S. DIÉDRICO TEORIA

DEPARTAME TO DE ARTES PLÁSTICAS
I.E.S. POBRA DO CARAMIÑAL - PROF. JOSÉ MA UEL BOO FEIJOO
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
PROYECCIO ES SUS CLASES. SISTEMAS DE REPRESE TACIÓ . AMBITO DE
UTILIZACIÓ DE CADA U O DE ELLOS.
GEOMETRÍA DESCRIPTICA. DEFI ICIÓ :
Es la ciencia o método matemático-grafico que tiene por objeto la representación sobre el plano de
las figuras o cuerpos del espacio. Resolviendo los problemas de las tres dimensiones mediante el
empleo de la geometría plana.
Para establecer las relaciones entre las formas tridimensionales o del espacio y las de dos
dimensiones es necesario realizar en principio una operación denominada PROYECCIÓN.
Toda representación ha de ser reversible, es decir que partiendo de la proyección se puede
reconstruir el cuerpo en el espacio. Esto se puede conseguir por diferentes métodos que se llaman
sistemas de representación.
PROYECCIO ES:
Todo objeto colocado en la trayectoria de un haz de rayos luminosos produce una silueta del mismo
sobre un plano situado posteriormente. Si el cuerpo que consideramos es transparente la silueta
antes mencionada, representará además del contorno, los demás accidentes particulares que servirán
para identificarle plenamente.
A esta silueta se le conoce con el nombre genérico de proyección sobre el plano.
ELEME TOS DE U A PROYECCIÓ :
CENTRO DE PROYECCIÓN: Es el punto F desde el cual parten todas las semirrectas que pasando
por los puntos del objeto inciden sobre el plano.
RECTAS PROYECTANTES: Son aquellas que conteniendo al centro de proyección pasan por los
puntos del objeto e inciden sobre el plano.
PLANO DE PROYECCIÓN: Es aquel sobre el que inciden las rectas proyectantes dando lugar a
dibujos o proyecciones del objeto.
F
A
a
(P)
F
PROYECCIO ES
A
B
A
B
B
A
a
b
b
a
a
b
P. CILÍNDRICAS:
El centro de proyección es un punto impropio
situado en el infinito y las rectas proyectantes
són paralelas entre sí.
ORTOGONALES
Cuando las rectas proyectantes son
perpendiculares al plano de proyección.
OBLICUAS
Cuando las rectas proyectantes son
oblícuas al plano de proyección.
P. CONICA
Todas las rectas proyectantes parten del centro de proyección que es un punto propio.
También recibe el nombre de proyección central o perspectiva cónica.
SISTEMAS DE REPRESE TACIÓ
CILINDRICO ORTOGONAL
S. DIÉDRICO
S. ACOTADO
S. AXONOMÉTRICO
CILÍNDRICO OBLICUO
P. CABALLERA
CÓNICO
P. CÓNICA
SISTEMA DIÉDRICO
Es el más generalizado.
Se llama también de doble proyección o de MONGE (geómetra francés).
Sistema de proyección cilíndrico ortogonal.
Constituido por dos planos PV y PH perpendiculares entre si.
La recta intersección entre ambos se llama línea de tierra. ( línea fina en la aplicación industrial
desaparece).
Divide el espacio en cuatro cuadrantes.
ABATIMIENTO DE LOS PLANOS
DIEDRICO
REPRESENTACIÓN EN
PV
PV
2º
1º Cuadrante
PH
3º
LT
4º
PH
EJES COORDENADOS (Formados por la LT y las rectas intersección de un plano perpendicular a
los de proyección PLA O DE PERFIL).
El origen se encuentra en el punto de intersección de los tres planos.
-Y Z
-X
O
-Z Y
X
SISTEMA DE PLA OS ACOTADOS:
Emplea un solo plano de proyección ( horizontal) llamado PLANO DE COMPARACION
Z
O Z
X
X
Y
(P)
Y
SISTEMA AXO OMÉTRICO:
Formado por tres planos secundarios y otro principal llamado PLANO DEL CUADRO.
Losplanos secundarios
TRIRRECTÁNGULO.
son
perpendiculares
entre
si
forman
un
TRIANGULO
Los ejes coordenados se forman en la intersección de estos tres planos entre si .El origen se
encuentra en el punto de intersección de los tres planos.
