SecciÛn 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matem·ticos

SecciÛn 1.3
Ecuaciones diferenciales como modelos matem·ticos
Debe recordar:
!
Unidades de medida de peso, masa, densidad.
!
Segunda ley de movimiento de Newton
!
Ley de Hooke
!
Leyes de Kircko§
!
Principio de ArquÌmedes
Modelos matem·ticos
La descripciÛn matem·tica de un sistema de modelos es llamado
un modelo matem·tico y se construye bajo ciertas metas.
La construcciÛn de un modelo matem·tico se inicia con:
1.
2.
IdentiÖcaciÛn de las variables que son responsables al cambio
en el sistema. Inicialmente no se considera incluir todas las
variables. A este nivel se considera el nivel de resoluciÛn del
sistema.
Se hacen un conjunto razonable de asumciones o hipotÈsis a cerca
del sistema que se est·tratando de describir.
Casos
1
PoblaciÛn: Si P (t) denota la poblaciÛn total en el tiempo t y
asumiendo que "la razÛn a la cual una poblaciÛn cambia es proporcional a la poblaciÛn existente en el tiempo t", entonces:
dP
dt
_P
o
1
dP
dt
= kP
Ejemplo: 3 p·g. 27
2
DecaÌmiento radioactivo: Si A es la sustancia presente en el
tiempo t, "la razÛn a la cual la sustancia cambia es proporcional
a la sustancia presente en el tiempo t", entonces:
dA
dt
3
_A
o
dA
dt
= kA
Ley de enfriamiento de Newton: Si T (t) representa la temperatura
de un cuerpo en el tiempo t, Tm la tempertura del medio, "la razÛn
a la cual la temperatura cambia es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del medio y la del cuerpo en el tiempo t",
entonces:
dT
dt
_ T " Tm
dT
dt
o
Ejemplo: 5 p·g. 28
2
= k (T " Tm )
4
Mezclas" Si A(t) representa la cantidad de sal presente en el
tanque en el tiempo t, "la razÛn a la cual la cantidad de sal
cambia es proporcional a la diferencia entre la razÛn a la que
entra menos la razÛn a la que sale en el tiempo t", entonces:
dA
dt
_
!
input rate
de sal
"
"
!
output rate
de sal
Ejemplo: 10 p·g. 28
3
"
o
dT
dt
= k (Rin " Ro )
5
Vaciado de tanques: La ley de Torricelli establece que si v es la
velocidad de salida, h es la altura, g es la aceleraciÛn debido a la
gravedad y Ah es el ·rea del oriÖcio, entonces el cambio en el
volumen del tanque es dado por:
dV
dt
p
= "Ah v = "Ah 2gh
Ejemplo: 14 p·g. 28
6.
Circuitos en series: De acuerdo a la segunda ley de Kircko§ "el
voltaje E(t) en un circuito cerrado es igual a la suma de las caÌdas
de voltaje en el circuito"
Inductor Re sistor Capacitos
2
di
1
L dt
= L ddt2q iR = R dq
q
dt
C
d2 q
dq
1
L dt2 + R dt + C q = E(t)
Ejemplo: 15 p·g. 29
4
7
CaÌdas de cuerpos: Por la segunda ley de Newton la fuerza es
proporcional a la aceleraciÛn
F = ma; m es la masa del cuerpo
2
2
m ddt2s = "mg ) ddt2s = "g
8
CaÌdas de cuerpos y resistencia del aire: La fuerza neta del cuerpo
es F = Fg + FR ; y se tiene:
m dv
= Fg + FR = mg " kv
dt
Se asumiÛ que la fuerza de la gravedad se ejerce en la direcciÛn
positiva.
Ejemplo: 17 p·g. 29
5