1) Recortar un papel que tenga la forma de un CUADRADO

ÍNDICE DE LAS INSTRUCCIONES
MODELO
PÁGINA
BASES: TRIANGULAR - ROMBO CUADRADO - ROMBO NO CUADRADO.
2
CAJA 1 (DE BASE CUADRADA).
3
CAJA 2 (DE BASE con forma de TRIÁNGULO).
4
CAJA 3 (Con aletas triangulares).
5
CAJA 4 (Caramelera).
6
MOLINETE – BASE MOLINO.
7
PAJARITA QUE MUEVE LAS ALAS.
8
LECHUZA.
9
ESTRELLA I.
10
ESTRELLA II.
11
ESTRELLA III (nudo pentagonal).
12
ESTRELLA IV (12 puntas).
13
IRIS CLÁSICO
14
TROMPO (que gira).
15
TROMPO (dos piezas).
16
TROMPO (tres piezas).
17
AVIÓN.
18
BOTE - CABEZA DE AVE
19
ESTRELLA NINJA.
20
MÓDULOS TETRAEDRO – OCTAEDRO…
21
TRES PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SÍ EN EL ESPACIO (y relación
con un OCTAEDRO.)
22
Semana de la Matemática, 2012
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INSTRUCCIONES BASE TRIANGULAR
Se necesita un papel en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades.
1) Marcar las dos medianas del cuadrado mediante pliegues.
2) Marcar las dos diagonales del cuadrado mediante pliegues.
3) Identificar los puntos medios de dos de los lados opuestos del cuadrado: 𝑃𝑃1 y 𝑃𝑃2 . (Analizar la
relación entre esos puntos y las medianas marcadas en el paso 1.)
4) Identificar los puntos medios de los otros dos lados opuestos del cuadrado: 𝑄𝑄1 y 𝑄𝑄2 . (Analizar la
relación entre esos puntos y las medianas marcadas en el paso 1.)
5) Plegar llevando los puntos 𝑃𝑃1 y 𝑃𝑃2 guiándose por las diagonales marcadas en el paso 2) hasta
hacerlos coincidir con el punto 𝑄𝑄1 . El punto 𝑄𝑄2 también coincidirá con ellos. Marcar bien los
dobleces. La figura resultante es un triángulo isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud de
√2
𝐿𝐿
2
y el lado restante una longitud igual a L unidades.
QUEDA TERMINADA LA BASE TRIANGULAR.
INSTRUCCIONES BASE ROMBO
Se necesita un papel en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L.
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar dos dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
INSTRUCCIONES BASE ROMBO NO CUADRADO
Se necesita un papel en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades.
(Pasos 1 y 2: base rombo)
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L.
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar los dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Imaginar la diagonal del rombo que pasa por el vértice inferior. Doblar cada uno de los lados
adyacentes a este vértice de modo que coincidan con la diagonal. Desdoblar.
4) En el rombo quedaron marcados dos segmentos que intersectan a los lados no plegados. Tomar
ahora la figura de su vértice superior y plegar por un segmento que pase por estos dos puntos.
Desdoblar. Sobre la figura quedaron marcados tres triángulos rectángulos y uno isósceles no
rectángulo.
5) Tomar ahora la figura de su vértice inferior y plegar a través del segmento marcado en el paso
anterior, llevando los otros lados hacia el centro, haciéndolos coincidir con la diagonal imaginada
en el paso 3). La figura obtenida puede pensarse como un rombo no cuadrado y dos triángulos
rectángulos; la hipotenusa de cada uno de ellos coincide con un lado del rombo.
6) Girar el modelo de modo que la figura que ahora está visible quede apoyado sobre la mesa. (o Girar
el modelo 180º hacia su derecha). Repita ahora el paso 5). La figura obtenida es un romboide.
QUEDA TERMINADA LA BASE ROMBO NO CUADRADO.
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1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
INSTRUCCIONES CAJA 1 (DE BASE CUADRADA)
Recortar un papel que tenga la forma de un CUADRADO de lado de longitud L.
Doblar a lo largo de una de sus diagonales. La figura que resulta es un TRIÁNGULO ISÓSCELES.
Doblar a lo largo de la altura correspondiente al lado desigual. Desdoblar. Queda el triángulo del
paso 2 con una altura marcada. Abrir la figura.
Llamemos P al punto intersección de las diagonales del cuadrado (P es el baricentro del cuadrado).
Llevar los cuatro vértices hacia el punto P. La figura que resulta es un cuadrado de área igual a la
mitad del área del cuadrado original. (VERIFICARLO)
Elegir un lado l cualquiera del cuadrado formado en el paso anterior. Doblar llevando el mismo en
forma paralela hasta que coincida con el punto P. Marcar el doblez y desdoblar
Hacer lo mismo que en el paso anterior, eligiendo ahora el lado opuesto al de ese paso (es decir,
aquel que no tiene ningún vértice en común con l).
Repetir el mismo doblez con los otros dos lados opuestos del cuadrado. Desdoblar. La figura que
resulta es el mismo cuadrado del paso 4, con cuatro rectas marcadas por los dobleces realizados.
Éstas son paralelas a los lados del cuadrado. Además se pueden reconocer cuatro triángulos
isósceles. Elegir dos opuestos de ellos y desdoblarlos. La figura formada es un hexágono no
regular, cuya área es ¾ del área del cuadrado original. (VERIFICARLO)
En el hexágono del paso anterior pueden identificarse dos rectas paralelas entre sí y paralelas
también a dos lados del cuadrado. Doblar por ellas los dos lados de modo que pasen por el punto P.
La figura formada es otro hexágono no regular.
Acomodar la pieza de modo que los lados de mayor longitud queden arriba y abajo. A la derecha y
a la izquierda de la pieza quedan dos triángulos que sobresalen de un rectángulo. Doble estos
triángulos hacia adentro: la figura que queda es un rectángulo de base de longitud
√2
3√2
4
𝐿𝐿 y altura de
longitud 4 𝐿𝐿. (VERIFICARLO)
10) ARMAR LA CAJA: identificar el cuadrado central que será la base de la caja. En los dos
cuadrados que quedan a su derecha y a su izquierda terminar de marcar con un doblez las
diagonales. Doblar ahora para formar la caja.
EJEMPLOS: A continuación se indica cómo obtener las medidas de los cuadrados necesarios para
confeccionar una caja de dimensiones establecidas. Supóngase que se desea armar una caja de base
cuadrada, de B cm de lado y una altura de H cm. Para ella se necesita un cuadrado de papel de L cm de
lado, donde: L = 2 (B + 2 H ) . En forma análoga, si la tapa tiene una altura igual a h cm, siendo su base
un cuadrado de b cm de lado, se necesita para confeccionarla una hoja de papel cuadrado de l cm de
lado, donde: l = 2 (b + 2h ) .
En la siguiente tabla se muestran las dimensiones de los dos cuadrados (uno para la caja y otro
para la tapa) en función de las medidas del producto final.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Medida del
lado de la base
de la caja. (B)
Medida de la
altura de la
base de la
caja. (H)
Medida del
lado de la tapa
de la caja. (b)
Medida de la
altura de la
tapa de la
caja. (h)
4 cm
6,5 cm
10 cm
11 cm
14 cm
15 cm
3,5 cm
4 cm
5 cm
11 cm
14 cm
8,5 cm
4,5 cm
7 cm
10,5 cm
11,5 cm
14,5 cm
15,5 cm
1,5 cm
2 cm
2 cm
3 cm
4 cm
3 cm
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Medida del
lado del
cuadrado
para la caja.