Según la situación de estos respecto al plano de proyección principal se derivan tres sistemas
diferentes.
ISOMÉTRICO a = b = c
DIMETRICO
a= b / c
TRIMETRICO a / b / c
Z
Z´
-X
X´
-Y
Y´
O
Z
X
Y
X
Y
-Z
P. CABALLERA:
Variante del sistema axonométrico. Uno de los planos secundarios se encuentra situado sobre el PP.
SISTEMA CO ICO:
Tiene un plano de proyección vertical “cuadro” ( Plano Principal )
Otro horizontal. ( Horizontal)
Otro paralelo al horizontal . ( Geometral)
Otro paralelo al Plano Principal ( De Desvanecimiento)
PH
PP
PD
PG
SISTEMA DIEDRICO
FU DAME TOS – PU TO, RECTA Y PLA O – PARALELISMO Y
PERPE DICULARIDAD – A GILOS – ABATIMIE TOS – GIROS - CAMBIOS DE
PLA O – I TERSECCIO ES – SUPERFICIES: GE ERACIÓ Y CLASIFICACIO –
REPRESE TACIÓ DE SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES Y DE
REVOLUCIO MAS USUALES.
EL PU TO:
La proyección ortogonal de un punto es el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.
Un punto queda definido cuando se conocen sus dos proyecciones.
Cota y alejamiento: Se llama cota de un punto a la distancia del mismo al PH. Alejamiento es la
distancia del punto al PV. Tanto la cota como el alejamiento pueden ser positivos, nulos o
negativos. Todos los puntos situados sobre el plano horizontal tienen cota positiva, los contenidos
en dicho plano cota nula y los situados por debajo cota negativa.
Planos bisectores: Se denominan planos bisectores de los ángulos diedros a los planos que pasando
por la LT contienen a las bisectrices de los ángulos rectilíneos correspondientes a los diedros. Los
planos bisectores dividen a los diedros en dos partes iguales llamados octantes. Luego los dos
bisectores junto con los planos de proyección dividen el espacio en 8 octantes.
3º
2º
4º
1º
5º
8º
6º
7º
ALFABETO DEL PU TO (17 posiciones)
ALFABETO DE LA RECTA ( 53 posiciones)
Posiciones particulares de la recta respecto al plano: Paralela
Perpendicular
Oblicua
R
S
T
r
s
t
(P)
Proyecciones de una recta. La proyección de una recta sobre el plano será otra recta, obtenida
por las proyecciones de todos los puntos de esta. Sólo son necesarios 2 puntos para la
proyección de la recta
Trazas de una recta. La recta puede definirse por sus trazas. Se denominan trazas de una recta
a los puntos en los cuales la recta corta a los planos de proyección. La intersección con el PV se
llama traza vertical (designación V) y la intersección con el PH se llama traza horizontal
(designación H).
Trazas con los bisectores. Es donde la recta corta a los planos bisectores. El punto de la recta
en que corta el 1º bisector, será aquel punto de la recta que tenga igual cota que alejamiento y
sus posiciones están situadas sobre las proyecciones de la recta, una a cada lado de la LT. El
punto de intersección de la recta con el 2º bisector, también tendrá siempre igual cota que
alejamiento, pero en sus proyecciones aparecerán ambas confundidas en un solo punto.
Partes vistas y ocultas de la recta. Al observador siempre se le supone situado en el 1º
diedro y solo serán vistas las figuras situadas en él.
Rectas que se cortan y rectas que se cruzan. Si dos rectas se cortan en el espacio, las
proyecciones del mismo nombre han de cortarse en dos puntos contenidos en una misma
perpendicular a la LT. Si no fuera así no se cortarían, se cruzarían.
