Guía de problemas 4 Procesos de Bernouilli y Poisson

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Guía de problemas 4
Procesos de Bernouilli y Poisson - Distribuciones asociadas
1. Una cadena de comida rápida está por abrir una nueva sucursal. Se estima que serán
necesarios 24 empleados presentes para cubrir todas las tareas. Los registros de otras sucursales
indican un porcentaje de ausentismo del 5 %. Se contratan 30 personas. Calcule la probabilidad
de los siguientes sucesos.
a)
b)
c)
d)
Hay 3 empleados ausentes.
Hay menos de 3 empleados ausentes.
No hay empleados ausentes.
No se cubren todas las tareas.
2. Un sistema de control de recepción de frutas establece rechazar una partida si en una
muestra al azar de 30 unidades se encuentran 3 ó más frutas no aceptables. Una fruta no es
aceptable si tiene deterioros superciales, lo que ocurre con probabilidad 0.05 , o si su peso
no supera los 125 g siendo la función de densidad de probabilidad del peso X (en gramos)
fX (x) = 2 (x − 100)/10000 si 100 < x < 200 ; y nula fuera de ese intervalo. ¾Cuál es la
probabilidad de aceptar una partida?
3. De una bolsa con 6 caramelos de limón y 3 de miel un chico pretende elegir sin mirar uno
de miel por lo que si saca uno de limón, pícaramente lo devuelve. ¾Cuál es la probabilidad de
que tenga que sacar 4 caramelos hasta obtener uno de miel?
4. De un bolillero con 10 bolillas negras y 5 blancas se hacen extracciones de a 3 bolillas
simultáneamente. Calcule lo siguiente.
a) La probabilidad de que se requieran cuatro o más extracciones hasta obtener una en la
cual todas las bolillas tienen igual color.
b) La probabilidad de que en 10 extracciones, se obtengan todas bolillas negras en 2 o más
de esas extracciones.
5. Se tira un dado hasta que el 4 aparezca dos veces. Calcule la probabilidad de que la suma
de todos los números obtenidos sea menor que 10.
6. Cada minuto una casilla de correo electrónico verica si han llegado o no mensajes.
Suponiendo que los mensajes arriban en forma independiente y que en el lapso de tiempo
entre vericaciones: i) no llegan dos o más mensajes, ii) la probabilidad de que llegue un
mensaje es de 0.2 y iii) el 30 % de los mensajes que llegan son spam, se pide calcular lo
siguiente.
a)
b)
c)
d)
La probabilidad de que en un lapso de 15 minutos arriben 4 o más mensajes.
La probabilidad de que en 20 minutos se reciban 2 o menos mensajes spam.
La probabilidad de que entre dos mensajes spam consecutivos pasen más de 10 minutos.
La probabilidad de que menos de 2 mensajes sean spam, si se han recibido 8 mensajes.
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7. Una empresa aérea sobrevende pasajes para un avión de 100 asientos porque sabe que el
7 % de los pasajeros no se presentan. ¾Cuántos pasajes deberá vender como máximo para que
la probabilidad de que un pasajero presentado no pueda volar sea a lo sumo 0.05 ?
( La incógnita de esta situación es la cantidad de pasa jes n. La respuesta es por ensayo y error a
partir de un dispositivo de cálculo de la función de distribución de una variable aleatoria binomial.)
8. ¾Cuántas piezas convendrá mandar fabricar para asegurar (con probabilidad 0.95) que
se obtienen por lo menos 10 repuestos en buen estado, cuando el porcentaje de unidades
defectuosas en la fabricación es del 8 %?
9. Una materia de la FIUBA se aprueba con un examen multiple choice de 15 preguntas, con
5 opciones de respuesta en cada pregunta.
a) ¾Cómo debería establecerse un criterio de aprobación (número mínimo de respuestas
correctas para aprobar), que asegure que el 90 % los alumnos que no saben nada de la
materia y responden totalmente al azar, sean reprobados?
b) Fijado el criterio anterior, si un alumno estudió lo suciente como para que la probabilidad de responder bien cada pregunta es p = 0.4 ¾cuál es la probabilidad de aprobar el
examen?; ¾y si estudia más, hasta que p sube a 0.6 ?
c) Calcule la probabilidad de aprobar para varios valores de p, y represéntela grácamente.
Este gráco se denomina Curva característica.
d) Repita a, b y c para un nal de Análisis I del CBC, de 20 preguntas con 4 opciones de
respuesta en cada pregunta.