(L)
15,5 cm
20,5 cm
28,5 cm
47 cm
60 cm
45 cm
Medida del
lado del
cuadrado
para la tapa.
(l)
10,5 cm
15,5 cm
20,5 cm
25 cm
32 cm
30,5 cm
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INSTRUCCIONES CAJA 2 (DE BASE con forma de TRIÁNGULO)
Se necesitan tres papeles con forma de cuadrado de de lado de longitud L. Los pasos siguientes se
repiten para cada uno de los tres papeles:
1) Plegar el papel a lo largo de sus medianas. Desdoblar.
2) Doblar en forma paralela a una de sus aristas hasta que ésta coincida con la mediana paralela a ella
𝐿𝐿2
marcada en el paso anterior. Desdoblar. El área del rectángulo marcado es igual a 4 .
3) Volver a doblar en forma paralela a la arista elegida en el paso anterior de modo que ahora quede
𝐿𝐿2
un rectángulo de área igual a
. Desdoblar. Quedan marcados cuatro segmentos paralelos a la
8
arista elegida.
4) Elegir uno de los lados perpendiculares a la arista elegida en el paso 2) y plegar éste hasta la
mediana paralela a él. Queda marcado un segmento de recta que tiene como extremos los puntos P
y Q tales que:
5) P es el punto intersección de la arista paralela a la elegida en el paso 2) con la mediana
perpendicular a ella.
6) Q es el punto intersección de la arista elegida en este paso con el segmento marcado en el paso 3)
𝐿𝐿
(que es paralelo a la arista elegida en el paso 2) y está a una distancia igual a 8 de ésta).
7) Repetir el plegado del paso anterior eligiendo ahora el lado paralelo al del paso 4).
8) Doblar la arista elegida en el paso 2) por el segmento obtenido en ese paso y que está a una
𝐿𝐿
distancia igual a 4 de ésta.
9) Identificar el triángulo cuya base es paralela al doblez practicado en el paso 6). Tomar el vértice
opuesto a esa base y plegar de modo que uno de sus otros lados coincida con la base indicada.
10) Reconocer en la figura obtenida un hexágono no regular tal que la longitud mayor de sus lados es
igual a L y es paralelo a uno de los lados de un triángulo rectángulo. Plegar este triángulo a lo
largo del lado “hacia atrás” indicado de modo que quede perpendicular al plano que contiene al
hexágono.
11) Después del plegado del paso anterior quedan determinadas sobre el hexágono dos aletas: doblar
los lados del mismo perpendiculares al de mayor longitud en foma paralela a la mediana visible
por los vértices del triángulo rectángulo del paso que se encuentran sobre la arista del cuadrado
original. QUEDA ASÍ FORMADA UNA UNIDAD PARA LA CAJA. Se necesitan tres iguales.
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INSTRUCCIONES CAJA 3 (Con aletas triangulares)
Se necesita un papel en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades.
BASE ROMBO:
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar dos dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Con la figura en forma de base rombo, imaginar la diagonal del rombo que pasa por el vértice
inferior. Doblar cada uno de los lados adyacentes a este vértice de modo que coincidan con la
diagonal.
4) Girar el modelo 180° en sentido antihorario. Identificar tres triángulos: dos rectángulos con uno de
sus vértices coincidiendo con el superior del romboide (de la forma que está ubicada la figura) y
uno isósceles, con uno de sus vértices coincidiendo con el inferior del romboide.
5) Los dos triángulos rectángulos identificados en el paso anterior coinciden en uno de sus lados.
Abrir desde ese segmento a ambos lados y plegar formando un romboide de cada lado. La diagonal
mayor de cada uno de estos romboides coincide con la hipotenusa de uno de los triángulos
rectángulos. La figura formada es un hexágono no regular.
6) Repetir los pliegues del paso anterior del otro lado de la figura.
7) Plegar hacia atrás la mitad de cada uno de los romboides del paso anterior a lo largo de la diagonal
mayor del mismo. La figura resultante es un romboide: en el vértice superior coinciden cuatro hojas
de papel.
8) Doblar hacia abajo desde el vértice indicado en el paso anterior cada una de las cuatro hojas de
forma que la figura plegada sea un triángulo en cada una de ellas (son las aletas de la cajita).
9) Ajustar la parte inferior que será la base de la cajita, con forma de cuadrado. Los lados de la misma
tienen forma de trapecios isósceles.
QUEDA TERMINADA LA CAJA 3 (Con aletas triangulares).
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INSTRUCCIONES CAJA 4 (Caramelera)
Se necesita un papel en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades.
BASE ROMBO:
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar dos dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Con la figura en forma de base rombo, ubicada de modo que en el vértice superior puedan separarse
las cuatro hojas, plegar de ambos lados hacia abajo según la diagonal del rombo que no pasa por
este vértice. La figura formada sigue siendo un rombo.
4) Plegar hacia adentro de la figura un triángulo rectángulo de cada lado, de modo que el lado de cada
uno de ellos que coincidía con el del rombo, coincida ahora con la otra diagonal del rombo. Repetir
este paso del otro lado de la figura. Queda así formado un romboide.
5) Doblar el triángulo inferior del romboide hacia arriba según la diagonal menor del mismo.
6) Volver a plegar este triángulo de modo que su vértice superior coincida con la diagonal de menor
longitud del romboide. Introducirlo en el bolsillo formado en el romboide.
7) Repetir los pasos 5) y 6) en el otro lado de la figura.
8) Doblar la hoja superior derecha hacia la izquierda según la diagonal de mayor longitud del
romboide. Repetir lo mismo del lado de atrás de la figura.
9) Plegar llevando el vértice superior a coincidir con el inferior, y después llevando este mismo vértice
a pertenecer al segmento coincidente con la diagonal de menor longitud del romboide. Insertar este
trapecio en el bolsillo. Repetir este paso del otro lado de la figura.
10) Abrir de modo que el triángulo inferior de la figura se transforme en el cuadrado que será la base de
la caja. Los lados de la misma son trapecios.
QUEDA TERMINADA LA CAJA 4 (Caramelera)
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INSTRUCCIONES MOLINETE.
Se necesita un papel con forma de cuadrado.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L.
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Identificar el baricentro del cuadrado, que es aquel punto P donde se intersectan las diagonales.
3) Llevar cada uno de los vértices del cuadrado a coincidir con el punto P. Marcar los dobleces. La
𝐿𝐿2
4)
5)
6)
7)
8)
figura formada es un cuadrado de área 2 (VERIFICARLO), la mitad del área del cuadrado
original.
Desdoblar la figura del paso anterior, volvemos a tener el cuadrado con el que empezamos a
trabajar. En él aparecen marcados por los dobleces realizados:
Sus diagonales.
Para cada lado l del cuadrado identificamos un segmento de recta paralela al mismo lado l, a una
𝐿𝐿
distancia igual a 4 .
Para cada una de las diagonales identificamos dos segmentos de rectas paralelas a la misma que
pasan por los puntos de intersección de la otra diagonal con los segmentos detectados en el paso b.