RECTAS PARALELAS A LA LT. ( 17 POSICIO ES )
d´
c´
f´
f
e´
h
h´
g´g
b´
a´
e
d
a
b
c
j
i
k
l
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ll
j´
p´p
k´
m
o´
n´n ´
o
l´
ll´´
m´
RECTAS PERPE DICULARES A LOS PLA OS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIO ES )
a´ b´1
h´
b´
b
c´c b´2 b2
h b1
h´h
h´
v
b´2 b2
b´1 b1
b´2 b2 a h b1
b´2 b2
v´ d´ b´1
v´v
f
e´
b1 b1´
b2 b2´
d
b´1
b1
b1
e
b2 b2´ b1´v´
f´
v
RECTAS PARALELAS A LOS PLA OS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIO ES )
b1
b2b´2´ v´
b1´
a´
c
v´v
b´
v
v
a
b
c´
b2b2´
b1
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v´
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b1´
b1
h´
h´ h
f
b2 b2´
e
f´
d
b2 b2´
h
b1
b1´
RECTAS OBLICUAS A LOS PLA OS DE PROYECCIÓ QUE PASA POR TRES
DIEDROS ( 4 POSICIO ES )
b1´
h
b2b2´
a´
b1´
v´
b2b2´
v´
b2b2´
h b1´
c´
b1´
b
h´
v
h´
v
h´
v
h´
v
b
b1´
b2b2´
b1
h
a
b
c´
v´
b1
b1
v´
h
RECTAS OBLICUAS A LOS PLA OS DE PROYECCIÓ QUE CORTA A LA LT.
( 4 POSICIO ES)
m
a´
m´
b´
m
m´
v´v
hh´
c´
m´
d
v´v
h´h
v´v
h´h
d´
v´v
m
m
a
b
h´h
c
RECTAS PARALELAS A LOS PLA OS BISECTORES ( 6 POSICIO ES )
h
a´
m´
b´
c´
b2b2´ v´
h´
b2b2´
v´v
h´h
v
v
h´
b2b2´
a
b
h
m
v´
v´
c
h
b1´
h
a´
h´
v
bb´
m m´
vv´hh´
b1 b1´
b1
c
v
h´
b1
b1´
a
c´
v´
h
m´
RECTAS DE PERFIL ( 10 POSICIO ES )
v´
h
b1´
a´
m´m
b´
c´
vh´
v´v
h´h
h´
v
b1
a
h
b
c
v´
hv´
b2b2´
d´
m´
e´
h´v
v´v
h´h
m
e
d
f´
v´
b1´
a´
v´
b2b2´
b´
h
b1
c
d´
h´v
hv
h v
h´ v
v h´
b2b2´
f
hv´
b1
a
h´
b
b1´
c´
v´
b2b2´
d
h
v´
Perpend. al 1ºbis. --- Perpend. al 2º bis. ---Oblicuas a los bis.------------
EL PLANO
TRAZAS DE UN PLANO: Se denominan trazas de un plano a las intersecciones de éste con cada
uno de los planos de proyección. Estas intersecciones serán siempre rectas.
P´
P´
(P)
P
P
Este plano dado corta a los que constituyen el diedro, según dos rectas concurrentes,
por lo que ambas trazas han de concurrir necesariamente en un punto en la LT.
Se designan las trazas del plano con letras mayúsculas P´P
MODO DE SITUAR U A RECTA E U PLA O DADO POR SUS TRAZAS: Para que una
recta esté contenida en un plano, las trazas de la recta han de confundirse con las trazas del plano.
v´
P´
P´
r´
h´
v
R
r
h
P
P
MODO DE RECO OCER SI U PU TO ESTA CO TE IDO E U PLA O: Para que un
punto esté situado en un plano, ha de estar contenido en una de las rectas que pertenezcan al plano.
v´
P´
a´
P´
a´
A
r´
R
h´
a
v
r
a
h
P
P
DETERMINACIÓN DE UN PLANO: Un plano puede determinarse por:
Tres puntos no alineados
Dos rectas paralelas
Un punto y una recta que no se pertenezcan
Por dos rectas que se cortan
RECTAS PARTICULARES DEL PLA O:
Recta horizontal del plano
Recta frontal del plano
Línea de máxima pendiente
Línea de máxima inclinación
P´
P´
r´
v´
r´
v
h´
r
h
r
P
P
v´
v´
P´
P´
r´
h´
r´
v
v
h´
r
r
P
P
h
h
ALFABETO DEL PLA O (23 Posiciones)
PLANOS PROYECTANTES : VERTICAL
HORIZO TAL
P´
P
Q´
Q
PLA OS PARALELOS A LOS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIO ES )
P´
T
Q´
Q
T´
P
PLA OS PARALELOS A LOS BISECTORES ( 6 POSICIO ES )
U´
m´
Q
mm´
U
TT´
Q´
X
PP´
U
X´
U´
m
PLA OS PARALELOS A LA LT. ( 4 POSICO ES )
P´
Q´
T
Q
P
T´
U
U´
PLA OS QUE PASA POR LA LT. ( 2 POSICO ES )
m´
P
m
m´
P´
Q
Q´
m
PLA OS PARALELOS A LOS BISECTORES ( 3 POSICIO ES )
.
