S7 - UAM
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1.11 Ecuaciones del movimiento 1.11. Ecuaciones del movimiento La descripción más elemental del movimiento del Medio Continuo puede llevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición de cada partícula a lo largo del tiempo. En general, se requiere que estas funciones y sus derivadas sean continuas. Definiciones: Punto espacial: Punto fijo en el espacio. Punto material: Una partícula. Puede ocupar distintos puntos espaciales en su movimiento a lo largo del tiempo. Configuración: Lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio las partículas del medio continuo para un cierto instante . Se supone que el medio continuo está formado por partículas (puntos materiales), a un instante = 0 se le denomina instante de referencia, y a su configuración en dicho instante Ω0 se la denomina configuración inicial, material o de referencia (Fig. 1.41a). Puesto que el medio continuo ocupan diferentes posiciones del espacio físico durante su movimiento a lo largo del tiempo, se define como configuración en el instante , denotado por Ω , al lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales (partículas) del medio continuo en dicho instante (Fig. 1.41b). Figura 1.41: Configuraciones del medio continuo: a) referencia 0 y b) actual En la Fig. (Fig. 1.41a) se puede considerar ahora el sistema de coordenadas cartesianas (, , ) y la correspondiente base ortonormal 1 , 2 , 3 . En la configuración de referencia Ω0 el vector de posición de una partícula que ocupa un punto P en el espacio está dado por: X = 1 1 + 2 2 + 3 3 = donde las componentes 1 , 2 y 3 , representan las coordenadas materiales de una partícula. c °Gelacio Juárez, UAM 52 1.11 Ecuaciones del movimiento En la configuración actual Ω , la partícula situada originalmente en el punto material P (Fig. 1.41b) ocupa el punto espacial P’ y su vector de posición x está dado por: x = 1 1 + 2 2 + 3 3 = donde a 1 , 2 y 3 se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el instante de tiempo . Figura 1.42: Configuraciones de referencia 0 y actual del medio continuo. Para describir la evolución de sus coordenadas espaciales a lo largo del tiempo se requiere conocer una función que, para cada partícula, proporcione sus coordenadas espaciales en los instantes de tiempo sucesivos. Para caracteriza unívocamente a cada partícula pueden elegirse sus coordenadas materiales obteniéndose las ecuaciones del movimiento: x = ϕ (X ) = ( ) que proporcionan las coordenadas espaciales en función de las materiales, y las ecuaciones del movimiento inversas: X =ϕ = −1 (x ) −1 (x ) que proporcionan las coordenadas materiales en función de las espaciales. c °Gelacio Juárez, UAM 53 1.11 Ecuaciones del movimiento 1.11.1. Desplazamientos El desplazamiento es la diferencia entre los vectores de posición de una misma partícula en las configuraciones actual y de referencia. El desplazamiento de una partícula P en un instante determinado está definido por el vector u que une los puntos del espacio P y P’ de la partícula (1.43). El desplazamiento de todas las partículas del medio continuo define el campo vectorial de desplazamientos que, como toda propiedad del medio continuo, puede describirse en forma material U(X t): U(X) = x (X ) − X (X) = (X ) − o espacial, u(x): u(x) = x − X (x ) (x) = − (x ) Figura 1.43: Desplazamiento u. 1.11.2. Componentes de deformación Considere un sólido no deformado mostrado en la Fig. 1.44 en el que se unen los puntos y con un segmento de línea. Si a este solido se le induce un