Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶atica - UAM-I

Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶atica
H a n s Fr e u d e n t h a l¤
Perd¶
onenme, no fui yo quien escogi¶o el tema; aunque cuando me fue sugerido, lo v¶³ como un desaf¶³o.
Un desaf¶³o de verdad pero, ciertamente, no como para emular a Hilbert, quien en el Congreso Internacional de Matem¶aticas de Par¶³s en 1900, present¶
o sus
c¶elebres 23 problemas matem¶aticos, los cuales in°uyeron profundamente el curso de las matem¶
aticas
durante casi un siglo. Si no fuera la modestia lo que
me previene de siquiera intentarlo, lo ser¶³a el obvio hecho de que:
Empero, perm¶³tanme regresar a lo que anunci¶e como
una diferencia entre problemas, resoluci¶
on de problemas y sujetos que resuelven problemas en matem¶
aticas por un lado y en educaci¶
on matem¶
atica
por el otro.
Los problemas matem¶
aticos son problemas dentro
de una ciencia, que surgen en gran medida de esta
misma ciencia o de otras ciencias. Los problemas
de educaci¶
on son problemas de la vida, que surgen
de necesidades variables, de modos y caprichos de
una sociedad en transformaci¶
on. Los problemas de
Hilbert han sido seminales por un siglo. La pl¶atica
que doy hoy podr¶³a ser olvidada en diez a~
nos para
nunca m¶
as ser recordada.
² problemas
² resoluci¶
on de problemas
² sujetos que resuelven problemas
Desde tiempos antiguos los matem¶
aticos se han propuesto mutuamente problemas, tanto mayores como
menores: \aqu¶³ est¶
a el problema resu¶elvalo; si lo logra, d¶³gamelo, lo escuchar¶e para examinar si realmente es una soluci¶
on". En educaci¶
on la resoluci¶on
de problemas no es un discurso l¶
ogico sino un proceso educativo. En matem¶
aticas los sujetos que resuelven problemas son matem¶
aticos. En educaci¶on los
problemas son resueltos apropiadamente por los participantes en el proceso educativo, por aqu¶ellos que
educan y por aqu¶ellos que son educados.
signi¯can, en educaci¶on matem¶atica, cosas diferentes
a las que signi¯can en matem¶aticas.
Pero. . . primero veamos el otro nombre en el t¶³tulo:
educaci¶
on. Puede signi¯car, burdamente, tres cosas:
² el proceso educativo que se realiza en la familia,
en la escuela, en la calle y en cualquier lugar.
² una instituci¶on administrativa.
M¶
as a¶
un, en matem¶
aticas usted puede seleccionar un
problema mayor, digamos del cat¶
alogo de Hilbert,
resolverlo, y desechar el resto. En educaci¶on, todos los problemas mayores (en particular aqu¶ellos de
los cuales voy a hablar), son fuertemente interdependientes. De hecho, los problemas mayores de educaci¶
on son caracterizados por el hecho de que ninguno puede ser aislado propiamente de los otros. Lo
mejor que usted puede hacer en un momento dado es enfocar uno de ellos sin omitir los otros, y esto es en efecto lo que voy a hacer aqu¶³.
² una actividad te¶orica llamada investigaci¶
on
educativa.
Los problemas mayores que voy a compendiar son de
la primera clase y est¶an parcialmente relacionados a
la segunda, y desechar¶e los de la tercera clase.
En lo que estoy interesado es en problemas de la educaci¶
on matem¶atica como una actividad social m¶
as
que en los problemas de aprendizaje como objeto
de la investigaci¶on educativa. No obstante, al ¯nal echaremos una ojeada hacia la investigaci¶
on educativa como uno de los problemas mayores de la educaci¶
on matem¶atica.
En cierto sentido, el t¶³tulo de mi pl¶
atica est¶
a equivocado: todos los problemas mayores de educaci¶on matem¶
atica son como tales, problemas de educaci¶on.
En otro sentido, el t¶³tulo es correcto: si usted busca problemas mayores, el mejor paradigma de educaci¶
on cognitiva es matem¶
aticas.
¤ C on fer en cia d ad a en la sesi¶
on p len ar ia d el IC ME 4 en B er k eley el 10 d e A gosto d e 1980. T om ad o d e E ducat ion al S t udies in Mat hemat ics 12 (1981). T r ad u cci¶
on A lejan d r o L¶
op ez
Y ¶
an ez.
11
12
ContactoS 42, 11{22 (2001)
Para terminar esta introducci¶on, debo agregar dos
puntos. Primero, no hay autoridad en educaci¶
on matem¶
atica comparable a las que hay en matem¶
aticas.
Los problemas que considero mayores han sido escogidos de acuerdo a mi ¯losof¶³a de aprendizaje y
ense~
nanza de las matem¶aticas, la cual recapitular¶e
aqu¶³, ya que estar¶a impl¶³cita en los problemas y
en la forma en que son sometidos. Segundo, aunque los problemas han sido inspirados por mi propia experiencia y ¯losof¶³a, no pretendo haberlos inventado. La originalidad tambi¶en tiene otro signi¯cado en educaci¶
on matem¶atica, diferente al que tiene en matem¶
aticas. Mis ideas han sido anticipa¶
das en el pasado, no una, sino muchas veces. Esta
es la raz¶
on por la cual me contendr¶e de reproducir y citar cu¶
ando un problema particular mencionado ha sido manejado antes, exitosamente o no.
1. Conc¶edanme empezar con el problema m¶as terrenal que puedo pensar. Entre los mayores es el m¶
as
urgente. Lo que a¶
un es problema es c¶omo formularlo correcta e inequ¶³vocamente. Tratemos una preformulaci¶
on. Va as¶³: >Por qu¶e Juanito no puede hacer aritm¶etica? >Suena sexista? yo no la cambiar¶³a
a >Por qu¶e Mar¶³a puede hacer aritm¶etica? pues sonar¶³a a¶
un m¶
as sexista al sugerir que las ni~
nas son menos capaces que los ni~
nos.
De hecho, ambas preguntas son incorrectas. Mi problema no es Juan Hern¶andez ni Mar¶³a Fern¶andez. El
problema es realmente, >por qu¶e los ni~
nos no apren¶
den aritm¶etica como debieran? Este
es un problema
mayor porque, m¶as que cualquier otra cosa, el fracaso en aritm¶etica puede signi¯car el fracaso en la escuela y en la vida. Mi inter¶es, sin embargo, no est¶
a
primariamente en lo que est¶a equivocado hoy d¶³a en
el sal¶
on de clases y en los libros y que origina bajo desempe~
no en una multitud de ni~
nos.