P´
QQ´
1º
T´
2º
1ºY2º
T
TRAZAS DE U A RECTA DE PERFIL DEFI IDA POR DOS PU TOS.
PP´
v´
V
a´
A
b´
v h´
a
b
h
B
H
EJERCICIOS
- Hallar las proyecciones de una recta que conteniendo al punto A ocupe las
siguientes posiciones:
a´
1) Paralela a la LT
2) Paralela al 1º bis.
3) Paralela al 2º bis.
4) Perpendicular a la LT
5) Perpendicular a V
a
6) Perpendicular a H
Hallar en todos los casos las trazas con los planos de proyección y con los
bisectores.
- Determinar las trazas de un plano que conteniendo a la recta R sea:
1)
2)
3)
4)
5)
Paralelo a la LT
Perpendicular al 1º bis.
Perpendicular al 2º bis.
Proyectante V
Proyectante H
r´
r
- Determinar las trazas de un plano que contenga a las rectas R y S .
Representar una horizontal y una frontal que contengan al punto de intersección
de ambas rectas.
r´
i´
s´
i
r
s
INTERSECCIÓN DE PLANOS
INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUALESQUIERA
La intersección de las trazas homónimas de los planos nos determinan los puntos h v´ trazas de la
recta intersección.
P´
i´
P
Q´
i
Q
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO HORIZO T.
P´
i´
v´
v
i
P
Q´
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO
PROYECTA TE H.
v´
P´
Q´
i´
h´
v
i
Q
h
P
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO
PROYECTA TE V.
Q´
P´
v´
i´
v
h´
i
Q
P
h
I TERSECCIÓ DE PLA OS PROYECTA TES H. Y V.
i´ v´
P´
i´
Q´
P´
Q´
h´
v
P
Q
i
h
P
i
Q
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO PARALELO A
LT.
Q´
P´
v´
i´
h´
Q
v
i
h
P
I TERSECCIÓ DE PLA OS PARALELOS A LT.
(1º METODO)
P´
Q´
P1
R
i´
Q1
i
P´
Q´
(2º METODO)
T´
P´
Q´
i´
i
P´
T
Q
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO FRO TAL
P´
i´
i
Q
P
I TERSECCIÓ DE U PLA O CUALQUIERA CO EL 2º BIS.
P´
b2b2´
v´
i´
v
i
P
I TERSECCIÓ DE U PLA O QUE PASA POR LA LT CO OTRO
PERPE DICULAR AL 2º BISECTOR.
P´P
T´
i´
t´
s´
T1
d´
a´
o´o
s
Q´
d
A1
Q
t
a
T
i
1) Plano T paralelo aLT que pasa por A
2) Intersección de T con Q recta S
3) Intersección de T con P recta T
4) Intersección de rectas S con T punto D
5) Intersección de PQ pasa por O y por D
I TERSECCIÓ DE U PLA O OBLICUO CUALQUIERA CO EL 1º BISECTOR.
P´
i´
s´
b´
b
i
s
P
I TERSAECCIÓ DE PLA OS CUA DO LAS TRAZAS SE E CUE TRA FUERA DE
LOS LIMITES DEL DIBUJO: Se eligen otros planos auxiliares paralelos a los de proyección o a
los dados.
I TERSECCIÓ DE PLA OS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTA FUERA DE
LOS LÍMITES DEL DIBUJO.
P´
Q´
i´
v´
T´
v
v´
h´
v
i
P
Q
h
I TERSECCIÓ DE PLA OS CUYAS TRAZAS HORIZO TALES SE CORTA FUERA
DE LPOS LÍMITES DEL DIBUJO.
