Razonamiento, abstracción y validación: aportes teóricos para

Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
Razonamiento, abstracción y validación: aportes
teóricos para el análisis del lenguaje matemático en
estudiantes de Ingeniería.
DELORENZI, O. D ANDREA, R. y SASTRE VAZQUEZ, P.
1
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
Razonamiento, abstracción y validación: aportes
teóricos para el análisis del lenguaje matemático en
estudiantes de Ingeniería.
Olga Delorenzi, Facultad de Agronomía. UNCPBA. [email protected]
Rodolfo D Andrea, Facultad de Agronomía. UNCPBA. Facultad de Ingeniería. UCA.
Rosario. rodolfoedandrea@yahoo,com.ar
Patricia
Sastre
Vázquez,
[email protected]
Facultad
de
Agronomía.
UNCPBA.
2
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
ntroducción
La comunicación que socializamos forma parte de desarrollos teóricos
correspondientes al proyecto de investigación denominado: Análisis del lenguaje
matemático en los procesos de validación en estudiantes de Ingeniería, radicado en la
Facultad de Agronomía de la UNCPBA. Argentina.
Precisamente, los aportes corresponden a la primera etapa de desarrollo del proceso
de investigación, en el cual, se plateo una mesa de trabajo sobre desarrollos teóricos:
Ideas, concepciones, creencias, nociones implícitas, y explícitas, lenguaje y
epistemología de la Matemática.
En la mencionada etapa, se estimó que resultaba pertinente avanzar en la lectura,
apropiación y redefinición sobre tres categorías teóricas que atraviesan la
investigación: razonamiento, abstracción y validación. Las categorías mencionadas
remiten a la Filosofía en el pensamiento griego antiguo, dónde se construyeron los
cimientos de la Lógica, y de la ciencia. No obstante, si bien puede afirmarse que
contienen aún, elementos propios de ese pensamiento, a lo largo de la historia se han
redefinido y reconstruido en el campo de la Filosofía, de las Ciencias de la Naturaleza,
y en el seno de la Epistemología.
Por consiguiente, fue preciso realizar un proceso de lectura, análisis y redefinición de
las tres categorías en función del marco teórico asumido, y de los fines de la
investigación, sin olvidar el propio contexto de desarrollo y los sujetos de la
investigación.
Las categorías razonamiento, abstracción y validación forman parte del lenguaje
cotidiano de la Matemática, por tanto, es preciso conocer, antes de comenzar
cualquier proceso de enseñanza y aprendizaje, la ideas que los docentes de
Matemática, poseen sobre estas categorías, como así, las opiniones de los
estudiantes sobre dichas categorías.
Los objetivos de investigación fueron los siguientes:
Caracterizar las dificultades y obstáculos en la comprensión del lenguaje matemático
y natural, en los estudiantes que ingresan a la Universidad, y la influencia de estos, en
los procesos de validación.
Explorar las ideas de los docentes de Matemática de Carreras universitarias de
Ingeniería sobre el lenguaje matemático y la epistemología de esta Ciencia. Estudiar la
utilización que hacen los docentes del lenguaje matemático en el ámbito áulico.
Analizar el nivel de conocimiento del lenguaje matemático con el que acceden los
estudiantes a la Universidad. Analizar los procesos de validación utilizados por los
estudiantes universitarios de Ingeniería frente a ejercicios que requieren del uso del
lenguaje matemático. Caracterizar y Analizar las dificultades causadas en los
procesos de validación por el nivel de acceso al lenguaje matemático. Proponer líneas
de acción para la resolución de las dificultades detectadas.
La finalidad de esta investigación radico en la necesidad de proponer alternativas de
solución, haciendo un aporte a los estudiantes de ingenierías con problemas similares.
Los docentes de Matemática corresponden a UNCPBA y UCA INGENIERÍA
ROSARIO.
