2.4545 B'
{2.29)
r'=0.969
1.4285
(-2.85)
(54.88}
F= 1514.74 n= 100
^^=0.0100+?.1403^-0.1997f,i'
(4.25)
r' = 0.974
(59.70)
(-5,34)
F= I 792.50 n= 100
13=0.0077-O.1614C^+2.1243 Li'
(-5.12)
(b7.99)
(3.71)
r'=0.9^9 F=2330.37 n= 100
1.25
^^=0.0118+ 1.9408 ^-0.2109 Li'
(-b.97}
{62.03)
(5.21)
r2=0.975 F= 1927.41 n= 100
^= 0.0073 - 0.0975 C^ + 1.85b0 Li'
(50.49}
(-2.Sb)
(2.ó5}
r2=0.964 F= 1289.28 n= 100
1.11 1 1
^X = 0.0092 + 1.8041 CX' - 0.1260 B'
(5.11) (77.37) (-5.50)
r2 = 0.984 F= 3024.3b m= 100
i^ = 0.0128 - 0.1884 GC' + 1.7393 !3'
(39.40)
(--4.19)
(3.71)
r^ = 0.941 F= 7?9.41
n= 100
i
^X = 0.008 I+ 1.6647 G^ - 0.0842 B'
(-3.55)
(70.04)
(3.89)
r'=0.981 F=2454.02 n= 100
Í^=0.0038 -0.0555 G^+ 1.b512 B'
(54.$6)
( l .44}
{-1.84)
r2 = 0.969 F= 1507.5 n= 100
LAS C^nT.AS DE V'V^^LD E:ti LOS PR()C'FS()S SE:t't'F:ti( IAl_ES: t ti AN,^AI ltilti
DE Sl.; PREC'ISION Y CORRE:('('IC)!^í C7E^: Sl'S [)FS^'IA(^IOtiE S
En términos generales, al aumentar 8 empeora el ajuste, el cual es aceptable para ^`
2.5; en el caso de estar ambas poblaciones más separadas, generalmente es de menor interés la discriminación estadística entre estas, pues es más evidente.
En los coefieientes de los modelos anteriores
(13)
..
^
c^a^+a, á+a,Li
(14)
Í.^ b^ + b! a' + b, Li`
observamos una evolución, en función de ó, que representamos gráficamente a conti.,
nuacion:
Ordenadas en el origen
0'02 ^
0'Ol ^
3
^
2
_
-0'2 ,
1
1' 1 l
1'25
1 '43
1 '67
2
ESTADIS^T{C'A ESPAfi^OLA
1 ^'
La ordenada en el origen, aunque va aumentando su significación al disminuir a, supone un incrernento aproximadamente constante, ligeramente superior al 1°^6 en la estimación de y por debajo de esta magnitud at estimar i3.
Los coeficientes a f y b, constituyen ia componente básica en los modelos anteriores
respectivamente, y observamos una casi-coincidencia entre los valores hallados para
cada t^ en las relaciones (13) y(14), lo que concuerda can los resultadas { 11) y(12).
Los coeficientes secundarios, a, y b,, suponen una disminución en las estimaciones de
a y l^ no siempre despreciable, pero que rara vez superará a un 2%. Las fluctuaciones
en el último gráfico ponen de manif esto la menor fiabilidad de estos coeficientes, lo que
se puede corregir incrementando el número de repeticiones del proceso secuencial.
De nuevo, si para á= l.25 estimamos los vaiores a y B para calcuiar las catas de Wald
correspondiente a varios niveles usuales a' y t3' ^ 0.05, 0.10, obtenemos los siguientes
resultados:
Estimacíón de a, B, cS= 1.25
0.10
0.05
0.05
O.10
0.10
0.10
^
B'
0.05
0.05
á
j^
0.098295 4.195335 0.08775 0.18479
0.095225 0.09035 0.1$8025 0.18315
que como puede verificarse son muy próximos a tos obtenidos con las relaciones (1 1) y
(12 }.
Como conclusión, debemos señalar por una parte, que la utilización de las cotas de
Wald en contrastes secuenciales como ei considerado en poblaciones normales, lleva a
unas reglas de decisión notablernente más exigentes que las que se derivan de las probabilídades de error a y t3 a partir de las cuales se deducen las regiones de aceptación, crítica y de indecisión, y par otra, que, tal co^no se ha señalado, en poblaciones Weibuli se
observa una situación similar, lo que sugiere el estudio de relaciones entre los valores a
y R a partir de los que se calculan las cotas de Wald, y los niveles de error a' y B' que
realmente se obtienen, no solo en pablaciones Normales y VVeibull, sino en otras distribuciones, y con énfasis especial, en las que surgen en problemas de Control de ^alidad
y Fiabilidad de Sistemas, con objeto de poder evaluar a partir de las tablas de planes de
muestreo secuencial los verdaderos niveles de exigencia del plan elegido.
LAS COTAS DE WALD EN LOS PROC'ESOS SE('t. ENC'IALES t?N ANA1_ISIS
D>'^. SU PRECISION Y(:ORREC'C'ION DF SL.^S DESVIAC`1ONES
15i
REFERENCIAS
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Mathematical Statistics, XXIX, 610^-^61 l, 1958.
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Universidad de A,veiro. Reunión an^^al Sociedades Matemática.s Hispano-Lusas. (1978}.
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KENDALL, Sir. M., STUART, A.: t<The Advanced Theory of Statistics». Vol. I1, Grffin, 1979.
KLEIJNEN, J. P. C.: «Statistical Techniques in Simulation». M. Dekker, 1974.
WALD, A.: «Sequential Analysis». Dover, 1947.
SUMMARY
WALD DATUM LEVEL IN SEQUENTIAL PROCESSES: AN
ANALYSIS OF THEIR PRECISION AND CORRECTION OF' THEIR
DESVIATIONS.
We notice some serious desviations in the O. C. function in Wald's
sequential probability ratio test with Normal populations; these deviations
are modelled in a way we can still use Wald's limits selecting two points
with error probabilities a and B, in the O. C. curve correcting the real
values a' and B' associated with Wald's limits, for wich we observe a clear
under estimation of the real error probabilities.
Key Words: Sequential Methods, Wald, Simulation.
AMS 1980. Subject classification: 62L 10.