El lugar de la realidad matemática - UAM-I

El lugar de la realidad matem¶atica:
una referencia antropol¶ogica¤
p o r L e s lie A . W
h it e
>Existen verdaderas matem¶
aticas en el mundo exterior, para ser all¶³ descubiertas por el hombre, o son
inventos humanos? La realidad matem¶
atica, >posee una existencia y validez independientes de la especie humana, o es una mera funci¶
on del sistema nervioso de los hombres?
¶ [e l Re y Ro jo ] e st¶a so n
\ El
~ a ndo " , dijo T w e e dle de e , \ y >q u¶e c re e s q ue sue n
~ a " .
A lic ia dijo : \ N a die pue de a div ina rlo " .
\ <Sue n
~ a c o ntig o !" , e x c la m¶o T w e e dle de e , da ndo
una triunfa nte pa lma da . \ Y si c e sa ra de so n
~ a r
c o ntig o >d¶o nde c re e s q ue e sta r¶ ³a s?
\ D o nde a ho ra e sto y , c la ro " , re spo ndi¶o A lic ia .
\ <Qu¶e v a !" T w e e dle de e re plic ¶o c o n de spre c io .
\ N o e sta r¶ ³a s e n ning una pa rte . <Ere s ta n s¶o lo
un o bje to de su sue n
~ o !"
\ Si e se Re y se de spe rta ra " , a n
~ a di¶o T w e e die dum, \ te a pa g a r¶ ³a s <z a s! c o mo una buj¶ ³a " .
\ <N o e s c ie rto !" , e x c la m¶o A lic ia c o n indig na c i¶o n. \ A de m¶a s, si y o so y ta n s¶o lo un o bje to de su sue n
~ o , >q u¶e so is vos otros ?, >pue do
sa be rlo ?"
\ Lo mismo " , dijo T w e e dle dum.
\ Lo mismo , lo mismo " , a n
~ a di¶o T w e e dle de e .
Pe ro g rit¶o ta nto q ue A lic ia no pudo e v ita r de c ir
\ <Sile nc io ! Lo v a s a de spe rta r, me te mo , si
ha c e s ta nto ruido !"
\ Bue no , e s in¶util q ue ha ble s de de spe rta rlo " ,
dijo T w e e dle dum, \ si e re s ta n s¶o lo una de la s
c o sa s de su sue n
~ o . Sa be s muy bie n q ue no e re s
de v e ra s" .
\ <Y o so y re a l!" , re puso A lic ia , y c o me nz ¶o a
llo ra r.
\ N o c o nse g uir¶a s ha c e rte m¶a s re a l c o n tus llo ro s" , o bse rv ¶o T w e e dle de e , \ N o ha y po r q u¶e
llo ra r" .
\ Si y o no fue ra re a l" , dijo A lic ia { rie ndo e ntre
sus l¶a g rima s, pue s to do le pa re c ¶ ³a ta n rid¶ ³c ulo {
\ no po dr¶ ³a llo ra r" .
\ >M e ima g ino q ue no te c re e r¶a s q ue e sa s
l¶a g rima s so n re a le s" , le inte rrumpi¶o T w e e die dum e n un to no de g ra n de sd¶e n.
Sobre el tema, la opini¶
on ha estado y est¶
a dividida. La se~
nora Mary Somerville (1780{1872), una inglesa que conoci¶
o o se escribi¶
o con hombres tales
como Sir John Herschel, Laplace, Gay Lussac, W.
Whewell, John Stuart Mill, el Bar¶
on Humbolt, Faraday, Cuvier y De Candolle, y que fue una erudita distinguida1 dijo, expresando una opini¶
on muy generalizada2 :
\Nada hay que haya dado una prueba tan
convincente de la unidad de la Deidad como esas concepciones puramente mentales
de la ciencia num¶erica y matem¶
atica que
lentamente han sido concedidas al hombre,
y que recientemente nos han llegado gracias al C¶
alculo Diferencial, superado ya por
¶
el Algebra
Superior, y que deben de haber
existido previamente en la Mente omniscientemente sublime, desde la eternidad."
Para que no se piense que la se~
nora Somerville pose¶³a un enfoque m¶
as teol¶
ogico que cient¶³¯co, hay que
se~
nalar que fue denunciada personal y p¶
ublicamente
por el De¶
an Cockburn,3 de la Catedral de York, desde el p¶
ulpito, por su apoyo a la ciencia4 .
1 E scr ib i¶
o las ob r as sigu ien tes, algu n as d e las cu ales tu v ier on ed icion es m u ¶ ltip les: T he Mechan ism of t he H eaven s, 1831
(q u e p ar ece ser u n a p op u lar izaci¶
on d e la M¶
ecan ique C ¶
elest e
d e Lap lace); T he C on n ect ion of t he P hy sical S cien ces, 1858;
Molecular an d Micr oscopic S cien ce, 1869; P hy sical G eogr aphy , 1870.
2 P er son al R ecollect ion s of Mar y S ommer ville, p u b licad as
p or su h ija, Mar th a S or n m er v ille, p ¶
agin as 140{141 (B oston ,
1874).
3 S ir W illiam C ock b u r n , 1773{1858. (N ota ed . cast.)
4 Ibid., p ¶
ag. 375. V er tam b i¶
en A . D. W h ite, T he H ist or y of
t he W ar lar e of S cien ce w it h T heology etc¶
eter a. V ol. 1, p ¶
ag.
225, n ota. (N u ev a Y or k , 1930).
D e A lic ia a tra v ¶e s de l e spe jo , de Le w is C a rro ll
¤ A d ap tad o d e en ciclop ed ia S igm a V ol. V I. E l m u n d o d e
las m atem ¶
aticas. E d itor ial Gr ijalb o.
59
60
ContactoS 33, 59{69 (1999)
En Am¶erica, Edward Everett5 (1794{1865), un estudioso distinguido (el primer americano que consigui¶
o un doctorado en Gotinga), re°ejaba la opini¶
on culta de su ¶epoca al decir6 :
\En la matem¶atica pura contemplamos las
verdades absolutas que preexist¶³an en la
mente divina antes de que los luceros del alba cantaran juntos, y que continuar¶an existiendo cuando el u
¶ltimo miembro de la radiante hueste haya ca¶³do del cielo."
En nuestros d¶³as, un prominente matem¶
atico
brit¶
anico, G. H. Hardy, ha expresado la misma opini¶
on en un lenguaje m¶as t¶ecnico y menos ret¶
orico7 :
\Creo que la realidad matem¶atica est¶a fuera de nosotros, y que nuestra funci¶on consiste en descubrirla u observarla, y que
los teoremas que probamos, y que grandilocuentemente describimos como ¿ creacionesÀ son simplemente las notas de nuestras observaciones"8 .
P. W. Bridgman, el distinguido f¶³sico, toma la posici¶
on contraria, al decir que
\Es un truismo, evidente inmediatamente a
la observaci¶on simple, que las matem¶aticas
son una invenci¶on humana"9 .
5 E d w ar d E v er ett fu e u n cien t¶
³¯ co y p ol¶³tico m u y con ocid o
en E E .U U ., y , en cu an to a lo u ¶ ltim o, fu e, en tr e otr as cosas,
Gob er n ad or d e Massach u ssets y S ecr etar io d e E stad o (h izo
las v eces d e Min istr o d e A su n tos E x ter ior es). Desd e 1815,
E v er ett er a cated r ¶
atico d e H ar v ar d . (N ota ed . su eca.)
6 C itad o p or E . T . B ell en T he Queen of S cien ce, p ag. 20
(B altim or e, 1931)
7 G. H . H ar d y , A
Mat hemat ican 's A pology , p ¶
ags. 63{64
(C am b r id ge, 1941).
8 N atu r alm en te, el m atem ¶
atico n o es el u ¶n ico in clin ad o a
cr eer q u e su s cr eacion es son d escu b r im ien tos d e cosas q u e ex isten en el m u n d o ex ter n o. E l f¶³sico te¶
or ico tam b i¶
en lo cr ee as¶³.