Perm¶³tanme cambiar la pregunta. Yo ahora inquiero >Por qu¶e Anastasia no puede hacer aritm¶etica?
Lo cual no es una abstracci¶on; Anastasia es una
ni~
na (aunque he cambiado su nombre) a quien puedo describir con todo detalle. Los detalles que importan aqu¶³ son que ella ten¶³a ocho a~
nos de edad
y no pod¶³a hacer aritm¶etica. En el ¶³nterin la cuesti¶
on >por qu¶e Anastasia no puede hacer aritm¶etica?
ya no es m¶
as una cuesti¶on, porque hoy Anastasia tiene once a~
nos y sobresale en aritm¶etica. Pero cuando ella ten¶³a ocho, alguien al observar sus
tropiezos con los n¶
umeros logr¶o responder la cuesti¶
on y, despu¶es de diez minutos de ense~
nanza reparadora, el problema que Anastasia ten¶³a hab¶³a
C ¶o dic e de D re sde c o n nume ra le s ma y a s.
cesado de existir. >Fue un milagro? De ning¶
un
modo. Fue simplemente un caso f¶
acil. Pero hay
tant¶³simos, percibidos y desapercibidos, atendidos y
desatendidos. >Qu¶e decir acerca de los casos menos
f¶
aciles? En mi opini¶
on, ¶estos son una evoluci¶
on de
los casos f¶
aciles que permanecieron desapercibidos y
desatendidos.
Diagn¶
ostico y receta son t¶erminos tomados de la medicina por educadores que pretenden emular a los
doctores en medicina. Lo que ellos emulan es la
medicina de un tiempo pasado, que es la de los
cu¶
aqueros de hoy. La diagnosis m¶edica en tiempos anteriores estaba dirigida a anunciar qu¶e estaba da~
nado, tal como lo hacen los llamados ex¶
amenes
de diagn¶
ostico en la educaci¶
on. La diagnosis verdadera le dice porqu¶e algo se da~
n¶
o. La u
¶nica forma de
saber esto es observando las faltas del ni~
no y tratando de entenderlas. >Una forma costosa? >Ser¶³a
m¶
as barato por medio de computadoras? No, porque de hecho, observar y entender al ni~
no individualmente no es costoso. Lo que es realmente costoso es desperdiciar los vastos recursos de la experiencia humana.
Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶
atica. Hans Freudenthal.
Perm¶³tanme explicar lo que indico. Por casualidad s¶e porqu¶e Anastasia fallaba y conozco otro buen
n¶
umero de casos, porque hubo personas que observaron sus fallas y las analizaron; todas fueron diferentes y, no obstante, eran una minor¶³a in¯nitesimal de aqu¶ellos que necesitaban ayuda. Por otro
lado, estoy seguro de que mi propia experiencia es
u
¶nicamente una parte in¯nitesimal de una vasta cantidad de conocimiento, la cual nunca ha sido registrada, ni siquiera hecha consciente. >Estar¶³amos mejor si esta masa de conocimientos hubiera sido registrada y reportada? De ninguna manera. La teor¶³a
educativa u
¶til no surge de una generalizaci¶
on ciega. Lo que necesitamos son casos paradigm¶
aticos,
paradigmas de diagnosis y prescripci¶on, para bene¯cio de los practicantes tal como los tabiques bene¯cian a los constructores de teor¶³as.
Perm¶³tanme agregar dos ejemplos, dos casos paradigm¶
aticos, aunque insu¯cientes para la construcci¶
on de teor¶³as.
Para examinar a estudiantes de bajo desempe~
no, es
u
¶til preguntarles cu¶anto es 2 + 9. M¶as que el resultado, observe c¶omo desarrollan la tarea. >La hacen contando nueve a partir de dos, esto es, 3, 4. . . ?
Ll¶
amelo usted diagnosis o no, si sucede de esta forma, puede estar seguro al menos de dos fuentes de
faltas: desconocimiento de la conmutatividad y de
las ventajas del sistema posicional.
Otro ejemplo: una ni~
na de doce a~
nos de edad a quien
ense~
n¶e fracciones simpli¯c¶o 16/24 a 3/8; una falta inesperada. Ella lo explic¶o porque 16 = 2 £ 8,
24 = 3 £ 8. Por lo tanto, 3/8. Cuando ahond¶e m¶
as
profundamente, el origen se manifest¶o como una falla de memoria a corto t¶ermino, esto es, un error al
almacenar o recuperar resultados intermedios.
Esta experiencia me condujo a entender mejor sus
faltas y las de otros ni~
nos que en el pasado hab¶³a interpretado equivocadamente; por ejemplo: las hab¶³a
atribuido a una carencia de concentraci¶
on. Comenc¶e, entonces, un trabajo reparador para mejorar la memoria a corto t¶ermino, el cual fue exitoso incluso para la transferencia: factorizar mentalmente n¶
umeros menores que 100 en al menos tres factores primos. Este ejercicio depende fuertemente de
la memoria a corto t¶ermino. Digamos 48 = 6 £ 8,
6 = 2 £ 3, 8 = 2 £ 4 y ahora usted puede imaginar lo que sucede, el 2 £ 3 defectuosamente almacenado, no puede ser recuperado. Quince d¶³as despu¶es de este ejercicio la ni~
na desarrollaba la misma tarea sin ninguna di¯cultad, y la memoria a cor-
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to t¶ermino hab¶³a mejorado grandemente en t¶erminos
generales.