Identificar en el paso anterior un punto en cada uno de los lados l, obtenido como intersección de
los segmentos paralelos a las diagonales con el lado l. Plegar haciendo coincidir esos puntos con el
baricentro P.
QUEDA FORMADO EL MOLINETE.
INSTRUCCIONES BASE MOLINO.
9) A partir del paso 5) del plegado del molinete, identificar los cuatro triángulos que sobresalen como
𝐿𝐿2
“aletas” del cuadrado de área 2 .
10) Para cada uno de ellos separar las dos hojas y plegar sobre el cuadrado , doblando en valle por las
𝐿𝐿
diagonales del mismo. La figura formada es otra vez un cuadrado de lado de longitud igual a 2 .
Esta figura recibe el nombre de BASE MOLINO.
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INSTRUCCIONES PAJARITA QUE MUEVE LAS ALAS.
Se necesita un papel con forma de cuadrado.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L.
REPETIR LOS PASOS 1) A 6) DE LAS INSTRUCCIONES PARA REALIZAR LA ESTRELLA I, es
decir, para formar una BASE ROMBO NO CUADRADO.
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar los dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Imaginar la diagonal del rombo que pasa por el vértice inferior. Doblar cada uno de los lados
adyacentes a este vértice de modo que coincidan con la diagonal. Desdoblar.
4) En el rombo quedaron marcados dos segmentos que intersectan a los lados no plegados. Tomar
ahora la figura de su vértice superior y plegar por un segmento que pase por estos dos puntos.
Desdoblar. Sobre la figura quedaron marcados tres triángulos rectángulos y uno isósceles no
rectángulo.
5) Tomar ahora la figura de su vértice inferior y plegar a través del segmento marcado en el paso
anterior, llevando los otros lados hacia el centro, haciéndolos coincidir con la diagonal imaginada
en el paso 3). La figura obtenida puede pensarse como un rombo no cuadrado y dos triángulos
rectángulos; la hipotenusa de cada uno de ellos coincide con un lado del rombo.
6) Girar el modelo de modo que la figura que ahora está visible quede apoyado sobre la mesa. (o Girar
el modelo 180º hacia su derecha). Repita ahora el paso 5). La figura obtenida es una base rombo
no cuadrado.
AHORA SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:
7) La diagonal mayor de este romboide divide al mismo en dos triángulos isósceles. Doblar el de la
derecha sobre el de la izquierda por la recta que contiene a esa diagonal.
8) Girar el modelo 180º hacia su derecha. Repita ahora el paso 7). La figura obtenida puede pensarse
como un romboide y dos triángulos. Cada uno de éstos tiene un lado coincidente con uno de los
lados de menor longitud del romboide.
9) Llevar el triángulo superior derecho hacia la derecha de modo que el lado de mayor longitud de éste
quede alineado con uno de los de mayor longitud del romboide. Repetir el mismo doblez con el
triángulo superior izquierdo hacia la izquierda. Marcar los dobleces.
10) En uno de los triángulos formados en el paso anterior, doblar un triángulo hacia adentro para
formar la cabecita del ave. 11) Plegar los triángulos inferiores de ambos lados hacia arriba, según
la recta que pasa por los puntos donde los triángulos del paso 9) coinciden con los lados del
romboide con los que quedan alineados.
11) Identificar ahora dos puntos: uno de los dos usados en el paso anterior, aquel que está en el
triángulo donde no se formó la cabeza (que será la cola del ave). El otro donde se intersecta el
cuello del ave con el triángulo que se plegó hacia arriba en el paso anterior. Plegar ahora el
triángulo hacia abajo por la recta que pasa por estos dos puntos. Deshacer este último pliegue.
12) Repetir lo explicado en el paso anterior del otro lado de la figura.
QUEDA TERMINADA LA PAJARITA.
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INSTRUCCIONES LECHUZA
Se necesita un papel con forma de cuadrado.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L unidades. Plegamos
formando una base ROMBO NO CUADRADO (pasos 1 a 6):
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar los dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Imaginar la diagonal del rombo que pasa por el vértice inferior. Doblar cada uno de los lados
adyacentes a este vértice de modo que coincidan con la diagonal. Desdoblar.
4) En el rombo quedaron marcados dos segmentos que intersectan a los lados no plegados. Tomar
ahora la figura de su vértice superior y plegar por un segmento que pase por estos dos puntos.
Desdoblar. Sobre la figura quedaron marcados tres triángulos rectángulos y uno isósceles no
rectángulo.
5) Tomar ahora la figura de su vértice inferior y plegar a través del segmento marcado en el paso
anterior, llevando los otros lados hacia el centro, haciéndolos coincidir con la diagonal imaginada
en el paso 3). La figura obtenida puede pensarse como un rombo no cuadrado y dos triángulos
rectángulos; la hipotenusa de cada uno de ellos coincide con un lado del rombo.
6) Girar el modelo de modo que la figura que ahora está visible quede apoyado sobre la mesa. (o Girar
el modelo 180º hacia su derecha). Repita ahora el paso 5). La figura obtenida es una base rombo
no cuadrado.
7) Marcar con un doblez la diagonal de menor longitud del rombo del paso anterior. De cada lado de
la figura plegue haciendo coincidir los dos vértices por los que pasan la diagonal de mayor longitud
del rombo, según la diagonal de menor longitud del mismo. La figura así obtenida es un romboide.
8) Plegar haciendo coincidir los dos lados de menor longitud del romboide con la diagonal de mayor
longitud. Repetir lo mismo del otro lado del modelo.
9) La figura formada tiene dos “caras”: una se encuentra visible y la otra apoyada sobre la mesa de
trabajo. Entre éstas hay una hoja de cada lado. Plegarlos hacia fuera de modo que el lado superior
quede paralelo a la diagonal de menor longitud del romboide.
10) Pliega a partir del vértice superior del romboide tres veces, en forma paralela a la diagonal de
menor longitud del romboide, el primero hacia atrás y los otros dos hacia delante. Apretar bien
estos pliegues. Queda formada sí la cara y el pico de la lechucita.
11) En el vértice opuesto al usado para formar el pico separar las dos hojas: en la que se encuentra
adelante cortar por la diagonal del romboide aproximadamente 2 cm y plegar ambas aletas
formando dos triángulos que serán las patitas de la lechuza.
12) Plegar la hoja de atrás opuesta a la usada para las patitas formando un triángulo con el lado de
pliegue paralelo a la diagonal de menor longitud del romboide. Ésta será la cola de la lechucita.
13) Puede dibujarse los ojos.
QUEDA TERMINADA LA LECHUZA.
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INSTRUCCIONES ESTRELLA I.
Se necesita un papel con forma de cuadrado.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L. Plegamos formando una
base ROMBO NO CUADRADO (pasos 1 a 6):
1) Marcar con pliegues las diagonales del cuadrado.
2) Ubicar la figura sobre la mesa con un vértice hacia abajo. Llevar los dos vértices adyacentes a
coincidir con éste plegando por las marcas del paso anterior. La figura que resulta es un rombo
cuadrado (notar que hay cuatro hojas superpuestas).
3) Imaginar la diagonal del rombo que pasa por el vértice inferior. Doblar cada uno de los lados
adyacentes a este vértice de modo que coincidan con la diagonal. Desdoblar.