movimiento de cuerpo rígido, el segmento de línea y todas las líneas que unen partículas del sólido mantendrán su longitud. Estas líneas pueden servir como una medida en el cambio de forma y tamaño del sólido. Por consiguiente, el punto tiene una posición X y el punto B, X + dX, como se muestra en la Fig. 1.44. La distancia entre estos dos puntos está dada por: c °Gelacio Juárez, UAM 54 1.11 Ecuaciones del movimiento = √ dX · dX (1.74) que se puede escribir como: ()2 = dX · dX = (1.75) Figura 1.44: Cambio de forma de un medio continuo. Cuando se aplican fuerzas externas, el cuerpo se deforma tal que los puntos y se mueven a los puntos correspondientes 0 y 0 . Considere que ahora los puntos ahora se referencian como un sistema con coordenadas donde se considera el estado deformado como se muestra en la Fig.1.44. Esto es, se puede considerar que la deformación se puede obtener para cada punto en el continuo en el sistema de referencia al sistema . Podemos decir que para un desplazamiento = (1 2 3 ) (1.76) y puesto que el mapeo debe ser uno a uno, se tiene una inversa única a la formulación anterior de la forma. = −1 (1 2 3 ) (1.77) Los diferenciales de desplazamiento dX y d se pueden expresar en función de a diferencial como sigue: µ ¶ dX = ¶ µ d = (1.78) (1.79) Con estas ecuaciones es posible expresar ()2 en la ec. (1.75) como: c °Gelacio Juárez, UAM 55 1.11 Ecuaciones del movimiento 2 () = = µ ¶µ ¶ (1.80) En el estado deformado la distancia (0 )2 entre el punto 0 y 0 es: ¡ 0 ¢2 = = µ ¶µ ¶ (1.81) Examinando el cambio de longitud en el segmento, de las ecs. (1.81) y (1.81) se tiene: ¡ ¢ 0 2 2 − () = µ ¶µ ¶ − µ ¶µ ¶ (1.82) La ec. (1.82) se puede escribir de las siguientes formas: ¶ − ¶ µ = − ¡ 0 ¢2 − ()2 = ¡ 0 ¢2 − ()2 µ (1.83) (1.84) Rescribiendo las ecuaciones anteriores: ¡ 0 ¢2 − ()2 = 2 ¡ 0 ¢2 − ()2 = 2 (1.85) (1.86) Se introduce el concepto de deformación: = = µ ¶ 1 − 2 µ ¶ 1 − 2 (1.87) (1.88) Los términos de en la ec. (1.87) implícitamente se expresan en función de las coordenadas del estado no deformado, llamado coordenadas de Langrange. El conjunto de términos formulados por Green y St. Venant se le llama tensor de deformación de Green. El término en la ec. (1.88) formulado en función de las coordenadas deformadas, llama das coordenadas Eulerianas. Este tipo de coordenadas fue introducida por Cauchy para las deformaciones infinitesimales y por Almansi y Hamel para deformaciones finitas. Estas se le denominan como medidas de deformación de Almansi. El desplazamiento de un punto se define: = − c °Gelacio Juárez, UAM (1.89) 56 1.11 Ecuaciones del movimiento que representa el desplazamiento de cada punto en el cuerpo de la la configuración inicial a la deformada como se muestra eb la figura (1.43). Expresando en función de coordenadas Lagrangians , que expresa el desplazamiento de la posición en estado no deformado a la posición deformada . De otra manera, el desplazamiento se puede expresar adecuadamente en términos de coordenadas Eulerianes, , a cualquier configuración deformada dada por . Se pueden escribir las siguientes relaciones de la ec. (1.89) = − = + (1.90) (1.91) Sustituyendo estos resultados en las ecs.