2. En tiempos pasados la diagnosis m¶edica comenzaba con la anamnesia, esto es, con el registro de los antecedentes de la enfermedad. La anamnesia de experiencias del sal¶
on de clase puede ser un asunto delicado: en la mayor¶³a de los casos de inhabilidad
aritm¶etica que encontr¶e, la historia del caso era clara
por la evidencia circunstancial; tal como en el ejemplo de ignorancia de la conmutatividad, las personas no hab¶³an recibido ninguna instrucci¶
on adecuada en aritm¶etica. No culpo a sus profesores, quienes
obviamente nunca hab¶³an aprendido qu¶e y c¶omo ense~
nar. Estudiar las enfermedades es m¶
as f¶
acil que estudiar la salud. De hecho la biolog¶³a humana comenz¶
o con la medicina y la medicina evolucion¶o de
la cura a la prevenci¶
on. Esto sugiere mi segundo problema mayor, como si fuera una extensi¶
on del primero: >c¶
omo aprenden los ni~
nos? en particular >c¶omo
aprenden matem¶
aticas? problema que inmediatamente cambio a: >c¶
omo aprende la gente? que es la
cuesti¶
on apropiada. La mejor forma de responderla es: por medio de la observaci¶
on de procesos de
aprendizaje, de su an¶
alisis y el reporte de paradigmas, por la observaci¶
on de los procesos de aprendizaje dentro del sistema educativo total y de los procesos de aprendizaje de alumnos, grupos, clases, profesores, equipos escolares, consejeros, estudiantes para profesor, entrenadores de profesores y los del mismo observador.
Aprender a observar procesos de aprendizaje, ¶este
es mi segundo problema mayor en educaci¶on matem¶
atica. En educaci¶
on matem¶
atica, porque creo
que aprender a observar el aprendizaje matem¶atico
es el acceso m¶
as f¶
acil al problema de aprender a observar procesos de aprendizaje en general. Observar
implica analizar, con lo cual no indico promediar o
aplicar otros procedimientos estad¶³sticos, ni tampoco ajustar los datos observados en patrones preconcebidos de psicolog¶³a evolutiva. Comprender c¶omo
aprende la gente es un primer paso para resolver los
problemas cotidianos de los practicantes: c¶omo ense~
nar a aprender, a ¯n de construir una teor¶³a del
aprendizaje basada en la evidencia en lugar de estar basada en ideas preconcebidas.
3. En lo precedente acentu¶e la observaci¶
on de procesos de aprendizaje en contra de examinar productos de aprendizaje.
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Entre los estudiantes que mencion¶e, olvid¶e uno, el
m¶
as grande: la humanidad es tambi¶en un estudiante. Observar sus procesos de aprendizaje es lo que
llamamos historia. >C¶omo puede el estudiante individual bene¯ciarse del conocimiento de los grandes procesos de aprendizaje de la humanidad? M¶
as
que de sus detalles puede bene¯ciarse del hecho como tal. Cada etapa en el crecimiento de las matem¶
aticas signi¯c¶o conocimiento adquirido por discernimiento intelectual transformado por esquematizaci¶
on y memorizaci¶on (si pre¯ere, ll¶amelo codi¯caci¶
on) en habilidades y discernimiento intelectual de
un orden m¶
as alto.
Perm¶³tanme explicar por medio de unos pocos ejemplos lo que indico por esquematizar. El siguiente es
un problema de larga antigÄ
uedad: Hay una granja con pollos y conejos con: 20 cabezas y 56 patas
>cu¶
antos pollos y cu¶antos conejos son? Estoy seguro de que lo resolver¶an discerniendo intelectualmente. Pero, tan temprano como en la antigÄ
uedad babil¶
onica, se conoc¶³a el esquema para un par de ecuaciones lineales con dos inc¶ognitas que permit¶³a resolver esta clase de problemas, y en tiempos m¶
as recientes este discernimiento esquem¶atico ha sido de
nuevo esquematizado por la regla: \Represente los
n¶
umeros inc¶
ognitos por x; y, escriba las relaciones algebraicas conectivas, y resu¶elvalas por ¶algebra". La
esquematizaci¶
on m¶as moderna de esta idea es la de
espacio vectorial.
El ¶
algebra burda fue esquematizada por los m¶etodos
formales de Vieta y Descartes, y este proceso de esquematizaci¶
on a¶
un continua en el ¶algebra moderna. El c¶
alculo de ¶areas, vol¶
umenes, centros de gravedad y momentos, el cual requiri¶o de la genialidad
de un Arqu¶³medes, y a¶
un problemas m¶as dif¶³ciles,
est¶
an hoy al alcance de nuestros novicios de licenciatura, gracias a los esquematizadores m¶etodos in¯nitesimales de Newton y Leibnitz en lo que ahora es conocido como C¶alculo.
Pero expliqu¶emonos en una forma a¶
un m¶as elemental. Tan temprano como las fuentes escritas pueden recordar, el contar fue esquematizado por medio de la introducci¶on de unidades de nivel m¶
as alto, tales como 5, 10, 100, 1000 y tan temprano como el numerar fue inventado fue esquematizado por
una idea posicional: unidades de nivel m¶as alto materializadas por ¯chas en el ¶abaco. La esquematizaci¶
on de la aritm¶etica procedi¶o un paso m¶as all¶
a al
transformar conjuntos de ¯chas en d¶³gitos, y el instrumental ¶
abaco, en uno escrito en arena o en pa-
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pel del cual, por una progresi¶
on de la esquematizaci¶
on, surgi¶
o nuestro presente esquema de columnas aritm¶eticas.
La historia de las matem¶
aticas ha sido un proceso
de aprendizaje de esquematizaci¶
on progresiva. Los
j¶
ovenes no necesitan repetir la historia de la humanidad pero tampoco deber¶³a esperarse que comiencen en el mero punto donde lleg¶
o la generaci¶
on anterior. En cierto sentido, los j¶
ovenes deber¶³an repetir la historia, aunque no la que de hecho sucedi¶
o, sino la que hubiera sucedido si nuestros antecesores hubieran sabido lo que nosotros somos su¯cientemente afortunados de saber.
La esquematizaci¶
on debe ser vista como una progresi¶
on psicol¶
ogica, m¶
as que hist¶
orica. Creo que en una
aritm¶etica mental de n¶
umeros enteros podemos describir adecuadamente bien la esquematizaci¶
on como
una progresi¶
on psicol¶
ogica, mejor dicho, como una
red de posibles progresiones, en donde cada estudiante escoge su propia trayectoria o todos son conducidos a lo largo del mismo camino. Muy pocos
libros de texto testimonian los esfuerzos para ense~
nar los algoritmos de n¶
umeros enteros tradicionales de columnas aritm¶eticas mediante una progresi¶on
de pasos de esquematizaci¶
on, aunque no estoy seguro de cu¶
ando sus ideas est¶
an respaldadas por una
ense~
nanza y aprendizaje efectivos. En la ense~
nanza de las fracciones, n¶
umeros decimales, ¶
algebra y
c¶
alculo, veo pocos, si es que algunos intentos, de esquematizaci¶
on progresiva. La idea de que el lenguaje matem¶
atico puede y debe ser aprendido en tal forma |por formalizaci¶
on progresiva| parece ser completamente did¶
actica.
