El Problema de N-cuerpos - Instituto de Astronomía Ensenada
Anuncio
El Problema de N-cuerpos Luis A. Aguilar Instituto de Astronomía/UNAM El problema de N-cuerpos es tal vez, el problema no resuelto más antiguo y a la vez más fecundo, en la historia de la ciencia. El problema de N-cuerpos es tal vez, el problema no resuelto más antiguo y a la vez más fecundo, en la historia de la ciencia. Su origen se remonta a la necesidad del hombre antiguo por medir el paso del tiempo para anticipar las migraciones de animales y, posteriormente, los ciclos de la agricultura. El primer calendario lo encontró el hombre en la bóveda celeste. El problema de N-cuerpos es tal vez, el problema no resuelto más antiguo y a la vez más fecundo, en la historia de la ciencia. Para poder medir el tiempo con los cuerpos celestes, los primeros astrónomos desarrollaron modelos empíricos en base a las regularidades observadas en el paso de los astros por el cielo. Sin saberlo, estos astrónomos estaban desarrollando modelos para resolver un problema de N-cuerpos: el Sistema Solar. Isaac Newton y el problema de N-cuerpos En el siglo XVII, Isaac Newton formuló la forma clásica de la interacción gravitacional. Con excepción de la ley de reflexión especular, esta fué la primera formulación matemática de un fenómeno natural. “Planetas omnes in se muto graves esse jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciproce ut quadratum distantiœ locorum a centro planetæ. Et inde consequens est gravitatem in omnes proportionalem esse materiæ in iisdem”. Isaac Newton, Proposición vii, Teorema VII. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Isaac Newton y el problema de N-cuerpos La solución del problema de 2 cuerpos llevó a Newton a la invención del Cálculo. La solución del problema de 3 cuerpos, sin embargo, probó ser insoluble. Newton afirmó sobre este problema, que su solución, “excede, si no estoy equivocado, la fuerza de cualquier mente humana”. El problema de 2 cuerpos, por otro lado, resultó ser suficiente, cuando la influencia de otros cuerpos celestes es tratada como una perturbación, para predecir el retorno de un cometa: el cometa de Halley. El problema de N-cuerpos y la rivalidad entre potencias europeas Las grandes potencias europeas establecieron observatorios nacionales y promovieron el desarrollo de las matemáticas y la astronomía, al buscar resolver un problema de gran importancia estratégica: la navegación. La búsqueda de una solución a este problema se dividió en dos campos: los que buscaban poder determinar el tiempo por medio de la posición de la luna y los planetas, y los que buscaban determinar el tiempo por medios mecánicos. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna La búsqueda de una solución al problema de determinar la longitud geográfica por medio del movimiento de los planetas, motivó el estudio del problema de N-cuerpos y trajo consigo un enorme desarrollo de las ciencias físicas y las matemáticas. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna • Pierre Simon de Laplace investigó la estabilidad del sistema solar y publicó en 1799 su obra Mécanique Celeste. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna • Pierre Simon de Laplace investigó la estabilidad del sistema solar y publicó en 1799 su obra Mécanique Celeste. • Leonhard Euler parecer ser el primero en estudiar el problema general de 3 cuerpos como un problema matemático independiente de la dinámica del sistema solar. El encontró una solución del llamado problema restringido de 3 cuerpos, en el que todas las partículas se mueven sobre una misma línea recta. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna • Pierre Simon de Laplace investigó la estabilidad del sistema solar y publicó en 1799 su obra Mécanique Celeste. • Leonhard Euler parecer ser el primero en estudiar el problema general de 3 cuerpos como un problema matemático independiente de la dinámica del sistema solar. El encontró una solución del llamado problema restringido de 3 cuerpos, en el que todas las partículas se mueven sobre una misma línea recta. • Joseph Louis Lagrange estudió el problema de la libración de la Luna y dió un análisis de las órbitas de los satélites de Júpiter. Confirmó la solución de Euler para el problema general de 3 cuerpos y encontró una solución adicional en la que los 3 cuerpos se mueven formando un triángulo equilátero. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna • Pierre Simon de Laplace investigó la estabilidad del sistema solar y publicó en 1799 su obra Mécanique Celeste. • Leonhard Euler parecer ser el primero en estudiar el problema general de 3 cuerpos como un problema matemático independiente de la dinámica del sistema solar. El encontró una solución del llamado problema restringido de 3 cuerpos, en el que todas las partículas se mueven sobre una misma línea recta. • Joseph Louis Lagrange estudió el problema de la libración de la Luna y dió un análisis de las órbitas de los satélites de Júpiter. Confirmó la solución de Euler para el problema general de 3 cuerpos y encontró una solución adicional en la que los 3 cuerpos se mueven formando un triángulo equilátero. • Karl Friedrich Gauss desarrolló un método general para determinar órbitas basados en 3 observaciones unicamente y encontró el asteroide Ceres después de que habia sido perdido al pasar detrás del Sol. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna • Pierre Simon de Laplace investigó la estabilidad del sistema solar y publicó en 1799 su obra Mécanique Celeste. • Leonhard Euler parecer ser el primero en estudiar el problema general de 3 cuerpos como un problema matemático independiente de la dinámica del sistema solar. El encontró una solución del llamado problema restringido de 3 cuerpos, en el que todas las partículas se mueven sobre una misma línea recta. • Joseph Louis Lagrange estudió el problema de la libración de la Luna y dió un análisis de las órbitas de los satélites de Júpiter. Confirmó la solución de Euler para el problema general de 3 cuerpos y encontró una solución adicional en la que los 3 cuerpos se mueven formando un triángulo equilátero. • Karl Friedrich Gauss desarrolló un método general para determinar órbitas basados en 3 observaciones unicamente y encontró el asteroide Ceres después de que habia sido perdido al pasar detrás del Sol. • Henri Jules Poincaré estudió con mucho detalle el problema de 3 cuerpos. Los métodos que introdujo para estudiar su estabilidad llevaron al desarrollo de la Topología y al descubrimiento del concepto de cáos. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna El estudio del problema de 3 cuerpos siguió dos enfoques distintos: el primero consistía en aproximar las soluciones y dió origen a la Mecánica Celeste. El segundo buscaba las soluciones transformando el problema original y dió origen a la Mecánica Analítica o Racional. El problema de N-cuerpos y el desarrollo de la ciencia moderna El estudio del problema de 3 cuerpos siguió dos enfoques distintos: el primero consistía en aproximar las soluciones y dió origen a la Mecánica Celeste. El segundo buscaba las soluciones transformando el problema original y dió origen a la Mecánica Analítica o Racional. En los ultimos cien años el estudio del problema de N cuerpos ha llevado al desarrollo de la Dinámica Estelar. El problema de N-cuerpos es de interés para varias ciencias El problema de N-cuerpos es de interés para varias ciencias Para las Matemáticas Para la Astronomía Para la Física Para las Ciencias Computacionales El problema de N-cuerpos en la Física El problema de N-cuerpos en la Física El problema gravitatorio de N cuerpos (en el régimen no relativista), tiene un desarrollo históricamente invertido con respecto a las demás ramas de la física: mientras el resto ha partido de una descripción del comportamiento global de los sistemas estudiados, para subsecuentemente desarrollar una descripción local de la física a un nivel fundamental de la interacción entre los componentes del sistema: Termodinámica Mecánica Estadística, Mecánica de fluidos Teoría cinética de gases, Propiedades mecánicas de materiales Estructura atómica y molecular, El problema de N-cuerpos en la Física En el problema gravitatorio desde un principio supimos la forma de la interacción: F=G m1 m 2 r2 El problema de N-cuerpos en la Física