S eg¶
u n ob ser v a E in stein , ¿ q u ien es u n d escu b r id or en este ter r en o cr ee q u e los p r od u ctos d e su im agin aci¶
on son tan n ecesar ios y n atu r ales q u e los con sid er a |y q u er r ¶³a q u e los d em ¶
as los
con sid er ar an | n o com o cr eacion es d el p en sam ien to, sin o com o r ealid ad es d ad asÀ . (¿ On th e Meth od of T h eor etical P h y sicsÀ , T he W or id as I see it , p ¶
ag. 30; N u ev a Y or k , 1934. E x iste tr ad u cci¶
on castellan a d e esta ob r a: ¿ C ¶
om o v eo el m u n d oÀ , E d . siglo v ein te)
9 P . W . B r id gm an , T he L ogic of Moder n P hy sies, p ¶
ag. 60.
(N u ev a Y or k , 1927).
Edward Kasner y James Newman declaran que
\Hemos superado la noci¶
on de que las verdades matem¶
aticas poseen existencia independiente y aparte de nuestras mentes.
Hasta nos sorprende que tal noci¶
on haya
podido existir"10 .
Desde el punto de vista psicol¶
ogico y antropol¶
ogico,
esta u
¶ltima concepci¶
on es la u
¶nica cient¶³¯camente sana y v¶
alida. No hay m¶
as razones para creer que las
realidades matem¶
aticas posean una existencia independiente de la mente humana que para creer que
las realidades mitol¶
ogicas posean una existencia separada del hombre. La ra¶³z cuadrada de menos uno
es real. Tambi¶en lo eran Wot¶
an y Osiris. Tambi¶en lo
son los dioses y los esp¶³ritus en los que creen los hombres primitivos de hoy. La cuesti¶
on que se discute no es saber si estas cosas son reales, sino averiguar d¶
onde est¶
a localizada su realidad. Es un error
el identi¯car la realidad con el mundo exterior. Nada m¶
as real que una alucinaci¶
on. Nuestra preocupaci¶
on no consiste en establecer como buena una
opini¶
on sobre la realidad matem¶
atica, y la otra como ilusoria. Lo que nos proponemos es presentar el
fen¶
omeno de la conducta matem¶
atica de tal modo
que aclare, tambi¶en, por qu¶e ha parecido tan plausible y convincente la existencia independiente de las
verdades matem¶
aticas durante tantos siglos, as¶³ como mostrar que todas las matem¶
aticas no son sino un tipo especial de conducta de los primates.
Muchos suscribir¶³an la opini¶
on, sin dudar, de que
\la realidad matem¶
atica debe de estar dentro de nosotros, o bien fuera de nosotros". >Son ¶estas las
u
¶nicas posibilidades? Como dec¶³a Descartes, al hablar de la existencia de Dios,
\es imposible que tengamos la idea o representaci¶
on de cualquier cosa, a menos de que
exista en alg¶
un lugar, ya dentro ya fuera de
nosotros, un original que la comprenda, en
realidad. . . "11 (el subrayado es nuestro).
Sin embargo, por muy irresistible que pueda parecer este pensamiento, nuestro problema es falso, o
por lo menos est¶
a muy equivocado. Las proposiciones siguientes, aunque en apariencia precisamente opuestas entre s¶³, son igualmente v¶
alidas; la una
es tan cierta como la otra.
10 E d w ar d Kasn er y J am es N ew m an , Mat hemat ics an d t he
Imagin at ion , p ¶
ag. 359 (N u ev a Y or k , 1940).
11 P r in cipia philosophiae, Oeuvr es (P ar ¶
³s 1892{1913).
[E x iste tr ad u cci¶
on castellan a d e esta ob r a: \Los p r in cip ios
d e la ¯ losof¶³as", E d . Losad a].
El lugar de la realidad matem¶atica: una referencia antropol¶
ogica. Leslie A. White
1. Las verdades matem¶aticas poseen existencia y
validez independientes de la mente humana.
2. Las verdades matem¶aticas no existen ni son
v¶
alidas fuera de la mente humana.
En realidad, estas proposiciones, de esta guisa, son
equ¶³vocas pues el t¶ermino \la mente humana" es usado en dos sentidos diferentes. En el primer caso \la
mente humana" se re¯ere al organismo humano individual; en el segundo a la especie humana. De este modo ambas proposiciones pueden ser, y son, ciertas. Las verdades matem¶aticas existen en la tradici¶
on cultural en la que nace el individuo, as¶³ que entran en su mente desde fuera. Pero aparte de ello, los
conceptos matem¶aticos no poseen existencia ni signi¯cado, ya que la tradici¶on cultural no existe fuera de
la especie humana. Las realidades matem¶
aticas poseen as¶³ una existencia independiente de la mente individual, pero dependen completamente de la mente de la especie. O, para decirlo antropol¶ogicamente,
las matem¶
aticas, en su totalidad, sus \verdades" y
sus \realidades", son parte de la cultura humana, y
nada m¶
as. Cada individuo nace dentro de una cultura que ya exist¶³a y que es independiente de ¶el. Los
rasgos culturales poseen una existencia fuera del individuo, son independientes de ¶el. El individuo adquiere su cultura mediante el aprendizaje de las costumbres, creencias y t¶ecnicas de su grupo. Mas la
cultura misma no posee, ni puede poseer, existencia separada de la especie humana. Por lo tanto,
las matem¶
aticas |como el lenguaje, las instituciones, las herramientas, las artes, etc.| son un producto de la acumulaci¶on de esfuerzos de la especie
humana durante siglos.
El gran sabio franc¶es Emile Durkheim12 (1858{1917)
fue uno de los primeros en aclarar esto, en las primeras p¶
aginas de Les formes elementaires de la vie
religieuse13 . Y en Les r¶egles de la m¶ethode sociologique14 describi¶o la naturaleza de la cultura y de
sus relaciones con la mente humana15 , Naturalmen12 E m ile Du r k h eim , fam oso soci¶
ologo; cated r ¶
atico d e la U n iv er sid ad d e B u r d eos y d e la S or b on a. (N ota ed . cast.)
13 L es for mes ¶
el¶
emen t air es de la vie r eligieuse (P ar ¶³s,
1912). N ath an A itsh iller {C ou r t se r e¯ er e al tr atam ien to p or
Du r k h eim d e su ar gu m en to en ¿ Geom etr y an d E x p er ien ceÀ (S cien t i¯c Mon t hly , V ol. LX , N .{ 1, p ¶
ags. 63{66, en er o, 1945).
14 L es r µ
egles de la m¶
et hode sociologique (P ar ¶³s, 1895) [E x iste
tr ad u cci¶
on catellan a: \Las r eglas d el m ¶
etod o sociol¶
ogico", E d .
siglo v ein te.]
15 Du r k h eim
n o u s¶
o el t¶
er m in o cult ur a. E n v ez d e ¶
el h ab l¶
o
d e {con cien cia colectiv as, etc. A cau sa d e su d esafor tu n ad a fr aseolog¶³a, Du r k h eim h a sid o m al en ten d id o y h asta acu sad o d e m isticism o. P er o es ob v io p ar a q u ien con ozca tan to a Du r k h eim com o a los an tr op ¶
ologos tales com o R. H . Low ie, A . L. Kr oeb er y C lar k W issier , q u e tod os h ab lan d e la
m ism a cosa: d e la cu ltu r a.
61
te, otros han hecho lo propio16 , pero las formulaciones de Durkheim son especialmente apropiadas para nuestra discusi¶
on y hablaremos por su boca de
vez en cuando.
Cultura es el t¶ermino t¶ecnico usado por el antrop¶
ologo para describir la forma de vida de cualquier pueblo, sea cual sea su primitivismo o desarrollo. Se trata del t¶ermino gen¶erico, mientras que civilizaci¶
on es un t¶ermino especi¯co. El modo de vida, o cultura, de la especie humana, se distingue de
todas las dem¶
as por el uso de los s¶³mbolos. El hombre es el u
¶nico ser vivo que puede libre y arbitrariamente imponer un valor a cualquier cosa, que es
lo que precisamente queremos decir con lo de \usar
s¶³mbolos". La forma m¶
as importante y caracter¶³stica
de su conducta simb¶
olica es el lenguaje articulado.