¶
Este
es entonces mi tercer problema mayor de educaci¶
on matem¶
atica: >C¶
omo usar la esquematizaci¶
on
y formalizaci¶
on progresivas al ense~
nar un tema matem¶
atico cualquiera?
4. Un fomentado antagonismo en la ense~
nanza y
aprendizaje de las matem¶
aticas ha colocado en una
ladera de un profundo acantilado, actividades tan
nobles como, discernimiento, entendimiento, pensamiento, y en la otra ladera cosas tan humildes como,
repetici¶
on, rutinas, repasos, memorizaci¶
on, algoritmos. Si fuera malicioso, agregar¶³a otro par de opuestos, teor¶³a contra pr¶
actica, sugiriendo que el aprendizaje por discernimiento y entendimiento es una actividad noble, mientras que el aprendizaje por repetici¶
on y memorizaci¶
on es una humilde pr¶
actica.
Sin embargo, no es tan simple ni nunca lo ha sido. A¶
un nuestros ni~
nos de la ¶epoca de las compu-
Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶
atica. Hans Freudenthal.
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tadoras, memorizan las tablas de adici¶
on y multiplicaci¶
on y adquieren ciertas habilidades por repetici¶
on, aunque uno podr¶³a argumentar que por el auge de las computadoras el balance se ha corrido a favor de las actividades \m¶
as nobles".
La situaci¶
on no es tan simple, primero porque la opci¶
on no consiste en elegir alguna ladera del acantilado, sino en tender un puente sobre ¶el por medio de
proceso de aprendizaje que llamo esquematizaci¶
on.
Segundo, creo que en cualquier ¶epoca, se han ense~
nado m¶
as matem¶
aticas desde el punto de vista del
discernimiento y m¶
as han sido aprendidas por discernimiento, que las que creemos. Todos concuerdan,
y los escritores de libros de texto atestiguan, que la
aritm¶etica elemental no puede ser aprendida en ninguna otra forma que por discernimiento, ya sea ense~
nada as¶³ o no. Pero tambi¶en es cierto que a medida que las cosas prosiguen y la ense~
nanza pasa a grados m¶
as altos (a adici¶
on y multiplicaci¶
on por columnas, a divisiones largas, a fracciones comunes y decimales, a ¶
algebra, al aprendizaje del lenguaje matem¶
atico), el papel representado por el discernimiento cambia. No u
¶nicamente por disminuci¶
on, sino que
tambi¶en cambia su car¶
acter.
Gra ba do e n ma
M argarita P
La A ritm¶e tic a instruy e
suma y a Pit¶a g o
de ra
hilos
a Bo
ra s e
de Gre g o r Re sc h
ophica (1 5 0 3 ).
e c io e n e l a lg o ritmo de la
n e l uso de l ¶a ba c o .
C ue rda s a nuda da s pa ra re g istra r c ue nta s, qu ipu s , e n e l
\ C o nta do r ma y o r y te so re ro " (c a . 1 5 9 0 )
Hay una tendencia a que el discernimiento del alumno sea sustituido por el discernimiento del profesor, por el del escritor de libros de texto y, ¯nalmente, por el del matem¶
atico adulto. Y lo mismo se aplica al sinuoso y largo camino que comienza con problemas en lenguaje com¶
un entendidos concretamente, y conduce a matem¶
aticas aplicadas al¶
tamente formalizadas y malamente entendidas. Esta
es la raz¶
on de que quienes abogan por el aprendizaje por discernimiento di¯eren acerca de qu¶e es discernimiento. La perspectiva equivocada de la llamada nueva matem¶
atica consisti¶
o en reemplazar el
discernimiento del estudiante por el del matem¶atico
adulto.
Empero, ¶este no es mi punto principal. Tengo a¶
un
que explicar porqu¶e no advertimos cu¶
anto aprendemos por discernimiento. Es la cosa m¶
as natural que,
una vez que una idea ha sido aprendida, el que la
aprendi¶
o se olvida de su proceso de aprendizaje; una
vez que la meta es alcanzada se borra la pista; las habilidades adquiridas por discernimiento son ejercitadas y perfeccionadas por medio de entrenamiento intencional y no intencional. Esto es bueno. Lo
que es malo es que, ciertas fuentes de discernimiento, son obstaculizadas por rutinas adquiridas y nunca m¶
as se vuelven a abrir; es lo que usualmente pasa. Esto explica por qu¶e los profesores de grados
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m¶
as altos se quejan frecuentemente de los h¶
abitos
de estudio adquiridos en niveles inferiores. Cuando los estudiantes avanzados se enfrentan a la primera adquisici¶
on de alguna idea <no usan el discernimiento! Por ello en la ense~
nanza b¶asica es crucial
la preservaci¶
on del discernimiento, la cual es puesta gravemente en peligro por un entrenamiento y
rutinas prematuros, demasiada memorizaci¶on y repetici¶
on; entrenamiento como tal. De aqu¶³ se in¯ere cu¶
al es mi cuarto problema mayor en educaci¶
on matem¶
atica: >c¶
omo estimular la preservaci¶
on
del discernimiento, en particular en el proceso de
esquematizaci¶
on?
5. >C¶
omo se puede lograr este objetivo? La soluci¶
on que propongo es: hacer que el estudiante re°exione sobre sus procesos de aprendizaje. En un alto grado, las matem¶aticas son una re°exi¶on de la
actividad matem¶atica, f¶³sica y mental de uno mismo y de otros. El origen de la demostraci¶
on de
teoremas es argumentar lo que parece obvio. Nadie trata de probar algo a menos que piense que
es verdadero. Esto lo acepta por intuici¶on, pero
la forma de probarlo es re°exionando acerca de su
misma intuici¶
on. Los procesos de aprendizaje que
son observados deben ser hechos conscientes al estudiante para ser reforzados y usados cuando sea
necesario.
Esto, sin embargo, no es lo que usualmente pasa.
Ilustremos esta exposici¶on abstracta con un ejemplo: muchos ni~
nos y adultos pueden decirle que para multiplicar por 100 tiene \que agregar dos ceros"
(lo cual se cumple u
¶nicamente para n¶
umeros enteros) y la mayor¶³a de ellos no pueden explicar por qu¶e.