El proyecto se enmarcó en un paradigma Interpretativo – crítico, puesto que para
comprender correctamente las decisiones que toman los estudiantes, a través de las
cuales, seleccionan y configuran las acciones que desarrollan en los procesos de
razonamiento, abstracción y validación, se requiere estudiar los procesos de
3
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
pensamiento. Del mismo modo, para conocer cuáles son las ideas que los docentes
tienen sobre estos temas, y el valor que le otorgan al desarrollar actividades que
incluyen ejercicios para validar. Como señala Sanjurjo (2002), los procesos de
pensamiento no pueden registrase a través de información objetiva que pueda
generalizarse ni medirse, para observar resultados y comprobar hipótesis. En ese
sentido la investigación se encuadra en una perspectiva metodológica cualitativa, lo
cual, no implica que no puedan usarse instrumentos de carácter cuantitativo. Tal
elección se justifica en el carácter social, complejo y multidimensional del objeto a
investigar, y en la necesidad de generar comprensiones contextualizadas,
reflexionadas y develar aspectos implícitos.
La metodología cualitativa es inductiva, holística y es adecuada cuando la finalidad es
comprender a las personas en su propio contexto, escuchando sus voces y
privilegiando su cualidad humana.
El recorte empírico lo conformaron docentes y estudiantes de las carreras de
Ingeniería Agronómica de la Facultad de Agronomía de la UNCPBA y de las carreras
de Ingeniería Industrial e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Química e Ingeniería
“Fray Rogelio Bacon” de UCA ROSARIO. Se utilizaron encuestas, entrevistas,
cuestionarios, y ejercicios diseñados especialmente para esta investigación. Las
encuestas como un primer instrumento, que administrado a todos los sujetos, permitió,
construir aproximaciones sobre las formas que los sujetos configuran los procesos de
abstracción, razonamiento y validación y tener información concreta y en contexto; las
entrevistas, facilitaron la ampliación de dichas cuestiones, y los ejercicios diseñados,
tuvieron como finalidad explorar las habilidades y las formas de razonamiento,
abstracción y validación que ponen en acción los estudiantes al resolverlos.
La investigación se definió como longitudinal, es decir, se reconstruyó la génesis del
objeto de estudio, a través de la información obtenida en diferentes momentos del
trabajo de campo, durante instancias prolongadas en el propio contexto de los sujetos
investigados.
A continuación se plantea cómo se contextualiza la problemática de investigación en
función de discusiones que se vienen dando en el ámbito académico, con relación a la
formación profesional y las implicaciones para el posterior desarrollo profesional. En el
campo académico se plantea la necesidad de formar a los futuros profesionales,
independientemente, del campo disciplinar específico, en posturas críticas que le
permitan desarrollar diferentes habilidades cognitivas y herramientas para
desempeñarse en un medio laboral cada vez más exigente.
El problema esencial que hay que resolver en toda carrera universitaria consiste en
generar instancias y procesos de enseñanza y aprendizaje, tendientes a la apropiación
reflexiva y crítica por parte de los estudiantes, respecto a conocimientos básicos y
especializados, y su posible redefinición para el desarrollo de habilidades y destrezas,
que les permita utilizarlos durante la formación y especialmente, en su desarrollo
profesional.
En los Planes de Estudios de las carreras de Ingeniería Agronómica; Ingeniería
Industrial e Ingeniería Ambiental, de forma general, se plantea como necesario formar
al futuro profesional en su capacidad de integrar conocimientos, facultándolo para el
planteo científico de un problema, la búsqueda de información y la aplicación de
métodos para el análisis de datos conducentes a la resolución del mismo. Tal
formación redundará en habilidades para redefinir el conocimiento en nuevas
situaciones y tecnologías, sobre las cuales pueda no haber recibido conocimientos
específicos.
4
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
Coincidentemente, con lo planteado por Wertheimer (citado en Schoenfeld, 1996) el
poder que radica en el aprendizaje de la matemática, es la capacidad de usarla.
Pensar matemáticamente equivale a conocer y valorar sus métodos propios, y saber
cómo, cuándo y por qué aplicarlos.