4) En el rombo quedaron marcados dos segmentos que intersectan a los lados no plegados. Tomar
ahora la figura de su vértice superior y plegar por un segmento que pase por estos dos puntos.
Desdoblar. Sobre la figura quedaron marcados tres triángulos rectángulos y uno isósceles no
rectángulo.
5) Tomar ahora la figura de su vértice inferior y plegar a través del segmento marcado en el paso
anterior, llevando los otros lados hacia el centro, haciéndolos coincidir con la diagonal imaginada
en el paso 3). La figura obtenida puede pensarse como un rombo no cuadrado y dos triángulos
rectángulos; la hipotenusa de cada uno de ellos coincide con un lado del rombo.
6) Girar el modelo de modo que la figura que ahora está visible quede apoyado sobre la mesa. (o Girar
el modelo 180º hacia su derecha). Repita ahora el paso 5). La figura obtenida es una base rombo
no cuadrado..
7) Marcar con un doblez la diagonal menor del rombo del paso anterior.
8) Doblar el triángulo rectángulo inferior izquierdo del rombo por la diagonal marcada en el paso
anterior y luego tirar hacia la izquierda para formar un rombo cuya diagonal mayor es un segmento
de la misma recta L a la que pertenece la diagonal del paso anterior.
9) Repetir el doblez del paso anterior con el triángulo rectángulo inferior derecho. Girar el modelo
180º hacia su derecha.
10) Doblar hacia abajo la hoja superior del triángulo por la recta L.
11) En la figura obtenida identificar un romboide en la hoja superior. Doblar los dos lados de menor
longitud hasta hacerlos coincidir con la recta a la que pertenece la diagonal mayor de este
romboide.
12) Doblar hacia abajo el vértice superior del romboide el paso anterior de modo que se identifique una
romboide como el del paso 11). Repetir los dobleces en él descriptos en ese paso.
13) Plegar un triángulo inferior del romboide del paso anterior e introducirlo en el bolsillo formado por
el triángulo superior del romboide del paso 11).
QUEDA TERMINADA LA ESTRELLA I.
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INSTRUCCIONES ESTRELLA II
Se necesita un papel con forma de cuadrado, con longitud de sus lados igual a L unidades.
1) Plegar formando la BASE MOLINO. La figura es un cuadrado, marcar mediante plegado sus dos
diagonales.
2) Las medianas del cuadrado del paso anterior dividen a la figura en cuatro cuadrados, de lado de
𝐿𝐿
longitud 4 . Elegir uno de esos cuadrados.
3) Para el cuadrado elegido: doblar las dos aristas que se intersectan en el centro de la figura
haciéndolas coincidir con la diagonal marcada en el paso anterior. Desdoblar.
4) Los dos pliegues del paso anterior dejan marcados sobre el cuadrado elegido dos segmentos con un
extremo en el centro de la figura y los otros extremos sobre las aristas no plegadas: a estos puntos
los notaremos P y Q. Plegar ahora el vértice opuesto al centro de la figura por el segmento ����
𝑃𝑃𝑃𝑃 .
Desdoblar.
5) Tomar el vértice del cuadrado elegido que coincide con el centro de la figura y doblarlo por el
���� , ayudándose con las marcas dejadas en el paso 3). Sobre este cuadrado queda
segmento 𝑃𝑃𝑃𝑃
formado un rombo no cuadrado.
6) Repetir los pasos 3), 4) y 5) en los otros tres cuadrados de la figura.
QUEDA TERMINADA LA ESTRELLA II.
NOTA: puede plegarse otra estrella partiendo de un papel en forma de cuadrado, con longitud de sus
𝐿𝐿
lados igual a , en color que contraste. Luego insertar una dentro de la otra.
2
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INSTRUCCIONES ESTRELLA III (Nudo pentagonal)
NOTA: a continuación se describe cómo hacer el nudo pentagonal y la estrella que se forma al
hacerlo. Esta estrella es la que aparece al trazar todas las diagonales de un pentágono.
Se necesita una tira de papel rectangular. Nosotros usaremos rectángulos de las siguientes
medidas:
• 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
• 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 × 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
1) Tomamos la tira de papel con una de las aristas de menor longitud arriba y hacemos un “nudo” de
la siguiente manera: formamos un lazo encimando el extremo superior por encima de la tira, hacia
la izquierda.
2) Pasamos ese mismo extremo por el lazo formado de atrás hacia delante, y tiramos del mismo para
formar el nudo. La figura formada es un pentágono regular. (VERIFICARLO)
3) Plegamos el mismo extremo de la tira envolviendo el pentágono, de modo que la tira se pliegue en
los lados del mismo. (Para formar la estrella es conveniente no apretar demasiado los dobleces que
forman el pentágono). Estos pasos se reiteran en el mismo sentido hasta que el trozo de tira
sobrante no alcanza para dar otra vuelta.
4) Es entonces el momento de doblar el trozo de tira sobre el borde del pentágono e introducirlo en el
interior del bolsillo que hay en el mismo.
5) Para formar la estrella tridimensional: empujamos con cuidado sobre cada lado del pentágono y
así la estrella toma forma tridimensional.
QUEDA TERMINADA LA ESTRELLA III y el nudo pentagonal.
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INSTRUCCIONES ESTRELLA IV (12 “puntas”)
Se necesitan doce papeles iguales con forma de cuadrado, con longitud de sus lados igual a L.
Las siguientes instrucciones permiten formar un módulo con uno de los papeles cuadrados. Se deben
repetir las mismas instrucciones con todos los papeles, para obtener los 12 módulos.
1) Plegar el cuadrado para marcar sus medianas. Desplegar. Identificar el punto P intersección de las
medianas.
2) Doblar llevando cada vértice del cuadrado a coincidir con el punto P. La figura formada es un
𝐿𝐿
rombo cuadrado, con lados de longitud igual a 2 , de área igual a la mitad del área del cuadrado de
√
partida (VERIFICARLO).
3) Elegir dos aristas del cuadrado del paso anterior que se intersecten en un punto e identificar la
diagonal que pasa por ese mismo punto.
4) Plegar haciendo coincidir las dos aristas elegidas con la diagonal indicada. La figura formada es un
romboide. Su diagonal de menor longitud divide a la figura en dos triángulos isósceles.
5) Plegar el triángulo isósceles de menor área hacia atrás, según la diagonal de menor longitud del
romboide mencionada en el paso anterior.
6) La figura visible es un triángulo isósceles, que coincide con el de mayor área de los indicados en el
paso 4). Identificar la altura de este triángulo correspondiente al lado desigual.
7) Plegar la figura por la mitad según el segmento que representa la altura mencionada en el paso
anterior, superponiendo los dos triángulos rectángulos en que queda dividida la figura por ese
segmento.
8) En la figura formada puede reconocerse un triángulo rectángulo igual al ya indicado y otro
triángulo rectángulo superpuesto con un lado de igual longitud y el ángulo recto en el mismo
vértice. La misma descripción corresponde a la cara de la figura que se encuentra apoyada en la
mesa de trabajo.
QUEDA TERMINADO UN MÓDULO.
ARMADO DE LA ESTRELLA:
Ensamblar los módulos de la siguiente forma:
1) Tomar dos de ellos y ubicarlos en la misma posición uno al lado del otro, de modo que vértice
correspondiente al ángulo rectángulo sea el inferior izquierdo. De cada lado de la figura, los
triángulos superpuestos de menor área ya identificados forman un bolsillo en uno de sus catetos
(distinto de la diagonal). Introducir cada una de las dos hojas de la figura de la izquierda en estos
bolsillos de la figura que se encuentra a la derecha, manteniendo los módulos en la posición
indicada.
