capítulo xii - Biblioteca Central

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CAP Í TULO XII
ESFERA Y TRIÁNGULOS ESFÉRICOS
Conocimientos previos
Suponemos conocido lo siguiente:
a) Todas las tangentes a la esfera de un punto de la misma, están en un
plano llamado plano tangente, que es perpendicular al radio que pasa por
dicho punto.
b) El camino, sobre la superficie esférica, más corto entre dos puntos, es
un arco de círculo máximo.
Polo de un círculo máximo
Es cada uno de los puntos en que la esfera es cortada por la
perpendicular al plano del círculo máximo trazada desde el centro:
Teorema XII-1: El ángulo que forman dos círculos máximos que se cortan
en V, es igual al arco que abarca en un círculo máximo cuyo polo sea V.
Dem.:
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Sea el círculo máximo qué pasa por V y M (que coincide con el plano del
dibujo), y el que pasa por VN. El círculo máximo que pasa por M y N, tiene por
polo a V.
De la inspección de la figura se deduce que el ángulo x en V (formado
por las tangentes) y el ángulo MON son iguales (por la dos paralelos). Y este
último vale lo mismo que el arco MN, por ser un ángulo central.
Triángulo Esférico
Es la figura, en la superficie esférica, limitada por los ar cos de círculo
máximo que unen tres puntos.
A los puntos se les llama vértices y a los arcos de círculo máximo,
lados. A los ángulos que forman los círculos máximos se les llama ángulos
del triángulo esférico.
Un triángulo esférico será convexo si no es cortado por la prolongación
de sus lados; cóncavo en caso contrario.
Triedro Asociado a un Triángulo
Es el triedro cuyo vértice es el centro de la esfera; cuyas aristas
pasan por los vértices del triángulo; y cuyas caras cortan a la esfera según
los
lados
del
triángulo;
de
forma
que
la
superfi -
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cie del triángulo esférico sea interior al triedro.
Cada triángulo tiene un triedro asociado y recíprocamente.
Admitiremos (sin demostrarlo) que el triedro asociado a un triángulo
convexo es también convexo y recíprocamente.
Teorema XII -2: Los lados y ángulos de un triángulo esférico son iguales
a las caras y los diedros de su triedro asociado.
Dem.: puede hacerse inspeccionando la figura XII - 2.
Corolario: un triángulo esfé rico convexo tiene ángulos y lados menores
de 180º.
Propiedades del Triángulo Esférico
Dado que cada triángulo esférico tiene su triedro asociado, podemos
d educir de las propiedades del triedro convexo, otras análogas para el
triángulo.
Teorema XII-3: A todo triángulo esférico convexo corresponde otro
triángulo, también convexo, llamado polar o suplementario del primero. Los
lados y ángulos de un triángulo son, respectivamente, suplementarios de los
ángulos y lados del triángulo polar.
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Dem.: a un triángulo t corresponde un triedro asociado n; y éste tiene
un triedro polar n' , al cual corresponde un triángulo t'. El resto se deduce en
forma inmediata de los teoremas XI - 5 y XII -2.
Teorema XII -4 : Un lado de un triángulo esférico convexo es menor
que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
Se deduce del teorema XI- 6.
Teorema XII -5 : En un triángulo esférico convexo, a mayor ángulo se
opone mayor lado y recíprocamente. A lados iguales se opo nen ángulos
iguales y recíprocamente (triángulos isósceles y equi láteros).
Se deduce del teorema X I- 7 .
Teorema XII - 6: La suma de los lados de un triángulo esférico convexo
es menor que 4 rectos.
Se dedu ce del teorema XI - 8.
Teorema XII- 7 : La suma de los ángulos de un triángulo convexo está
comprendida entre 2 y 6 rectos.
Se deduce del teorema XI- 9.