Las dificultades que se presentan en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática se
incrementan cuando el trabajo matemático se realiza con personas, cuyo principal
interés, no está centrado en esta ciencia. Los estudiantes y docentes pueden poseer
diferentes concepciones sobre esta ciencia, y sobre la importancia y necesidad de esta
disciplina en su carrera universitaria, particularmente en carreras “no matemáticas”.
Incluso pueden presentarse miradas diferentes entre los docentes que dictan esta
asignatura y los docentes que son usuarios de la misma o podrían serlo.
Por eso, el interés central de la investigación fue conocer cómo los docentes y
alumnos manejan el lenguaje matemático en el ámbito áulico y como ese lenguaje es
empleado adecuadamente para facilitar los procesos de validación que constituyen la
esencia de la teoría que sustenta la Ciencia Matemática. Por otra parte, interesó saber
qué conocen los estudiantes sobre el lenguaje matemático, y la epistemología de la
misma, desde su intuición, plasmada en los procesos de validación.
Finalizando la presente introducción, se señala que los resultados de investigación,
desde la perspectiva teórica asumida por el equipo, no queda en el mero análisis, por
el contrario, de dicho análisis se piensan hipótesis significativas para trabajar en
proceso de enseñanza y aprendizaje, que favorezcan la apropiación de las categorías
para su formación académica y el futuro desempeño laboral.
Desarrollo
Se presenta en primer término, aspectos referidos al Estado del arte, y en segundo
término, cuestiones teóricas sobre las que se sustenta la investigación.
Balacheff (2000) realiza una clasificación hace acerca de las demostraciones que los
estudiantes presentan. Este reconocido investigador introduce una clasificación en la
cual el énfasis no está sólo en la relación entre los ejemplos usados y el enunciado
que se quiere demostrar, sino en el motivo por el que los estudiantes usan los
ejemplos. Y las divide en dos categorías: pragmáticas o experimentales y
conceptuales o deductivas.
Las demostraciones pragmáticas introducen a la vez una subclasificación en varios
tipos:
Empirismo naïf o ingenuo, donde el proceso de validación para el mismo consiste en la
verificación de la propiedad para unos pocos ejemplos elegidos sin criterio alguno, de
5
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
manera aleatoria. Es el tipo más elemental de demostración que presentan los
estudiantes.
En el Experimento crucial, los procedimientos de los estudiantes se basan en la
elección minuciosa de un ejemplo, cuidadosamente escogido pero con el
convencimiento de que esa elección es tal que si se cumple para ese particular caso,
se cumplirá siempre.
Por otro lado está el Ejemplo genérico, que corresponde a procedimientos basados en
la elección y manipulación de un ejemplo que, si bien es particular, actúa como
representante de su clase. La demostración, aunque sea particular, pretende ser
abstracta y tener validez para toda la clase representada. Aquí los estudiantes
comienzan a utilizar propiedades abstractas en sus demostraciones, pero
inexorablemente referidas al ejemplo escogido.
Las demostraciones conceptuales o deductivas, introducen a la vez también una
subclasificación que se describe a continuación:
En el Experimento mental, los estudiantes interiorizan las acciones realizadas
previamente (generalmente observación de ejemplos), las disocian de esas acciones
concretas y las convierten en argumentos abstractos deductivos, y el “cálculo
simbólico”, cuando la demostración se basa en la transformación de expresiones
simbólicas formales. Aquí la explicación se centra en la acción interiorizada,
separándola de su ejecución sobre un representante particular. Es una demostración
deductiva abstracta organizada a partir de manipulaciones de ejemplos concretos. Es
posible suprimir los dibujos realizados que acompañan a la demostración, sin que
pierda significado, en el caso que la demostración se refiera a cuestiones geométricas
específicamente o que la proposición a demostrar requiera una interpretación
geométrica. Este tipo de demostración aparece como medio para fundamentar las
soluciones propuestas en un esfuerzo de explicación.
En el Cálculo sobre enunciados, se establecen construcciones intelectuales basadas
en teorías más o menos formalizadas o explícitas, que se originan en una definición o
propiedad y se basan en la transformación de expresiones simbólicas formales.