2) Repetir este paso con todos los módulos, hasta insertar el último en el primero.
QUEDA TERMINADA LA ESTRELLA IV.
NOTA: Puede formarse la estrella con más módulos iguales, por ejemplo 16 y resulta un modelo con
16 “puntas”.
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INSTRUCCIONES IRIS CLÁSICO
Se necesita un papel en forma de cuadrado, de longitud de lado igual a L.
1) Marcar con pliegues las dos medianas del cuadrado. Dar vuelta el modelo girándolo 180º hacia la
derecha.
2) Marcar con un doblez una de las diagonales del cuadrado. Dar vuelta el modelo modelo girándolo
180º hacia la derecha. Colocar el modelo de modo que la diagonal marcada quede en forma
horizontal.
3) Plegar llevando el vértice superior al inferior, de modo que los otros dos vértices también coincidan
con el inferior. Para este paso ayudan las marcas de los pasos anteriores. La figura formada es un
L2
cuadrado, de área igual a
(un cuarto del área del cuadrado de partida). Ubicarla sobre la mesa
4
de forma que el vértice en el cual coincidieron los otros en el paso 3) quede como vértice inferior
del rombo cuadrado.
4) Doblando la hoja superior izquierda del cuadrado, marcar la diagonal de la figura que tiene como
uno de sus extremos aquel vértice donde coincidieron en el paso 3). Desdoblar.
5) Doblar el lado superior izquierdo del rombo haciéndolo coincidir con la diagonal marcada en el
paso anterior. Abrir este doblez y marcar. En la hoja superior del modelo queda formado otro
romboide, dos de cuyos lados tienen longitud igual a L y los otros dos L (VERIFICARLO).
2
4
6) Repetir los pasos 4) y 5) en las otras tres aletas. La figura formada es un romboide con las
longitudes de sus lados descriptas en el paso 5).
7) Plegar los lados de menor longitud de modo que coincidan con la recta que contiene a la diagonal
mayor del romboide. Desdoblar e identificar los dos puntos P y Q en los lados de mayor longitud
donde éstos se intersectan con los dobleces realizados en este paso.
8) Plegar ahora el modelo llevando el vértice superior hacia abajo, por la recta que pasa por los puntos
P y Q . Desdoblar.
9) Abrir la hoja superior y doblar hacia arriba guiándose con los pliegues marcados en los pasos 7) y
8). La figura formada en esta hoja es un romboide
10) Repetir los pliegues de los pasos 7), 8) y 9) en las tres hojas restantes. La figura resultante es un
rombo.
11) Identificar el triángulo tal que su lado de mayor longitud coincide con la diagonal menor del rombo
obtenido en el paso anterior. Doblar este triángulo hacia abajo. Repetir este paso en los tres lados
restantes. Rotar el módulo 180° (de modo que el vértice inferior del rombo pase ahora a ser el
superior).
12) La diagonal mayor del rombo divide a éste en dos triángulos. Doblar el correspondiente a la aleta
izquierda hacia la derecha.
13) Hacer dos pliegues para que cada uno de los lados inferiores del rombo coincida con la diagonal
mayor.
14) Repetir los pasos 12 y 13 en los tres lados restantes de la figura. QUEDA FORMADO EL
CUERPO DE LA FLOR.
15) Abrir las cuatro aletas superiores hacia abajo para dar forma al iris. Se pueden enrollar cada pétalo
en un lápiz para que quede con más movimiento.
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INSTRUCCIONES TROMPO que gira.
Se necesita un papel con forma de cuadrado.
Supongamos que los lados del cuadrado elegido tienen longitud igual a L.
1) Plegar el papel cuadrado por una de sus medianas. La figura resultante es un rectángulo cuyos lados
𝐿𝐿
tienen longitudes iguales a L y a (VERIFICARLO).
2
2) Plegar el rectángulo obtenido en el paso anterior por la mediana de longitud
𝐿𝐿
𝐿𝐿
2
. La figura formada
es un cuadrado, cuyos lados tienen una longitud igual a
. (En este paso hay cuatro hojas
2
superpuestas).
3) Ubicar la figura del paso anterior sobre la mesa de modo que en el vértice inferior izquierdo las
cuatro hojas cuadradas que la forman estén sueltas. Plegar ahora las dos hojas superiores por la
diagonal que pasa por este vértice. La figura formada con estas dos hojas es un triángulo isósceles
𝐿𝐿
cuyo lado desigual tiene una longitud L y la altura tiene una longitud igual a 2 .
4) Gire el modelo de modo que las hojas superiores formen la figura de un cuadrado y repita en ellas
el paso anterior. La figura formada es un triángulo como en el paso 3). Ubicarlo sobre la mesa de
modo que el lado desigual quede abajo.
5) La base del triángulo es intersectada por su altura en P, que es el punto medio de ese segmento.
(VERIFICARLO).
6) Doblar los dos segmentos resultantes haciéndolos coincidir con la altura. La figura formada es un
rombo cuadrado. Marcar la otra diagonal d doblando las hojas superiores hacia abajo (el vértice
superior coincide con el punto P).
7) La figura formada sigue siendo un rombo cuadrado, pero ahora los dos triángulos inferiores
presentan bolsillos. Abrirlos de a uno y plegarlos de modo que quede formado con cada uno de
ellos un romboide, cuya diagonal mayor queda alineada con la diagonal d del paso anterior. (Las
rectas que las contienen son coincidentes).
8) Identificar el triángulo del romboide de la derecha que queda a la izquierda de la diagonal menor.
Introducirlo en el bolsillo formado por el de la izquierda.
9) Girar la figura un cuarto de vuelta (es decir, en un ángulo de 90º) en sentido antihorario. Llevar el
vértice superior de la hoja de arriba a coincidir con el inferior, plegando por la diagonal del rombo.
10) Dar vuelta el modelo de modo que la cara que se ve ahora quede apoyada en la mesa y repetir el
pliegue del paso anterior. EL MODELO QUEDA TERMINADO.
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INSTRUCCIONES TROMPO (dos piezas).
Se necesitan dos papeles con forma de cuadrados de iguales dimensiones. Los dobleces que se
indican a continuación se repiten en los dos papeles.
Supongamos que los lados de cada uno de los cuadrados tienen longitud igual a L.
1) Marcar con dobleces dos segmentos paralelos a un lado del cuadrado de modo que el cuadrado
quede dividido en tres partes iguales (SUGERENCIA: utilizar una hoja cuadriculada y el teorema
de Thales).
2) Doblar por las marcas indicadas en el paso anterior. La figura formada es un rectángulo de base de
1
longitud L y altura 3 𝐿𝐿.
3) Tomar el vértice superior izquierdo de la figura y doblar haciendo coincidir el lado de menor
longitud del rectángulo con la base del mismo. El doblez indicado debe dejar marcado un segmento
que tiene un extremo en el vértice inferior izquierdo del rectángulo y el otro extremo en el lado
paralelo a la base. Queda determinado un triángulo rectángulo isósceles (VERIFICARLO).
