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Programación
Programación yy Métodos
Métodos Numéricos:
Numéricos:
Integración
Integración NuméricaNumérica- Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo
interpolatorio
interpolatorio
Prof. Carlos Conde Lázaro
Prof. Arturo Hidalgo López
Prof. Alfredo López
Marzo, 2007
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM
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Programa
Programa
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Generalidades
Fórmulas de integración numérica
Fórmulas de integración de tipo interpolatorio
Relación entre el orden de exactitud y los puntos
del soporte en las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio.
Análisis del error en las fórmulas de tipo
interpolatorio
Obtención de fórmulas de integración numérica
Fórmulas gaussianas.
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Definición
Definición yy primeras
primeras propiedades
propiedades
DEFINICIÓN
Se denomina fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio
(de Lagrange) para aproximar el valor de a cualquier fórmula obtenida
integrando en (a, b) la expresión del polinomio interpolador de Lagrange
construido sobre un soporte de puntos distintos.
PROPIEDAD (Caracterización de las fórmulas)
La condición
necesaria y suficiente para que la fórmula de integración
b
n
numérica f(x)·dx = V ≈ ∑ ci ·f(xi ) sea de tipo interpolatorio es que sus
∫
i= 0
a
coeficientes satisfagan las siguientes igualdades:
b
ci = ∫ Li (x)·dx
(i = 0, 1, ..., n)
a
donde se ha denotado por Li(x) a los (n+1) polinomios de base de Lagrange
sobre el soporte {x0, x1, ..., xn}.
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Definición
Definición yy primeras
primeras propiedades
propiedades
PROPIEDAD (Sumatorio de los pesos)
En toda fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio
b
se verifica que:
n
∫ f(x)·dx = V ≈ ∑ c ·f(x )
i= 0
a
n
∑c
i= 0
i
i
i
=b−a
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Orden
Orden (mínimo)
(mínimo) de
de las
las fórmulas
fórmulas de
de tipo
tipo
interpolatorio
interpolatorio
TEOREMA 1
La condición necesaria y suficiente para que una fórmula de integración numérica construida sobre (n+1) abscisas distintas sea exacta
de orden n es que sea de tipo interpolatorio.
NOTA:
Una fórmula de tipo interpolatorio, construida sobre (n+1) puntos
puede ser de orden superior a n ………… SI SE ELIGE LA POSICIÓN
DE LAS ABSCISAS DE FORMA ADECUADA.
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Relación
Relación entre
entre orden
orden de
de exactitud
exactitud yy posición
posición
de
de las
las abscisas
abscisas del
del soporte
soporte
TEOREMA 2
La condición necesaria y suficiente para que la fórmula de integración
b
n
numérica de tipo interpolatorio f(x)·dx = V ≈ c ·f(x ) sea de orden
∫
a
∑
i= 0
i
i
(n+q), donde q es un número natural, es que se satisfagan las siguientes
igualdades:
b
n
∫ x ·∏ (x − x )·dx = 0
k
a
i= 0
i
(k = 0,...,q − 1)
TEOREMA 3
No existe ninguna fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio
construida sobre un soporte de (n+1) abscisas distintas que sea de orden
superior a (2·n+1).
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Ejemplo
Ejemplo
Considérese el soporte {x0, x1} y sean:
x − x1
c0 = ∫ L0 (x)·dx = ∫
dx
x 0 − x1
a
a
b
b
b
b
a
a
c1 = ∫ L1 (x)·dx = ∫
x − x0
dx
x1 − x 0
b
La fórmula
∫ f(x)·dx ≈ c ·f(x
0
0
) + c1·f(x1 )
es, al menos, de
a
orden de exactitud 1 sea cual sea la elección de {x0, x1}.
Justificación: Es de tipo interpolatorio y basta aplicar el teorema 1
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Ejemplo
Ejemplo
Para que sea de orden 2 basta con que se verifique:
b
∫ (x − x
es decir
0
)·(x − x1 )·dx = 0
a
1
1
⎡⎣(b − x 0 )2 ·(b − x1 ) − (a − x 0 )2 ·(a − x1 ) ⎦⎤ − ·⎣⎡ (b − x 0 )3 − (a − x 0 )3 ⎦⎤ = 0
2
6
Por ejemplo, si tomamos (decisión libre) x0 = a, se tiene que escoger
x1 = (a + 2·b)/3
(posición dada por la relación anterior)
Justificación: Es de tipo interpolatorio y basta aplicar el teorema 2
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Ejemplo
Ejemplo
Para que sea de orden 3 basta con que se verifiquen las igualdades:
b
∫ (x − x
b
0
)·(x − x1 )·dx = 0
a
es decir
∫ x·(x − x
0
)·(x − x1 )·dx = 0
a
1 3 3
b -a ) (
3
( x 0 + x1 )·( b2 − a2 )
( x 0 + x1 )·( b3 − a3 )
b −a
4
Lo que conduce a tomar:
4
4
2
3
a+b b−a
x0 =
−
;
2
2 3
+
+x 0 ·x1·(b-a) = 0
x 0 ·x1·( b2 − a2 )
2
=0
a+b b−a
x1 =
+
2
2 3
Justificación: Es de tipo interpolatorio y basta aplicar el teorema 2
Por el teorema 3 no existen fórmulas de 2 puntos y orden igual o
mayor a 4
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