P´
Q´
i´
h´
h´
h´
Q
P
h
T
h
i
I TERSECCIÓ DE PLA OS CUYAS TRAZAS HORIZO TALES Y VERTICALES SE
CORTA FUERA DE LPOS LÍMITES DEL DIBUJO.
P´
Q´
r´s´
t´
T´
u´
P
s
t
r
Q
u
H
INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO
GENERALIDADES: La intersección de una recta con un plano, es siempre un punto que pertenece
a ambos. Para obtener este punto se toma un plano cualquiera que contenga a la recta dada.
(P)
(Q)
R
I
I TERSECCIÓ DE U A RECTA CO U PLANO
(Plano auxiliar proyectante más cómodo)
P´
Q´
r´
r
Q
P
VISIBILIDAD DE U A RECTA AL CORTAR A U PLA O
1º METODO: (Plano Q paralelo a P y más proximo al observador)
Q´
P´
T´
b´
a´
P
Q
b
a
T
VISIBILIDAD DE U A RECTA AL CORTAR A U PLA O
2º MÉTODO: La región vista de una recta es aquella que se corresponde en la otra proyección con
la región ocupada por el mayor ángulo que forma la traza del nombre contrario del plano con la LT.
Q´
P´
r´
i´
i´
R
I
r´
h´
i
r
v
h
i
Q
r
P
v´
I TERSECCIÓ DE U A RECTA DADA (R) CO U PLA O QUE PASA POR LA LT.
1 Plano proyectante Q que contenga a R
2 Plano T frontal que pasa por A
3 (X) T con P recta S
4 (X) T con Q recta T
5 Int. ST--B
i´
Q´ t´
a´
b´
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(T)
(P)
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I
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R
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Q
PU TO DE I TERSECCIÓ DE TRES PLA OS.
Q´
T´
P´
(X) TP
(X) TQ
i´
i
Q
P
T
PARALELISMO
Dos rectas paralelas se proyectan paralelamente, puesto que los planos proyectantes que las
contienen son necesariamente paralelos entre sí.
R
S
r
s
T
(P)
t
RECTAS PARALELAS (SISTEMA DIÉDRICO)
Las rectas R y S paralelas en el espacio, tienen ambas proyecciones homónimas paralelas entre sí.
v´
v´
s´
r´
h´
v h´
v
s
r
h
h
PARALELISMO DE DOS RECTAS DE PERFIL
v´
v´
R
S
h´ v h´v
h
h
TRAZAR POR UN PUNTO DADO UNA RECTA PARALELA A OTRA DADA
a´
r´
s´
r
a
s
PLANOS PARALELOS
Al ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de intersección son
necesariamente paralelas entre si. En el sistema diédrico cuando dos planos son paralelos sus traza
homónimas son paralelas entre sí.
P´
Q´
P
Q
TRAZAR POR U PU TO U PLA O PARALELO A OTRO DADO
P´
Q´
a´
r´
a
P
Q
r
PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO
P´
s´
a´
r´
s
r
a
P
PERPE DICULARIDAD
La perpendicularidad al contrario del paralelismo no se reproduce en sus proyecciones salvo
en un determinado caso: cuando los elementos dados son rectas con planos o planos con
rectas. La perpendicularidad entre rectas o entre planos no se manifiesta directamente en las
proyecciones de estos elementos, salvo posiciones muy particulares.
TEOREMA DE LAS TRES PERPE DICULARES:
Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio y una de ellas R es paralela al plano (P) de
proyección, las proyecciones r y s de ambas rectas sobre el plano son perpendiculares entre sí.
S
M
R
s
r
m
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Toda recta perpendicular a un plano se muestra en sus proyecciones diédricas perpendicularmente a
las respectivas trazas del plano considerado.
P´
r´
(Q)
I
R
Q
r
r
P
i
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO POR UN PUNTO
P´
a´
r´
a
r
P
RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SÍ.
Toda recta F o S contenida en un plano perpendicular a la resta R dada, lo es a la recta dada, pase o
no por su punto intersección.
r´
P´
R
s´
t´
(P)
S
T
s
t
P
r
PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SÍ.