4) Repetir el paso anterior pero con el vértice inferior izquierdo. La figura formada es un
2
paralelogramo de área 9 𝐿𝐿2 (VERIFICARLO).
5) Se tienen dos figuras iguales. Ubicarlas sobre la mesa de modo que los lados de mayor longitud se
encuentren “arriba” y “abajo”, por ejemplo. Tomar una de las figuras, girarla 90º en sentido horario
y colocarla encima de la otra pieza de modo que se superpongan los cuadrados centrales. La figura
obtenida podemos describirla como un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos, que a partir de
ahora llamaremos “aletas”.
6) Doblar cada una de las aletas sobre el cuadrado central en sentido antihorario. La última aleta
introducirla en el bolsillo formado por la primer aleta que se plegó. La figura formada es un
1
cuadrado, de área 9 𝐿𝐿2 (VERIFICARLO).
7) El baricentro P del cuadrado del paso anterior es el punto en que se intersectan sus diagonales.
Introducir un palito a través de P. EL TROMPO QUEDA TERMINADO.
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INSTRUCCIONES TROMPO (TRES PIEZAS).
Se necesitan tres papeles con forma de cuadrados. Una medida adecuada para la longitud de sus lados
es L=8 cm .
PIEZA INFERIOR:
1) Plegar uno de los papeles para formar una base molino. La figura obtenida es un cuadrado con
centro en el punto P, dividido por los pliegues en cuatro cuadrados.
2) Para cada uno de esos cuatro cuadrados identificar las dos aristas que pasan por el punto P. Plegar
de modo que estas aristas se superpongan con la diagonal del cuadrado que pasa por P. Desdoblar.
Estas dos marcas realizadas intersectan a los lados del cuadrado que forma la figura en dos puntos.
Plegar ahora el vértice de la figura que coincide con el del cuadrado con el que estamos trabajando
hacia el centro, por la recta que une los dos puntos señalados.
3) Tomar el vértice del cuadrado que coincide con el punto P y levantar esa hoja plegando por las
marcas del paso anterior. Queda formada una aleta en forma de rombo. Repetir este paso en los tres
cuadrados restantes. QUEDA FORMADA UNA ESTRELLA.
4) En el punto P se identifican cuatro hojas. Doblar cada una de ellas hacia fuera, de modo que cada
una de ellas tenga la forma de un triángulo.
5) De cada una de las aletas del paso 3) sólo se ve un triángulo isósceles. Doblarlas hacia el centro por
los lados correspondientes a los triángulos del paso anterior. QUEDA FORMADA LA PIEZA
INFERIOR.
PIEZA DEL MEDIO:
1) Plegar el cuadrado llevando los vértices a coincidir con el centro. La figura formada es un cuadrado
𝐿𝐿2
de área igual a 2 .
2) Gire el modelo 180º hacia su derecha de modo que quede a la vista la cara que ahora está sobre la
mesa. Vuelva a plegar llevando los vértices al centro. La figura formada es un cuadrado de área
𝐿𝐿2
igual a 4 .
3) Volver a girar el modelo y plegar otra vez los vértices al centro. . La figura formada es un cuadrado
𝐿𝐿2
de área igual a .
8
4) Girar nuevamente el modelo. QUEDA FORMADA LA PIEZA DEL MEDIO.
PIEZA SUPERIOR:
1) Plegar el cuadrado llevando los vértices a coincidir con el centro. La figura formada es un cuadrado
𝐿𝐿2
de área igual a 2 .
2) Plegar nuevamente llevando los vértices a coincidir con el centro. La figura formada es un cuadrado
𝐿𝐿2
de área igual a 4 .
3) Plegar nuevamente llevando los vértices a coincidir con el centro. La figura formada es un cuadrado
𝐿𝐿2
de área igual a .
8
4) Doblar en monte a lo largo de las diagonales del cuadrado y en valle a lo largo de las medianas del
mismo. QUEDA FORMADA LA PIEZA SUPERIOR
ARMAR EL TROMPO EMPEZANDO POR LA PIEZA INFERIOR.
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INSTRUCCIONES AVIÓN
Se necesita una hoja de papel rectangular (no cuadrado). Notemos las longitudes de sus lados
𝒂𝒂
como 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 unidades, donde 𝒂𝒂 > 𝑏𝑏, 𝒃𝒃 > .
𝟐𝟐
1) Marcar con un pliegue la mediana de menor longitud de la hoja rectangular. La hoja de papel queda
𝑎𝑎𝑎𝑎
dividida en dos regiones rectangulares, cada una de ellas de área igual a (la mitad del área del
2
rectángulo de partida).
𝑎𝑎
2) Plegar haciendo coincidir el lado de longitud de cada uno de estos rectángulos con la mediana
2
marcada en el paso 1). La figura que queda es un pentágono, que puede pensarse como un
𝑎𝑎
rectángulo de base de longitud igual a a y altura igual a 𝑏𝑏 − 2 y un triángulo isósceles cuyo lado
desigual coincide con uno de los lados de longitud igual a 𝑎𝑎 del rectángulo recién descripto.
3) Identificar el punto P donde se intersectan la mediana trazada en el paso 1) con el lado del
rectángulo original de longitud igual a a. Plegar en forma paralela a este lado, haciendo coincidir el
vértice Q del triángulo isósceles intersección de los lados de igual longitud con el punto P. La
figura que resulta es un hexágono no regular. (VERIFICARLO, calculando las longitudes de sus
lados).
4) Volver a plegar el triángulo que tiene al punto P como uno de sus vértices, en forma paralela al
mismo lado del paso anterior de modo que la distancia entre el segmento marcado por el plegado
𝑎𝑎−𝑏𝑏
anterior y éste sea aproximadamente de
unidades.
4
5) Plegar hacia atrás el modelo por la mitad por la mediana trazada en el paso 1).
6) Gire el modelo 90° en sentido antihorario. La figura obtenida presenta dos lados perpendiculares:
uno como base y el otro a su derecha.
7) Plegar de cada lado de modo que quede marcada la bisectriz del ángulo del vértice P.
8) Levantar estas aletas de forma pentagonal para formar las alas del avión.
9) Volver a plegar una pequeña aleta verticalmente en cada una de las alas en forma paralela al lado.
QUEDA TERMINADO EL AVIÓN.
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INSTRUCCIONES BOTE – CABEZA DE AVE
BOTE:
Se necesita un papel con forma de cuadrado, con longitud de sus lados igual a L unidades.
1) Plegar por la mitad según una de las medianas del cuadrado. La figura obtenida es un rectángulo
𝐿𝐿
con lados de longitudes iguales a 𝐿𝐿 y a 2. El área del rectángulo es igual a la mitad del área del
cuadrado de partida.
2) Plegar nuevamente por la mitad una de las hojas en forma de rectángulo (por ejemplo la que está
visible) según la mediana de mayor longitud. Girar el modelo 180º hacia la derecha. Queda visible
un rectángulo igual al descripto en el paso 1).
𝐿𝐿
3) En cada uno de los lados de longitud igual a de este rectángulo, identificar el punto medio del
2
mismo. En cada una de las esquinas del rectángulo reconocer el triángulo rectángulo isósceles que
tiene como vértices el correspondiente del rectángulo, el punto medio indicado del lado
correspondiente del rectángulo y el tercer vértice en el otro lado del rectángulo que forma esa
𝐿𝐿
esquina. Plegar por la diagonal del triángulo señalado: el lado de longitud que se encuentra en el
2
lado de menor longitud quedará sobre la mediana de mayor longitud del rectángulo. Repetir este
mismo paso en las cuatro esquinas. En la hoja superior, la figura formada es un hexágono no
regular.
