Práctica 1: Representación gráfica de funciones de dos variables

Practica1.nb
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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES
CURSO 2012/2013
G.A.D.E.
Práctica 1:
Representación gráfica de funciones de dos variables.
Cálculo diferencial.
En esta práctica vamos a aprender a definir funciones de dos o más variables con el programa Mathematica.
Asimismo, vamos a dar a conocer algunas capacidades gráficas de dicho programa para representar funciones de
dos variables en el espacio tridimensional. Finalizaremos la práctica dando unas nociones básicas del cálculo de
derivadas parciales con Mathematica.
1. Cómo definir funciones de varias variables.
tomemos la función f Hx, yL = Ix2 + 3 y2 M e1-x -y :
La definición de funciones de dos variables es análoga a la de funciones de una sola variable real. Por ejemplo,
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à EJERCICIO 1
En primer lugar, introducimos los datos de la función. Para ello escribimos la orden siguiente y ejecutamos la
celdilla:
f@x_, y_D := Hx ^ 2 + 3 y ^ 2L * Exp@1 - x ^ 2 - y ^ 2D
A continuación, queremos evaluar la función anterior en un punto concreto, por ejemplo, el punto (1,2):
f@1, 2D
Si queremos el valor numérico de la evaluación anterior:
N@f@1, 2DD
Si la evaluación la queremos en un punto genérico (x,y), ejecutamos:
f@x, yD
y en un punto genérico (a,b):
f@a, bD
Para funciones de más de dos variables, la definición en el programa Mathematica es similar a la anterior.
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à EJERCICIO 2
Escribe en Mathematica y ejecuta la celdilla de las siguientes funciones:
f Hx, y, zL = 3 x2 y + x y z - y z3
gHx, y, zL =
senHx+y+zL
x2 +y2 +z2
2. Gráficas de funciones de dos variables.
Vamos a esbozar la gráfica de la función de dos variables f definida en el ejercicio 1 de la sección anterior. La
correspondiente gráfica será una superficie en el espacio tridimensional, al ser f una función de dos variables. La
orden de Mathematica que debemos emplear es:
Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]
donde [a, b] x [c, d] representa el rectángulo de R2 . Por ejemplo, recordemos la función del ejercicio 1:
f@x_, y_D := Hx ^ 2 + 3 y ^ 2L * Exp@1 - x ^ 2 - y ^ 2D
La representación gráfica de la función f en el rectángulo [-3, 3] × [-2, 4] es:
Plot3D@f@x, yD, 8x, -3, 3<, 8y, -2, 4<D
La representación obtenida sirve para darnos una idea aproximada de la gráfica.
3. Curvas de nivel.
En esta sección, el comando de Mathematica que vamos a utilizar para representar las curvas de nivel de una
función de dos variables en el rectángulo [a, b] x [c, d] es
ContourPlot[f[x, y], {x, a, b}, {y, c, d}]
Recordemos que las curvas de nivel están formadas por conjuntos de puntos donde la función toma el mismo valor,
por lo tanto, a modo de un mapa topográfico, corresponden a puntos que están a la misma altura en la gráfica
tridimensional.
Los tonos claros corresponden a zonas de mayor altitud, mientras que los oscuros corresponden a las zonas de
menor altura.
Veamos un ejemplo:
à EJERCICIO 3
Halla la gráfica y las curvas de nivel de la función f del ejercicio 1.
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Plot3D@f@x, yD, 8x, -3, 3<, 8y, -2, 4<D
ContourPlot@f@x, yD, 8x, -3, 3<, 8y, -2, 4<D
A la vista del anterior mapa de curvas de nivel, parece razonable deducir que el punto (0, 0) es un mínimo de la
función, mientras que los puntos (0, 1) y (0, -1) son máximos.
Veamos más ejemplos
à EJERCICIO 4
Halla las curvas de nivel de las siguientes funciones en los dominios que se detallan para cada una de ellas:
a) f Hx, yL = 2 x2 - y2 , en [- 3, 3] x [- 4, 4]
b) gHx, yL = senIx2 - y2 M, en [- 2, 2] x [- 2, 2].
4. Derivadas parciales.
Para calcular las derivadas parciales de una función de varias variables podemos usar la sentencia
D[funcion, {variable1, orden1}, {variable2, orden2}, ...]
donde se indican las variables respecto de las que queremos derivar y el orden de derivación de cada una.
à EJERCICIO 5
Calcula las derivadas parciales de orden uno de la función gHx, yL = x3 + lnHx yL.
Para resolver el ejercicio definimos primero la función:
g@x_, y_D := x ^ 3 + Log@x * yD
La derivada parcial de orden uno con respecto a x es:
D@g@x, yD, 8x, 1<D
La derivada parcial de orden uno con respecto a y es:
D@g@x, yD, 8y, 1<D
à EJERCICIO 6
Define la función hHx, yL = x2 - 2 y + senHx yL y calcula
¶2 h
. Para ello, después de definir la función, usa el
¶x¶ y
siguiente comando:
D@h@x, yD, 8x, 1<, 8y, 1<D
Y para calcular la derivada parcial
¶2 h
, usaremos el comando:
¶ x2
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Y para calcular la derivada parcial
¶2 h
, usaremos el comando:
¶ x2
D@h@x, yD, 8x, 2<D
Si lo que queremos es calcular una derivada de orden uno o dos, es posible usar la paleta "Basic Input" para
escribir :
¶variable función
¶variable1,variable2 función
Para poder evaluar las derivadas parciales en un punto concreto, debemos seguir los pasos que se ejemplifican en el
siguiente ejercicio:
à EJERCICIO 7
Define la función f Hx, y, zL = x3 y + x z2 :
f@x_, y_, z_D := x ^ 3 y + x z ^ 2
Y define las derivadas parciales de orden uno de la siguiente forma:
¶x f@x, y, zD
¶y f@x, y, zD
¶z f@x, y, zD
Si queremos el gradiente como un vector, podemos emplear la siguiente orden:
gradiente@x_, y_, z_D = 8¶x f@x, y, zD, ¶y f@x, y, zD, ¶z f@x, y, zD<