Aplicaciones Integral Multiple

CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
1.3.1
§1.3 Aplicaciones importantes de las Integrales
múltiples
Además del cálculo de áreas de regiones planas regulares o de volúmenes de cuerpos regulares
acotados, que ya hemos abordado, las integrales múltiples tienes otras muchas aplicaciones. Destacamos las
más útiles en Dinámica de medios continuos. En particular: i) el cálculo de masas de una placa D en el plano
2
o de un cuerpo V acotado en el espacio 3, cuando la masa se haya distribuida por una función densidad
variable, (x,y) o (x,y,z); ii) el cálculo de centros de masas o de gravedad en ambos casos; iii) el cálculo de
valores promedio de una función f(x,y) en D o f(x,y,z) en V; y iv) el momento de inercia respecto de un eje de
distribuciones de masa en el plano o en el espacio con densidades dadas.
a) Cálculo de masas distribuidas
a1) En el plano
Dada una placa D cuya masa se halla distribuida por unidad de superficie según una ley de densidad
dada, (x,y) (que puede ser constante), su masa se calcula sumando las masas de los elementos diferenciales
de área, o sea, (x,y)dxdy mediante la integral doble:
Masa(D) = ∬ σ ,
d d
(1.3-1)
Ejemplo 1.3-1: Masa de un semicírculo D de radio R cuya densidad de masa por unidad de superficie en cada
punto es proporcional a la distancia del punto al diámetro del semicírculo.
Solución: Tomando eje X en el diámetro y origen en el centro, la densidad es (x,y) = y. Luego la masa es:
Masa(D) = ∬
d d = (pasando a polares para simplificar D) =
ρsenθρdρdθ =
#.
Ejemplo 1.3-2: Una lámina tiene forma de semicírculo, de radio R. Si la densidad en cada punto es proporcional
a la distancia al borde curvo, calcule la masa de la lámina.
Solución: La masa resultante es 16 kπR 3 . Comprobarlo como ejercicio (ver el ejercicio nº 9 de la hoja de
problemas del capítulo).
#.
a2) En el espacio
Dado un sólido V cuya masa está distribuida por unidad de volumen según una ley de densidad dada,
(x,y,z), la masa total de V se calcula análogamente, sumando las masas de los elementos diferenciales de
volumen, o sea, (x,y,z)dxdydz mediante la integral triple:
Masa(V) =
  ( x, y, z )dxdydz
(1.3-2)
V
Ejemplo 1.3-3: Masa de la esfera V de radio R cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional a la
distancia al centro.
Solución: Sea k la constante de proporcionalidad, de modo que en esféricas: (r,, ) = , luego
masa(V) =
R
π
2π
0
0
0
 
krsenφdrdφdθ = k  r2

2 R
0

 
  cos φ π θ 2π = 2kR2

0
0

#.
Ejemplo 1.3-4: Hallar la masa del cuerpo  = {(x, y, z)  3 : x  0; y  0; x2  z  4  y2} sabiendo que la
función de densidad está dada por ( x, y, z) = x4.
Solución: masa() = 2, comprobarlo como ejercicio (ver ejercicio 12 de la hoja de problemas)
#.
1.3.2
Cálculo II
b) Centros de masa
b1) En un segmento
En un segmento L sobre el que se encuentran un conjunto discreto de masas puntuales mi, en las
abscisas xi, el centro de masas es el punto respecto del cual se obtiene el equilibrio de momentos (si
imaginamos el segmento rígido, es el punto sobre el que hay que apoyar el segmento para que no gire y
permanezca en equilibrio). Así que su abscisa xcm deberá cumplir:
mi(xi – xcm) = 0.
 mi xi
De ahí se obtiene
xcm = i m
(1.3-3)
 i
i
Si la masa se halla distribuida a lo largo del segmento según una ley de densidad (x) e identificamos
el segmento con un intervalo real [a, b], la fórmula anterior se extiende fácilmente:
b
b
 xdm  x ( x )dx
xcm = ma ( L )  ab
a  ( x )dx
(1.3-4)
b2) En una placa del plano
En una placa D del plano, con densidad de masa distribuida (x,y), el centro de masa tiene abscisa xcm
y ordenada ycm, que se determinan de forma análoga:


xdm

x ( x , y )dxdy

ydm
y ( x , y )dxdy
xcm = mD( D )  D
, ycm = mD( D )  D
D  ( x , y )dxdy
D  ( x , y )dxdy
Se hace notar que si la placa presenta un eje de simetría, el centro de masa se encuentra en él.
(1.3-5)
Ejemplo 1.3-5: Hallar el centro de masas del semicírculo del ejemplo (1.3-1)..
Solución: Con los mismos ejes de entonces, el radio perpendicular al diámetro es eje de simetría de D, por lo que
el c. de m. se encuentra en él, así que xcm = 0. La masa total se calculó en el ejemplo citado y es R por lo que
la ordenada ycm cumple:
ycm =

