Soluciones de la relación del Tema 9. 1. Sea X 1,...,Xn una m.a.s. de

Soluciones de la relación del Tema 9.
1. Sea X1 , . . . , Xn una m.a.s. de X ∼ (µ, σ 2 ). Se nos pide:
Pn
Xi
- Probar que X = i=1
es un estimador insesgado de µ, es decir, debemos comn
probar:
EX = µ
Veámoslo:
Pn
EX = E
Pn
i=1
n
Xi
Pn
=
EXi
=
n
i=1
Pn
i=1
µ
n
=
nµ
=µ
n
− X)2
es un estimador insesgado de σ 2 , es decir, debemos
n−1
i=1 (Xi
2
- Probar que S =
comprobar:
ES 2 = σ 2
Veámoslo:
P
2
− X)2
E[ ni=1 (Xi2 + X − 2Xi X)]
ES =E
=
=
n−1
n−1
P
P
P
2
2
2
E[ ni=1 Xi2 + nX − 2nX ]
E[ ni=1 Xi2 + nX − 2X ni=1 Xi ]
=
=
=
n−1
n−1
P
Pn
2
2
2
E[ ni=1 Xi2 − nX ]
i=1 EXi − nEX
=
=
n−1
n−1
2
Pn
i=1 (Xi
Ahora teniendo en cuenta que si X ∼ N (µ, σ 2 ), sabemos que V ar(X) = σ 2 =
EX 2 − µ2 , y que bajo las condiciones del problema se verifica que X ∼ N (µ, σ 2 /n),
podemos concluir:
Pn
2
EXi2 − nEX
n(σ 2 + µ2 ) − n(σ 2 /n + µ2 )
2
ES = i=1
=
=
n−1
n−1
nσ 2 + nµ2 − σ 2 − nµ2
(n − 1)σ 2
=
=
= σ2
n−1
n−1
2. Se nos pide calcular µ
byσ
b2 en el caso X ∼ (µ, σ 2 ). Sea X1 , . . . , Xn una m.a.s. de X. El
espacio paramétrico viene dado por:
Θ = {(µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ 2 > 0} = R × (0, ∞)
y la función de densidad de la muestra es:
n
fµ,σ
2 (x1 , . . . , xn )
Pn
2
1
i=1 (xi − µ)
= 2 n/2
exp −
(σ ) (2π)n/2
2σ 2
x1 , . . . , x n ∈ R
Sean x1 , . . . , xn ∈ R, entonces la función de verosimilitud viene dada por:
Pn
2
1
2
i=1 (xi − µ)
Lx1 ,...,xn (µ, σ ) = 2 n/2
exp −
µ ∈ R, σ 2 > 0
(σ ) (2π)n/2
2σ 2
1
Ahora tomamos logaritmo neperiano para eliminar la exponencial:
Pn
(xi − µ)2
n
n
2
2
ln Lx1 ,...,xn (µ, σ ) = − ln σ − ln 2π − i=1 2
2
2
2σ
Para obtener los estimadores máximo verosı́miles de los parámetros debemos derivar el
logaritmo de la verosimilitud con respecto a los dos parámetros:
Pn
Pn
(xi − µ)
∂ ln Lx1 ,...,xn (µ, σ 2 )
i=1 2(xi − µ)(−1)
=−
= i=1 2
=0
2
∂µ
2σ
σ
Pn
Pn
2
2
n
∂ ln Lx1 ,...,xn (µ, σ 2 )
n/2
i=1 (xi − µ) 2
i=1 (xi − µ)
=
−
=
−
−
−
+
=
∂σ 2
σ2
(2σ 2 )2
2σ 2
2σ 4
P
−σ 2 n + ni=1 (xi − µ)2
=
=0
2σ 4
De la primera ecuación obtenemos:
Pn
Pn
Xi
i=1 xi
⇒µ
b(X1 , . . . , Xn ) = i=1
=X
µ
b=
n
n
De la segunda ecuación obtenemos:
Pn
Pn
2
(Xi − X)2
(x
−
µ
b
)
i
2
2
⇒σ
b (X1 , . . . , Xn ) = i=1
σ
b = i=1
n
n
3. Sea X1 , . . . , Xn una m.a.s. de X ∼ B(1, p), por tanto EX = p y V arX = p(1 − p). Se
nos pide:
Pn
Xi
es un estimador insesgado de p, es decir, debemos com- Probar que pb1 = i=1
n
probar:
E[b
p1 ] = p
Veámoslo:
Pn
E[b
p1 ] = E
Pn
- Probar que pb2 =
probar:
i=1
n
Xi2
i=1
Xi
n
Pn
EXi
=
n
i=1
=
Pn
i=1
p
n
=
np
=p
n
es un estimador insesgado de p, es decir, debemos comE[b
p2 ] = p
Veámoslo:
Pn
i=1
E[b
p2 ] = E
n
Xi2
Pn
=
EXi2
n
i=1
Ahora teniendo en cuenta que V ar(X) = p(1 − p) = EX 2 − p2 podemos concluir:
Pn
Pn
Pn
2
2
p
np
i=1 (V arXi + (EXi )
i=1 (p(1 − p) + p
E[b
p2 ] =
=
= i=1 =
=p
n
n
n
p
2
4. Sea X1 , X2 , X3 una m.a.s. de X ∼ (µ, σ 2 ). Se nos pide:
X1 + 2X2 + 3X3
es un estimador insesgado de µ. Veámoslo:
6
X1 + 2X2 + 3X3
EX1 + 2EX2 + 3EX3
µ + 2µ + 3µ
E[b
µ1 ] = E
=
=
=µ
6
6
6
- Probar que µ
b1 =
X1 − 4X2
es un estimador insesgado de µ. Veámoslo:
−3
X1 − 4X2
EX1 − 4EX2
µ − 4µ
E[b
µ2 ] = E
=
=
=µ
−3
−3
−3
- Probar que µ
b2 =
3