Todas las culturas, toda civilizaci¶
on, han aparecido, crecido y se han desarrollado como consecuencia de la capacidad simb¶
olica, caracter¶³stica de la especie humana17 .
Cada cultura de la ¶epoca contempor¶
anea, por muy
simple y primitiva que sea, es producto de la AntigÄ
uedad. El lenguaje, herramientas, costumbres,
creencias, formas art¶³sticas, etc. de cualquier pueblo son cosas que han sido transmitidas de generaci¶
on en generaci¶
on, de edad en edad, cambiando y creciendo, pero manteniendo inc¶
olume su conexi¶
on con el pasado. Los pueblos no viven s¶olo de
un h¶
abitat de monta~
nas o valles, lagos, bosques y cielos estrellados, sino en medio de creencias, costumbres, moradas, herramientas y rituales. Adem¶as de
nacer{ en el mundo de la naturaleza, todo individuo
lo hace en un mundo de cultura hecho por el hombre. Es la cultura, m¶
as bien que el h¶
abitat natural,
lo que determina el pensamiento humano, sus sentimientos, su conducta. Est¶
a claro que el medio ambiente natural puede favorecer un tipo de actividad
o hacerla imposible. M¶
as haga lo que haga el hombre, como individuo o como sociedad, est¶
a determinado por la cultura en que ha nacido18 . La cultura es una gran organizaci¶
on de est¶³mulos que desciende a trav¶es de las edades, conformando y dirigiendo la conducta de cada generaci¶
on de organismos humanos. La conducta humana es una respuesta a estos est¶³mulos culturales que asen a cada organismo en su nacimiento |o desde el momento de su concepci¶
on, o aun antes| y lo mantienen cogido hasta su muerte, y hasta m¶
as all¶a de
16 V er , p or ejem p lo, E . B . T y lor , A n t hr opology (Lon d r es,
1881); R. H . Low ie, C ult ur e an d E t hn ology , N u ev a Y or k , 1917;
A . L. Kr oeb er , \T h e S u p er or gan ic", (A mer ican A n t hr opologist , V ol. 19, p ¶
agin as 163{213; 1917); C iar k W issler , Man an d
C u ltu r e (N u ev a Y or k , 1923).
18 Los in d iv id u os v ar ¶
³an con tin u am en te d e con stitu ci¶
on , y ,
p or con sigu ien te, p u ed en v ar iar su s r esp u estas a los est¶³m u los
cu ltu r ales.
62
ella, a trav¶es de las costumbres funerarias y las creencias acerca del pa¶³s de los muertos.
El lenguaje que habla un pueblo es la respuesta a los
est¶³mulos lingÄ
u¶³sticos que se producen sobre los varios organismos desde su infancia y ni~
nez. Un grupo
de organismos moldea seg¶
un los est¶³mulos de la lengua china; otro, seg¶
un los de la inglesa. El organismo no puede escoger, y una vez puesto en el molde
no puede cambiar. Aprender a hablar una lengua extranjera sin acento despu¶es de que uno ha madurado, y hasta en muchos casos, el imitar un dialecto de
la propia, es extraordinariamente dif¶³cil, si no imposible para la mayor¶³a. Lo mismo ocurre en otros terrenos de la conducta. Un pueblo practica la poliginia, posee clanes matrilineales, quema a sus muertos, no come tocino ni cacahuetes, cuenta decimalmente, pone mantequilla en el t¶e, tat¶
ua su pecho, usa
lazos alrededor del cuello, cree en los demonios, vacuna a los ni~
nos, quita el cuero cabelludo a sus vencidos o los juzga como criminales de guerra, presta
las mujeres a los hu¶espedes, usa reglas de medir, juega al pinacle, o extrae ra¶³ces cuadradas, s¶olo si la cultura en que ha nacido posee tales rasgos. Es naturalmente obvio que las gentes no escogen su cultura, sino que la heredan. Es casi obvio que las gentes se comportan como lo hacen porque poseen un
cierto tipo de cultura, o m¶as exactamente, son pose¶³das por ella.
Para volver a nuestro tema: las matem¶aticas son, naturalmente, parte de la cultura. Cada pueblo hereda de sus predecesores, o vecinos contempor¶
aneos,
adem¶
as de los modos de cocinar, casarse, adorar,
etc¶etera, unos modos de contar, calcular y todo lo
dem¶
as que hace la matem¶atica. Las matem¶
aticas
son, de hecho, una forma de conducta, son las respuestas de un tipo particular de organismo primate frente a un grupo de est¶³mulos. Tanto si la gente cuenta de cinco en cinco, de diez en diez, de doce en doce, o de veinte en veinte, o si no posee palabras para los n¶
umeros cardinales m¶as all¶a de cinco,
como si posee las concepciones matem¶aticas m¶
as modernas y desarrolladas, su conducta matem¶atica queda determinada por la cultura matem¶atica que la
abarca.
Podemos ver ahora por qu¶e creci¶o y °oreci¶o la creencia de que las verdades y las realidades matem¶
aticas
existen fuera de la mente humana. Es cierto que
existen fuera de cada organismo humano. Entran
en la mente individual, como dice Durkheim, desde fuera. Dejan se~
nal en su organismo, para seguir citando a Durkheim, al igual que las fuerzas
c¶osmicas. Cualquier matem¶atico que se observe a s¶³
mismo y a los dem¶as ver¶a que ello es as¶³. Las matem¶
aticas no se segregan, como la bilis; se beben, como el vino. Los hotentotes j¶ovenes crecen y se condu-
ContactoS 33, 59{69 (1999)
cen, matem¶
aticamente y en otros sentidos, en obediencia y conformidad con los rasgos matem¶
aticos
|y los dem¶
as| de su cultura. Lo mismo ocurre
con j¶
ovenes ingleses o yanquis. No hay ni un adarme de pruebas anat¶
omicas o psicol¶
ogicas de que existan diferencias innatas, biol¶
ogicas o raciales, en lo
que se re¯ere a la conducta matem¶
atica o a cualquier otra clase de conducta. Si Newton hubiera sido educado en el seno de la cultura hotentote hubiera calculado como un hotentote. Hombres como G.
H. Hardy, que saben por experiencia propia, as¶³ como por la observaci¶
on de los dem¶
as, que las realidades matem¶
aticas entran en la mente desde fuera, de
un modo comprensible, aunque err¶
oneamente, concluyen que tienen su origen y residencia en el mundo exterior, independiente del hombre. Est¶
an equivocados, porque la alternativa a \fuera de la mente
humana", o sea, la mente individual, no es \el mundo externo independiente del hombre" sino la cultura, el cuerpo de pensamientos y comportamientos tradicionales de la especie humana.
La cultura a menudo nos hace jugarretas y tergiversa nuestro pensamiento. Tendemos a encontrar en
la cultura expresiones directas de la \naturaleza humana" por su parte, y del mundo externo por otra.
As¶³, cada pueblo est¶
a dispuesto a creer que sus propias costumbres y creencias son expresiones directas
y ¯eles de la naturaleza humana. Creen que la \naturaleza humana" consiste en practicar la monogamia, tener celos de la esposa, enterrar a los muertos,
beber leche, aparecer siempre vestidos en p¶
ublico,
llamar \primos" a los hijos del hermano de la madre, gozar exclusivamente del fruto del propio esfuerzo, etc¶etera, si es que poseen estas costumbres. Pero la etnograf¶³a nos dice que existe una divergencia
de costumbres enorme entre los pueblos de la tierra:
existen pueblos que desprecian la leche, que practican la poliandria, prestan sus esposas como se~
nal
de hospitalidad, consideran con horror la inhumaci¶
on, aparecen en p¶
ublico sin vestido y sin vergÄ
uenza, llaman a los hijos del hermano de la madre \hijo" e \hija" y ponen los frutos de sus esfuerzos a
disposici¶
on de sus pr¶
ojimos. No hay costumbre ni
creencia que pueda decirse que expresa la \naturaleza humana" m¶
as que ninguna otra. De modo similar se ha pensado que ciertas concepciones del mundo externo eran tan simples y fundamentales que expresaban de un modo ¯el e inmediato la estructura de la Naturaleza. Se tiende a pensar que el amarillo, el azul y el verde son rasgos del mundo externo
que cualquier persona normal podr¶³a distinguir, hasta que uno se entera de que los indios Creek y Natchez no distingu¶³an el amarillo del verde; ten¶³an una
sola palabra para ambos. Del mismo modo los indios de Choctaw, T¶
unica y Pueblo Keresan y muchos otros no hac¶³an distinciones terminol¶
ogicas en-
El lugar de la realidad matem¶atica: una referencia antropol¶
ogica. Leslie A. White
tre azul y verde19 .