Por su lado, Bell (1976) plantea que la demostración (formal o no) puede tener
diversos objetivos en matemática:
Verificación: cuando se intenta asegurar la veracidad de una afirmación.
Iluminación: cuando además de asegurar su veracidad, permite entender por qué es
cierta una afirmación.
Sistematización: cuando permite organizar el enunciado demostrado en un sistema de
axiomas, definiciones y otros teoremas.
Bell se propuso analizar los intentos de los estudiantes por construir demostraciones o
elaborar explicaciones en situaciones matemáticas elementales y comparó la forma en
que difieren de los usos de la demostración que realiza un matemático profesional. A
6
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
la luz de este análisis, elaboró una clasificación de los tipos de respuestas que un
estudiante puede arrojar, a través de una categorización que distingue entre:
empíricas y deductivas. La primera se caracteriza por el uso de ejemplos como factor
esencial para la certeza, mientras que la segunda se caracteriza por la utilización de la
deducción como elemento conector con las conclusiones.
Cada una de estas categorías admite a su vez una subclasificación, siendo adaptadas
por de Villiers (1993) quién desarrolla posteriormente esta línea de investigación
describiendo nuevos objetivos para la realización de una demostración mostrando dos
facetas esenciales de cualquier proceso de validación de verdad de una proposición:
Descubrimiento: cuando la demostración conduce al descubrimiento o invención de
nuevos conceptos o teoremas.
Comunicación: cuando la demostración tiene como objetivo transmitir conocimientos
matemáticos a otras personas.
Por otro lado, Harel & Sowder (1998) basados en estudios realizados por otros
investigadores definen los denominados esquemas de demostración (proof scheme) y
realizan una clasificación de dichos esquemas definiendo previamente dos conceptos
vitales imprescindibles para comprender los esquemas citados.“Indagar (ascertaining)
es el proceso que un individuo emplea para eliminar sus propias dudas sobre la
veracidad de una observación. Persuadir (persuading) es el proceso que un individuo
emplea para eliminar las dudas de otros sobre la veracidad de una observación. El
esquema de demostración de una persona es lo que constituye indagar y persuadir
para esa persona.”
Ibañes (2001) modificó la clasificación de los esquemas de demostración de Harel &
Sowder en su tesis doctoral para que se ajustara en mayor medida a las
circunstancias de la investigación y a las respuestas de los alumnos, y mantuvo las
tres categorías fundamentales de esquemas de demostración: convicción externa;
empíricos y analíticos pero introduciendo nuevas subclasificaciones. Muy a diferencia
de las clasificaciones de Harel & Sowder, y Gutiérrez, las nuevas subclases añadidas
por Ibañes no son mutuamente excluyentes, es decir que un esquema de
demostración puede ser catalogado como, por ejemplo, empírico inductivo auténtico
de varios casos y sistemático, o un esquema de demostración analítico
transformacional también puede catalogarse como estático general e incompleto.
La tendencia actual de la didáctica de las matemáticas a prestar atención destacada a
los aspectos psicológicos y cognitivos del aprendizaje indica que los modelos de
Balacheff y Harel y Sowder son los que resultan más útiles como marco para el
aprendizaje de los procesos de demostración. (Gutiérrez, 2001, p. 89). Según
Gutiérrez, analizando la actuación de estudiantes de ESO al resolver problemas de
demostrar en un entorno Cabri, bajo el marco de un proyecto de investigación
desarrollado en la Universidad de Valencia del cual formaba parte, se descubrió que
ninguno de los modelos anteriores resultaba totalmente útil, lo que les decidió a definir
una nueva clasificación de demostraciones que contuviera a las anteriores pero que se
desarrollara teniendo en cuenta procedimientos en los estudiantes al escribir las
7
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
demostraciones que habían detectado, y que no fueron expuestas en las
clasificaciones anteriores.