(1.87) y (1.88) = = µ ¶ 1 + + 2 µ ¶ 1 + − 2 (1.92) (1.93) Las deformaciones de Green-Langrange son referenciadas a la configuración inicial no deformada e indica lo que ocurrió durante una deformación dada; los otros términos de deformación se refieren a la geometría deformada o instantánea de un cuerpo e indica lo que debe ocurrir para alcanzar esta geometría de un estado deformado cercano. Una deformación infinitesimal corresponde a deformaciones donde sus derivadas de ls componentes de desplazamientos son pequeños comparados con la unidad. Esto es: ¿1 ¿1 Con anterior, considere el siguiente operador aplicado a una función arbitraria ( ): = = ¸ µ ¶ ∙ ( − ) = ∙ ¸ − Para deformaciones infinitesimales se debe omitir el termino para tener la relación: = De esta forma no existe diferencia entre expresar las deformaciones en coordenadas Eulerianas o Lagrangianas, consecuentemente las ecs. (1.92) y (1.93). c °Gelacio Juárez, UAM 57 1.12 Ecuaciones de compatibilidad 1 = = 2 µ + ¶ 1 ( + ) 2 = (1.94) De lo anterior, el tensor de deformaciones está dado por: ⎡ ⎤ 11 12 13 ⎢ ⎥ ⎥ ε=⎢ ⎣ 21 22 23 ⎦ 31 32 33 donde para deformaciones finitas, Green-Langrange, de la ec. (1.92) se tiene las deformaciones: 11 = 1 1 22 = 2 2 33 = 3 3 + 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙³ 1 1 ∙³ 1 3 ∙³ 1 2 ´2 ´2 ´2 + + + ³ 2 1 ³ 2 3 ³ 2 2 ´2 ´2 ´2 + + + ³ 3 1 ³ 3 3 ³ 3 2 ´2 ¸ 212 = 2 1 + 1 2 + ´2 ¸ 213 = 3 1 + 1 3 + 223 = 3 2 + 2 3 + ´2 ¸ h 1 1 1 2 + 2 2 1 2 + 3 3 1 2 + 2 2 1 3 + h 1 1 1 3 3 3 1 3 1 1 2 3 + 2 2 2 3 + 3 3 2 3 h i i i (1.95) o i h ¡ ¢2 i 2 + + + = = + + + + ³ ´2 ³ ´2 ³ ´2 ¸ £ ¤ 1 + + 2 = = + 2 + + + + h¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 i i h 1 2 + + + = + + + + = 2 h¡ ¢2 1 2∙ ¡ ¢2 (1.96) y para deformaciones infinitesimales, de la ec. (1.94) se tiene las deformaciones: 11 = 22 = 33 = 1 1 2 2 3 3 12 = = 13 = 23 = o = = = 1.12. = = 1 2 1 2 1 2 ³ 2 ³ 1 3 ³ 1 3 2 ³ 1 2 ¡ 1 2 ³ 1 2 + + + + + + ´ 1 2 ´ 1 3 ´ 2 3 ´ ¢ ´ (1.97) (1.98) Ecuaciones de compatibilidad Dado un campo de desplazamientos u suficientemente regular, siempre es posible hallar el campo de deformaciones correspondiente (por ejemplo, el de Green-Lagrange) mediante derivación del mismo respecto a las coordenadas (en este caso materiales): c °Gelacio Juárez, UAM 58 1.12 Ecuaciones de compatibilidad 1 = 2 µ + + ¶ (1.99) Para el caso de deformaciones infinitesimales, dado el campo de desplazamientos u(x ), el campo de deformaciones se obtiene como: 1 = 2 µ + ¶ (1.100) Se puede plantear la pregunta en forma inversa: dado un campo de deformaciones ε(x ) ¿es posible encontrar un campo de desplazamientos u(x ) tal que ε(x ) sea su tensor infinitesimal de deformación?. Esto no siempre es posible y la respuesta la proporciona las denominadas ecuaciones de compatibilidad. La expresión (1.100) constituye un sistema de 6 (debido a la simetría) ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con 3 incógnitas 1 (x ), 1 (x ), y 1 (x ). Este sistema está sobredeterminado, ya que existen más condiciones que incógnitas y puede no tener solución. Por lo tanto, para que un tensor simétrico de segundo orden ε(x ) corresponda a un tensor de deformaciones (y que por lo tanto sea integrable y exista un campo de desplazamientos del cual provenga) es necesario que verifiquen ciertas condiciones. Estas condiciones se denominan condiciones o ecuaciones de compatibilidad y garantizan la continuidad del medio continuo durante el proceso de deformación. En general, las condiciones de compatibilidad: Son las condiciones que debe verificar un tensor simétrico de segundo orden para que pueda ser un tensor de deformación y que, por lo tanto, exista un campo de desplazamientos del cual provenga. Notas Para definir un tensor de deformación, no se pueden escribir de forma arbitraria las 6 componentes de un tensor simétrico. Es necesario que éstas verifiquen las condiciones de compatibilidad. Dado un campo de desplazamientos, siempre podemos