Para que un plano Q sea perpendicular a otro dado P basta que contenga a una recta R que sea
perpendicular a P.
P´
Q´
r´
i´
Q
i
r
P
DISTA CIAS
La distancia verdadera entre dos puntos dados por sus proyecciones en el sistema diédrico, no se
manifiesta directamente sobre los planos de proyección, salvo que el segmento de unión de ambos
puntos, se muestre paralelo a uno de estos planos.
DISTA CIA E TRE DOS PU TOS
B
r´
R
h
h
A
Bº
a
b
r
h
b
b´
D
h
a´
a´
a
a
D
b
h
b
DISTA CIA DE U PU TO A U PLA O.
Es la porción de perpendicular al plano, comprendida entre el punto dado y su intersección B con el
plano dado.
R
P´
Q´
b´ a´
A
D
r´
B
(P)
P
a
b
Q
r
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Se traza por el punto un plano perpendicular a la recta dada, hallando su intersección.
La distancia será el segmento comprendido entre el punto dado y la intersección de la recta con el
plano.
s´
R
i´
r´
Q´
P´
m´
M
I
(P)
s
m
i
P
r
Q
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Se determina por el segmento perpendicular común a ambas rectas,
el cual se obtiene trazando el plano (P) perpendicular a ambas rectas.
r´
s´
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R
S
b´
a´
A
B
(P)
r a
b
s
P´
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
R
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Q´
A
(Q)
a´
B
b´
(P)
b
Q
P
r
a
MI IMA DISTA CIA E TRE DOS RECTAS QUE SE CRUZA
Rectas R y S. Es necesario trazar la recta que les sea perpendicular común
1) Tomar un punto A de una recta S y trazar por ella una paralela T a la otra dada R
2) Ambas rectas S y T forman un plano (P) paralelo a la recta R
3) Distancia de R a (P). Por un punto B de la recta R se traza una perpendicular a (P) y se
halla su intersección C.
4) La distancia B C es la mínima distancia entre R y S que se debe situar en su verdadera
posición , trazando por C una paralela a T hasta que corte a S en E.
5) Por E se traza una perpendicular a D (paralela a M) hasta cortar a R punto F.
6) Distancia E F.
B
F
R
U
C
S
(P)
E
T
A
Q´
P´
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r´
b´
c´
a´
t´
s´ e´
f´
r
a
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b
s
c
f
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Q
P
ABATIMIE TOS
Se llama abatir un plano a hacer coincidir a este con otro plano particular y fijo.
El abatimiento de un plano se efectúa girando el mismo alrededor de una de sus trazas. Esta
traza recibe el nombre de charnela.
El plano fijo sobre el cual se abate es uno de los de proyección, por lo cual todos sus
elementos, puntos, segmentos, ángulos, polígonos, etc. contenidos sobre el plano móvil, se
sitúan tras el abatimiento sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin
deformación alguna, obteniendo su verdadera magnitud.
Siempre se abate un plano sobre otro y recíprocamente. Solo se pueden abatir planos.
Todos los puntos del plano, describen arcos de circunferencia cuyo centro se encuentra en la
charnela . Estando contenidas estas circunferencias en planos sucesivamente perpendiculares a
la traza que hace de charnela.
P´
(P)
P´ Pº1
Pº1
Pº
Pº
P
P
ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE
P´
Pº´
P´
P´º1
P´º
P
Pº´1
P
ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE CONTENIENDO UNA FIGURA
Aº
a´
Bº
b´
Cº
c´
b
a
c
ABATIMIENTO DE UN PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO CUALQUIERA
Aº1
(Q)
A
Aº
(P)
Aº1
Aº2
Q´
a´
Aº
Aº2
a
a´
Aº1
Q´
a
a´
r´
Aº2
Aº
Aº2
a
Q
r
Q
Aº1
ABATIMIENTO DE UN PUNTO Y LAS TRAZAS DEL PLANO QUE LE CONTIENE
P´
r´
R
a´
P´
A
v´
r a
v´
a´
r´
v
v
Aº
Rº
Vº
P´º
a
V´º
r
P
R´º
P´º
A´º
ABATIMIENTO DE LAS TRAZAS DE UN PLANO
P´
v´
P´
v´
v
v
P
Vº
Vº
P´º
P
P´º
ABATIMIENTO DE UNA RECTA SITUADA EN UN PLANO
P´
v´
v´
P´
SOBRE EL PH
r´
R
r´
h´
v
v
r
P
h´
r
h
Hº
Rº
P´º
V´º
h
Hº
P
P´º
Rº
V´º
SOBRE EL PV.