Tambi¶en el gran Newton fue enga~
nado por su cultura. Dio por sentado que el concepto de espacio absoluto correspond¶³a directa e inmediatamente a algo del mundo externo; crey¶o que el espacio
pose¶³a una existencia independiente de la mente humana. Dijo \yo no forjo hip¶otesis". Mas el concepto de espacio es una creaci¶on del intelecto, del mismo tipo que lo son otros conceptos. El mismo Newton no forj¶
o la hip¶otesis del espacio absoluto. Le vino de fuera, como dice adecuadamente Durkheim.
Aunque afecta al organismo comme les forces cosmiques, tiene origen diferente: no el cosmos, sino la cultura del hombre.
Durante siglos se pens¶o que los teoremas de Euclides eran meras fotograf¶³as conceptuales, por as¶³ decir, del mundo externo; se supon¶³a que ten¶³an una validez independiente de la mente humana; que hab¶³a
algo necesario e inevitable en ellas. La invenci¶
on de
las geometr¶³as no eucl¶³deas por Lobatchewsky, Riemann y otros ha eliminado esta idea por completo. Ahora est¶a claro que conceptos tales como espacio, l¶³nea recta, plano, etc¶etera, no son m¶
as necesarios ni inevitables como consecuencias de la esructura del mundo externo que lo que lo puedan ser
conceptos tales como verde y amarillo, o el t¶ermino
de relaci¶
on con que uno designa al hermano de su
madre.
Para citar de nuevo a Einstein20 :
\Llegamos ahora a la cuesti¶on: >qu¶e es respectivamente cierto o necesario, a priori, en
geometr¶³a (doctrina del espacio) o en sus
fundamentos? Antes cre¶³amos que todo lo
era; ahora, que nada. El concepto de distancia es ya l¶ogicamente arbitrario. No tiene por qu¶e haber cosas que a ¶el correspondan, ni aproximadamente."
Kasner y Newman dicen que
\la geometr¶³a no eucl¶³dea constituye una prueba de que las matem¶
aticas
. . . son producto del trabajo humano, sujetas s¶olo a las limitaciones de las leyes del pensamiento."21
19 C om p
T er m s", P
A n d let t er
20 A r ticu
ed ici¶
on
¶r ese con Leslie A . W h ite, \Ker esan In d ian C olor
a
aper s of t he Michigan A cademy of scien ce, A r t s.
s, V ol. X X V III, p ags. 559{563; 1942 (1943).
lo \S p ace{tim e". E n ciclopedia Br it an n ica, 14a.
63
Lejos de poseer existencia y validez fuera de la especie humana, todos los conceptos matem¶
aticos son
\invenciones libres del intelecto humano", para usar
una frase con la que Einstein caracteriza los conceptos y los principios fundamentales de la f¶³sica.22 Pero como los conceptos matem¶
aticos y cient¶³¯cos han
entrado en cada mente individual desde fuera, todos han concluido, hasta momentos recientes, que
proven¶³an del mundo exterior en vez de la cultura creada por el hombre. Pero el concepto de cultura, como noci¶
on cient¶³¯ca, es tambi¶en un invento reciente.
La naturaleza cultural de nuestros conceptos y creencias cient¶³¯cos queda reconocida por Erwin
SchrÄ
odinger, ganador del Premio Nobel, en el pasaje siguiente.23
\>De d¶
onde procede la generalizada creencia de que la conducta de las mol¶eculas est¶a
determinada por una causalidad absoluta,
y de d¶
onde la convicci¶
on de que lo contrario es impensable? Simplemente de la costumbre, heredada durante miles de a~
nos, de
pensar en t¶erminos casuales, que es lo que
hace que la idea de sucesos no determinados
por una causalidad absoluta y primaria, parezca completamente est¶
upida, un absurdo
l¶
ogico" (los subrayados, de SchrÄ
odinger).
Del mismo modo Henri Poincar¶e a¯rma que los axiomas de la geometr¶³a son meras \convenciones", o sea,
costumbres; no son
\ni juicios sint¶eticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones. . . "24
Pasemos ahora a otro aspecto de las matem¶aticas.
que tambi¶en ilumina el concepto de cultura. Dijo
una vez Heinrich Hertz, el descubridor de las ondas
del ¶eter.25
\Uno no puede evitar el sentimiento de
que estas f¶
ormulas matem¶
aticas poseen una
existencia independiente y una inteligencia
propia, que son m¶
as sabias que nosotros,
m¶
as todav¶³a que sus descubridores (sic), y
22 \On
th e Meth od of T h eor etical P h y sic" en T he W or ld as
1 S ee lt , p ¶
ag. 33 (N u ev a Y or k , 1934).
23 S cien ce an d t he H uman T emper amen t , p ¶
ag. 115 (Lon d r es, 1935).
24 \On th e N atu r e of A x iom s" en S cien ce an d H y pot hesis
p u b licad o en T he Foun dat ion s of S cien ce (T h e S cien ce P r ess,
N u ev a Y or k , 1913).
25 C itad o p or E . T . B ell, Men
of Mat hemat ies, p ¶
ag. 16
(N u ev a Y or k , 1937).
64
ContactoS 33, 59{69 (1999)
que nos entregan algo m¶as de lo que fue
puesto en ellas al principio."
Aqu¶³ volvemos a encontramos con la noci¶
on de
que las f¶
ormulas matem¶aticas poseen una existencia \propia" (o sea, independiente de la especie humana) y que son \descubiertas" en vez de ser hechas por el hombre. El concepto de cultura aclara toda la situaci¶on. Las f¶ormulas matem¶aticas, como otros aspectos de la cultura poseen, en cierto sentido, \una existencia independiente y una inteligencia propia". No es que sea independiente de la especie humana, est¶a claro, sino de cualquier individuo o grupo, raza o naci¶on. En cierto sentido posee una \inteligencia propia". Es decir, se conduce, crece y cambia seg¶
un principios que son inherentes al lenguaje mismo, no a la mente humana. A medida que el hombre se vuelve consciente del lenguaje, y que la ¯lolog¶³a progresa, se van descubriendo
los principios de la conducta lingÄ
u¶³stica, y se van formulando sus leyes.
Lo mismo ocurre con los conceptos matem¶aticos y
cient¶³¯cos. En sentido muy real poseen vida propia.
Esa es la vida de la cultura, de la tradici¶on cultural.
Como Durkheim lo expresa:
\Las formas colectivas de actuar y pensar
poseen una realidad fuera de los individuos
que, en cada momento, se ci~
nen a ella. Estas maneras de pensar y actuar existen por
s¶³ mismas."26
Ser¶³a posible describir de un modo completo y adecuado la evoluci¶on de las matem¶aticas, de la f¶³sica,
del dinero, de la arquitectura, de las hachas, de los
arados, del lenguaje o de cualquier otro aspecto de
la cultura sin aludir tan si{ quiera a la especie humana o a cualquier porci¶on de la misma. En realidad, la
forma m¶
as efectiva de estudiar cient¶³¯camente la cultura es proceder como si la especie humana no existiera. Claro que es conveniente referirse a la naci¶
on que acu~
n¶
o moneda por vez primera o al hombre
que invent¶
o el c¶
alculo o la desmotadora de algod¶
on.
Pero no es necesario, ni relevante, hablando de un
modo estricto. Los cambios fon¶eticos del indoeuropeo presentados por la ley de Grimm27 tan s¶
olo tie26 L
es r ¶
egles de la m¶
et hode sociologique (P ar ¶³s, 1895); p r efacio a la segu n d a ed ici¶
on .