En el problema gravitatorio desde un principio supimos la forma de la interacción: F=G m1 m 2 r2 Esta interacción es única en el Universo, ninguna otra afecta a todo el contenido del mismo, sea materia o energía, sean manzanas o galaxias, además su efecto no esta limitado con la distancia; por ello, aunque la más débil de las fuerzas conocidas, la gravedad es la que da forma al Universo. El problema de N-cuerpos en la Física En el problema gravitatorio desde un principio supimos la forma de la interacción: F=G m1 m 2 r2 Hay dos propiedades muy importantes de la gravedad que discutiremos ahora: el hecho de que es una fuerza de largo alcance y el que no tiene escala de longitud característica. El problema de N-cuerpos en la Física Imaginemos que habitamos un planeta que se encuentra en el centro de una gran galaxia de forma esférica formada por un grán número de estrellas. Es claro que la fuerza neta promedio sobre nosotros será nula, ya que la distribución de masa es simétrica alrededor de nosotros. El problema de N-cuerpos en la Física Imaginemos que habitamos un planeta que se encuentra en el centro de una gran galaxia de forma esférica formada por un grán número de estrellas. Es claro que la fuerza neta promedio sobre nosotros será nula, ya que la distribución de masa es simétrica alrededor de nosotros. Sin embargo, la fuerza tendrá fluctuaciones estadísticas alrededor de la media nula, debido al caracter discreto de la distribución de masa. El problema de N-cuerpos en la Física Si nos fijamos ahora en una región particular de la galaxia que contiene N estrellas y esta a una distancia r de nosotros, es claro que la fuerza que esta parcela ejerce sobre nosotros es proporcional a: N F! r2 N r El problema de N-cuerpos en la Física Si nos fijamos ahora en una región particular de la galaxia que contiene N estrellas y esta a una distancia r de nosotros, es claro que la fuerza que esta parcela ejerce sobre nosotros es proporcional a: N F! r2 Las fluctuaciones serán de una magnitud dada por: N r !F " !N r2 = N r2 El problema de N-cuerpos en la Física Si nos fijamos ahora en una región particular de la galaxia que contiene N estrella y esta a una distancia r de nosotros, es claro que la fuerza que esta parcela ejerce sobre nosotros es proporcional a: N F! r2 Las fluctuaciones serán de una magnitud dada por: N’ r’ N r !F " !N r2 = N r2 Si ahora nos fijamos en una segunda parcela a una distancia r’ y pedimos que ejerza la misma fuerza promedio sobre nosotros, es claro que el número de estrellas que contiene es de la forma: N'! r'2 y la fluctuación correspondiente en la fuerza será, !F'" N' r2 " 1 r' El problema de N-cuerpos en la Física Este es un resultado muy importante, ya que implica que si dividimos a la galaxia en una serie de parcelas de tamaño tal, que cada una de ellas ejerza la misma fuerza promedio sobre nostoros, las fluctuaciones en la fuerza decrecen como 1/r. F !F " 1r r El problema de N-cuerpos en la Física Este es un resultado muy importante, ya que implica que si dividimos a la galaxia en una serie de parcelas de tamaño tal, que cada una de ellas ejerza la misma fuerza promedio sobre nostoros, las fluctuaciones en la fuerza decrecen como 1/r. Esto quiere decir que podemos dividir la influencia gravitacional en dos comportamientos asintóticos: una parte fluctuante debida a las inmediaciones y otra regular debida a las regiones más alejadas. regular irregular F !F " 1r r El problema de N-cuerpos en la Física El tiempo característico en el que los efectos de la parte irregular dominan, se le llama tiempo colisional y puede demostrarse que es de la forma: t col ! ( ) N / log(N ) R <v 2 > El problema de N-cuerpos en la Física El tiempo característico en el que los efectos de la parte irregular dominan, se le llama tiempo colisional y puede demostrarse que es de la forma: t col ! ( ) N / log(N ) R <v 2 > Por otro lado, la unidad natural de tiempo de un sistema gravitacional es el llamado tiempo dinámico en el que las partículas cruzan el sistema: t din ! ( ) R <v 2 > El problema de N-cuerpos en la Física El tiempo característico en el que los efectos de la parte irregular dominan, se le