10. En una empresa se compra gran de cantidad de bulones especiales a un mismo proveedor.
Cada vez que se recibe un envío de bulones, se realiza un control de calidad por muestreo: se
ensaya una muestra de n = 80 bulones seleccionados al azar del total; si hay más de un bulón
defectuoso en la muestra, el envío se rechaza y se devuelve al proveedor. En caso contrario, se
acepta el envío y se lo paga. Si llamamos p a la proporción de bulones defectuosos generados
por el proceso de fabricación del proveedor y Pa a la probabilidad de aceptar un envío:
a) calcule Pa para los siguientes valores de p: 0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.05,
0.1, 0.5.
b) Represente grácamente Pa en función de p. (Curva característica del plan de muestreo )
11. Una empresa compra grandes lotes de envases de vidrio a dos proveedores A y B. El
proveedor A entrega lotes con un 1 % de envases quebrados, y el proveedor B con el 5 %. Se
tiene un gran lote de envases, del que se desconoce si provienen de A o B. Para decidir su
origen, se inspeccionará una muestra de n envases. Si se encuentran c o menos quebrados en
esta muestra, se concluirá que provienen de A, y si se encuentran más de c, que provienen de
B. Se debe establecer un plan de muestreo (esto es, denir los valores de n y c), que garantice
que las probabilidades de cometer cada uno de los siguientes errores:
• Concluir que provienen de A cuando en realidad provienen de B
• Concluir que provienen de B cuando en realidad provienen de C
sean iguales o menores que 0.05. Busque probando distintos valores de n y c, hasta encontrar
algún par que satisfaga ambas condiciones.
( La respuesta es por ensayo y error en esta etapa de desarrollo del contenido de la asignatura.)
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12. Un lote de bombitas eléctricas se considera bueno cuando menos del 1 % de las bombitas
están quemadas y se considera malo cuando dicho porcentaje asciende al 3 % ó más. Una
cadena de supermercados compra un lote de 50000 bombitas, y elige una muestra de n para
ensayar. Si c o menos de ellas están quemadas, acepta el lote. En caso contrario lo devuelve
al proveedor.
a) Exprese en palabras los riesgos del proveedor y del comprador.
b) Se proponen 3 planes de muestreo:
I: n = 200; c = 4,
II: n = 100 ; c = 2
III: n = 100; c = 1.
Graque las curvas características de los 3 planes (¾es válido aproximar la distribución
hipergeométrica por binomial?)
c) Mirando las curvas, responda lo siguiente:
¾el plan II protege similarmente al proveedor que el plan I? ¾y al comprador?
¾el plan III protege más al comprador que el plan I? ¾y al proveedor?
13. Un criterio de control de recepción establece controlar 10 piezas; si no se encuentran
defectuosas se acepta la partida; si se encuentra 1 defectuosa se extrae una segunda muestra
de 20 piezas y se acepta la partida si no hay defectuosas. Si en la primera muestra se encuentra
2 ó más defectuosas se rechaza la partida.
Obtenga la probabilidad de rechazar la partida en función de la probabilidad p de que una
pieza sea defectuosa. Trace la curva característica del plan de muestreo.
14. Los pacientes llegan a la sala de guardia de un hospital a una tasa de 2 por hora. Un
médico hace un turno de 12 horas desde las seis de la mañana hasta las seis de la tarde. La
llegada de pacientes se considera un proceso de Poisson.
a) Si el médico ha visto 6 pacientes a las 8 de la mañana, ¾cuál es la probabilidad de que
vea un total de 9 pacientes a las 10 de la mañana?
b) ¾Cuál es la distribución de probabilidades del tiempo esperado entre llegadas de pacientes
sucesivos?
c) ¾Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre llegadas de sucesivos pacientes sea mayor
a 1 hora?
d) ¾Cuál es la distribución del tiempo esperado desde que el médico se hizo cargo de la
guardia hasta que ve su primer paciente?
e) ¾Cuál es la probabilidad de que vea su primer paciente luego de 15 minutos o menos
desde que se hizo cargo de la guardia?
f) ¾Cuál es la probabilidad de que vea su paciente nro. 13 antes de las 13:00?
15. Se sabe que durante ciertas horas del día las llamadas telefónicas a una central están
distribuidas al azar según un proceso de Poisson con un promedio de 4 llamadas por minuto.
Calcule la probabilidad de que:
a) transcurran dos minutos sin llamadas.
b) En un minuto haya por lo menos dos llamadas,
c) En tres minutos se produzcan exactamente 10 llamadas.
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d) En los próximos tres intervalos consecutivos de 3 minutos se produzcan 10 llamadas en
cada uno.
e) El tiempo entre dos llamadas consecutivas supere 30 segundos.
f) El tiempo que transcurre hasta que ocurran 3 llamadas sea inferior a 1 minuto.