27 J acob o Gr im m
(1785{1863), u n o d e los c¶
eleb r es h er m an os au tor es d e cu en tos, q u e fu e, ad em ¶
as, u n o d e los fu n d ad or es d e la ¯ lolog¶³a h ist¶
or ica y com p ar ativ a; estab leci¶
o las ley es
d el llam ad o sistem a fon ¶
etico ger m ¶
an ico, seg¶
u n las cu ales u n a
ser ie d e con son an tes su fr ier on cier tos cam b ios al p asar d esd e la len gu a in d oeu r op ea, h asta llegar a la len gu a ger m ¶
an ica
m ¶
as an tigu a, sin cr u zar se n u n ca. E sta teor ¶³a fon ¶
etica r ecib e, tam b i¶
en , el n om b r e d e L ey de G r imm. (N ota ed . su eca.)
nen que ver con fen¶
omenos lingÄ
u¶³sticos, con sonidos, y con sus permutaciones, combinaciones e interacciones. Estos pueden tratarse sin referencia alguna a las caracter¶³sticas anat¶
omicas, ¯siol¶
ogicas o psicol¶
ogicas de los organismos de los primates que lo
han producido. Lo mismo ocurre con la matem¶
atica
y la f¶³sica. Los conceptos poseen una vida propia.
Para citar a Durkheim de nuevo,
\Una vez nacidos (los conceptos), obedecen a leyes propias, se atraen entre s¶³, se rechazan mutuamente, se dividen y se multiplican. . . "28
Las ideas, como cualesquiera otros rasgos culturales,
interaccionan entre s¶³, formando de ese modo nuevas
s¶³ntesis y combinaciones. Las leyes del movimiento que atribuimos a Newton son s¶³ntesis de conceptos relacionados con Galileo, Kepler y otros. Algunas ideas acerca de los fen¶
omenos el¶ectricos van del
\as¶³ llamado estadio de Faraday" hasta los de Clerk
Maxwell, H. Hertz, Marconi y el moderno radar.
\La aplicaci¶
on de la mec¶
anica de Newton a
masas distribuidas en forma continua llev¶
o
inevitablemente al descubrimiento y aplicaci¶
on de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, las cuales, a su vez, suministraron un lenguaje para las leyes de la
teor¶³a de campos."29 (Subrayado nuestro.)
La teor¶³a de la relatividad, como observa Einstein,
\no fue un acto revolucionario, sino la continuaci¶on
natural de una l¶³nea que puede trazarse a lo largo de
los siglos".30 M¶
as concretamente \la teor¶³a de Clerk
Maxwell y Lorentz llev¶
o inevitablemente a la teor¶³a
especial de la relatividad".31
De este modo vemos no s¶
olo que todo sistema de
pensamiento es consecuencia de una experiencia previa, sino que ciertas ideas llevan inevitablemente a
nuevos conceptos y sistemas. Cualquier herramienta, creencia, ¯losof¶³a, costumbre o instituci¶
on es una
28 L es for mes ¶
el¶
emen t air es de la vie r eligieuse, p ¶
ag. 424;
v er tam b i¶
en Les r ¶
egles d e la m ¶
eth od e sociologiq u e, p r efacio
a la 2a. ed ., d on d e d ice \n o d eb em os in v estigar . . . c¶
om o las
r ep r esen tacion es sociales (o sea, los r asgos cu ltu r ales) se u n en
o r ep elen en tr e s¶³, c¶
om o se fu n d en o sep ar an las u n as d e las
otr as".
29 E in stein , \T h e Mech an ics of N ew ton an d T h eir in ° u en ce
on th e d ev elop m en t of T h eor etical P h y sics" en T he W or ld as
I see lt , p ¶
ag. 58.
30 \On th e T h eor y of Relativ ity ", en T he W or ld as I see lt ,
p ¶
ag. 69.
31 E in stein , \T h e Mech an ics of N ew ton . . . etc.", p ¶
ag. 57.
El lugar de la realidad matem¶atica: una referencia antropol¶
ogica. Leslie A. White
mera consecuencia de ciertos rasgos culturales previos. Por lo tanto, una comprensi¶on de la naturaleza de la cultura esclarece, por ejemplo, por qu¶e
Hertz pensaba que \las f¶ormulas matem¶aticas poseen una existencia independiente y una inteligencia que les es propia".
Su creencia de que \obtenemos m¶as de ellas que lo
que originalmente en ellas se puso" procede del hecho de que en la interacci¶on de los rasgos culturales se forman nuevas s¶³ntesis no anticipadas por \sus
descubridores" o que entra~
naban elementos que no
eran vistos o estimados hasta que la futura evoluci¶
on los hizo m¶as expl¶³citos. A veces, los rasgos novedosos de una s¶³ntesis reci¶en formada no son vistos ni por aquella persona en cuyo sistema nervioso ¶esta tuvo lugar. As¶³ nos dice Jacques Hadamard acerca de los numerosos casos en que dej¶
o
de percibir cosas \que deber¶³an haberle sorprendido. . . y deslumbrado por completo"32 . Cita muchos
casos en que no vio \consecuencias obvias e inmediatas de las ideas contenidas"33 en el trabajo emprendido, dej¶andolas para que otros las \descubrieran" m¶
as tarde.
La contradicci¶on en la opini¶on de Hertz, Hardy y
otros, de que las verdades matem¶aticas son descubiertas en vez de hechas por el hombre, queda resuelta pues con el concepto de cultura. Son ambas cosas: son descubiertas, pero son tambi¶en hechas por el hombre. Son un producto de la mente de la especie humana, pero son encontradas o
descubiertas por cada individuo en la cultura matem¶
atica donde est¶a inmerso. El proceso del crecimiento matem¶atico es, como hemos indicado, una interacci¶
on de elementos matem¶aticos entre s¶³. Naturalmente, el proceso requiere una base en las mentes humanas, del mismo modo que una conversaci¶
on telef¶
onica requiere alambres, receptores, transmisores, etc¶etera. Pero no debemos considerar las
mentes humanas para explicar la invenci¶on y el crecimiento matem¶atico, del mismo modo que tampoco consideraremos los alambres telef¶onicos si deseamos explicar la conversaci¶on que conducen. La prueba de ello yace en el hecho de que muchas invenciones (o \descubrimientos") en las matem¶aticas fueron
hechos a la vez por dos o m¶as personas que trabajaban con independencia34 . Si estos descubrimien32 J acq u es H ad an iar d , T he P sy chology of In ven t ion in t he
Mat hemat ical Field, p ¶
ag 50 (P r in ceton , 1945) [E x iste tr ad u cci¶
on castellan a: \P sicolog¶³a d e la in v en ci¶
on en el cam p o m atem ¶
atico].
33 Ibid., p ¶
ag. 51.
34 Los d atos sigu ien tes p r oced en d e u n a lar ga y v ar iad a lista p u b licad a en S ocial C h an ge p or W . F. Ogb u r n (N u ev a
Y or k , 1923), p ¶
ags. 90{102 en los cu ales se h ace u n a lista d e in v en tos y d escu b r im ien tos sim u lt¶
an eos en los cam p os
d e la q u ¶³m ica, f¶³sica, b iolog¶³a, in v en tos m ec¶
an icos, etc., as¶³ co-
65
tos hubieran sido realmente causados o determinados por mentes individuales, tendr¶³amos que explicarlos como coincidencias. Estas numerosas y repetidas coincidencias, sobre la base de las leyes del azar,
ser¶³an milagrosas. Pero la explicaci¶
on cronol¶ogica
hace que toda la situaci¶
on sea puesta en claro inmediatamente. Cada individuo nace en el seno de una
organizaci¶
on preexistente de creencias, herramientas, costumbres e instituciones. Estos rasgos culturales forman v moldean la vida de cada persona, le
dan contenido y direcci¶
on. Las matem¶
aticas, claro est¶
a, son una de las corrientes de la cultura total.
Act¶
uan sobre los individuos en grado variable, y responden seg¶
un sus constituciones. Las matem¶aticas
son la conducta org¶
anica que constituye una respuesta a la cultura matem¶
atica.