4) Plegar por la mediana de mayor longitud del rectángulo de modo que los cuatro triángulos
formados en el paso anterior se superpongan de a dos. La figura formada se puede pensar como un
trapecio y un rectángulo tal que uno de sus lados de longitud igual a 𝐿𝐿 coincide con el de mayor
longitud del trapecio.
𝐿𝐿
5) Del rectángulo reconocido en el paso anterior, plegar los dos lados de longitud igual a hasta
4
superponerlos con el segmento que es lado tanto del rectángulo como del trapecio.
6) La figura formada es un hexágono que puede pensarse como dos trapecios que tienen un lado en
común. Plegar por la mitad el modelo según ese lado.
7) La figura formada es un trapecio. Separando las hojas en el lado de mayor longitud del mismo
queda formado el barco.
QUEDA TERMINADO EL BOTE.
CABEZA DE AVE :
Se necesita un papel con forma de cuadrado, con lados de longitud igual a L.
1) Realizar los pliegues para formar el bote ya explicado, hasta el paso 6) (no es necesario todavía
separar las hojas). En el trapecio identificar (no marcar) un segmento perpendicular al lado de
mayor longitud en su punto medio P. Realizar un corte en los dos lados de una longitud
aproximadamente igual a un cuarto de la longitud del segmento a partir del punto P. Al otro
extremo de este segmento lo notamos Q.
2) Identificar ahora en cada hoja dos triángulos rectángulos cuyos lados son: una mitad del lado de
mayor longitud del trapecio que tiene como extremos el punto P y un vértice del trapecio, el
segmento correspondiente al corte del paso anterior y la hipotenusa formada uniendo el vértice del
trapecio con el punto Q. Plegar según la hipotenusa. Repetir lo mismo en los cuatro triángulos
rectángulos (dos en cada hoja).
3) Juntar las dos puntas plegando por la mitad de modo que el punto P (de cada lado) quede en el
doblez y los dos vértices del trapecio que también eran vértices de los triángulos rectángulos se
encuentren. Puede dibujarse un par de ojos y hacerle cerrar y abrir el pico.
QUEDA TERMINADA LA CABEZA DE AVE
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INSTRUCCIONES ESTRELLA NINJA
Se necesitan dos papeles con forma de cuadrado, con lados de longitud igual a L unidades.
Tomar uno de los dos papeles, para realizar el primer módulo.
1) Marcar con un doblez una de las medianas del cuadrado. Desdoblar.
2) La figura queda dividida en dos rectángulos. En cada uno de ellos marcar con un doblez la mediana
paralela a la del paso anterior. Desdoblar. El cuadrado de partida queda dividido por las marcas
𝐿𝐿2
realizadas en cuatro rectángulos: cada uno de ellos tiene un área igual a 4 . (Verificarlo).
3) Ubicar la figura de modo que las medianas marcadas queden en forma vertical. Plegar el rectángulo
de la izquierda sobre el que se encuentra a su derecha según la mediana marcada. Repetir este
pliegue con el rectángulo de la derecha y el que se encuentra a su izquierda. La figura resultante es
𝐿𝐿
un rectángulo, con lados de longitudes iguales a L y 2.
4) Volver a plegar encimando los rectángulos por la mediana marcada. La figura resultante es un
𝐿𝐿
rectángulo, con lados de longitudes iguales a L y 4.
5) Elegir uno de los dos lados de longitud igual a L . Plegar llevando cada uno de los lados de
𝐿𝐿
longitud igual a a superponerse con el lado elegido. La figura formada es un paralelogramo, cuyos
4
lados tienen longitudes iguales a
𝐿𝐿
2√2
y
3𝐿𝐿
4
. (Verificarlo).
6) Identificar en el paralelogramo un rectángulo (de lados de longitud
𝐿𝐿
𝐿𝐿
2
y
𝐿𝐿
4
) y dos triángulos
rectángulos isósceles (cada uno con dos lados de longitud igual a ). Cada triángulo tiene un cateto
4
en común con un lado del rectángulo. Plegar cada triángulo por ese cateto. La figura formada puede
pensarse como dos triángulos isósceles que se superponen en un segmento del lado de longitud
desigual.
QUEDA TERMINADO UN MÓDULO PARA LA ESTRELLA NINJA.
7) Para realizar el segundo módulo, repetir los pasos explicados, pero en el paso 5) elegir el otro de los
lados de longitud igual a L del rectángulo.
ARMADO: Ubicar un módulo encima del otro en forma perpendicular e insertar las aletas en los
bolsillos correspondientes.
QUEDA TERMINADA LA ESTRELLA NINJA.
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INSTRUCCIONES MÓDULO TETRAEDRO, OCTAEDRO …
Para cada módulo se necesitan un papel rectangular, con longitud de sus lados iguales a L
unidades (los de mayor longitud) y l unidades (los de menor longitud).
1) Ubicar el papel sobre la mesa de trabajo de modo que los lados de longitudes iguales a L estén en
forma horizontal. Nombrar los vértices empezando por el superior izquierdo como: A, B, C, D, en
sentido horario.
2) Trazar las medianas del rectángulo. La paralela al segmento ����
𝐷𝐷𝐷𝐷 intersecta al segmento ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 en su
���� en su punto medio, 𝑀𝑀2 . La mediana paralela al segmento ����
𝐴𝐴𝐴𝐴
punto medio, 𝑀𝑀1 y al segmento 𝐷𝐷𝐷𝐷
����
����
intersecta al segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 en su punto medio, 𝑁𝑁1 y al segmento 𝐵𝐵𝐵𝐵 en su punto medio, 𝑁𝑁2 .
3) Notemos P al punto intersección de las medianas. Marcar con un pliegue la mediana de menor
longitud del rectángulo cuyos vértices son: 𝑁𝑁1 , P, 𝑀𝑀2 , D.
4) Plegar llevando el vértice B a pertenecer a la mediana trazada en el paso anterior. Este pliegue
debe pasar por el punto 𝑀𝑀1 . Girando el modelo 180º hacia su derecha, se ve que de la hoja
superior sobresale un triángulo rectángulo. Plegarlo hacia delante según la hipotenusa del mismo.
Desdoblar. Identificar el segmento marcado que pasa por el punto 𝑀𝑀1 . Éste intersecta al lado del
rectángulo en un punto 𝑀𝑀3 .
5) Plegar llevando el lado ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 a coincidir con el segmento del paso anterior. Este pliegue también
debe pasar por el punto 𝑀𝑀1 . Girando el modelo 180º hacia su derecha, se ve que de la hoja
superior sobresale un triángulo rectángulo. Plegarlo hacia delante según la hipotenusa del mismo.
Desdoblar. Identificar el segmento marcado que pasa por el punto 𝑀𝑀1 . Éste intersecta al lado del
rectángulo en un punto 𝑀𝑀4 .
6) Plegar llevando el punto 𝑀𝑀3 a coincidir con el punto intersección de la mediana de mayor longitud
�������
��������
����
(𝑁𝑁
1 𝑁𝑁2 ) con el segmento 𝑀𝑀1 𝑀𝑀4 . Este pliegue se intersecta con el lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 en un punto 𝑀𝑀5 .
