Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras

Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:
Ejemplos.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca.
Universidad de Guanajuato
CP 36730, Salamanca, Gto., México
E-mail: [email protected].
Alejandro Tadeo Chávez.
Instituto Tecnológico Superior de Irapuato.
Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.
CP 36821, Irapuato, Gto., México
Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]
1
Introducción.
En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones de
rotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismos
planos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones crı́ticas.
2
Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 2 cuyas longitudes
son: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff,
esto es:
L+s≤p+q
(1)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo
las dimensiones correspondientes, se obtiene
1
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14
(2)
Por lo tanto, el mecanismo es10de
aún,
concluye
+ 2la≤Clase
8 + 6 I,ó más
12 ≤
14 puesto que s = a2 , se(2)
que el mecanismo
es rotatorio-oscilatorio
y el eslabón
2 puede
completas.
Por lo tanto,
el mecanismo es de la Clase
I, más aún,
puesto realizar
que s = arotaciones
2 , se concluye
que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.
En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de
segunda etapa, se
este resultado
empleando
las condiciones
de de los
rotabilidadEny,una
adicionalmente,
seconfirmará
determinarán
las, posibles,
posiciones
crı́ticas
rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones crı́ticas de los
eslabones de entrada y de salida.
eslabones de entrada y de salida.
Figure
Mecanismo plano
plano de
barras
Figure
1: 1:
Mecanismo
decuatro
cuatro
barras
1. Eslabón 2.
1. Eslabón• 2.
Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
• Primera condición de rotabilidad.
de puntos muertos(3)exterior
a1 + a2 ≤ a3Posición
+ a4
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
a1 + a2 ≤ a3 + a4
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14
(3)
(4)
Sustituyendo
las dimensiones correspondientes, se obtiene
El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
• Segunda condición 10
de +
rotabilidad.
2 ≤ 8 + 6 Posición
ó 12de≤puntos
14 muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(5)
(4)
El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|2 − 10| ≥ |6 − 8| ó 8 ≥ 2.
| ≥ |a4 −dea3rotabilidad.
|
El eslabón 2 satisface esta |a
segunda
2 − a1condición
(6)
(5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes
se obtiene
2
|2 − 10| ≥ |6 − 8| ó 8 ≥ 2.
El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.
(6)
Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦ .
2. Eslabón 4.
◦
Por lo tanto,
se verifica de
que rotabilidad.
este eslabón 2 puede
girar 360
.
• Primera
condición
Posición
lı́mite
exterior.
2. Eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(7)
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(7)
10 + 6 2 + 8 ó 16 10
(8)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
El eslabón 4 no cumple con
de rotabilidad,
por lo tanto
10 esta
+ 6 condición
2 + 8 ó 16
10
(8) tiene
una posición lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene
como El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene
como
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
cosα =
1 a2 4+ a3 )2
+ 2a
− (a
cosα =
2a1 a4 se obtiene que
Sustituyendo las longitudes de los eslabones
a21
a24
(9)
(9)
2: Mecanismo
plano
cuatrobarras
barras en
lı́mite
externa.
Figure Figure
2: Mecanismo
plano
de de
cuatro
enuna
unaposición
posición
lı́mite
externa.
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
◦
αα=
= 72.5423
72.5423◦
Entonces
el ángulo
estádado
dado por
por
Entonces
el ángulo
θ4L1θ4L1
está
◦
◦
◦
◦
◦
= 180
180◦ −
4L1 180
θ4L1θ=
−−αα==180
−72.5423
72.5423=◦ 107.4576
= 107.4576◦
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 −3a1 | ≥ |a3 − a2 |
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
(10)
4L2
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,
• Segunda
condición de
lı́mite
interior.como
determinar el ángulo
de oscilación,
vearotabilidad.
la figura 4,Posición
que está
definido
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(10)
φ4 = α − β
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
(13)
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
|6 − 10| |8 − 2| ó 4 6.