Mas ya hemos indicado que dentro del acervo de cultura matem¶
atica existen acciones y reacciones entre
los diversos elementos. Un concepto reacciona frente
a otro; las ideas se mezclan, se funden y forman nuevas s¶³ntesis. Este proceso avanza a trav¶es de la cultura con m¶
as rapidez e intensidad en algunas zonas
(normalmente el centro) que en otras (la periferia).
Cuando este proceso de interacci¶
on y desarrollo alcanza cierto punto, se forman nuevas s¶³ntesis35 . Estas s¶³ntesis son verdaderos sucesos, y por ende puem o en m atem ¶
aticas.
Ley d e los cu ad r ad os in v er sos: N ew ton , 1666; H alley , 1684.
In tr od u cci¶
on d e la fr acci¶
on d ecim al: P itiscu s, 1608{12; Kep ler , 1616; N ap ier , 1616{1617.
Logar itm os: B u r gi 1620; N ap ier {B r iggs, 1614.
C ¶
alcu lo: N ew ton , 1671; Leib n iz, 1676.
P r in cip io d e los m ¶³n im os cu ad r ad os: Gau ss, 1809; Legen d r e,
1806.
T r atam ien to d e los v ector es sin el u so d e los sistem as coor d en ad os: H am ilton , 1843; Gr assm an , 1843; y otr os, 1843.
H ip ¶
otesis d e la con tr acci¶
on : H . A . Lor en tz, 1895; Fitzger ald ,
1895.
Fu n cion es d ob le \µ"; Gop el, 1847; Rosen h ain , 1847.
Geom etr ¶³a con ax iom a con tr ad ictor io d el ax iom a d e la p ar alela d e E u clid es: Lob atch ev sk y , 1836{40; B oly ai, 1826{33;
Gau ss 1829.
Recti¯ caci¶
on d e la p ar ¶
ab ola sem ic¶
u b ica. V an H eu r aet, 1659;
N eil, 1657; Fer m at, 1657{59.
Ley geom ¶
etr ica d e la d u alid ad . On celete, 1838; Ger gon e,
1838.
C om o ejem p los d e sim u ltan eid ad en otr os cam p os p od em os
citar :
Descu b r im ien to d el ox ¶³gen o: S ch eele, 1774; P r iestley , 1774.
Licu efacci¶
on d el ox ¶³gen o: C ailletet, 1877; P ictet, 1877.
Ley p er i¶
od ica: De C h an cou r tois, 1864; N ew lan d s, 1864; Loth ar Mey er 1864.
Ley d e la p er iod icid ad d e los elem en tos at¶
om icos: Loth ar Mey er , 1869; Men d eleif, 1869.
Ley d e la con ser v aci¶
on d e la en er g¶³a: May er , 1843; J ou le,
1847, H elm h olz, 1847; C old in g, 1847: T h om son , 1847.
P od r ¶³an citar se m u ch os otr as. La lista d e Ogb u r n , ar r ib a citad a, n o p r eten d e ser com p leta.
35 H ad am ar d titu la u n cap ¶
³tu lo d e su lib r o: \E l d escu b r im ien to com o s¶³n tesis."
66
den localizarse en el tiempo y en espacio; es decir,
en los cerebros humanos. Teniendo en cuenta que
el proceso cultural ha ido existiendo uniformemente en una amplia zona de gran poblaci¶on, la nueva s¶³ntesis tiene lugar en un cierto n¶
umero de cerebros a la vez. Como habitualmente somos antropoc¶entricos en nuestro modo de pensar, solemos decir que tales hombres hicieron tales descubrimientos. Y en sentido biol¶ogico es cierto. Pero si queremos explicar el descubrimiento como un suceso en
el desarrollo de las matem¶aticas tenemos que eliminar por completo al individuo. Desde este punto de
vista, el individuo no hizo descubrimiento alguno, si¶ fue el lugar,
no que ¶este fue algo que le ocurri¶o. El
tan s¶
olo, donde cay¶o el rayo. Un \descubrimiento"
simult¶
aneo hecho por tres hombres que trabajan \independientemente" signi¯ca simplemente que el rayo cultural{matem¶atico puede caer en m¶as de un lugar a la vez. En el proceso de crecimiento cultural, a trav¶es del invento o del descubrimiento, el individuo es meramente el medio neurol¶ogico donde
crece la \cultura"36 de las ideas. El cerebro humano es un mero agente catal¶³tico, por as¶³ decir,
del proceso cultural. Este proceso no puede existir fuera del tejido neural, pero la funci¶on del sistema nervioso del hombre consiste meramente en posibilitar la interacci¶on y res¶³ntesis de los elementos
culturales.
Est¶
a claro que los individuos di¯eren del mismo modo que di¯eren entre s¶³ los agentes catal¶³ticos, los
conductores de la electricidad del rayo, u otros semejantes. Una persona, un conjunto cerebral, puede ser un medio mejor para el crecimiento de una cultura matem¶
atica que otra. El proceso cultural matem¶
atico, por lo tanto, es m¶as probable que seleccione un conjunto cerebral en vez de otro como su
medio de expresi¶on. Pero es f¶acil exagerar el papel de los cerebros superiores en el avance cultural. No es solo la superioridad cerebral lo que cuenta. Debe de existir una yuxtaposici¶on con el proceso cultural interactivo, sintetizador. Si faltan los
elementos culturales, los cerebros superiores no sirven de nada. 10,000 a~
nos antes del nacimiento de
Cristo hab¶³a cerebros tan buenos como el de Newton, o en la ¶epoca de la conquista normanda de Inglaterra, o en cualquier otro per¶³odo de la historia
de aquel pa¶³s. Todo cuanto sabemos acerca del hombre f¶
osil, la prehistoria de Inglaterra, y la neuroanatom¶³a del homo sapiens servir¶a de apoyo a esta a¯rmaci¶
on. Hab¶³a cerebros tan buenos como el de Newton en la Am¶erica aborigen o en las entra~
nas de
¶
Africa.
Pero el c¶alculo no fue inventado ni descubierto en estos lugares y ¶epocas porque faltaban los
36 U sam os ¿ cu ltu r aÀ
aq u ¶³ en su sen tid o b acter iol¶
ogico: u n
cu ltiv o d e b acilos q u e cr ecen en u n m ed io gelatin oso.
ContactoS 33, 59{69 (1999)
elementos culturales necesarios. Y al rev¶es, cuando existen los elementos culturales, el descubrimiento del invento se hace tan inevitable que tiene lugar independientemente en dos o tres sistemas nerviosos a la vez. Si Newton hubiera sido educado como pastor, la cultura matem¶
atica de Inglaterra hubiera hallado otros cerebros en los cuales hubiera
logrado la nueva s¶³ntesis. El cerebro de un hombre puede ser mejor que el de otro, del mismo modo que su o¶³do puede ser m¶
as agudo o m¶
as grandes sus pies. Mas al igual que un \gran" general es aquel cuyos ej¶ercitos son victoriosos, un genio, matem¶
atico o no, es una persona en cuyo sistema nervioso tiene lugar una s¶³ntesis cultural importante; es el lugar cultural de un suceso que hace ¶epoca en la historia de la cultura.37
La naturaleza del proceso cultural y su relaci¶on
con las mentes humanas queda bien ilustrada por
la teor¶³a de la evoluci¶
on en biolog¶³a. Como se sabe, esta teor¶³a no se origin¶
o con Darwin. En una u
otra forma la encontramos en las reacciones neurales de muchos otros antes que ¶el naciera: Bu®on, Lamarck, Erasmus Darwin, y muchos otros. Virtualmente todas las ideas a las que juntas llamamos darwinismo se encuentran en los escritos de J. C. Prichard, un m¶edico y antrop¶
ologo ingl¶es (1786{1848).
Estos varios conceptos interaccionaban entre s¶³ y sobre las creencias teol¶
ogicas de la ¶epoca, compitiendo, luchando, modi¯c¶
andose, combin¶
andose, resintetiz¶
andose, etc., a lo largo de las d¶ecadas. Pero lleg¶o
el momento, o sea, se alcanz¶
o el nivel de desarrollo en el cual el sistema teol¶
ogico hizo crisis y la marea creciente de interpretaci¶
on cient¶³¯ca inund¶o el
terreno.