llama tiempo colisional y puede demostrarse que es de la forma: t col ! ( ) N / log(N ) R <v 2 > Por otro lado, la unidad natural de tiempo de un sistema gravitacional es el llamado tiempo dinámico en el que las partículas cruzan el sistema: t din ! ( ) R <v 2 > El cociente de estos dos tiempos nos mide la importancia de la parte irregular con respecto a la regular: t col / t din ! N / log(N ) El problema de N-cuerpos en la Física Entre más pequeño es este cociente, el sistema esta más dominado por la parte irregular de la fuerza producida por las colisiones entre partículas. Así pues, podemos dividir a los sistemas gravitacionales de N cuerpos en dos clases: sistemas colisionales y sistemas no-colisionales; la diferencia entre ellos solo depende del número N de partículas. El problema de N-cuerpos en la Física Entre más pequeño es este cociente, el sistema esta más dominado por la parte irregular de la fuerza producida por las colisiones entre partículas. Así pues, podemos dividir a los sistemas gravitacionales de N cuerpos en dos clases: sistemas colisionales y sistemas no-colisionales; la diferencia entre ellos solo depende del número N de partículas. Sistema N tcol (106 años) tdin (106 años) tcol/tdin Grupo estelar ≤ ~10 ≤1 ≤1 ~1 Cúmulo globular ~106 ≤103 ~10 ~102 Galaxia ~1011 ~107 102 ~105 Cúmulo de galaxias 102-103 ~103 103 ~10 El problema de N-cuerpos en la Física Las colisiones son muy importantes porque redistribuyen la energía entre las partículas, produciendo una distribución de velocidades llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. F(v) v El problema de N-cuerpos en la Física Las colisiones son muy importantes porque redistribuyen la energía entre las partículas produciendo una distribución de velocidades llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. F(v) v esc v Sin embargo, todo sistema autogravitante de masa finita tiene una velocidad de escape finita. Como la distribución de Maxwell-Boltzmann no esta acotada en las velocidades, esto quiere decir que en una escala de tiempo colisional, una fracción del sistema escapa del mismo. El problema de N-cuerpos en la Física Las colisiones son muy importantes porque redistribuyen la energía entre las partículas produciendo una distribución de velocidades llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. F(v) v esc v Sin embargo, todo sistema autogravitante de masa finita tiene una velocidad de escape finita. Como la distribución de Maxwell-Boltzmann no esta acotada en las velocidades, esto quiere decir que en una escala de tiempo colisional, una fracción del sistema escapa del mismo. Al quedar el resto del sistema con menos energía, se contráe, … El problema de N-cuerpos en la Física Las colisiones son muy importantes porque redistribuyen la energía entre las partículas produciendo una distribución de velocidades llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. F(v) v esc v Sin embargo, todo sistema autogravitante de masa finita tiene una velocidad de escape finita. Como la distribución de Maxwell-Boltzmann no esta acotada en las velocidades, esto quiere decir que en una escala de tiempo colisional, una fracción del sistema escapa del mismo. Al quedar el resto del sistema con menos energía, se contráe, y se contráe. El problema de N-cuerpos en la Física Las colisiones son muy importantes porque redistribuyen la energía entre las partículas produciendo una distribución de velocidades llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. F(v) v esc v Sin embargo, todo sistema autogravitante de masa finita tiene una velocidad de escape finita. Como la distribución de Maxwell-Boltzmann no esta acotada en las velocidades, esto quiere decir que en una escala de tiempo colisional, una fracción del sistema escapa del mismo. Al quedar el resto del sistema con menos energía, se contráe, y se contráe. El estado final al que tiende todo sistema físico autogravitante es el de una singularidad central y un halo de partículas que escapa a infinito. El problema de N-cuerpos en la Astronomía El problema de N-cuerpos en la Astronomía ¿Puede ocurrir realmente esto en el Universo? El problema de N-cuerpos en la Astronomía Existen en el halo de nuestra galaxia unos aglomerados esféricos formados por alrededor de un millón de estrellas cada uno. Estos llamados cúmulos globulares, son uno de los componentes más viejos de la Galaxia. Según hemos visto, el tiempo colisional en estos cúmulos es de alrededor de 109 años, o sea, una décima parte de sus edades. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Existen en el halo de nuestra galaxia unos aglomerados esféricos formados por alrededor de un millón de estrellas cada uno. Estos llamados cúmulos globulares, son uno de los componentes más viejos de la Galaxia. Según hemos visto, el tiempo colisional en estos cúmulos es de alrededor de 109 años, o sea, una décima parte de sus edades. Los cúmulos globulares son candidatos obvios para hacer una búsqueda de agujeros negros. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Hasta ahora, la búsqueda de agujeros negros en los centros de cúmulos globulares ha resultado infructuosa. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Hasta ahora, la búsqueda de agujeros negros en los centros de cúmulos globulares ha resultado infructuosa. Sin embargo, modelos numéricos indican que debe formarse la singularidad central. El problema de N-cuerpos en la Astronomía ¿Qué es lo que ocurre entonces? El problema de N-cuerpos en la Astronomía Resulta que de acuerdo a los modelos teóricos, la densidad central del cúmulo aumenta alrededor de ¡18 órdenes de magnitud! El problema de N-cuerpos en la Astronomía Resulta que de acuerdo a los modelos teóricos, la densidad central del cúmulo aumenta alrededor de ¡18 órdenes de magnitud! Con un incremento así, las distancias interestelares se vuelven comparables a las dimensiones del Sistema Solar. Esto favorece la formación de sistemas binarios de estrellas. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Un sistema binario, a diferencia de una estrella aislada, si puede absorber o depositar energía a su alrededor, al intercambiar energía orbital interna con energía cinética de colisión con una tercera estrella. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. En una binaria suave, la energía cinética orbital es menor a la del intruso, por lo que al interactuar, la binaria gana energía y el intruso pierde. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. En una binaria suave, la energía cinética orbital es menor a la del intruso, por lo que al interactuar, la binaria gana energía y el intruso pierde. Solo que al ganar energía, la binaria se expande y decrece su energía cinética aún más. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. En una binaria suave, la energía cinética orbital es menor a la del intruso, por lo que al interactuar, la binaria gana energía y el intruso pierde. Solo que al ganar energía, la binaria se expande y decrece su energía cinética aún más. En una binaria dura, por el contrario, la energía cinética orbital es mayor a la del intruso, y al interactuar, la binaria pierde energía y el intruso gana. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. En una binaria suave, la energía cinética orbital es menor a la del intruso, por lo que al interactuar, la binaria gana energía y el intruso pierde. Solo que al ganar energía, la binaria se expande y decrece su energía cinética aún más. En una binaria dura, por el contrario, la energía cinética orbital es mayor a la del intruso, y al interactuar, la binaria pierde energía y el intruso gana. Al perder energía, la binaria se contráe y aumenta su energía cinética aún más. El problema de N-cuerpos en la Astronomía De hecho, el comportamiento es sorprendente: dependiendo de la energía cinética orbital de un sistema binario, estos se pueden dividir en las llamadas binarias suaves y binarias duras. En una binaria suave, la energía cinética orbital es menor a la del intruso, por lo que al interactuar, la binaria gana energía y el intruso pierde. Solo que al ganar energía, la binaria se expande y decrece su energía cinética aún más. En una binaria dura, por el contrario, la energía cinética orbital es mayor a la del intruso, y al interactuar, la binaria pierde energía y el intruso gana. Al perder energía, la binaria se contráe y aumenta su energía cinética aún más. Esto da lugar a una dicotomía: las binarias suaves se vuelven cada vez más suaves y desaparecen, mientras que las binarias duras se vuelven cada vez más duras. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Lo anterior es de suma importancia para la evolución de cúmulos globulares: al contraerse el núcleo y aumentar la densidad de estrellas, se forman sistemas binarios de estrellas y el más duro de estos sistemas, domina la dinámica local inyectando energía y deteniendo el colapso. Eventualmente, la binaria dura dominante es expulsada del cúmulo en una colisión muy violenta. Al ocurrir esto, el núcleo del cúmulo vuelve a contraerse hasta que se forma otra binaria dura. Esto da lugar al fenómeno de pulsos gravotermodinámicos. El problema de N-cuerpos en la Astronomía Lo anterior es de suma importancia para la evolución de cúmulos globulares: al contraerse el núcleo y aumentar la densidad de estrellas, se forman sistemas binarios de estrellas y el más duro de estos sistemas, domina la dinámica local inyectando energía y deteniendo el colapso. Eventualmente, la binaria dura dominante es expulsada del cúmulo en una colisión muy violenta. Al ocurrir esto, el núcleo del cúmulo vuelve a contraerse hasta que se forma otra binaria dura. Esto da lugar al fenómeno de pulsos gravotermodinámicos. Resulta irónico que el colapso de un sistema de N-cuerpos (cúmulo), sea detenido por otro sistema de N-cuerpos (binaria), que existe, a una escala mucho menor, en el centro del primero. El problema de N-cuerpos en la Astronomía El Astrónomo Inglés Donald Lynden-Bell, ha resumido este comportamiento extraño de las binarias en cúmulos estelares en las siguientes leyes: Las Leyes de Lynden-Bell 1. 2. 3. 4. La Tasa de endurecimiento de un criminal es independiente de su dureza, una vez que se ha vuelto un criminal duro. Los criminales más violentos cometen pocos crímenes, pero éstos son extremadamente violentos. Los criminales menos violentos cometen más crímenes, pero éstos son poco violentos. Las sociedades pequeñas evolucionan hasta ser dominadas por un criminal central muy violento que expulsa a otros miembros de la sociedad, hasta que es desplazado de su posición central, o incluso expulsado de la sociedad, en una interacción violenta con otro miembro de la sociedad. Toda sociedad desarrolla eventualmente un grupo pequeño que la domina, eventualmente, este grupo puede llegar a ser dominado a su vez por un criminal muy violento. El problema de N-cuerpos en la Ciencias Computacionales El problema de N-cuerpos en la Ciencias Computacionales Algunas de las simulaciones mas grandes que se han corrido en supercomputadoras son simulaciones del problema de N-cuerpos. Simulación de Hubble: Simulación cosmológica de una región de un modelo de un universo de 430 Mpc3 de volumen, realizada con 109 partículas en una supercomputadora Cray T3E. El volumen simulado es tan vasto que el tiempo de viaje de la luz de un extremo a otro es de alrededor de 140 millones de años. El problema de N-cuerpos en la Ciencias Computacionales El problema de N-cuerpos ha dado lugar también a soluciones muy ingeniosas, como la dada por Erik Holmberg en 1941 al realizar la primera simulación del choque de dos galaxias. El problema de N-cuerpos en la Ciencias Computacionales A partir de 1980, un grupo de la Universidad de Tokio ha construido una serie de computadoras (GRAPE), en las que la forma de la interacción gravitacional esta alambrada en los circuitos mismos de las máquinas. Grape-5 1999 ~ 1 Tflop Grape-6 2002 64 Tflops Grape-DR 2008 2 Pflops? Estas computadoras han alcanzado velocidades muy altas de cómputo. El problema de N-cuerpos en la Ciencias Computacionales Aquí mismo en la sede en Ensenada del Instituto de Astronomía de la UNAM, se ha construido un cúmulo de 32 procesadores Pentium que funcionan como una computadora paralela para realizar simulaciones de N-cuerpos. El problema de N-cuerpos en la Cosmología El problema de N-cuerpos El problema de N-cuerpos es tal vez, el problema no resuelto más antiguo y a la vez más fecundo, en la historia de la ciencia.