◦
◦
(11)
◦
φ4eslabón
= 72.5423
− 33.5573
= 38.985
Entonces el
4 no cumple
con ésta
condición de rotabilidad, por
lo tanto tiene una posición lı́mite interior, vea la Figura 2. El ángulo
correspondiente se obtiene como
(14)
Figure 3:Figure
Mecanismo
plano
de cuatro
barras
unaposición
posición
puntos
muertos
interior.
3: Mecanismo
plano
de cuatro
barras en
en una
de de
puntos
muertos
interior.
a21 + a24 − (a3 − a2 )2
cosβ =
2a1 a4
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
(12)
β = 33.5573◦
Entonces el ángulo θ4L2 está dado
4 por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,
determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, que está definido como
φ4 = α − β
(13)
φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦
(14)
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
La figura 2 muestra una animación del movimiento del mecanismo.
4
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del eslabón motriz.
Figure
4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.
3
Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 3; a2 = 6;(VideoMecanismoUno.wmv)
a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(15)
Figure 5: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.
3
Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 3, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(15)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientes, se obtiene
Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.
5
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientes, se obtiene
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(15)
Figure
Mecanismo plano
plano dedecuatro
barras
Figure
5: 6:
Mecanismo
cuatro
barras.
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15
(16)
dada por a1 = 3 = s; a3 = 11
= L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo
las
Por
lo
tanto,
el
mecanismo
es
de
la
Clase
I,
más
aún,
puesto
que
y
puesto
que
el
dimensiones correspondientes, se obtiene
eslabón más pequeño es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio.
3 ≤ 6 +este
9 resultado
ó 14 ≤empleando
15
En una segunda etapa,11
se+verificará
las condiciones de
rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
5
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(17)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
3 + 6 ≤ 11 + 9 ó 9 ≤ 20
(18)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(19)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 3| ≥ |9 − 11| ó 3 ≥ 2.
(20)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, este
eslabón puede rotar 360◦ .
6
(16)
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(21)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 9 ≤ 6 + 11 ó 12 ≤ 17
(22)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(23)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|9 − 3| ≥ |11 − 6| ó 6 ≥ 5.
(24)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto el
eslabón 4 puede rotar 360◦ .
La figura 3 muestra una animación del movimiento del mecanismo.
(VideoMecanismoDos.wmv)
Figure 7: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.
Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no
es necesario calcular ángulo de oscilación alguno.
4
Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase I.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 4, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.
7
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 6, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.
Figure
Mecanismo plano
cuatro
barras.
Figure
6: 8:Mecanismo
planodede
cuatro
barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Primeramente
Grashoff, esto se
es: determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(25)
+ s ≤ pmás
+ qlargo, más corto e intermedios está
(25)
Para este caso, la selección de losLeslabones
dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones
Para
este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
correspondientes, se obtiene
dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones
correspondientes, se obtiene
7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11
(26)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo
7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11
es doble oscilatorio.
(26)
Por loEn
tanto,
el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo
una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones
de
es doble
oscilatorio.
rotabilidad
para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón
En una
segunda2.etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de
rotabilidad para
los eslabones
de entrada
y de salida.
• Primera
condición
de rotabilidad.
Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
1. Eslabón 2.
(27)
Sustituyendo
las dimensiones
correspondientes,
se obtiene
• Primera
condición
de rotabilidad.
Posición
de puntos muertos exterior
7 + 6 3 + 5 ó 13 8
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(28)
(27)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
Sustituyendo
las dimensiones
correspondientes,
se obtiene
eslabón 2 presenta
una posición
de puntos muertos exterior,
vea la Figura 1,
el ángulo θ2D1 está dado por:
7 + 6 3 + 5 ó 13 8
8
7
(28)
θ2D1 = 75.52◦
(30)
Figure 9: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
a21 + a22 − (a3 + a4 )2
cos
θ
=
(29) interior.
• Segunda condición de rotabilidad.
