ejercicio 4.5

Los siguientes datos proporcionan la recuperación de bromuro adicionado a muestras con
contenido vegetal, medido mediante un método cromatográfico gas-lı́quido. La cantidad de
bromuro potásico añadido a cada hortaliza fue la misma.
Tomate
Pepino
777
782
790
773
759
778
790
765
770
789
758
797
764
782
µg g−1
µg g−1
(Fuente: Roughan, J.A., Roughan, P.A. y Wilkins, J.P.G. 1983, Analyst, 108, 742.)
a) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que las varianzas en las dos poblaciones de hortalizas son iguales. ¿Que hipótesis se están utilizando
implı́citamente para poder obtener el intervalo?
b) Determinar si la hipótesis de igualdad de varianzas es razonable.
c) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, si las varianzas en las dos
poblaciones de tomates y pepinos son posiblemente distintas. Comparar el intervalo con el
obtenido en (a).
Solución: Sean
X = Cantidad de bromuro en un tomate medido con el método cromatográfico gas-lı́quido
Y = Cantidad de bromuro en un pepino medido con el método cromatográfico gas-lı́quido
A lo largo de toda la resolución del problema supondremos que X ∼ N (µ1 , σ1 ) e Y ∼
N (µ2 , σ2 ). Tenemos una muestra de tamaño m = 7 de X y una muestra de tamaño n = 7 de
Y . Las medias y cuasivarianzas muestrales son:
x̄ = 772.57
s21 = 183.95
ȳ = 780.86
s22 = 108.48
a) En este apartado nos dicen que supongamos que σ1 = σ2 .
!
r
1 1
IC95 % (µ1 − µ2 )
= x̄ − ȳ ∓ t12;0.025 sp
+
7 7
r !
√
2
= −8.29 ∓ 2.179 146.22
= (−8.29 ∓ 14.08) = (−22.37, 5.79),
7
donde
6 · 183.95 + 6 · 108.48
= 146.22
12
1
1
b) Utilizando que F6;6;0.05 = 4.28 y F6;6;0.95 =
=
tenemos que
F6;6;0.05
4.28
2 2 2
s1 /s2
s21 /s22
σ1
,
IC90 %
=
= (0.40, 7.25).
F6;6;0.05 F6;6;0.95
σ22
s2p =
Como este intervalo contiene a 1, no podemos descartar la igualdad de σ12 y σ22 . Ası́ que la
hipótesis de homocedasticidad utilizada en (a) era correcta.
c) Si suponemos que σ1 6= σ2 , entonces tenemos que calcular
2
s1
s22 2
+
m
n
= 11.25 ⇒ f = 11.
(s21 /m)2
(s22 /n)2
m−1 + n−1
El intervalo para la diferencia de medias es
!
r
183.95 108.48
IC95 % (µ1 −µ2 ) = −8.29 ∓ t11;0.025
+
= (−8.29∓14.23) = (−22.52, 5.94),
7
7
que es muy parecido al obtenido en (a). Esto no es sorprendente, porque en (b) hemos visto
que la hipótesis de igualdad de varianzas es razonable y, por tanto, el intervalo calculado
en (a) es correcto.