Una vez m¶
as la nueva s¶³ntesis de conceptos hall¶o
expresi¶
on simult¶
aneamente en los sistemas nerviosos
de dos hombres que trabajaban independientemente
el uno del otro: A. R. Wallace y Charles Darwin. El
evento ten¶³a que suceder cuando ocurri¶
o. Si Darwin
hubiera muerto de ni~
no, el proceso cultural hubiera
hallado otro medio neural de expresi¶
on.
37 E l d istin gu id o an tr op ¶
ologo A . L. Kr oeb er d e¯ n e a los gen ios com o \los in d icad or es d e la r ealizaci¶
on d e p atr on es coh er en tes d e v alor cu ltu r al" C on ¯gur at ion s of C ult ur e G r ow t h,
p ¶
ag. 839 (B er k eley , 1944).
El lugar de la realidad matem¶atica: una referencia antropol¶
ogica. Leslie A. White
Esta ilustraci¶on es particularmente interesante porque poseemos un relato vivido, con las propias palabras de Darwin, del modo en que ocurri¶o el \descubrimiento" (o sea, la s¶³ntesis de ideas):
\En octubre de 1838 |escribi¶o Darwin en
su resumen autobiogr¶a¯co| es decir, quince meses despu¶es de haber empezado mi investigaci¶on sistem¶atica, se me ocurri¶
o leer
por casualidad y para entretenerme los escritos de Malthus sobre la poblaci¶on y, como quiera que estuviera bien preparado para estimar la lucha por la vida que ocurre en todas partes a causa de mi continua observaci¶on de los h¶abitos de los animales y las plantas, en seguida me vino a
la mente que bajo estas circunstancias las
variaciones favorables tender¶³an a preservarse y las desfavorables a destruirse. El
resultado ser¶³a la formaci¶on de una nueva especie. Por ¯n hab¶³a conseguido una
teor¶³a con la cual trabajar. . . 38 " (Subrayados nuestros).
¶
Esta
es una revelaci¶on extremadamente interesante. Cuando Darwin ley¶o a Malthus, su mente estaba llena de varias ideas (o sea, hab¶³a sido moldeado, formado, animado y equipado por el medio cultural en el que hab¶³a nacido y criado, uno de cuyos aspectos signi¯cativos fueron sus medios independientes; si hubiera sido obligado a ganarse la vida como contable hoy quiz¶a hablar¶³amos de \hudsonismo" en vez de darwinismo). Estas ideas reaccionaron entre s¶³, compitiendo, elimin¶andose, reforz¶
andose, combin¶andose. Por casualidad fue introducida en tal situaci¶on una combinaci¶on peculiar
de elementos culturales (ideas) que llevan el nombre de Malthus. Al instante tuvo lugar una reacci¶
on,
y se form¶
o una nueva s¶³ntesis: \por ¯n hab¶³a conseguido una teor¶³a con la cual trabajar". El sistema
nervioso de Darwin fue s¶olo el lugar donde estos elementos culturales se unieron y formaron una s¶³ntesis
nueva. Fue algo que ocurri¶
o a Darwin en vez de algo que ¶el hizo.
Este relato de invenci¶on en el campo de la biolog¶³a recuerda el conocido incidente de invenci¶
on matem¶
atica tan vivazmente descrito por Henri Poincar¶e. Una noche, despu¶es de trabajar duramente sobre un problema pero sin ¶exito, escribe:39
38 C
h ar les Dar w in , S jÄ
alv b iogr a¯ och an d r a sk r ifter , en u n a
selecci¶
on d e Kn u t H agb er g, E stocolm o, 1959, p ¶
ags. 88{89.
N ota d el au tor d el ar t¶³cu lo. (N ota ed . su eca.)
39 \L'in v en tion m ath em atiq u e", en S cien ce et M¶
et hode.
67
\. . . contra mi costumbre hab¶³a bebido caf¶e
y no pod¶³a dormir. Las ideas se agolpaban; las dej¶e que entrechocaran hasta
que se aparejaron, por as¶³ decirlo, hasta formar una combinaci¶
on estable. A la
ma~
nana siguiente hab¶³a establecido la existencia de una clase de funciones fuchsianas . . . lo u
¶nico que me restaba era escribir los resultados, cosa que apenas tard¶e
unas horas en hacer".
Poincar¶e ilustra luego el proceso de cambio cultural
y crecimiento en su aspecto subjetivo (o sea, neural)
por medio de una analog¶³a muy imaginativa.40 Se
¯gura que las ideas matem¶
aticas son algo as¶³ como
\los ¶
atomos en forma de gancho de Epicuro. Cuando la mente reposa completamente, los ¶
atomos no se mueven, est¶
an, como
si dij¶eramos, enganchados en la pared. . . No
forman combinaciones. Pero en la actualidad mental, hasta en la inconsciente, algunos de los ¶
atomos se desprenden de la pared y se ponen en movimiento. Se disparan
en todas direcciones por el espacio . . . como
las mol¶eculas de un gas . . . Entonces sus
mutuos impactos pueden producir combinaciones".
Esto es una mera descripci¶
on del aspecto subjetivo del proceso cultural que el antrop¶
ologo describir¶³a objetivamente (sin hacer referencia a los sistemas nerviosos). Dir¶³a que en los sistemas culturales, los rasgos de tipo diferente act¶
uan y reaccionan
entre s¶³, eliminando unos, reforzando otros, formando nuevas combinaciones y s¶³ntesis. Lo signi¯cativo acerca de los lugares de las invenciones y descubrimientos desde el punto de vista de los antrop¶ologos
no est¶
a en la cualidad del cerebro, sino en la posici¶
on relativa dentro del ¶
area cultural; las invenciones y los descubrimientos es mucho m¶
as probable que
ocurran en los centros culturales, donde hay una mayor cantidad de interacci¶
on cultural que en la periferia, en regiones remotas o aisladas.
Si las ideas matem¶
aticas entran en la mente del matem¶
atico individual desde fuera, desde la corriente de
cultura en el seno de la que han nacido y donde han
sido criadas, surge la pregunta: >de d¶
onde surgi¶o la
cultura en general, y en particular la matem¶atica?
>c¶
omo creci¶
o y lleg¶
o a poseer su contenido?
No hace falta decir que las matem¶
aticas no se originaron con Euclides y Pit¶
agoras, ni siquiera con los
pensadores del antiguo Egipto y Mesopotamia. Las
40 Ibid.,
p ¶
ag. 393.
68
matem¶
aticas fueron un desarrollo del pensamiento
que tuvo su principio con el del hombre y la cultura hace un mill¶
on de a~
nos aproximadamente. Naturalmente, se hicieron poqu¶³simos progresos durante
cientos de miles de a~
nos. Pero todav¶³a hoy encontramos en la matem¶atica sistemas y conceptos que fueron creados por gentes primitivas prehist¶oricas de la
Edad de Piedra, de las cuales se encuentran restos
entre las tribus salvajes de hoy. El sistema de contar de diez en diez proviene de usar los dedos de
ambas manos. El vigesirnal de los astr¶onomos mayas surgi¶
o de contar con los dedos de pies y manos y calcular es contar con calculi, guijarros. Una
l¶³nea recta era una soga estirada de lino, etc.