D
y 2 dxdy
2
3
R
3
=
=
3
2R 3
3R
8
R
π
0
0
 

π
2
ρ3 sen 2 θdρdθ =
 
π
 14  2cos 2θdθ 
0
Así las coordenadas del c. de m. son:
3
2R 3
3R
8
  ρ dρ   sen θdθ  
R
π
2
π
3
0
2
0
π

 14 (sen 2θ 0 ) =
3R
8

π
0
1cos2θ dθ
2
=
3πR
16
xcm = 0, ycm = 3πR
16
#.
Ejemplo 1.3-6: Una lámina de masa m tiene forma de triángulo rectángulo. Si la densidad en cada punto es
proporcional al cuadrado de la distancia al vértice con ángulo recto, calcule el centro de masas de la lámina.
Solución: Como ejercicio, comprobar que: xcm =
ba 2 (3a 2 b2 )
60 m
, ycm =
ab2 (3b2  a 2 )
60 m
, siendo a el cateto horizontal
y b el vertical (ver ej. 10 de la hoja de problemas del capítulo).
#.
b3) En un sólido del espacio
Para un sólido V en 3, con su masa distribuida según una ley de densidad (x,y,z), el centro de masas
tiene tres coordenadas que se determinan análogamente:

xdm
xcm = mV(V )
 
V
V
x ( x , y , z )dxdydz
 ( x , y , z )dxdydz

ydm
, ycm = mV(V )
donde los denominadores son la masa total de V.
 
V
V
y ( x , y , z )dxdydz
 ( x , y , z )dxdydz

zdm
, zcm = mV(V )
 
V
z ( x , y , z )dxdydz
V  ( x , y , z )dxdydz
(1.3-6)
CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
1.3.3
Ejemplo 1.3-7: Calcular el centro de masa de un cilindro circular V, de radio R y altura h, cuya masa se
encuentra distribuida proporcionalmente a la distancia a la base superior o tapa del cilindro.
Solución: Tomamos ejes de modo que el eje Z coincida con el eje del cilindro. Como es un eje de simetría, el c.
de m. estará en él y cumplirá xcm = ycm = 0. Y sólo falta zcm. La densidad de masa es (x,y,z) = k(h – z) y la masa
total será:
ρdρdθd = … = kR2h2
=k
Masa(V) = ∭ k h
Y la ordenada z del c. de m.:
zcm =
∭
k
=
dρdθd =
#.
Ejemplo 1.3-8: Hallar el centro de masa de un cono circular de radio R y altura h, sabiendo que la densidad, es
constante.
Solución: Comprobar como ejercicio que la ordenada z del c. de m. es: zcm = 1 4 h
#.
c) Promedios integrales
El teorema del valor medio de las integrales dobles o triples de funciones continuas ya se ha
presentado en la sección correspondiente y no volveremos sobre ella.
Vm(f ; D) =
,
∬
; Vm(f ; V) =
∬
, ,
∭
(1.3-7)
∬
d) Cálculo de momentos de inercia
La dinámica de un sólido en el espacio utiliza el llamado momento de inercia, que es una cierta
medida de la respuesta del cuerpo al intento de girarlo alrededor de un eje.
Suponemos un sólido V en 3, donde se han tomado ejes X, Y, Z. La idea es sumar los productos de los
elementos diferenciales de masa, dm, por el cuadrado de la distancia de cada uno de ellos al eje considerado.
Así, los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente son:
Ix =

V

( y 2  z 2 ) ( x, y , z )dxdydz ; Iy =
V
( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz ; Iz =

V
( x 2  y 2 ) ( x, y , z )dxdydz
De forma análoga se pueden calcular momentos de inercia de placas en el plano
las aplicaciones en dinámica del sólido, la densidad es constante.
2
(1.3-8)
. En la mayoría de
Ejemplo 1.3-9: Un sólido V de densidad de masa constante, , está acotado en el espacio 3 entre el paraboloide
z = x2 + y2 y el cilindro x2 + y2 = a2. Encontrar su momento de inercia Iz .
Solución: V = {(x,y,z) : 0  z  x2 + y2  a2} , pues el cilindro y el paraboloide se intersecan en el plano z = a2. Se
tiene:

x  ρ cos θ, y  ρsenθ, z  z

dxdydz  ρdρdθdz
Iz =  ( x  y ) ( x, y , z )dxdydz = 
V
( x, y , z )  V  (ρ, θ, z )  0  ρ  a, 0  θ  2π, 0  z  ρ

2
=
a
2π
ρ2
0
0
0
 
2
a
0


 
ρ2
 ρ 2ρdρdθdz  2π  ρ3 z 0 dρ = 2
 ρ 
1
6
6 a
0
π a
3
2


 =

6
.
#.
Ejemplo 1.3-10: Hallar el momento de inercia de la placa de la figura respecto a un eje
ortogonal a la misma por el origen de coordenadas, sabiendo que la densidad del
círculo menor es proporcional a la distancia al origen y la de las aspas lo es a la
distancia al borde curvo exterior. Los radios son 1 y 3 y la constante de
proporcionalidad es 1.
Solución: Como ejercicio comprobar que I = 83π
6
#.
1.3.4
____________________________________
Cálculo II