16. Se ha encontrado que el número de fallas de los subsistemas de un sistema dado puede
considerarse un proceso de Poisson con un promedio de una falla de un subsistema cada 100
horas.
a) Se inicia cierto proceso que requerirá que el sistema opere durante 200 horas. Calcular
la probabilidad de que el proceso pueda ser completado con éxito si se supone que el
sistema está operante si como máximo fallan 4 subsistemas.
b) Suponga que en una situación especial se requiere operar uno de estos subsistemas.
En cuanto falla se cambia por otro y asi cada vez que falla el que esta funcionando
se reemplaza por otro. Se supone despreciable el tiempo que demora sacar el fallado y
cambiarlo por el relevo. Se tienen 10 de estos subsistemas. ¾Cuál es la probabilidad de
que ese stock pueda servir para cubrir un tiempo de servicio total de al menos 1500
horas?
17. El tiempo entre arribos de clientes, durante la mañana de un día normal, a una estación
de servicio se puede considerar una variable aleatoria con distribución exponencial de media
5 minutos.
a) Describa la distribución de probabilidades del número de clientes que llegan en una hora.
b) Calcule la probabilidad de que en 30 minutos lleguen más de 5 clientes.
c) Calcule la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las llegadas de los clientes
décimo y undécimo exceda 10 minutos.
d) Calcule el valor esperado y la varianza del tiempo transcurrido hasta que llega el décimo
cliente desde que comenzó el servicio.
Nota: Si se supone que el tiempo transcurrido es una suma de variables aleatorias independientes
.
e) Calcule la probabilidad de que el número de clientes atendidos en 6 horas exceda 90.
Para calcular esta probabilidad tendrá que recurrir a algún programa de cálculo de la
función de distribución de Poisson o de la distribución gamma.
entonces se cumple que la varianza de esa suma es la suma de las varianzas de los sumandos
18. Los defectos de una tela se distribuyen según proceso de Poisson tal que la probabilidad
de no encontrar fallas en 3 m es 0.01.
a) ¾Cuál es la probabilidad de tener que revisar más de 1 metro de tela para encontrar una
falla?
b) ¾Cuál la de tener que revisar de más 5 o más metros para encontrar 5 fallas?
c) Se deben revisar 5 metros de tela ¾Cuál es la probabilidad de que se encuentren 4 fallas
si en los primeros dos metros se sabe que no hay más de una falla?
19. Los servicios de contraespionaje interceptan un mensaje secreto de 70 palabras, y suponen
que fue emitido por una fuente A con probabilidad 0.7, y por B con probabilidad 0.3. Además,
usted tiene la información de que los mensajes de A tienen una longitud en palabras XA que
se puede suponer una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λA = 50,
mientras que para los mensajes de B se cumple que la longitud de la palabras XB también es
una variable con distribución de Poisson pero de parámetro λB = 60.
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a) ¾Cuál es la probabilidad de que el mensaje interceptado haya sido emitido por A?
b) Sin tener en cuenta la opinión de los servicios, sólo la longitud del mensaje ¾quién diría
usted que fue el emisor más verosímil del mensaje?
20. La ocurrencia de errores tipográcos en la primera impresión de prueba de un libro es un
proceso de Poisson con una tasa 1 error cada 1000 palabras. Cada vez que el autor lee el libro
para corregirlo, la tasa de error se reduce a la mitad. Observar que decimos que la tasa de
error se reduce a la mitad, no que el número exacto de errores se reduce a la mitad, porque el
autor pueden introducir nuevos errores mientras corrige otros. El autor quiere saber cuántas
veces necesita hacer una lectura de corrección a n de que la probabilidad de que no haya
más errores sea de al menos 0.98. Suponga que el libro contiene 200.000 palabras. Calcule el
número de veces que se debe repetir la lectura.
21. La duración X de un componente eléctrico es una variable aleatoria continua con distribución exponencial de media 1000 horas.
a) Al quemarse dicho dispositivo es inmediatamente reemplazado en forma automática,
por otro igual que el sistema tiene almacenado ¾Cuál es la probabilidad de gastar el
dispositivo original más otros 4 almacenados, en 5000 horas?
b) Halle la mediana de la duración, y explique en palabras su signicado.
c) Demuestre que bXc + 1 (donde bXc indica la parte entera de X ) tiene distribución
geométrica. Interprete el resultado.
22. Un supermercado decide hacer una promoción para sus clientes. Prepara 3 canastas con
productos: una con quesos, otra con vinos y una tercera con ambres. El primer cliente que
concurra a partir de las 10 horas, recibe por sorteo una de las tres. El segundo en llegar recibe
por sorteo una canasta entre las dos que quedan, y el tercero en llegar se lleva la canasta
restante. La llegada de clientes se supone un proceso de Poisson con tasa de arribo L = 6
clientes / hora.
a) Calcule la probabilidad de que la canasta con vinos sea entregada antes de las 10:20.
b) Calcule la probabilidad de que las tres canastas sean entregadas antes de las 10:20.
c) Se denen estos 3 eventos: Q : la canasta de quesos es entregada antes de las 10:20 ;
V : la canasta de vinos es entregada antes de las 10.20 y F : la canasta de ambres es
entregada antes de las 10:20 . ¾Son independientes V , Q y F ? Justique su respuesta.