Las primeras ideas matem¶aticas que hubo fueron
creadas por el sistema nervioso de los seres humanos individuales. Eran, ciertamente, muy simples
y rudimentarias. Si no hubiera sido por la capacidad humana de dar a esas ideas su forma expl¶³cita
y simb¶
olica y de comunicarlas a otros seres humanos para que pudieran formarse nuevas combinaciones, y si no se hubieran pasado las s¶³ntesis de una
generaci¶
on a otra en un proceso continuo de interacci¶
on y acumulaci¶on, la especie humana no hubiera hecho progresos matem¶aticos a partir de la base primitiva. Esta a¯rmaci¶on est¶a apoyada en nuestros estudios sobre monos antropoides, los cuales son
muy inteligentes y vers¶atiles. Tienen una apreciaci¶
on aguda de las formas geom¶etricas, resuelven problemas con imaginaci¶on e ingenio, y poseen una gran
originalidad41 Pero no pueden expresar sus conceptos neuro{sensorial{musculares en forma simb¶
olica
abierta. No pueden comunicar sus ideas entre s¶³ como no sea mediante ademanes, o sea, mediante signos en vez de s¶³mbolos. Por ello las ideas no pueden reaccionar entre s¶³ sobre sus mentes para producir nuevas s¶³ntesis. Ni estas ideas pueden transmitiese de una generaci¶on a otra de un modo acumulativo. En consecuencia, cada generaci¶on de simios comienza donde comenz¶o la anterior. No existe ni acumulaci¶
on ni progreso.42
Gracias al lenguaje articulado, la especie humana tiene mejor destino. Las ideas adoptan forma
simb¶
olica y obtienen expresi¶on abierta. De este modo la comunicaci¶on se hace f¶acil y vers¶atil. Ahora las ideas inciden sobre los sistemas nerviosos des41 V er W . Kijh ler , T he Men t alit y of A pes (N u ev a Y or k ,
1931).
42 V er Leslie A . W h ite \On th e U se of T ools b y P r im ates"
(J our n al of C ompar at ive P sy chology , V ol. 34, p ¶
ags. 369{374,
Dic. 1942). E ste en say o in ten ta m ostr ar q u e la esp ecie h u m an a p osee u n a cu ltu r a m ater ial m u y d esar r ollad a y p r ogr esiv a, m ien tr as q u e n o es as¶³ con los sim ios, au n q u e ¶
estos p u ed an u sar h er r am ien tas con d estr eza y v er satilid ad y h asta in v en tar los, p or q u e el h om b r e p u ed e u sar s¶³m b olos, p er o los sim ios n o.
ContactoS 33, 59{69 (1999)
de fuera. Estas ideas reaccionan entre s¶³ dentro de
estos sistemas nerviosos. Algunas son eliminadas;
otras, reforzadas. Se forman de ese modo combinaciones nuevas, s¶³ntesis nuevas. Estos progresos, a
su vez, son comunicados a otras personas, transmitidos a la generaci¶
on siguiente. En un tiempo relativamente corto, la acumulaci¶
on de las ideas matem¶
aticas ha ido m¶
as all¶
a de la gama creadora que
tendr¶³a el sistema nervioso humano individual sin
ayuda de la tradici¶
on cultural. A partir de este momento, el progreso matem¶
atico se hace por la interacci¶
on de las ideas que existen ya m¶
as que por la
creaci¶
on de conceptos nuevos por el sistema nervioso humano. Mucho antes de que se inventara la escritura, los individuos de todas las culturas depend¶³an
de las ideas matem¶
aticas presentes en sus culturas
respectivas. As¶³, la conducta matem¶
atica de un indio apache es la respuesta que da a los est¶³mulos suministrados por las ideas matem¶
aticas de su cultura. Lo mismo puede decirse del hombre de Neanderthal o de los habitantes del antiguo Egipto, Mesopotam¶³a y Grecia. Es cierto tambi¶en de los individuos de las naciones modernas.
As¶³ vemos que las ideas matem¶
aticas fueron producidas originalmente por el sistema nervioso humano cuando el hombre se convirti¶
o en ser humano hace un mill¶
on de a~
nos. Estos conceptos eran muy rudimentarios, y el sistema nervioso humano, no ayudado por la cultura, no hubiera nunca podido ir m¶as
all¶
a por muchas que hubieran sido las generaciones transcurridas. El progreso fue posible gracias
a la formaci¶
on de una tradici¶
on cultural. La comunicaci¶
on de las ideas de persona a persona, la transmisi¶
on de conceptos de una generaci¶
on a otra, coloc¶
o en las mentes humanas (o sea estimul¶
o sus sistemas nerviosos) ideas que formaron nuevas s¶³ntesis
a trav¶es de la interacci¶
on, y que fueron transmitidas a otros.
Para concluir, volvamos a algunas de las observaciones de G. H. Hardy, para mostrar que su concepci¶
on de la realidad matem¶
atica y de la conducta matem¶
atica es consistente con la teor¶³a de la cultura que hemos presentado aqu¶³ y que, de hecho, la
explica.
\Creo que la realidad matem¶
atica est¶
a fuera de nosotros"43 dice. Si por \nosotros" entiende \nosotros, los matem¶
aticos tomados individualmente",
tiene raz¶
on. Est¶
a fuera de cada uno de nosotros;
es parte de la cultura dentro de la cual hemos nacido. Hardy cree que, \en cierto sentido, la verdad matem¶
atica es parte de la realidad objetiva"44
43 A
Mat hemat ician 's A pology , p ¶
ag. 63.
em atical P r oor " p ¶
ag. 4 (Min d, V ol. 38, p ¶
ags. 1{25,
44 Math
1929)
El lugar de la realidad matem¶atica: una referencia antropol¶
ogica. Leslie A. White
(el subrayado es m¶³o, L. A. W.). Pero tambi¶en distingue la \realidad matem¶atica" de la \f¶³sica" e insiste en que \la geometr¶³a pura no est¶a compuesta de dibujos. . . (de) la realidad espacio{temporal del
mundo f¶³sico"45 >Cu¶al, pues, ser¶a la naturaleza de la
realidad matem¶atica? Hardy declara que \no existe acuerdo. . . ni entre los matem¶aticos ni entre los
¯l¶
osofos"46 sobre este punto. Nuestra interpretaci¶
on suministra la soluci¶on. Las matem¶aticas poseen una realidad objetiva. Esta realidad, como insiste Hardy, no es la realidad del mundo f¶³sico. Pero no es misteriosa. Es una realidad cultural: la misma que poseen un c¶odigo de etiqueta, unas regulaciones de tr¶ansito, las normas del b¶eisbol, el idioma ingl¶es o las reglas gramaticales.
69
Vemos as¶³ que no existe misterio alguno en torno a la
realidad matem¶
atica. No tenemos que buscar \verdades" matem¶
aticas en la mente divina o en la es
tructura del universo. Las matem¶
aticas son un tipo de conducta primate como los idiomas, los sistemas musicales o los c¶
odigos penales. Los conceptos matem¶
aticos est¶
an hechos por el hombre al igual
que los valores ¶eticos, las reglas de tr¶
ansito, y las
jaulas para p¶
ajaros. Pero ello no invalida la creencia de que las proposiciones matem¶
aticas est¶an fuera de nosotros y que poseen una realidad objetiva. Est¶
an fuera de nosotros. Existieron antes de
que naci¶eramos. A medida que crecemos las encontramos en el mundo que nos rodea. Pero esta objetividad existe s¶
olo para el individuo. El lugar de la realidad matem¶
atica es la tradici¶
on cultural, o sea, el continuo de conducta simb¶
olica. Esta teor¶³a ilumina tambi¶en los fen¶
omenos de novedad
y progreso en las matem¶
aticas. Las ideas interaccionan entre s¶³ en los sistemas nerviosos de los hombres formando nuevas s¶³ntesis Si los poseedores de estos sistemas nerviosos saben lo que ha ocurrido lo llaman invenci¶
on, como hace Hadamard, o \creaci¶on"
para usar la expresi¶
on de Poincar¶e. Si no entienden lo que ha ocurrido, lo llaman un \descubrimiento" y creen que han encontrado algo en el mundo
externo. Los conceptos matem¶
aticos son independientes de la mente individual pero residen por completo dentro de la mente de la especie, es decir, de
la cultura. La invenci¶
on y el descubrimiento matem¶
aticos son u
¶nicamente dos aspectos de un evento que tiene lugar simult¶
aneamente dentro de la tradici¶
on cultural y en uno o m¶
as sistemas nerviosos.
De estos dos factores, la cultura es el m¶
as sign¯cativo; los hechos determinantes de la evoluci¶on matem¶
atica se encuentran en ella. El sistema nervioso humano es el mero catalizador que hace posible
el proceso cultural.
cs
45 \A
Mat hemat ician s A pology , p ¶
ags. 62{63, 65.
p ¶
ag. 63.
46 Ibid.