Es aun peor, la mayor¶³a de ellos no entienden siquiera que pueda argumentarlo y por qu¶e debe hacerlo as¶³. >Aprendieron ellos tales reglas por repetici¶
on?
No lo creo. He observado demasiados ni~
nos aplicando tales reglas intuitivamente antes de que ¶estas fueran verbalizadas y formalmente ense~
nadas en la escuela. M¶
as que haberles ense~
nado las reglas, lo que
se les deber¶³a haber ense~
nado es a argumentar sus intuiciones, re°exionando en lo que parece obvio. Pero
esto requiere m¶
as paciencia que la que los profesores
tienen.
Perm¶³tanme agregar una experiencia personal. Pas¶
o
con una ni~
na de sexto grado que ten¶³a serios problemas en su aprendizaje. Cuando comenc¶e a ense~
narle, no sab¶³a nada acerca de fracciones, fracciones decimales, porcentaje y sistema m¶etrico. Afortunadamente, debo agregar, lo u
¶nico que sab¶³a era:
Re pre se nta nc i¶o n de l a¶ ba c o c hino e n e l Sua n F a T hung
T sung (1 5 9 3 ).
el ¶
area es igual a dos veces el largo m¶
as el ancho
(?). Por lo tanto, era un buen comienzo. Mientras
yo le ense~
naba matem¶
aticas, ella me ense~
naba paciencia. Por paciencia no indico no desesperarse, sino m¶
as bien abstenerse de ense~
narle ninguna regla.
Ella aprendi¶
o por discernimiento y esquematizaci¶on
y ahora trabaja bastante bien sin saber reglas o recetas. En una ocasi¶
on, en la escuela, cuando notaron
que hab¶³a progresado, trataron de ense~
narle las reglas para fracciones comunes. Fue una cat¶
astrofe.
Necesit¶e semanas para restablecer lo que hab¶³a sido destruido. Ahora, un a~
no despu¶es, se desempe~
na muy decentemente en matem¶
aticas. Ella no
domina las reglas, depende fuertemente del discernimiento y de esquemas semiconscientes. No he logrado que re°exione en sus actividades mentales. >Es
muy pronto? Temo que sea demasiado tarde. Creo
que una actitud tal debe ser adquirida m¶
as tempranamente.
¶
Este
es, entonces, mi quinto problema mayor en
educaci¶
on matem¶
atica. . . >C¶
omo estimular la re°exi¶
on en las propias actividades f¶³sicas, mentales y
matem¶
aticas?
Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶
atica. Hans Freudenthal.
6. El re°exionar en las propias actividades f¶³sicas,
mentales y matem¶aticas, es una componente importante de lo que se llama una actitud matem¶
atica.
He titubeado acerca de si deber¶³a incluir en la lista de mis problemas mayores la pregunta >c¶
omo desarrollar una actitud matem¶
atica? Mi propio parecer es que mientras nosotros sabemos bastante bien
lo que entendemos por una actitud matem¶
atica, podemos describirlo u
¶nicamente por medio de un largo cat¶
alogo de ejemplos y contraejemplos, demasiados para ser tratados en una hora o aun en una
semana.
Una vez trat¶e de identi¯car unas cuantas componentes de la actitud matem¶atica. Repetir¶e la lista aqu¶³ omitiendo los ejemplos:
² desarrollo del lenguaje por arriba del nivel demostrativo y de relaciones, en particular llevarlo al nivel de variables convencionales.
² cambio de perspectiva; un campo complejo de
estrategias con la caracter¶³stica com¶
un de que la
posici¶
on de los datos y las inc¶ognitas en un problema o campo de conocimiento es parcialmente intercambiado; incluyendo el reconocimiento de cambios equivocados de perspectiva,
² manejo del grado de precisi¶on adecuado a un
problema dado,
² tratamiento de la actividad matem¶atica propia
como materia de estudio para alcanzar un nivel
m¶
as alto.
Sin ejemplos, este es un cat¶alogo sin signi¯cado. La
raz¶
on por la cual mencion¶e la actitud matem¶
atica es
que ustedes habr¶³an objetado, justamente, el que no
lo hubiera hecho, y la raz¶on para mostrar algunas
componentes de la actitud matem¶atica fue combatir
el error usual: examinar una actitud matem¶
atica por
medio de preguntas acerca de lo que es una actitud
hacia las matem¶
aticas.
7. Consideremos una caracter¶³stica de la esquematizaci¶
on progresiva que a¶
un no he discutido. Esto es,
que en una progresi¶on tal, no todos los que aprenden progresan al mismo ritmo y alcanzan las mismas
metas. La esquematizaci¶on progresiva es una forma
de tomar en cuenta las diferencias naturales en aptitudes y habilidades. La diferenciaci¶on es un problema general de la educaci¶on. A pesar de la amplia variabilidad del dominio lingÄ
u¶³stico, es un hecho que la
17
gente puede comunicarse entre s¶³, en su lengua materna, en una escala amplia de temas. >Por qu¶e en
matem¶
aticas es diferente? y >deber¶³a de veras ser
diferente?
Hay razones sociales, por las cuales a pesar de las habilidades de aprendizaje divergentes, los estudiantes deben aprender juntos as¶³ como se espera de
ellos, el que trabajen juntos en la sociedad, la cooperaci¶
on implica niveles de trabajo, El aprendizaje cooperativo presupone niveles de aprendizaje. Es
un hecho que las matem¶
aticas se prestan a s¶³ mismas, como ning¶
un otro tema, a distinguir niveles en matem¶
aticas y en el aprendizaje de las matem¶
aticas. Mi s¶eptimo problema mayor de educaci¶
on matem¶
atica es: >C¶
omo esta estructurado el
aprendizaje matem¶
atico de acuerdo a niveles y si
puede ser usada esta estructura para intentar la
diferenciaci¶
on?
8. Quiz¶
as ustedes se quejar¶
an de que hasta ahora casi no he puesto atenci¶
on al tema de la materia y a su did¶
actica. Si por el tema de la materia entienden ustedes alg¶
un cap¶³tulo de un libro de texto, se llevar¶
an un chasco. Estos son problemas mayores. Pero estoy de acuerdo que ense~
nar es siempre ense~
nar algo. Alguna cosa en vez de cualquier cosa. Alguna cosa digna de ser ense~
nada. >Pero qu¶e
es digno de ser ense~
nado?