obtener, por derivación, un tensor de deformación asociado al mismo que automáticamente verificará las condiciones de compatibilidad. Así pues, en este caso no tiene sentido la verificación de estas condiciones. Para ilustrar la compatibilidad, por simplicidad, considere el caso de deformación plana relativo al plano . Este estado de deformación se define por los componentes de desplazamiento y que son función de las coordenadas e , pues es constante. = = = 0 c °Gelacio Juárez, UAM 2 = + = 0 (1.101) = 0 59 1.12 Ecuaciones de compatibilidad La compatibilidad de deformaciones se obtine mediante la eliminación de los dos componentes de desplazamiento y de las relaciones de formación-desplazamiento, diferentes de cero, en la ec. (1.101). Esto se obtiene derivando y sumando. 2 2 2 2 3 2 (1.102) 2 2 3 3 = + 2 2 (1.103) = 3 2 = y Sumando la parte derecha de las ecuaciones en (1.102) se demuestra que corresponde a la parte derecha de la ec. (1.103). Así, se tiene la relación 2 2 2 2 + = 2 2 (1.104) entre las deformaciones existentes. Este resultado es válido para deformaciones pequeñas, conocidas como compatibilidad de deformaciones para deformación plana. En el caso general, una eliminación de , y se tienen las siguientes: 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 + 2 = = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 + (1.105) Las ecuaciones (1.105) se conocen como las ecuaciones de compatibilidad en la teoría de desplazamientos pequeños. 1.12.1. Representación de las deformaciones Los términos de la diagonal principal, por ejemplo = representa la razón de cambio del desplazamiento correspondiente a dos puntos distanciados la unidad en la dirección del eje . = De los términos cortantes representan, por ejemplo: c °Gelacio Juárez, UAM 60 1.12 Ecuaciones de compatibilidad 1 1 = 2 2 µ + ¶ De la fig. (1.45) considerando que las primeras derivadas del desplazamiento son infinitesimales de primer orden, se tiene: tan = = tan = = ) ⇒ = + =+ Figura 1.45: Deformación cortante. Por lo que el cortante = + representa la variación angular experimentada por un ángulo inicialmente recto de lados paralelos a los ejes coordenados x e y. Un significado análogo tienen los términos y . Observe que si el valor de es positivo, el ángulo, que inicialmente es recto, disminuye; en cambio, si es negativo, el ángulo aumenta. 1.12.2. Ejemplo El vector de desplazamientos en un punto de un sólido está dado en coordenadas cartesianas como: ⎧ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ 4 − + 3 u (x ) = ⎪ ⎪ ⎩ 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ Determine: a) el tensor de deformación infinitesimal y b) si se satisface la compatibilidad de deformaciones. Solución: a) Las componentes del tensor de deformaciones se determina con las ecs. (1.98) como: c °Gelacio Juárez, UAM 61 1.12 Ecuaciones de compatibilidad = 8 = = = = 3 = ³ ´ 1 2 + = − 2 ¡ ¢ 3 2 = 12 + = ³ ´ 2 1 = 2 + = 0 = las cuales se pueden ordenar en el siguiente tensor: ⎡ 8 ⎢ ε (x ) = ⎢ ⎣ −2 3 2 2 − 2 3 2 2 0 0 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ b) Se demuestra que el campo de desplazamientos es compatible, si las componentes de deformación satisface las ecs. (1.105): 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 2 + 2 2 2 + 2 = 2 2 + 2 = 2 2 + = 2 1.12.3. 