Girando el modelo 180º hacia su derecha, se ve que de la hoja superior sobresale un triángulo
rectángulo. Plegarlo hacia delante según la hipotenusa del mismo. Desdoblar.
7) Repetir el paso anterior en forma análoga con el punto 𝑀𝑀4 . Con los pliegues realizados en los pasos
anteriores puede identificarse un rombo en la figura, como también cuatro triángulos equiláteros
(Verificarlo). También quedan determinado sobre el lado ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 el punto 𝑀𝑀6 .
8) Elegir dos vértices opuestos del rectángulo, por ejemplo B y D.
9) Plegar nuevamente el triángulo rectángulo ya marcado tal que el ángulo recto se encuentra en el
vértice B, según la hipotenusa del mismo. Volver a plegar llevando esta hipotenusa a coincidir con
el segmento ��������
𝑀𝑀1 𝑀𝑀3 . Volver a plegar esta aleta según el segmento ��������
𝑀𝑀1 𝑀𝑀3 .
10) Repetir el paso anterior realizando los dobleces correspondientes a partir del vértice C.
11) Volver a plegar los triángulos que sobresalen hacia atrás para que la figura formada sea un
paralelogramo.
12) En el paralelogramo quedan marcados con los dobleces realizados cuatro triángulos equiláteros
(Verificarlo). Es conveniente remarcar estos dobleces hacia atrás.
QUEDA TERMINADO EL MÓDULO TETRAEDRO, OCTAEDRO …
NOTA: Si se repiten los dobleces pero eligiendo en el paso 8) los vértices A y C se obtiene un módulo
de “otro sentido”. Para formar el tetraedro se necesitan dos módulos: uno de cada sentido. Para formar
el octaedro se necesitan cuatro módulos: dos de cada sentido.
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INSTRUCCIONES de TRES PLANOS PERPENDICULARES EN EL ESPACIO.
RELACIÓN CON UN OCTAEDRO.
Se necesitan dos papeles en forma de cuadrado de lado de longitud igual a L unidades. Con cada uno
de ellos se formará un módulo, según se detalla a continuación:
1) Formar con el mismo una BASE TRIANGULAR:
•
•
•
•
•
Marcar las dos medianas del cuadrado mediante pliegues.
Marcar las dos diagonales del cuadrado mediante pliegues.
Identificar los puntos medios de dos de los lados opuestos del cuadrado: 𝑃𝑃1 y 𝑃𝑃2 . (Analizar la
relación entre esos puntos y las medianas marcadas en el paso 1.)
Identificar los puntos medios de los otros dos lados opuestos del cuadrado: 𝑄𝑄1 y 𝑄𝑄2 . (Analizar la
relación entre esos puntos y las medianas marcadas en el paso 1.)
Plegar llevando los puntos 𝑃𝑃1 y 𝑃𝑃2 guiándose por las diagonales marcadas en el paso 2) hasta
hacerlos coincidir con el punto 𝑄𝑄1 . El punto 𝑄𝑄2 también coincidirá con ellos. Marcar bien los
dobleces. La figura resultante es un triángulo isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud de
√2
𝐿𝐿
2
y el lado restante una longitud igual a L unidades.
QUEDA TERMINADA LA BASE TRIANGULAR.
2) La figura formada por la base triangular es un triángulo isósceles. Plegar llevando el punto medio
del lado de longitud desigual a coincidir con el vértice en que se intersectan los dos lados de igual
longitud. Repetir este doblez de ambos lados del papel. La figura formada es un trapecio (dos de
sus lados son paralelos).
3) Reconocer el fuelle en el lado de mayor longitud del trapecio. Desplegar desde aquí. La figura
𝐿𝐿
formada puede pensarse como un cuadrado, con lados de longitud iguales a y cuatro triángulos
𝐿𝐿
2
isósceles rectángulos. Los lados de igual longitud de éstos miden unidades.
4
4) Reconocer el cuadrado de la figura anterior y plegar llevando sus cuatro vértices a coincidir con el
centro del cuadrado. Desplegar. En la figura los dobleces anteriores forman un rombo cuadrado,
√2
con lados de longitud iguales a 4 𝐿𝐿. Girar la figura 180º hacia la derecha. (Queda visible el lado
que antes se encontraba apoyado en la mesa de trabajo.)
5) Identificar en la figura una aleta en forma de triángulo isósceles, formada por una mitad (según una
de las diagonales) del rombo descripto en el paso anterior. Plegarla formando un ángulo de 90º con
el plano al que pertenece la figura. (El plano al que pertenece la aleta queda así perpendicular al
plano de la mesa de trabajo, donde se encuentra la figura).
6) El plano al que pertenece la aleta divide a la figura en dos partes: en cada una de ellas puede
reconocerse un trapecio dividido por las marcas en tres triángulos isósceles iguales. Numeremos
estos triángulos en sentido horario, siendo el 1, 2 y 3 los de un trapecio, 4, 5, 6 los del otro. Notar
que por ejemplo, un lado del triángulo 1 es palalelo a uno del triángulo 3. Plegar llevando el
primero a coincidir con el segundo. Repetir el mismo paso con los triángulos 4 y 6. Quedan así
formadas dos aletas triangulares pertenecientes a un plano que es simultáneamente perpendicular al
de la figura de base ( o al de la mesa de trabajo) y al plano al que pertenece la aleta del paso 5).
Gira el modelo 180º.
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7) La figura que queda visible puede pensarse como un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos
isósceles. Llevar dos vértices opuestos del cuadrado a coincidir con el centro del mismo, de forma
que el doblez sea paralelo a la diagonal del cuadrado que no pasa por los vértices elegidos.
8) Reconocer ahora un paralelogramo y el segmento de recta que une los puntos medios de los lados
de menor longitud del paralelogramo. Cada uno de los puntos extremos de este segmento puede
pensarse como el vértice de triángulos isósceles donde se intersectan los lados de igual longitud.
Doblar estos triángulos por la mitad, según la altura que pasa por los vértices mencionados.
9) Reconocer ahora el segmento de recta que une los puntos medios de los lados de mayor longitud
del paralelogramo del paso 8) que puede pensarse como una mediana de un cuadrado. Pliega ahora
la figura por los lados del cuadrado paralelos a esta mediana.
10) Dejar las dos aletas plegadas en el paso anterior, que tienen forma de cuadriláteros, de modo que
formen un ánguo de 90º con el plano al que pertenece la figura. Éstas aletas se usarán para unir los
dos módulos.
• ARMADO DE LA FIGURA: Sólo resta insertar las aletas de cada uno de ellos en los bolsillos
formados en el otro. Queda así formada una figura que permite identificar TRES PLANOS
PERPENDICULARES EN EL ESPACIO.
•
RELACIÓN CON UN OCTAEDRO:
11) Identificar el centro de la figura formada y reconocer tres aletas en forma de triángulo que lo tienen
como vértice como tres de los lados de un tetraedro. Hay ocho como éste. Imaginar ahora los
triángulos que completan cada uno de los tetraedros. El sólido determinado por estos triángulos en
el espacio es un OCTAEDRO.
(La figura formada puede pensarse como el “esqueleto” de un octaedro.)
Semana de la Matemática, 2012
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