D´Andrea (2010) adapta las clasificaciones de Bell y Balacheff para la investigación
realizada a los efectos de encuadrarla a los ejercicios diagnóstico aplicados a
estudiantes de Ciencias Químicas e Ingenierías sobre proposiciones cuantificadas
universal y existencialmente y esencialmente para proposiciones no necesariamente
geométricas tal y como se gestaron las clasificaciones antes comentadas.
El Marco teórico desde el cual se construyó el objeto de conocimiento de la
investigación, se organiza de la siguiente manera. En primer lugar, se plante
posicionamiento sobre Matemática, el lenguaje matemático, y sobre el uso en carreras
de Ingeniería. En segundo término, se avanza en el posicionamiento asumido sobre
qué se entiende por razonamiento, abstracción y validación, y el lugar que debieran
tener en la formación de ingenieros.
Matemática es una disciplina que desde lo esencial de su epistemología, se basa en el
raciocinio y la abstracción. El lenguaje matemático posee tres aspectos: coloquial,
visual y simbólico. Los tres tienen correlatos vitales en el pensamiento del estudiante y
su evolución frente a su reacción ante cada nueva estructura conceptual en el área
Matemática. El manejo de los lenguajes no varía sea el estudiante de Matemática pura
o de Ingeniería, lo que debe variar es la utilización del lenguaje simbólico que se haga
para cada uno de los dos tipos de estudiantes mencionados.
El uso adecuado del lenguaje matemático para los estudiantes universitarios de
Ingeniería es vital a la hora del abordaje de los cursos de Matemática que les
corresponden, específicamente en la comprensión y apropiación de las definiciones;
axiomas; y los procesos de validación de proposiciones tales como la verificación
como primer instancia de comprensión de las mismas y la demostración y las
proposiciones falsas que requieren para su validación de un contraejemplo. Los
procesos descriptos constituyen la estructura teórica de cada contenido matemático,
que debe ser comprendido y apropiado por el estudiante a los efectos de extrapolarlo
a actividades procedimentales específicas del curso de Matemática elegido y de
aplicación a Tecnologías básicas y aplicadas de la Ingeniería elegida y que constituye
lo esencial de cualquier curso de Matemática dirigido a estudiantes universitarios de
Ingeniería.
La Matemática es una ciencia que, desde su constitución epistemológica, requiere de
procesos de razonamiento y abstracción. Éstos son fundamentales para que los
estudiantes puedan avanzar, no solamente en la comprensión de las definiciones y
axiomas, sino fundamentalmente en el desarrollo de instancias de validación.
El razonamiento matemático constituye una exigencia a nivel de los procesos
educativos en los diferentes niveles, pero en el nivel universitario cobra relevancia,
dado que los estudiantes deben desarrollar esta habilidad desde la especificidad de la
carrera elegida.
8
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
Se conceptualiza al razonamiento como uno de los procesos cognitivos básicos, a
través del cual, se construye, aplica y utiliza el conocimiento. Asimismo, el
razonamiento implica un proceso heurístico en sí mismo, ello supone un conjunto de
pasos preparatorios para resolver una situación problemática que se presenta. No
puede desligarse de la idea de abstracción, ésta refiere a un proceso cognitivo, cuya
finalidad consiste en aislar conceptualmente una propiedad o característica de un
objeto, para poder reflexionar sobre ello, con independencia de otras propiedades del
objeto.
La validación matemática implica que los estudiantes puedan, en términos de dar
razones sobre su accionar autónomo, explicitarlas y sostenerlas en el contexto social
de la situación educativa, respecto a sus procedimientos con relación a la veracidad o
no, de un enunciado, a si un procedimiento es correcto o inválido. La validación
supone también la habilidad para asignar sentidos, desde la especificidad matemática,
a las acciones realizadas. Desde esta mirada razonar, abstraer y validar conforman
competencias matemáticas específicas que en el ámbito universitario deben alcanzar
un grado máximo de desarrollo, desarrollo que no se reduce a la mera comprensión de
contenidos matemáticos, sino que apunta a que los estudiantes puedan usar el
lenguaje matemático entendiendo su relación con el lenguaje natural, utilizar diversas
herramientas (de la tecnología de la información y TICs), para aplicarlo creativamente
en la especificidad del futuro desempeño profesional.