Para ser ense~
nado, deber¶³a ser aplicable, en cierto sentido, en alg¶
un sentido, en cualquier sentido,
>Qu¶e signi¯ca esto? >Ense~
nar tantas matem¶aticas
como pretenden que necesitan los profesores de ciencias? >Una porci¶
on compulsiva de ¶
algebra y c¶alculo,
y unos cu¶
antos temas como probabilidad, m¶etodos
num¶ericos, programaci¶
on lineal o mec¶
anica?
Cualquiera sabe que eso no funciona. Desde el punto de vista educativo la aplicaci¶
on es una perspectiva equivocada fomentada por la vieja matem¶atica
y a¶
un m¶
as por la nueva matem¶
atica. La perspectiva correcta es partir del medio ambiente hacia las
matem¶
aticas m¶
as que en la otra direcci¶
on. No primero matem¶
aticas y despu¶es regreso al mundo real, sino al mundo real y despu¶es la matematizaci¶
on. >El
mundo real? >Qu¶e signi¯ca esto? Perdonen esta
expresi¶
on descuidada. Al ense~
nar la matematizaci¶
on, el mundo real est¶
a representado por un contexto pleno de signi¯cados envolviendo un problema matem¶
atico. \Pleno de signi¯cados" por supuesto indica: pleno de signi¯cados para los estudiantes. Las matem¶
aticas deber¶³an ser ense~
nadas dentro de contextos y a m¶³ me gustar¶³a que las ma-
18
ContactoS 42, 11{22 (2001)
tem¶
aticas m¶
as abstractas fueran ense~
nadas dentro
de los contextos m¶as concretos.
Perm¶³tanme contarles una peque~
na historia acerca
de lo que puede signi¯car contexto, no u
¶nicamente
para aprender matematizaci¶on, sino a¶
un para aprender habilidades matem¶aticas. En un contexto de divisi¶
on y arrendamiento de jardines, los estudiantes
de cuarto ten¶³an que calcular, entre otras cosas, la
renta de un jardincito como el de la ¯gura 1, donde cada cuadro paga 5 °orines.
Figura 1
Todos los ni~
nos que permanecieron dentro del contexto de los cuadros de tierra y de los °orines por pagar obtuvieron la respuesta correcta de 22 1/2 °orines, mientras que todos los otros que divorciaron prematuramente el problema de su contexto y
lo esquematizaron como problema de multiplicaci¶
on
num¶erica 4 1=2 £ 5 obtuvieron la soluci¶on incorrecta 20 1/2.
>Qu¶e sugiere esta peque~
na historia? Que en el aprendizaje la matematizaci¶on de una situaci¶on merece prioridad respecto a la resoluci¶on de problemas
enunciados en lenguaje com¶
un por medio de recetas. Despu¶es de esta interrupci¶on perm¶³tanme formular mi octavo problema mayor de educaci¶
on matem¶
atica: >C¶
omo crear contextos convenientes para ense~
nar la matematizaci¶
on?
9. El ambiente implica el espacio, objetos en el espacio y sucesos en el espacio. El ambiente espacial matematizado es la geometr¶³a, el tema m¶as desatendido
en la ense~
nanza de las matem¶aticas de hoy. Durante siglos, en la terminolog¶³a inglesa, \geometr¶³a" fue
sin¶
onimo de \Euclides". Pero en la historia, la geometr¶³a comenz¶
o mucho antes de Euclides, y en la vida de los ni~
nos comienza antes de la preprimaria. >O
no deber¶³a ser as¶³?
En cualquier caso, lo que comienza es el manejo del
espacio y las relaciones en el espacio, el manejo del
espacio, viendo, escuchando y movi¶endose en el espacio. >Cu¶
ando puede llamarse a esto justamente geo-
metr¶³a? La respuesta tradicional es: cuando puede ser verbalizado en t¶ermino de de¯niciones, teoremas y pruebas. Esto, entonces, quiere decir que
la educaci¶
on geom¶etrica debe comenzar a una edad
en la cual los ni~
nos son capaces de hablar el lenguaje convencional de la geometr¶³a, ya sea el de Euclides o el del libro de texto. Desafortunadamente, usted no puede aprender el lenguaje en el cual es expresado un tema si no ha experimentado el tema
mismo.
>C¶
omo aprende el tema mismo? La forma es por medio de ser consciente del manejo intuitivo de uno mismo, del espacio. Tomemos un ejemplo. Cualquiera
sabe que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre s¶³. >C¶
omo lo sabe? Bien, puede probarlo por medio de Euclides, de tri¶
angulos congruentes,
etc. etc¶etera. Pero usted lo supo mucho antes de haber aprendido geometr¶³a formal. >C¶
omo lo supo entonces? >No lo recuerda?, Quiz¶
as usted no se preocup¶
o. >Por qu¶e no? Porque sus profesores no se
preocuparon. >Pero por qu¶e no deben preocuparse los profesores? Pregunte a un ni~
no >C¶
omo sabes que estas l¶³neas en esta ¯gura se bisectan entre s¶³? Toda respuesta es bienvenida, aun una equivocada, si hace al ni~
no re°exionar sobre sus intuicio¶
nes espaciales. Este
es mi noveno problema de educaci¶
on matem¶
atica: >Puede usted ense~
nar geometr¶³a
usando las re°exiones de estudiante acerca de sus intuiciones espaciales?
10. Estoy obligado a decir algo acerca de calculadoras y computadoras. Ustedes protestar¶³an si no
lo hiciera. Podr¶³a rehusarme porque puedo probar que soy incompetente. No s¶e casi nada acerca de calculadoras y computadoras. Es una de¯ciencia de conocimiento lo que me impide abordar
cualquier problema menor de calculadoras y computadoras en la educaci¶
on matem¶
atica. Pero no me
impide indicar lo que a mi vista es un problema
mayor.
La tecnolog¶³a in°uye en la educaci¶
on. El bol¶³grafo,
la fotocopiadora y el retroproyector han cambiado
la ense~
nanza radicalmente. Pero ha sido con tecnolog¶³a que no fue intencionalmente desarrollada como
tecnolog¶³a educativa. A la instrucci¶
on programada,
las m¶
aquinas de ense~
nanza, los laboratorios de idiomas, que fueron intencionalmente tecnolog¶³a educativa, basada en una gran teor¶³a, no les fue tan bien,
por decir lo m¶³nimo.
Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶
atica. Hans Freudenthal.