Pº
P´
v´
Rº
Hº
r´
h´
v
r
P´
h
P
a´
ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA
b´
c´
c
a
b
Cº
P
Bº
Aº
P´º
GIROS
GE ERALIDADES:
Método que sirve para situar un punto, recta o plano en posición más cómoda respecto a los
planos de proyección.
Se diferencia de los cambios de plano en que en este procedimiento los planos de proyección
permanecen fijos, siendo la figura en el espacio la que se desplaza, girando alrededor de una
recta tomada como eje de giro. Este puede adoptar diferentes posiciones respecto a los planos de
proyección, pero el caso más sencillo y más cómodo es cuando se sitúa perpendicular a uno de
ellos
PARA DEFI IR U PLA O TE EMOS QUE CO OCER:
Que es lo que gira
Alrededor de que gira
Cuantos grados gira
Los giros se efectúan siempre sobre una recta, salvo en el caso de giro sobre un punto, cuando
se trata de una figura plana que se mueve al girar en un mismo plano.
GIRO DE UN PUNTO
Cuando un punto gira alrededor de un eje describe una circunferencia cuyo plano es
perpendicular al eje tomado.
E
e´
a´
e
a´1
r
r1
E
a´1
e´
A1
a
e
a´
A
a1
e
a
a1
GIRO DE U A RECTA
1) RECTA CORTADA POR EL EJE (sólo se gira un punto)
r´
r´1
a´
a´1
2) LA RECTA O CORTA EL EJE (se giran dos
puntos)
a´
a´1
e´
r´
r´1
e´
b´
b´1
e
r1
a
a1
b
r
r
e
a
a1
r1
b1
3) TRAZA DO U RADIO PERPE DICULAR A LA RECTA
r´
e´
a´1
a´
b´
r´1
b´1
b
r
a
e
b1
r1
a1
GIRO DE UN PLANO
1)
2)
3)
4)
GIRANDO TRES PUNTOS DEL MISMO
DE DOS RECTAS EN EL CONTENIDAS
DE UNA RECTA Y UN PUNTO
DE FORMA MÁS SIMPLE GIRANDO LA TRAZA HORIZONTAL Y UNA
HORIZONTAL DEL PLANO, CUANDO EL EJE ES VERTICAL O LA TRAZA
VERTICAL Y UNA FRONTAL SI EL EJE ES DE PUNTA RESPECTO AL PLANO
VERTICAL.
P´1
e´
P´
r´1
r´
v´
v
e
P1
r1
r
P
EJERCICIOS:
1) MEDIANTE UN GIRO CONVERTIR UN PLANO EN PROYECTANTE.
2) MEDIANTE UN GIRO CONVERTIR UN PLANO PROYECTANTE EN PARALELO A
UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
P´
P´1
e´
a´
P´
P´1
e´
e a
P
P1
P
e
3) SITUAR UNA RECTA DADA PARALELA A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.
e´
r´
a´
r´1
a´1
b´
b´1
b
e
a1
b1
a
r1
r
4) SITUAR UN PUNTO EN UN PLANO DADO
e´
P´
a´1 a´
a´2
a
a1
e
P
a2
CAMBIOS DE PLANO
GENERALIDADES:
Se emplea para lograr que una figura quede situada respecto a los planos de
proyección en posición conveniente que nos permita una solución más fácil.
Consiste en, sin variar la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro,
elegido entre los que son perpendiculares al plano que se conserva.
Así se obtiene un nuevo sistema de planos ortogonales.
Dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, primero uno, luego el otro,
pudiendo repetir esto tantas veces se desee, si bien en casi todos los casos, solo con dos cambios,
uno para cada plano de proyección basta.