En ese sentido, resolver problemas de Ciencias Naturales e Ingeniería, sin olvidar que
esta sirve: a. como herramienta de Cálculo; b. para lograr el desarrollo del
pensamiento lógico, algorítmico y heurístico y c. Como lenguaje universal capaz de
contribuir al conocimiento y desarrollo de otras disciplinas propias de su perfil
profesional. (Cuicas Ávila, M., Debel Chourio, E., Casadei Carnie, L. y Álvarez Vargas,
Z. (2007)
Sin embargo para el abordaje de cualquier curso de Matemática universitaria dirigido a
estudiantes de Ingeniería y que pueda cumplirse lo expresado en la adecuada cita
precedente se requiere del manejo del Lenguaje matemático en todas sus facetas.
Desde su faceta más primitiva que es la coloquial pero que es esencial, ya que permite
la expresión a través de la palabra, o sea del lenguaje natural; pero también desde su
faceta gráfica a través de la visualización, la que permite la expresión a través de un
simple esquema o bosquejo a mano alzada o un sofisticado software matemático. De
Guzmán (1996), al referirse a la Visualización Matemática, se manifiesta claramente
expresando que Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una
gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente,
cuya utilización resulta muy provechosa… Los expertos poseen imágenes visuales,
modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos, de gran valor y eficacia en su
trabajo creativo y en su dominio del campo en que se mueven…. Las ideas básicas del
análisis elemental, por ejemplo, orden, distancia, operaciones entre números, nacen
de situaciones bien concretas y visuales….. Esta forma de actuar con atención
explícita a las posibles representaciones concretas en cuanto desvelan las relaciones
abstractas que al matemático interesan constituye lo que denominamos visualización
en matemáticas. Que la visualización constituya un aspecto extraordinariamente
9
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
importante de la actividad matemática es algo totalmente natural si se tiene en cuenta
la naturaleza misma de la matemática.
Este tipo de estudiantes, a la hora de validar proposiciones actúa, por lo general,
desde el empirismo ingenuo (Balacheff, 2000), validando una proposición después de
verificarla para algunos casos particulares pero sin un criterio formado al hacerlo,
como “tanteando” y esto es suficiente para establecer la verdad de una proposición
matemática. Para el estudiante actual es difícil de comprender la exposición del
profesor en el aula del proceso deductivo de validación de proposiciones matemáticas,
quiénes, por lo general, entienden qué se espera de ellos cuando se les pide una
demostración y reconocen que la verificación es insuficiente como demostración. Sin
embargo tienden a recurrir a la misma como mecanismo de prueba cuando encuentran
dificultades. Esto probablemente está asociado al hecho de que en la vida y en las
ciencias experimentales la verificación es el método de prueba estándar,
enfrentándose los estudiantes a un problema epistemológico, no menor.
Reflexiones finales a modo de conclusión
En este apartado presentamos las primeras reflexiones teóricas sobre este proceso de
investigación. Como ha quedado documentado en el apartado anterior, diferentes
investigaciones han puesto en evidencia, las dificultades que los estudiantes
universitarios tienen, para poner en acto diferentes procesos cognitivos.
Particularmente, el razonamiento, la validación y la abstracción. Asimismo, también es
necesario reconocer que los propios docentes pueden haber desarrollado ideas
asociadas al razonamiento, validación y abstracción, que no facilite procesos de
enseñanza y aprendizaje que favorezcan el desarrollo pleno de los mismos, en los
estudiantes.
