Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:Ejemplos.

Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro
barras:Ejemplos.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca.
Universidad de Guanajuato
CP 36730, Salamanca, Gto., México
E-mail: [email protected].
Alejandro Tadeo Chávez.
Instituto Tecnológico Superior de Irapuato.
Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.
CP 36821, Irapuato, Gto., México
Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]
1
Introducción.
En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones de
rotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismos
planos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones crı́ticas.
2
Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 1 cuyas longitudes
son: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff,
esto es:
L+s≤p+q
(1)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo
las dimensiones correspondientes, se obtiene
1
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14
(2)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2 , se concluye
que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.
En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de
rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones crı́ticas de los
eslabones de entrada y de salida.
Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(3)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14
(4)
El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|2 − 10| ≥ |6 − 8| ó 8 ≥ 2.
El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.
2
(6)
Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦ .
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(7)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
10 + 6 2 + 8 ó 16 10
(8)
El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene
como
a2 + a24 − (a2 + a3 )2
(9)
cosα = 1
2a1 a4
Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición lı́mite externa.
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 72.5423◦
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(10)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 10| |8 − 2| ó 4 6.
3
(11)
Entonces el eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por
lo tanto tiene una posición lı́mite interior, vea la Figura 3. El ángulo
correspondiente se obtiene como
cosβ =
a21 + a24 − (a3 − a2 )2
2a1 a4
(12)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 33.5573◦
Entonces el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente, determinar
el ángulo de oscilación, vea la figura 4, que está definido como
φ4 = α − β
(13)
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦
(14)
Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.
4
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.
3
Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(15)
Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15
5
(16)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que y puesto que el
eslabón más pequeño es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de
rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(17)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
3 + 6 ≤ 11 + 9 ó 9 ≤ 20
(18)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(19)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 3| ≥ |9 − 11| ó 3 ≥ 2.
(20)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, este
eslabón puede rotar 360◦ .
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(21)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 9 ≤ 6 + 11 ó 12 ≤ 17
(22)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(23)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|9 − 3| ≥ |11 − 6| ó 6 ≥ 5.
(24)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto el
eslabón 4 puede rotar 360◦ .
Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no es
necesario calcular ángulo de oscilación alguno.
6
4
Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase I.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 6, cuyas longitudes
están dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.
Figure 6: Mecanismo plano de cuatro barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(25)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones
correspondientes, se obtiene
7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11
(26)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo
es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de
rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(27)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
7 + 6 3 + 5 ó 13 8
7
(28)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
eslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 7,
el ángulo θ2D1 está dado por:
cos θ2D1 =
a21 + a22 − (a3 + a4 )2
2a1 a2
(29)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 75.52◦
(30)
Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(31)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 7| |5 − 3| ó 1 2.
(32)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto se
presenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 8, el ángulo
θ2D2 está dado por:
cos θ2D2 =
a21 + a22 − (a4 − a3 )2
2a1 a2
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D2 = 15.35◦
8
(34)
Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦ . El paso final consiste
en determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:
φ2 = θ2D1 − θ2D2
(35)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦
(36)
Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano
de cuatro barras.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(37)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 5 6 + 3 ó 12 9
9
(38)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
eslabón 4 tiene una posición lı́mite exterior, vea la Figura 10, el ángulo
correspondiente está dado por:
cos α =
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
2a1 a4
(39)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 95.73◦
(40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦
(41)
Figure 10: Posición lı́mite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(42)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|5 − 7| |3 − 6| ó 2 3.
(43)
De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;
por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición lı́mite correspondiente, vea
la figura 11, el ángulo β está dado por:
cos β =
a21 + a24 − (a3 − a2 )2
2a1 a4
(44)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 21.78◦
10
(45)
Figure 11: Posición lı́mite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
y el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦
(46)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final
consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 está
dado por
φ4 = α − β
(47)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦
(48)
Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo
plano de cuatro barras.
5
Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyas
longitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
11
Figure 13: Un Mecanismo plano de cuatro barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de
Grashoff, esto es:
L+s≤p+q
(49)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo las
dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 9 + 7 ó 17 16
(50)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de
rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(51)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 9 + 7 ó 17 16
(52)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1
está dado por:
a2 + a22 − (a3 + a4 )2
cos θ2D1 = 1
(53)
2a1 a2
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 138.59◦
12
(54)
Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(55)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11 − 6| ≥ |7 − 9| ó 5 ≥ 2.
(56)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición de
rotabilidad.
Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2 , vea la Figura 15,
el cual está definido como:
φ2 = 2θ2D1
(57)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 2(138.59◦ ) = 277.18◦
2. Eslabón 4.
13
(58)
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(59)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 6 + 9 ó 18 15
(60)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el
eslabón 4 presenta una posición lı́mite exterior, vea la Figura 16, el ángulo
correspondiente α está dado por:
cos α =
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
2a1 a4
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 110.92◦
(62)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦
(63)
Figure 16: Posición lı́mite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7 − 11| ≥ |9 − 6| ó 4 ≥ 3.
(65)
Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición de
rotabilidad.
14
La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El paso
final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4 , vea la figura 17,el cual está
definido como
φ4 = 2α
(66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2(110.92◦ ) = 221.84◦
(67)
Figure 17: Ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro
barras.
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