23. Un dispositivo de rastreo lleva por seguridad 3 transmisores que trabajan en paralelo
e independientemente para emitir datos. La vida útil de cada transmisor responde a una
distribución exponencial de media 5000 horas. ¾Cuál es la función densidad de probabilidad
del tiempo que el dispositivo puede transmitir?
( El dispositivo de rastreo transmite mientras haya al menos un transmisor operativo.)
24. Una máquina textil tiene 10 hilos, el corte de cada hilo se produce con tiempos exponenciales de media 0.2 por hora.
a) ¾Cuál es la probabilidad que se produzcan, en 3 horas, más de 4 cortes?
b) ¾Cuál es la probabilidad que se produzcan, en 3 horas, 4 cortes si hubo 1 corte en la
primera hora?
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c) ¾Cuál es la probabilidad de que la máquina pueda trabajar más de media hora sin cortes?
d) ¾Cuál es el número medio de cortes en 3 horas?
25. Un scanner óptico automático busca defectos en una hoja continua de metal. Si el metal
está siendo producido adecuadamente, los defectos deberían ocurrir a una tasa de un defecto
cada 50 m2 de metal como eventos de un proceso de Poisson.
a) ¾Cuál es la probabilidad de encontrar 7 ó más defectos en 200 m2 de metal, cuando el
proceso funciona adecuadamente?
b) La compañía quiere poner a punto un plan de inspección que detecte cuándo el proceso
está funcionando mal. La inspección se llevará a cabo del siguiente modo: se inspeccionan
los primeros 200 m2 de metal producido y si se encuentra un número mayor de defectos
que un número crítico c, entonces el proceso es declarado como no conforme. Determine
el número crítico c necesario para que, si la verdadera tasa de defectos es de 4 defectos
cada 50 m2 , entonces la probabilidad de declarar al proceso no conforme sea 0.95.
c) Usando ese valor de c, ¾cuál es la probabilidad de declarar conforme un proceso no
conforme?
26. Los tiempos entre recepción de ciertas señales se pueden suponer variables aleatorias
independientes con distribución exponencial de parámetro λ = 3 seg−1 .
a) ¾Cuál es la probabilidad de recibir 28 señales en 10 segundos?
b) Cada una de estas señales tiene una probabilidad 0.8 de ser bien interpretada. ¾Cuál es
la probabilidad de interpretar bien 20 señales en 10 segundos?
27. El tiempo de funcionamiento de un generador eléctrico, hasta la salidad de servicio, tiene
distribución exponencial de parámetro λ = 0.02 h1 . Dos generadores idénticos están conectados
de forma tal que, cuando uno falla, se activa automáticamente el segundo. Por otro lado, la
potencia de cada uno de los generadores es una variable aleatoria P con distribución uniforme
en (0, 0.01) en Mw = 106 w (constante mientras no falla) y la misma para los dos equipos.
a) Halle la energía E generada por ambos equipos en toda su vida útil (Recuerde que
E = P t).
b) Calcule la probabilidad de que la energía generada sea mayor que 7 Mwh, si es mayor
que 5 Mwh.
28. Signicado del parámetro a en la distribución de Weibull: Una variable aleatoria
continua X tiene distribución de Weibull de parámetros α y λ, constantes reales positivas, si
su función de distribución es FX (x) = 1 − exp(−(λ x)α ) para x ≥ 0 y 0 para x < 0. Suponga
que la duración en días de un producto industrial hasta su falla es una variable aleatoria T
con distribución de Weibull de parámetros α y λ = 0.005.
a) Calcule P (T > 200) y P (T > 500|T > 300) si α toma los valores 0.5, 1 y 1.5.
b) En general, si la distribución tiene parámetro α <1 se dice que el producto tiene fallas
tempranas, si α = 1, se dice que tiene fallas casuales o con falta de memoria (caso
exponencial) y si α >1, que tiene fallas por desgaste. Interprete los resultados obtenidos
para las probabilidades del item anterior.
c) Indique, de acuerdo a su modo de falla, en cuál de las categorías anteriores clasicaría
a los siguientes productos:
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un software de uso comercial, donde T es el tiempo hasta que el usuario encuentra
un error de programación,
un neumático, donde T es el tiempo hasta una pinchadura causada por objetos
punzantes en las calles,
una heladera, donde T es el tiempo hasta que el motor deja de enfriar.
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