Las calculadoras se est¶an usando en las escuelas y se
usar¶
an a¶
un m¶as en el futuro. La ciencia de la computaci¶
on se ense~
na y se ense~
nar¶a a¶
un m¶as >c¶
omo hacerlo?, ¶estas son cuestiones menores. La instrucci¶
on asistida por computadoras tiene un largo camino que recorrer a¶
un en los pocos casos donde parece factible. Lo que yo busco no es calculadoras
y computadoras como tecnolog¶³a educativa sino como educaci¶
on tecnol¶ogica, sino como una potente herramienta para despertar e incrementar el entendimiento matem¶atico.
Perm¶³tanme ilustrar lo que indico con unos cuantos
ejemplos. Si los encuentran triviales o tontos, por
favor busquen mejores.
Juan y Mar¶³a est¶an jugando con sus calculadoras.
Juan comienza en 0, Mar¶³a empieza en 100. Alternativamente Juan suma 2 mientras Mar¶³a resta 3,
>En d¶
onde se encontrar¶an?, u otro; Juan comienza en 0 y Mar¶³a en 100. Alternativamente Juan suma 3 mientras Mar¶³a suma 2, >D¶onde la alcanzar¶
a
Juan? u otro m¶as: A Juan y a Mar¶³a se les pide compartir 100 (digamos canicas) en la raz¶
on 2:3;
>c¶
omo lo har¶an por sustracciones alternadas de 2 y
3 o m¶
ultiplos de ellos, usando sus calculadoras?
Espero que entiendan lo que indico: descubrir las leyes que gobiernan las razones por medio de experimentos num¶ericos facilitados por las calculadoras.
Ser¶³a maravilloso que las calculadoras, que no saben
fracciones, pudieran ser u
¶tiles o pudieran ser la llave al entendimiento de estos conceptos matem¶
aticos
fundamentales.
Con las precauciones anteriores, formulo ahora mi
d¶ecimo problema mayor de educaci¶on matem¶
atica
como: >C¶
omo se pueden usar las calculadoras y
las computadoras para despertar el entendimiento
matem¶
atico?
11. >No es ¶este un maravilloso despliegue de problemas de educaci¶on matem¶atica? <Mu¶estrenme el admirable mundo donde estos problemas pudieran ser
resueltos, fueran resueltos! M¶as que en el sill¶
on o
en el laboratorio, los problemas educativos, lo sostuve hace media hora, se resuelven en el proceso educativo. Si esto es cierto, entonces en nuestro mundo real ser¶
a un proceso lento el resolverlos, un proceso social, un largo proceso de aprendizaje de la sociedad. >Puede ser dirigido, puede ser guiado? >Puede haber, posiblemente, una estrategia de cambio?
19
Digo \cambio", m¶
as que \innovaci¶
on". No me gusta el t¶ermino innovaci¶
on pues implica novedad. Sugiere novedad como una condici¶
on necesaria y su¯ciente para una calidad m¶
as alta. En los sesentas, la gente crey¶
o en el desarrollo curricular como
una estrategia para el cambio: el curr¶³culo preescrito por decreto gubernamental o aparecido en las escuelas y salones de clase, en la forma de huecos temas condensados en coloridos libros de texto, vendidos tan f¶
acilmente en pa¶³ses en desarrollo donde para la mayor¶³a de la juventud la vida escolar puede
terminar a la edad de diez a~
nos. Aunque yo no s¶e casi nada acerca de pa¶³ses en desarrollo, hay pocas cosas que me hayan disgustado m¶
as que los curr¶³culos
que les fueron vendidos.
El desarrollo del curr¶³culo visto como una estrategia para el cambio es una perspectiva equivocada.
Mi propia perspectiva, ahora compartida por muchas personas, es el desarrollo educativo. Esto signi¯ca una actividad integrada educativamente, dirigida totalmente hacia la educaci¶
on m¶
as que a los detalles: \totalmente" signi¯ca:
1. longitudinal
2. simult¶
aneamente a todos los niveles.
3. y viendo cada ¶
area tem¶
atica en un contexto m¶as
grande.
>No es una ilusi¶
on apuntar a la educaci¶
on total m¶as
que a un cierto n¶
umero de aspectos? >No son demasiados asuntos entre manos? No; apuntar a la educaci¶
on en forma total pretende no sobreestimar las modestas fuerzas de uno, ni disipar la d¶ebil energ¶³a de
¶
uno. Unicamente
con un panorama del todo, puede usted discernir los puntos salientes, las ¯bras nerviosas que in°uyen en la educaci¶
on. Mi decimoprimer problema mayor de educaci¶
on matem¶atica es:
>C¶
omo dise~
nar el desarrollo educativo para una estrategia de cambio?
12. >En d¶
onde puede usted encontrar las ¯bras nerviosas que in°uyen en la educaci¶
on? Seleccionar¶e
dos extremos, el medio m¶
as conservador y el medio m¶
as progresista, la determinaci¶
on m¶
as poderosa del presente y la determinaci¶
on m¶
as poderosa de
la educaci¶
on futura, esto es, libros de texto, y preparaci¶
on de profesores.
Comencemos con los libros de texto. Los profesores muy a menudo dependen fuertemente de los libros de texto. No los censuro por esta falta de con¯anza en s¶³ mismos. Despu¶es de tres o cuatro a~
nos de
20
ContactoS 42, 11{22 (2001)
A ¶ ba c o c hino de uso a c tua l. La s c ue nta s re pre se nta n 2 7 0 9 1 .
preparaci¶
on inadecuada, los libros de texto podr¶³an
ser su u
¶ltimo, su u
¶nico recurso.
Ustedes han sido confrontados aqu¶³ con diez problemas de educaci¶on matem¶atica que considero fundamentales y, con el decimoprimero, c¶omo resolverlos. Pero desde el inicio de la charla les he advertido que la resoluci¶on de problemas en la educaci¶
on
no es un trabajo para te¶oricos, sino para los participantes en el proceso educativo. Los autores de libros de texto son participantes, que a su vez dependen de los presuntos usuarios de su producci¶on. >Deber¶³a pedirles a los autores de libros de texto resolver mis problemas? Claro que no, ni siquiera intentarlo. Lo m¶³nimo y lo m¶aximo que yo puedo esperar de ellos, es que ponderen mis problemas. Quiz¶
as
ya lo hicieron, ya que yo no fui quien invent¶o mis problemas. Si lo hicieron y si en alg¶
un aspecto tuvieron ¶exito, que esto se conozca, no por gu¶³as y manuales para el profesor (que son frecuentemente desmentidos por el libro de texto) sino por el mismo libro de texto, por sus caracter¶³sticas interconstruidas. Por ejemplo, un tema esquematizado progresivamente ser¶³a un buen caso, con la condici¶
on de
que dirija al profesor y al estudiante, no a lo largo de rutas preprogramadas, sino a lo largo de la re°exi¶
on y el discernimiento.
