APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN ( pag.128 Sysaeter) Cuando es difícil trabajar con una función “complicada” tratamos, a veces, de hallar una función más sencilla que, en cierto sentido, se aproxime a la dada. 1. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN POR UNA RECTA ( Tma de Lagrange) Aproximamos la función por la ecuación de la recta tangente a la misma. ( por ejemplo, nos interesa trabajar con ecuaciones lineales) APROXIMACIÓN LINEAL DE F EN UN ENTORNO DE a .DIFERENCIAL DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO. La ecuación de la recta tangente a la curva en un punto es : F(x)- f(a) = f’(a). (x-a)→→f(x) = f(a) + f’(a) (x-a) APROXIMA Ejemplo: Hallar la aproximación lineal a f(x) = (x)1/3 en el entorno del punto a= 1 F(x)= (x)1/3 F(1) = (1)1/3 = 1 F’(1) = 1/3 (x) -2/3 = 1/3 (x-a) = (x-1) sustituyo (x)1/3 -1 = 1/3 (x-1) → (x) 1/3 ≈ 1+ 1/3 (x-1) LA FUNCIÓN ES APROXIMADAMENTE IGUAL A ≈ 1+ 1/3 (x-1) EN EL PUNTO A=1 1 2. APROXIMACIÓN CUADRÁTICA ( APROXIMACIÓN POR MEDIO DE UN POLINOMIO DE GRADO 2) 3. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN POR UN POLINOMIO DE GRADO N ¿SE PUEDE APROXIMAR, DE FORMA ANÁLOGA A LA ANTERIOR, LA FUNCIÓN F MEDIANTE UN POLINÓMIO DE GRADO N? → TEOREMA DE TAYLOR Sea f una función derivable n-veces con derivad n-ésima continua en [a,x] entonces: F(b) = f(a) + f’(a) / 1! (x-a) + f’’(a) /2! (x-a)2 + f’’’ (a)/ 3! ( x-b)3 +…..+ f n (a) / n! (x-a )n + Resto (x)para algún punto c € (a,x) . ESTE POLINOMIO SE LLAMA DE TAYLOR Cuando x= 0 entonces el desarrollo se suele llamar desarrollo de McLaurin LA PRINCIPAL UTIIDAD DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR RADICA EN QUE SON APROXIMACIONES ACEPTABLEMENTO BUENAS DE FUNCIONES MÁS COMPLICADAS Y QUE ESTAS APROXIMACIONES SON TANTO MEJORES CUANTO MAYOR SEA EL ORDEN N. SIEMPRE Y CUANDO SEPAMOS ALGO DEL ERROR AL QUE DAN LUGAR ( EN EL CASO DE QUE LA FUNCIÓN SEA UN POLINOMIO DE GRADO IGUAL O MENOR QUE N LA FÓRMULA ES EXACTA, SIN NINGÚN ERROR DE APROXIMACIÓN EN NINGÚN PUNTO) 2 Calculo del resto Estamos intentando sustituir una función por un polinomio, y esta sustitución no es exacta. Para saber el grado de aproximación de cada polinomio de Taylor a la función necesitaremos conocer el valor del resto. R (x) = F(x) – P (x) El resto dependerá: - De la función a sustituir - Del punto a en el cual se desarrolla - Del punto x en el cual se calcula ( cuanto más lejos este x de a mayor cabe esperar la diferencia del polinomio con respecto a la función) - Del grado del polinomio ( cuanto mayor sea el grado más se aproximará el polinomio a la función) 3 Existen muchas maneras de calcular del resto. Nosotros: Forma Lagrange del resto R n+1 (x) = (1/( n+1!) f n+1 (c ) xn+1 donde c es un punto del intervalo entre 0 y x si x= 0; si consideramos la fórmula de Taylor en un intervalo con centro en el punto x=a, el resto de Lagrange es R n+1 (x) = (1/( n+1!) f n+1 (c ) (x-a)n+1 y c estaría entre x y a. ¿CÓMO ES POSIBLE SABER EL ERROR COMETIDO SI NO CONOCEMOS CON EXACTITUD EL PUNTO C? NO VAMOS A CONOCER EL ERROR , PERO SI UNA COTA SUPERIOR DEL ERROR. VAMOS A PODER ESTAR SEGUROS DE QUE EL ERROR ES MENOR QUE CIERTO TAMAÑO. │R n+1 (x) │≤ ( M/ (n+1)! )│x│n+1 4 Nota: El Polinomio se acercara más a la función si el limx→∞ R(x) = 0. Pues entonces f (x) es realmente el límite de la función polinómica ilimitada que resulta de tomar infinitos términos. Ejplo: Hay funciones como ex para las cuales el resto tiende a cero paa cualquier x y , por lo tanto, la igualdad: ex = 1+x+ x2/2 + x3/3! +…+ xn/n! es válida para todos los valores de x Ejplo: Hay funciones cuyo resto sólo tiende a 0 en un cierto intervalo: 1/ (1-x) = 1+x+x2+…+xn+… sólo es válido para │x│< 1 ,es decir, x € ( -1,1) porque su resto xn+1/ ( 1-c)n+1 sólo tiende a 0 cuando n tiende a ∞ para x € ( -1,1) ( El Polinomio infinito corresponde a una función que se llama su desarrollo en serie de Taylor) 5 3. APROXIMACIÓN POR UNA FUNCIÓN CUALQUIERA ( tMA de Cauchy) f( x) = F(a) + (f’ ( c) / g’ (c )) ( g(x) – g(a) ) para algún punto c € (a,b) 6 LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Gráfica: (Mío) “Tenemos una función f(x) donde hacemos variar el valor de x ( x+ ∆x) y queremos conocer el nuevo valor de la función. Para ello podemos calcular la función con el incremento, donde ∆y = f( x+ ∆x) – f(x) ; o calcular la diferencial ( incremento lineal) dy = f’(x).dx” 7 Consideremos una función derivable f( x) .Designemos dx como la variación del valor x. La expresión f’ ( x) . dx se llama diferencial de la función y se expresa como dy o df dy = f’ ( x). dx dy es proporcional al dx con factor de proporcionalidad f’ ( x) Ojo: La diferencial dy NO es el incremento de y cuando x cambia a x+dx, sino la variación que y tendría si continuase variando a la tasa fija f’ ( x) cuando x cambia a x+dx Lo que hacemos es decir: F ( x + ∆ x ) – f( x) = f’ ( x ) .dx “Se llama diferencial de una función y = f ( x) a la parte principal de su incremento lineal con respecto al incremento de la variable independiente x”. 8 Ejercicio: Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3 x2 – x 1 forma: calculando incrementos x= x+∆ x incremento de la función →∆ y = f(x+ ∆x) – f (x) en el ejercicio: ∆ y = [ 3 (x+ ∆x) 2 – (x+ ∆x) ] – [3 x2 – x ] operando ∆ y= ∆x ( 6x-1) + 3 ( ∆x) 2 2 forma : calculando diferenciales d y = f’( x).dx dy = ( 6x -1) dx Calcular ∆ x y dy de la función anterior para x= 1 y ∆x= 0,01 ∆y = 0,01 ( 6.1 -1 )+ 3 ( 0,01)2 = 0,0503 dy = ( 6.1 -1 ) 0,01 = 0,0500 9