Posición de puntos muertos
2D1
2a1 a2
Sustituyendo las longitudes de
|a2los
− eslabones
a1 | ≥ |a4se−obtiene
a3 | que
θ2D1 = 75.52◦
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
(31)
(30)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|6 − 7| |5 − 3| ó 1 2.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(32)
(31)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto se
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
presenta
una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 8, el ángulo
θ2D2 está dado por:
|6 − 7| |5 − 3| ó 1 2.
(32)
2
2
2
a1 + a2 −
El eslabón 2 no cumple con ésta condición
de(a
rotabilidad,
por lo tanto se
4 − a3 )
cos θ2D2 =muertos
presenta una posición de puntos
interior,
vea
la
Figura
1, el ángulo
2a1 a2
θ2D2 está dado por:
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D2 = 15.35◦
(34)
8
Figure
10: Posición
de puntos
muertos
interior en
en un
plano
de cuatro
barras. barras.
Figure 8:
Posición
de puntos
muertos
interior
unmecanismo
Mecanismo
plano
de cuatro
9
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz
de rotar 360◦ . El paso final consiste
en determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:
φ2 = θ2D1 − θ2D2
(35)
Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
◦
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz
a21 + a22 −de
(a4rotar
− a3 )2360 . El paso final consiste
cos θ2D2 =
(33)
en determinar el ángulo de oscilación,
vea la2aFigura
9, que está definido como:
1 a2
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
φ2 = θ2D1 − θ2D2
◦
θ2D2 = 15.35
(34)
(35)
Sustituyendo
los valores
los eslabones
La conclusión
es que el de
eslabón
2 es incapazsedeobtiene
rotar 360◦ . El paso final consiste
en determinar el ángulo de oscilación,◦ vea la Figura
1, que◦está definido como:
◦
φ2 = 75.52 − 15.35 = 60.17
φ2 = θ2D1 − θ2D2
(35)
(36)
Figure 11: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano
Figurede9:cuatro
Determinación
del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano
barras.
de cuatro barras.
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
2. Eslabón 4.
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦
(36)
La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
2. Eslabón 4.
a +a ≤a +a
(37)
1
4
2
3
• Primera condición de rotabilidad.
Posición
lı́mite
exterior.
Sustituyendo las dimensionesacorrespondientes
se obtiene
1 + a4 ≤ a2 + a3
(37)
Sustituyendo las dimensiones
7 + 5correspondientes
6 + 3 ó se
12obtiene
9
7 + 5 6 + 3 ó 12 9
(38)
(38)
9 condición de rotabilidad, por lo tanto
El eslabón 4 no cumple con ésta
el eslabón 4 tiene una posición lı́mite exterior, vea la Figura 2, el ángulo
correspondiente está dado por:
10
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
eslabón 4 tiene una posición lı́mite exterior, vea la Figura 10, el ángulo
correspondiente está dado por:
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
cos α =
2a1 a4
(39)
(VideoMecanismoTresI.wmv)
Sustituyendo las longitudes
de los eslabones se obtiene que
α = 95.73◦
(40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦
Figure 12: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento
del eslabón 2.
(41)
Figure
Posición
lı́mite exterior
exterior en
mecanismo
planoplano
de cuatro
barras. barras.
Figure
10: 13:
Posición
lı́mite
enunun
mecanismo
de cuatro
2
a2 + a24 − (aPosición
2 + a3 )
• Segunda condición decosrotabilidad.
lı́mite interior. (39)
α= 1
2a1 a4
|a4los−eslabones
a1 | ≥ |a3se−obtiene
a2 | que
Sustituyendo las longitudes de
Sustituyendo las dimensiones correspondientes
se obtiene
α = 95.73◦
(42)
(40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
|5 − 7| |3 − 6| ó 2 3.
θ
= 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦
(43)
(41)
4L1
De acuerdo con este
resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;
• Segunda
Posición
lı́mitelı́mite
interior.
por
lo tanto, condición
el eslabónde4 rotabilidad.
presenta una
posición
correspondiente, vea
la figura 11, el ángulo β está dado por:
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
a21 + a24 − (ase3
correspondientes
Sustituyendo las dimensiones
cos β =
2a1 a4
(42)
2
−
a2 )
obtiene
(44)
11
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 21.78◦
(45)
|5 − 7| |3 − 6| ó 2 3.
