Práctico 0: Repaso - Centro de Matematica

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Matemática I. Curso 2011
Práctico 0: Repaso
1. Calcular (expresando el resultado final como una fracción con el
numerador y el denominador sin factores comunes):
1 1 1
a) + −
2 3 6
b) 2
1 1
+
3 2
1/2
1/3
c)
d)
1/2
2
e)
2
1/2
2. Decidir si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
a) (a2 )3 = a5
b) (a2 )3 = a6
e) (a2 )−1 =
f)
1
a2
√
i) ( a)3 = a3−2
√
1
c) (a2 )−1 = a 2
a = a−2
g)
j) a2 a3 = a5
k)
√
√
3
h) ( a)3 = a 2
1
a = a2
a2
a3
d) (a2 )−1 = a−2
2
= a3
3. Decidir si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. En el caso
de ser falsas encontrar un contraejemplo:
a) a2 b2 = (ab)4
b) a2 + b2 = (a + b)2
c)
p
(−a)2 = −a, a > 0
4. Probar las siguientes igualdades:
a) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
b) (x − 1)2 = x2 − 2x + 1
c) x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
d) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
e) (x − 1)3 = x3 − 3x2 + 3x − 1
f) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
g)
√1
2−1
=
√
2+1
h)
√
1√
a− b
√
=
√
a+ b
a−b
a, b > 0, a 6= b
5. Recordar que log a = b si y sólo si a = eb , donde log es el logaritmo
neperiano.
Sean c = log 3 y d = log 2, verificar si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas:
a) log 9 = log 32 = c2
b) log 5 = log(2 + 3) = dc
c) log 6 = log(2 · 3) = d + c
d) log(1/2) = −d
e) log(−3) = 1/c
f) log(−3) = −c
6. Resolver en R las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a) log(x2 − 1) = log(x − 1)
c) elog(x
2 −1)
b) 3x2 − 21x + 12 = −42
d) elog(x
=0
e) ex − 1 > 0
2 −1)
=1
f) −x3 + 2x2 − x ≥ 0
√
1
g) log( x) = .
2
7. Bosquejar el gráfico de las siguientes funciones:
a) f (x) = x − 1
b) f (x) = x2
c) f (x) = x2 + 1
d) f (x) = x2 − 1
e) f (x) = |x|
f) f (x) = |3x + 1|
g) f (x) = ex
h) f (x) =
√
x
8. Dado un número real x, se define la parte entera de x, denotada mediante E(x), de la siguiente manera:
-si x ≥ 0, E(x) = n donde n es el único número entero que verifica
n ≤ x < n + 1;
-si x < 0, E(x) = n donde n es el único número entero que verifica
n − 1 < x ≤ n;
√
a) Hallar E(0), E(1,2), E( 2), E(−1), E(−0,9).
b) Graficar E(x) en el intervalo −2, 5 < x < 2,5.
Acertijos lúdicos
1. Si una pelota de basket pesa 1/2 kilo más que la mitad de su peso...
¿cuánto pesa?
2. Hay diez medias rojas y diez azules mezcladas en el cajón del armario.
Las veinte medias son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto
está absolutamente a oscuras y tú quieres dos medias del mismo color...
¿cuál es el menor número de medias que debes sacar del cajón?
3. La tostadora del señor Julio admite dos rebanadas de pan por vez
pero tuesta solo un lado de cada rebanada por vez. Para tostar el otro
lado hay que sacar las rebanadas, darlas vuelta y volver a ponerlas. La
tostadora tarda exactamente un minuto para tostar un lado de cada
rebanada que contenga. Si Julio quiere ahorrar electricidad... ¿cuántos
minutos tarda para tostar tres rebanadas de pan por ambos lados?
4. Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre. Un
misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo
-¿Eres de los que dicen la verdad? preguntó al más alto.
-¡Upf!, respondió el nativo alto.
El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa
si o no, pero no recordó cuál de los dos era. El nativo bajo hablaba
español, ası́ que el misionero le preguntó qué era lo que habı́a dicho su
compañero.
-Dijo sı́, ¡pero él gran mentiroso!, replicó el nativo bajo.
¿A qué tribu pertenecı́a cada uno de los nativos?