El razonamiento conforma uno de los procesos cognitivos centrales para el desarrollo
de múltiples actividades cognitivas, las cuales, exceden el campo específico de la
Matemática. Pero es, en esta ciencia, donde los estudiantes universitarios presentan
más dificultades para poner en acción proceso de razonamiento. En función de la
mirada asumida en esta investigación respecto del razonamiento, señalamos que
razonar en el campo matemático, es algo más que inferir correctamente algunos pasos
para obtener un resultado. Implica un proceso heurístico, es decir, partiendo de su
etimología, presupone la capacidad de hallar pero también de inventar. Por
consiguiente, el razonamiento no es un proceso cognitivo lógico en sentido absoluto,
presupone la puesta en acción de otros aspectos, que en el lenguaje cotidiano se
acercan más a la irracionalidad que a la racionalidad. La habilidad de invención está
íntimamente ligada a la creatividad, a la imaginación. Es decir, razonar
matemáticamente hablando supone que los estudiantes deben resolver los problemas
y situaciones que se le presentan en el proceso de formación, comprender los
10
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
enunciados, conocer el lenguaje matemático, y desarrollar habilidades que no
impliquen una demostración básica, sin desarrollo creativo de la racionalidad.
Pero también, es preciso que los estudiantes desarrollen procesos de abstracción,
éstos son inherentes al propio proceso de razonamiento, pues abstraer implica la
capacidad de conceptualizar. Y, como señala Vergnaud (1996), la conceptualización
es el máximo punto del desarrollo cognitivo de los sujetos. Esto es sustancial en
cualquier actividad matemática que requiere de procedimientos basados en el
razonamiento.
Los procesos de validación matemática también generan en los estudiantes
universitarios problemas muy importantes que obstaculizan su propio aprendizaje. La
validación supone el desarrollo de la capacidad de argumentar, y sostener
socialmente, aquello que se afirma. Es decir, comunicar desde el lenguaje matemático
en sus diferentes expresiones, los significados que ha construido. La validación
entonces, requiere de procesos escritos pero también del lenguaje oral, para dar
cuenta de las acciones y habilidades puestas en juego al resolver las actividades y
problemas matemáticos planteados.
Los resultados de investigación, sintéticamente, se conducen en la línea planteada por
Sastre Vázquez, Boubée y Rey (2005), en el sentido que los estudiantes resuelven
mejor ejercicios descontextualizados, que situaciones problemáticas en las cuales se
ponen en juego el razonamiento, la abstracción y la validación, en los términos
descriptos anteriormente.
Los resultados no son casuales, pueden relacionarse con las trayectorias escolares de
los estudiantes universitarios, pues suelen ingresar con ciertas falencias de desarrollo
de procesos cognitivos lingüísticos inherentes al desarrollo de cualquier ciencia. Por
ello, es lógico que resuelvan situaciones matemáticas más desde el empirismo
ingenuo, como sucede en el campo de otras disciplinas (Biología, Física), que desde
una apropiación y visualización del lenguaje matemático en sus diversas formas.
Coincidentemente con lo planteado por Gascón Pérez (1997) la actividad matemática
en los estudios de secundaria se puede calificar de mostrativa, es decir basada en
recordar, ordenar y sistematizar conocimientos fundamentados en el sentido común.
En este nivel educativo las definiciones se realizan mediante comentarios y ejemplos
concretos, haciendo un uso muy limitado del lenguaje matemático.
Por tanto, resulta fundamental a partir de los resultados de investigación platear cómo,
desde la universidad, se deben afrontar estos obstaculizadores en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
En primer lugar, los docentes involucrados en la enseñanza de la Matemática deben
redefinir sus propias visiones sobre cómo desarrollar actividades que faciliten el
desarrollo de los procesos de razonamiento, abstracción y validación, para estudiantes
de Ingeniería. Además de reconocer que en muchos casos los estudiantes de
Ingeniería no tienen interés en la ciencia, en general, y en la Matemática, en particular.
11
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
Desde el punto de vista didáctico, quizás la organización de los espacios curriculares
de Matemática, deben programarse a partir de unidades didácticas que tengan como
ejes organizadores situaciones problemáticas, focalizadas en el desarrollo de los
procesos antes mencionados. Permitiendo, a partir de ello, que los estudiantes
confronten esta forma de pensar el aprendizaje de la Matemática, con las propias
ideas sobre cómo se aprende Matemática, y cual es el valor de esta ciencia en función
de su desarrollo profesional.