La matematizaci¶
on del espacio es una cosa dif¶³cil de
ser ense~
nada por los libros de texto, pero justamente
por esta raz¶
on es digna de ser emprendida. Lo mismo
podr¶³a comentar de varios de mis problemas.
Ahora paso a la preparaci¶
on de profesores. >Debo repetir lo que dije acerca de los libros de texto y pedirles a quienes capacitan profesores, como participantes en el proceso educativo, contribuir a la resoluci¶
on de mis problemas mayores? S¶³ lo har¶e, pero esto no es su¯ciente. Los estudiantes de magisterio, al aprender matem¶
aticas, son conducidos
a aprenderlas como un tema did¶
actico. En la preparaci¶
on de profesores cada uno de mis problemas mayores de educaci¶
on matem¶
atica tiene una contraparte did¶
actica.
Las cosas son a¶
un m¶
as complicadas. Los estudiantes para profesor, en general, pertenecen al gran grupo de adultos cuyas fuentes de discernimiento han sido obstaculizadas por el conocimiento y habilidades
adquiridas entre tanto. Para decirlo m¶
as concretamente: No se preocupan de por qu¶e la multiplicaci¶
on por 100 se efect¶
ua \agregando dos ceros" ni por
el hecho de que se pueda o deba argumentar ese conocimiento. As¶³ que tienen que someterse a tratamiento: reaprender tales hechos durante la ense~
nan-
Problemas fundamentales de la educaci¶on matem¶
atica. Hans Freudenthal.
21
A ¶ ba c o de bro nc e ro ma no .
za de los ni~
nos, observando sus procesos de aprendizaje. Mientras m¶as alto sea el nivel de aprendizaje, m¶
as parad¶ojica puede sonar esta conclusi¶
on. Saber una parte de matem¶aticas demasiado bien puede ser un serio impedimento para ense~
narla adecuadamente en tanto que el profesor es inconsciente de los procesos de aprendizaje que produjeron su
excelencia.
Por tanto, necesita reaprender, observando los procesos de aprendizaje de gentes menos h¶
abiles, de ni~
nos.
Pero ahora nos enfrentamos con uno de los grandes
problemas de preparaci¶on de profesores. Mientras en
el medio escolar uno puede f¶acilmente arregl¶
arselas
para observar procesos de aprendizaje de corto plazo, es impracticable, por no decir imposible, hacer lo
mismo para los procesos de aprendizaje de largo plazo. Las experiencias dise~
nadas y propuestas por los
autores de libros de texto no pueden llenar este hueco si son emprendidos por gente impreparada. La
falta de experiencia en los procesos de aprendizaje de largo plazo es la causa de la dependencia de
los futuros profesores respecto de los libros de texto. C¶
omo resolver este dilema es un problema digno
de estudio. Perm¶³tanme restringirme a ¶este: La preparaci¶
on del profesor deber¶³a ser repensada y reformulada en su totalidad.
13. El desarrollo educativo incluye, entre otras cosas,
la investigaci¶
on educativa. No tratar¶e ning¶
un problema de investigaci¶
on educativa, pero sostengo que la
educaci¶
on educativa en s¶³ misma es uno de los problemas mayores de la educaci¶
on matem¶
atica. Quiz¶as
ustedes sepan que en el pasado he criticado severamente la investigaci¶
on educativa por su irrelevancia y la he cali¯cado como un peligro para la educaci¶
on matem¶
atica.
Lo que se llama investigaci¶
on educativa representa una producci¶
on enorme, a¶
un en expansi¶on, tanto en volumen como en variedad. Admit¶³, y todav¶³a admito que mi conocimiento de la investigaci¶
on educativa est¶
a restringido a una parte diminuta de este campo. Del trabajo que conozco hay poco de alta calidad (y deber¶³a agregar que durante
los u
¶ltimos a~
nos se ha incrementado por un orden
de magnitud) de forma que, extrapolando a la enorme cantidad con la cual no estoy familiarizado, conjeturo que debe haber una gran cantidad de investigaci¶
on educativa de alta calidad. >Pero c¶
omo buscarla y traerla a mano estando sepultada bajo monta~
nas de producci¶
on irrelevante y sin ning¶
un m¶erito?
Tanto en matem¶
aticas como en investigaci¶on educativa, la producci¶
on es alta; la diferencia est¶a en
que la detecci¶
on de investigaci¶
on buena y relevan-
22
ContactoS 42, 11{22 (2001)
te es f¶
acil en matem¶aticas, pero casi imposible en la
educaci¶
on.
No: investigaci¶
on de la educaci¶
on. S¶³: investigaci¶on
en la educaci¶
on.
No repetir¶e ning¶
un detalle de mi bien conocida
cr¶³tica de la investigaci¶on educativa actual, pero en
obsequio de la honestidad me siento obligado a decir que, desde la primera vez que la manifest¶e, la
cantidad de investigaci¶on relevante ha crecido sensiblemente, al menos con respecto a matem¶aticas.
La buena investigaci¶on est¶a todav¶³a en peligro de
ser sofocada por la producci¶on masiva de investigaci¶
on educativa irrelevante y de ning¶
un m¶erito,
lo cual es adem¶as un peligro para la educaci¶
on
misma.
NOTA: Estoy en deuda con J. Adda, H. Bausrfeld,
A. J. Bishop, J. Go®re, A. Z. Krygowska y A. Treffers por las cr¶³ticas que hicieron a la primera versi¶
on de esta conferencia, incluso en aquellos casos en
los que no segu¶³ su consejo.
Hay quienes pretenden que la f¶³sica es la maldici¶
on
de la naturaleza y la biolog¶³a es la maldici¶on de la vida. No creo que est¶en en lo correcto. La investigaci¶
on cient¶³¯ca es una buena cosa, y la investigaci¶
on en educaci¶
on tambi¶en, siempre y cuando cuidemos que no se convierta en la maldici¶on de la educaci¶
on. Conf¶³o en que lo lograremos. Mi esperanza
est¶
a puesta en la investigaci¶on educativa como parte del desarrollo educativo.
cs