NOTACIONES:
Al efectuar el cambio de plano se coloca en la primera línea de tierra una llave con
las letras V y H correspondientes al PV y PH respectivamente, en la nueva LT otra llave con las
letras V1 H si se ha cambiado el plano vertical ó V1H1 si es el horizontal. La nueva LT además se
indicará con dos trazos uno a cada lado sobre el PH.
CAMBIO DEL P.V.
p1
p´
P
PV1
PV
PH
p
CAMBIO DEL P.H.
p
V1
H
V
H1
p´
p´1
V
H
V
H
p
p1
p
CAMBIO DE DOS PLANOS DE PROYECCIÓN
V1
H
p
p
p´1
V
H
p
PROYECCIONES DE UNA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO
V
H1
v´
r´
v
h
r
V
H
h´1
h
MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO HACER QUE UNA RECTA CUALQUIERA SE
CONVIERTA EN PERPENDICULAR A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.
V1
H1
r´1 v´1
v´
v1
r´
v
h´
V
H
r
r1
V
H1
h
h1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
R
D
A
a´1
D
r´1v´1
V1
H1
v´
v1
a´
r´
v
h´
a1
r1
V
H
a
V
H1
r
h
h1
MINIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN OBTENIDA MEDIANTE
DOS CAMBIOS DE PLANO.
V1
H1
s´1
v´
v´
v´1 D
r´1
s´
r´
v1
v
h´
h´
v
V
H
r
s
r1
v1
V
H1
s1
h
h1
h
h1
TRAZAS DE UN PLANO EN LOS CAMBIOS
1º METODO
2º METODO
P´1
P´
P´1
V1
H
v´
P´
V1
H
v´1
r´
v´
v
V
H
v
V
H
r
P
P
PROBLEMAS DE CAMBIOS
CONVERTIR UN PLANO EN PROYECTANTE VERTICAL MEDIANTE UN CAMBIO DE
PLANO.
V1
H
P´1
P´
v´
v´1
v
V
H
P
MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO VERTICAL HACER QUE UN PLANO
PROYECTANTE HORIZONTAL PASE A SER FRONTAL
P´
V
H
P
V1
H
TRANSFORMAR MEDIANTE UN CAMBIO UN PLANO CUALQUIERA EN PARALELO A
LT
P´
V
H1
a´
V
H
P1
a1
a
P
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO.
D
P´
P´1
Q´
Q´1
V1
H
a´
a´1
V
H
a
Q
P
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO MEDIANTE CAMBIOS
P´
(Plano proyectante)
p´
a´
V
H
p
a1
D
p1
a
P
P1
V
H1
A GULOS
GENERALIDADES:
Salvo en el caso de que un ángulo esté contenido en un plano paralelo al de proyección, este no
resulta proyectado en su verdadera magnitud. Por lo cual es necesario para hallar el valor real de un
ángulo, realizar un cambio de posición hasta situarlo paralelo o contenido en uno de los planos de
proyección.
Esto se consigue generalmente por medio de los ABATIMIENTOS, si bien se puede conseguir
también en determinados casos por medio de CAMBIOS DE PLANO o GIROS.
ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS QUE SE CORTAN Y DETERMINACIÓN DE SU
BISECTRIZ.
R S
(P)
P´
v´
v´
r´
h´
s´
v
v
h´
r
h
s
R1
P
V´1
S1
P´1
h
V´1
ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
R
S
(P)
v´
s´
v´
v´
v´
r´
t´
a´
h´
v
h´ v
v
r
h´
h´ v
a
s
Abatimiento
h
h
ANGULO DE DOS PLANOS
1) Intersección de P con Q
2) Plano perpendicular a I
3) Intersección T con P y T con Q
h
T´
h
P´
´
Q´
a´
a
P
Q
ANGULO DE UNA RECTA CON UN PLANO
Es el formado por la recta R con su proyección ortogonal “r” sobre el plano. Para ello se toma un
punto A sobre la recta , trazando por el una perpendicular al plano y determinando su intersección
B. Unido este punto con el de intersección I de la recta dada con el plano, obtenemos la proyección
ortogonal “r” . En ángulo formado por R y su proyección es el buscado.
A
R
B
I
P´
Q´
T´
a´
r´
i´
b´
b
i
r
a
P
T
Q