En segundo lugar, los estudiantes de Ingeniería deben generar procesos de
desaprendizaje, respecto a las formas habituales de trabajo en Matemática, y
comprender que ésta constituye una herramienta central, para su futuro desarrollo
profesional. Y que permite, a su vez, desarrollar habilidades de pensamiento que se
deben utilizar cotidianamente en el aprendizaje de otros espacios curriculares durante
la formación de grado. Entender que sus propios estilos de aprendizaje y de estudio,
construidos a lo largo de la trayectoria escolar, requieren de una reestructuración para
definir sí, sus propios procedimientos, obstaculizan o facilitan el proceso de
aprendizaje.
Referencias Bibliográfícas
BALACCHEFF, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemática.
Bogotá: Una empresa docente. 1a. ed. Bogotá: Universidad de los Andes.
BELL, A. (1976). “A study of pupils’ proof.-explanation in mathematical situation”.
Educat Studies in Mat. (7) pág. 23-40.
CUICAS ÁVILA; M., DEBERL CHOURIO, E., CASADEI CARNIE, L. y ÁLVAREZ
VARGAS, Z. (2007). “El software matemático como herramienta para el desarrollo de
las habilidades del pensamiento y mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas”.
Actualidades investigativas en educación, (7)2, mayo-agosto, pág.. 1-34.
D’ANDREA R. (2010). “El artificio matemático: reflexión e intento de solución”. En III
REPEM. La Pampa: Santa Rosa. Pp. 53-64.
DE VILLIERS, M. (1993). “El papel y la demostración en matemáticas”. Épsilon, (26),
pág.15-30.
GASCÓN PÉREZ J. (1997). “Cambios en el contrato didáctico: el paso de estudiar
matemáticas en secundaria a estudiar matemáticas en la universidad”. Revista sobre
Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (26), pág.11 – 22.
GONZÁLEZ, V. y RODRIGUEZ, M. (2006). “Un modelo para evaluar la validación
matemática”. Educación Matemática, 18(003). Diciembre, pág 103-124.
12
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490
Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación
GUTIÉRREZ, A. (2001). “Estrategias de Investigación cuando los marcos teóricos no
son útiles”. pág. 12. Actas del Simposio de la SEIEM. España: Almería.
GUZMÁN, M. (1996). El rincón de la pizarra: ensayos de visualización en análisis
matemáticos: elementos básicos de análisis. 1a ed. Madrid: Pirámide.
HAREL, G. y SOWDER, L. (1998). Studens’ proof schemes: Results from an
exploratory study. In: Schoenfeld, A., Kaput, J. y Dubinsky, E. (Edit). Research in
College Mathematics Education III, Providence, RI: AMS. pág. 234-283.
IBAÑES, M. (2001). Aspectos cognitivos del aprendizaje de la demostración
matemática en alumnos de primer curso de bachillerato. Tesis para acceder al título
de Doctor, Valladolid: Universidad de Valladolid.
PARDAVÉ LIVIA W. (1999). Razonamiento matemático. Teorías y problemas.1a ed.,
Colombia: Sistemas y Computadores Ltda.
SANJURJO, L. (2002). La formación práctica de los docentes. Reflexión y acción en el
aula. 1a ed. Rosario: Ediciones Homo Sapiens.
SASTRE VAZQUEZ, P. BOUBÉE C. y REY, G. (2005). “Dificultades en la resolución
de problemas del alumno ingresante a Ingeniería Agronómica”. Actas XIX Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa, RELME Vol. 19. Montevideo. pág. 28-34.
SCHOENFELD, A. (1996). La enseñanza del pensamiento de la matemática y la
resolución de problemas. En: Cognición y currículum. Bs. As.: Aique. 1a ed. pág.141174.
VERGNAUD, G. (1996). “Education: the best part o Piaget’s heritaje”. Swiss Journal of
Psychology, 55(2/3), pág. 112-118.
13
ISBN: 978-84-7666-210-6 – Artículo 490