2 2 2 = 2 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 + = 0+0 =0 6 + 0 = 6 0+0 =0 0+0=0+0 0+0=0+0 0+0=0+0 Tarea La placa rectangular mostrado en la Fig. 1.46 está restringido en dos de sus bordes y sus lados opuestos están libres. Las deformaciones en este elemento se determinaron con deformímetros durante la acción de cargas externas. Los resultados se describen aproximadamente por las siguientes expresiones: = 005 = 005 a) Determine el campo de desplazamientos ( ) y ( ), considerando las condiciones de frontera (0 0) = 0 y (0 0) = 0. b) Grafique el desplazamiento horizontal sobre el borde a y el desplazamiento vertical sobre el borde b. c) Determine las deformaciones , y en el punto d. d) Verifique que las deformaciones satisfacen la siguiente ecuación de compatibilidad. 2 2 2 2 + = 2 2 c °Gelacio Juárez, UAM 62 1.12 Ecuaciones de compatibilidad Figura 1.46: Placa. 1.12.4. Ejemplo El bloque de concreto mostrado en la fig. 1.47 se somete a un incremento de temperatura, registrándose una deformación de 4 · 10−3 en la cara perpendicular al eje ; una 75 · 10−3 en la dirección ; y una de de 4 · 10−3 en la dirección . Determine la deformación en la diagonal del cubo, cuya dirección corresponde al vector n. Figura 1.47: Geometría del bloque de concreto. El tensor de deformaciones está dado por: ⎡ ⎢ ε=⎢ ⎣ 4 · 10−3 0 0 0 0 75 · 10−3 0 0 4 · 10−3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ El vector n se termina con la longitudes del bloque de concreto como: ⎡ La norma del vector se calcula como: c °Gelacio Juárez, UAM 030 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ n =⎢ 060 ⎦ ⎣ 030 63 1.12 Ecuaciones de compatibilidad |n| = √ n · n = 0735 Por lo que el vector normal unitario es: ⎡ ⎤ 0408 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ñ = n = ⎣ 0816 ⎥ ⎦ |n| 0408 La deformación en la dirección de la diagonal se determina como: = ñ · ε · ñ = h 0408 0816 0408 = 6325 · 10−3 1.12.5. ⎡ i⎢ ⎢ ⎣ 4 · 10−3 0 0 0 0 75 · 10−3 0 0 4 · 10−3 ⎤⎡ 0408 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0816 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 0408 Ejemplo La barra mostrada en la fig. 1.48a se somete a la acción de la carga (fig. 1.48b), en la que el desplazamiento está dado por: () = (1.106) además, otra condición es cuando la barra se somete a la acción de la fuerza de cuerpo (fig. 1.48b), el desplazamiento para este caso es: + () = µ ¶ 2 − 2 (1.107) Determine las deformaciones, los esfuerzos, y compruebe que estos últimos satisfagan la ecuación de equilibrio: + = 0 (1.108) De los desplazamientos dados en las ecs. (1.106) y (1.107), las deformaciones, = () , se calcula como: = = c °Gelacio Juárez, UAM + ( − ) (1.109) (1.110) 64 1.12 Ecuaciones de compatibilidad Figura 1.48: Barra: a)geometría, b) acción de la carga P y c) acción de las cargas P y b. El valor de los esfuerzos, = , es: + ( − ) = = (1.111) (1.112) Sustituyendo en la ec. (1.106) respectivamente las ecs. (1.111) µ ¶ +0=0 (1.113) y la (1.112) µ ¶ + ( − ) + = 0 − = 0 (1.114) se comprueba que se satisface equilibrio. 1.12.6. Tarea La viga mostrada en la fig. (1.49) está sometida a una carga constante = 5 000, tiene una longitud = 5 m, sección = 015 m y = 030 m, el concreto tiene un módulo a compresión √ ´ = 250 / cm2 y un módulo elástico = 14 000 ´ / cm2 . El desplazamiento, bajo esta carga , del eje neutro de la viga es: () = 12 c °Gelacio Juárez, UAM µ ¶ 1 4 1 3 3 − + 2 2 65 1.12 Ecuaciones de compatibilidad Figura 1.49: Viga simplemente apoyada. a) Determine el giro () = () b) Determine la curvatura (deformación) () = 2 () () = 2 c) Determine el momento () = () = 2 () 2 d) Determine el cortante () = () 3 () = 3 e) Compruebe que () es una configuración de de equilibrio si satisface: 4 () − = 0 4 () − = 0 e) Grafique del inciso a) al d) c °Gelacio Juárez, UAM 66
