Sergio Yansen Núñez 1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa r = cos2θ. Solución: Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación: cos2θ = 0 π θ = π , en el primer cuadrante. 4 ⇒ π π A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ 4 π r 2 dθ = 1 ∫ 4 π cos 2 2θdθ −4 2 2 −4 2 −4 Por simetría: π π π 1 + cos4θ A = 1 ⋅ 2 ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4 dθ 0 0 0 2 2 π A = 1 ∫ 4 1 + cos4θdθ = π 8 2 0 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ. Solución: Puntos de intersección: 3 sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1 2 θ= π 6 θ = π − π = 5π 6 6 ⇒ , 5π (en cuadrantes I y II). 5π A = 1 ∫ π6 3 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ 2 6 2 6 Por simetría, se tiene: π π A = 1 ⋅ 2 ∫ π2 9 sin 2 θdθ − 1 ⋅ 2 ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ 2 2 6 6 π π 6 6 A = ∫ π2 9 sin 2 θdθ − ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ π A = ∫ π2 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ 6 π A = ∫ π2 8 sin 2 θ − 1 − 2 sin θ dθ 6 Usando la identidad: π A = ∫ π2 8 ⋅ 6 sin 2 θ = 1 − cos2θ 2 Área en coordenadas polares 1 − cos2θ se tiene: 2 − 1 − 2 sin θ dθ Sergio Yansen Núñez π A = ∫ π2 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ 6 π A = ∫ π2 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π 6 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r 2 = 9 cos2θ. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante. cos2θ = 0 π ⇒ θ= π 4 π , en el primer cuadrante. π A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θdθ 0 2 0 0 π A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9 0 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ y exterior a la circunferencia r = 3. Solución: Puntos de intersección: 31 + cosθ = 3 θ= π 2 ⇒ ⇒ cos θ = 0 ∨ θ = 3π (menores que 2π) 2 Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante π π A = 2 ⋅ ∫ 2 1 31 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 1 ⋅ 3 2 dθ 0 2 0 2 π π A = ∫ 2 91 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 9dθ 0 0 π A = ∫ 2 91 + cosθ 2 − 9 dθ 0 π A = 9 ∫ 2 1 + cosθ 2 − 1 dθ 0 π A = 9 ∫ 2 2 cosθ + cos 2 θdθ 0 π A = 9 ∫ 2 2 cosθ + 0 1 + cos2θ dθ 2 π A = 9 ∫ 2 4 cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π 2 0 4 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ. Solución: Por simetría: π π A = 2 ⋅ ∫ 1 r 2 dθ = ∫ 2 + cosθ 2 dθ 0 2 0 π A = ∫ 4 + 4 cosθ + cos 2 θdθ 0 A=∫ π 0 4 + 4 cosθ + 1 + cos2θ dθ 2 π A = 1 ∫ 8 + 8 cosθ + 1 + cos2θdθ 2 0 π A = 1 ∫ 9 + 8 cosθ + cos2θdθ = 9π 2 0 2 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4 sin2θ. Solución: Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante sin2θ = 0 π ⇒ θ=0 θ = π (considerando el pétalo del primer cuadrante) 2 ∨ π π A = 4 ⋅ ∫ 2 1 r 2 dθ = 2 ∫ 2 r 2 dθ = 2 ∫ 2 4 sin2θ 2 dθ 0 2 0 0 π π A = 32 ∫ 2 sin 2 2θdθ = 32 ∫ 2 0 π 2 0 1 − cos4θ dθ 2 A = 16 ∫ 1 − cos4θdθ = 8π 0 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ e interior a la circunferencia r = 3 sinθ. Solución: Puntos de intersección: 1 + cosθ = 3 sinθ 1 + cosθ 2 = 3 sin 2 θ 1 + 2 cosθ + cos 2 θ = 31 − cos 2 θ 1 + 2 cosθ + cos 2 θ − 31 − cos 2 θ = 0 −2 + 2 cosθ + 4 cos 2 θ = 0 2 cos 2 θ + cosθ − 1 = 0 cosθ + 12 cosθ − 1 = 0 cosθ + 1 = 0 θ= π 3 π A = 1 ∫π 2 3 ∨ ∨ 2 cosθ − 1 = 0 θ=π 3 sinθ 2 , (valores menores que 2π) π dθ − 1 ∫ π 1 + cosθ 2 dθ 2 3 π A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ 2 3 π A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ 2 3 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez π A = 1 ∫ π 31 − cos 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1dθ 2 3 π A = 1 ∫ π 2 − 4 cos 2 θ − 2 cos θdθ 2 3 π 1 + cos2θ A = 1 ∫π 2−4 2 3 2 − 2 cos θ dθ π 3 3 A = 1 ∫ π −2 cos 2θ − 2 cos θdθ = 4 2 3 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 8. Calcule el área de la región interior a r = 3 cosθ y exterior a r = 1 + cosθ. Solución: Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante Puntos de intersección: 3 cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1 2 θ = π (valor en primer cuadrante) 3 ⇒ A = 2⋅ π π 1 ∫ 3 3 cosθ 2 dθ − 1 ∫ 3 1 + cosθ 2 dθ 2 0 2 0 π A = ∫ 3 9 cos 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ 0 π A = ∫ 3 8 cos 2 θ − 1 − 2 cosθdθ 0 π A = ∫3 8 0 1 + cos2θ 2 − 1 − 2 cosθ dθ π A = ∫ 3 3 + 4 cos 2θ − 2 cos θdθ = π 0 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 9. Calcule el área de la región interior a r 2 = 2 cos2θ y exterior a r = 1. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante. Puntos de intersección: 2 cos2θ = 1 A = 4⋅ ⇒ cos2θ = 1 2 π π 1 ∫ 6 2 cos2θdθ − 1 ∫ 6 dθ 2 0 2 0 Área en coordenadas polares ⇒ π θ = π , valor en primer cuadrante. 6 = 2 ∫ 6 2 cos2θ − 1dθ = 0 3 − π 3 Sergio Yansen Núñez 10. Considere la ecuación polar r = 4 sin3θ. Calcule el área de un pétalo. Solución: π π A = 1 ∫ 3 4 sin3θ 2 dθ = 1 ∫ 3 16 sin 2 3θdθ 2 0 2 0 π π A = 8 ∫ 3 sin 2 3θdθ = 8 ∫ 3 0 0 π 1 − cos6θ dθ 2 A = 4 ∫ 3 1 − cos6θdθ = 4π 0 3 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 11. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sinθ y r = cosθ. Solución: Puntos de intersección: sinθ = cosθ ⇒ θ = π , valor en el primer cuadrante. 4 Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. π π A = 2 ⋅ 1 ∫ 4 sin 2 θdθ = ∫ 4 sin 2 θdθ 0 2 0 π A = ∫4 0 π 1 − cos2θ dθ = 1 ∫ 4 1 − cos2θdθ = π − 1 2 0 4 8 2 Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez 12. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sin2θ y r = cos2θ. Solución: Puntos de intersección: sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π , menor valor en el primer cuadrante. 8 Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área de la región sombreada (ver la siguiente figura). Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez π π A = 16 ⋅ 1 ∫ 8 sin 2 2θdθ = 8 ∫ 8 sin 2 2θdθ 0 2 0 π A = 8∫ 8 0 π 1 − cos4θ dθ = 4 ∫ 8 1 − cos4θdθ = π − 1 0 2 2 Área en coordenadas polares