(43)
De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;
por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición lı́mite correspondiente, vea
la figura 2, el ángulo β está dado por:
14: Posición
lı́mite
interioren
enun
un mecanismo
mecanismo plano
de cuatro
barras.
Figure Figure
11: Posición
lı́mite
interior
plano
de cuatro
barras.
y el ángulo θ4L2 está dadocos
por
β=
a21 + a24 − (a3 − a2 )2
2a1 a4
(44)
◦ de los eslabones
◦
◦
◦
Sustituyendoθlas
longitudes
se obtiene
que
4L2 = 180 − β = 180 − 21.78 = 158.21
β = 21.78◦
(46)
(45)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final
consiste en ydeterminar
ángulo
el ángulo θ4L2elestá
dado de
poroscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 está
dado por
◦
θ4L2 = 180◦ φ
−4β=
=α
180
− 21.78◦ = 158.21◦
(46) (47)
−β
La conclusión
es que correspondiente
el eslabón 4 no puede
rotar completamente. El paso final
Sustituyendo
los valores
se obtiene
consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, el ángulo φ4 está
dado por
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦
φ4 = α − β
(48)
(47)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦
(48)
La Figura 4 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.
12
Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo
plano de cuatro barras.
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦
(48)
Figure Figure
12: Determinación
deldelángulo
oscilaciónφ4φdel
eslabón
un mecanismo
15: Determinación
ángulo de
de oscilación
eslabón
4 en 4
unen
mecanismo
4 del
plano
de cuatro
barras.
plano de
cuatro
barras.
5
Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
(VideoMecanismoTresII.wmv)
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyas
longitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
11
Figure 16: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento
del eslabón 4.
5
Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(49)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientes, se obtiene
13
Figure
UnMecanismo
Mecanismo plano
de de
cuatro
barras.
Figure
13:17:Un
plano
cuatro
barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
11 + 6 9 + 7 ó 17 16
(50)
Grashoff, esto es:
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
L+s≤p+q
(49)
En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones de
rotabilidad
para
eslabonesde
delos
entrada
y de salida.
Para este caso,
lalos
selección
eslabones
más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo las
1. Eslabón 2.
dimensiones correspondientes, se obtiene
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
11 + 6 9a+
7 ó 17 16
1 + a2 ≤ a3 + a4
(51)
(50)
Por lo tanto,Sustituyendo
el mecanismo
es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
las dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 9se+ verificará
7 ó 17 empleando
16
(52)
En una segunda etapa, este resultado
las condiciones
de
rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1
1. Eslabón 2.
está dado por:
a2 + a22 − (a3 + a4 )2
(53) exterior
θ2D1 = 1
• Primera condición decosrotabilidad.
Posición de puntos muertos
2a1 a2
Sustituyendo las longitudes dea1los
se obtiene
que
+eslabones
a2 ≤ a3 +
a4
θ2D1 = 138.59◦
Sustituyendo las dimensiones correspondientes,
se obtiene
(51)
(54)
• Segunda condición de
11rotabilidad.
+ 6 9 + 7Posición
ó 17depuntos
16 muertos interior.
|a − a | ≥ |a − a |
(55)
(52)
2
1
4
3
El eslabón 2 no cumple con ésta
condición
de
rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición de puntos muertos
14 exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1
está dado por:
a21 + a22 − (a3 + a4 )2
cos θ2D1 =
(53)
2a1 a2
Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
18: Posición
de puntos
muertos exterior
exterior enen
unun
mecanismo
planoplano
de cuatro
barras. barras.
Figure Figure
14:
Posición
decondición
puntos
muertos
Mecanismo
de cuatro
• Segunda
de rotabilidad.
Posición
de puntos
muertos
interior.
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|a2 − a1 | ≥ |a
(55)
4 − a3 | de puntos muertos interior.
• Segunda condición de rotabilidad.
Posición
|11 − 6| ≥ |7 − 9| ó 5 ≥ 2.
Sustituyendo las dimensiones|acorrespondientes
se obtiene
2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(56)
(55)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición de
rotabilidad.
|11 − 6|correspondientes
≥ |7 − 9| ó 5 se
≥ obtiene
2.
(56)
Sustituyendo
las dimensiones
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2 , vea la Figura 1, el
Por lo tanto, se verifica
que el eslabón 2 cumple con ésta condición(56)
de
cual está definido como: |11 − 6| ≥ |7 − 9| ó 5 ≥ 2.
rotabilidad.
φ2 = 2θ2D1
(57)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición de
rotabilidad.
FigureFigure
15: Ángulo
de de
oscilación
enun
unmecanismo
mecanismo
plano
de cuatro
19: Ángulo
oscilación φ
φ2 en
plano
de cuatro
barras. barras
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras
El paso final consiste en determinar el ángulo
de oscilación φ2 , vea la Figura 15,
φ2 = 2(138.59◦ ) = 277.18◦
(58)
el cual está definido como:
φ2el=ángulo
2θ2D1
El paso
oscilación
φ2 , vea la Figura(57)
15,
La final
Figuraconsiste
1 muestraenel determinar
rango de movimiento
del de
eslabón
2.
el cual está definido
como:
Sustituyendo
los valores
de los eslabones se obtiene
φ15
(57)
2 = 2θ2D1
◦
◦
2(138.59 se
) =obtiene
277.18
(58)
2 =eslabones
Sustituyendo los valores de φlos
2. Eslabón 4.
φ2 = 2(138.59◦ ) = 277.18◦
(58)
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
(VideoMecanismoCuatroI.wmv)
a +a ≤a +a
1
4
2
(59)
3
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 6 + 9 ó 18 15
(60)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
Figureeslabón
20: Movimiento
del mecanismo
plano lı́mite
de cuatro
barras: Rango
movimiento
4 presenta
una posición
exterior,
vea ladeFigura
16, el ángulo
del eslabón 2.
correspondiente α está dado por:
2. Eslabón 4.
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
cos α =
2a1 a4lı́mite exterior.
• Primera condición de rotabilidad. Posición
Sustituyendo las longitudes ade
eslabones
a4 ≤
a2 + a3 se obtiene que
1 +los
(61)
(59)
α = 110.92◦se obtiene
Sustituyendo las dimensiones correspondientes
+ 7 dado
6 + por
9 ó 18 15
Entonces el ángulo θ4L1 11
está
(62)
(60)
◦ de rotabilidad,
◦
◦ tanto el
El eslabón 4 noθ cumple
con◦ ésta condición
por lo
4L1 = 180 − α = 180 − 110.92 = 69.07
eslabón 4 presenta una posición lı́mite exterior, vea la Figura 2, el ángulo
correspondiente α está dado por:
(63)
Figure
Posiciónlı́mite
lı́mite exterior
exterior enenunun
mecanismo
planoplano
de cuatro
barras. barras.
Figure
16: 21:
Posición
mecanismo
de cuatro
16
• Segunda condición de rotabilidad.
Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(64)
cos α =
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
2a1 a4
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 110.92◦
(62)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦
(63)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7 − 11| ≥ |9 − 6| ó 4 ≥ 3.
(65)
Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición de
rotabilidad.
La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El paso
final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4 , vea la figura 2, el cual está
definido como
φ4 = 2α
(66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2(110.92◦ ) = 221.84◦
La Figura 2 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.
17
(67)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2(110.92◦ ) = 221.84◦
(67)
Figure 17:
Ángulo
de oscilación
φ4φdel
eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro
Figure
22: Ángulo
de oscilación
4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro
barras. barras.
(VideoMecanismoCuatroII.wmv)
Figure 23: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento
del eslabón 4.
15
18