- 1 - PROBLEMA Nº3 Seleccionar en acero S355 una sección

PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
PROBLEMA Nº3
Seleccionar en acero S355 una sección adecuada para la viga en ménsula que se muestra
en la figura, siguiendo las indicaciones del EC3. La pieza deberá ser capaz de soportar
una carga uniformemente repartida Qk=25kN/m y se encuentra eficazmente arriostrada
transversalmente, de modo que puede descartarse su agotamiento por pandeo lateral.
-
-
-
SOLUCIÓN:
1º) E.L.U. de agotamiento por flexión
Comenzamos obteniendo la carga mayorada Fd que deberá soportar la pieza utilizando los
coeficientes parciales de ponderación correspondientes al estado límite último para acciones
constantes y variables respectivamente. Supondremos un peso propio de la viga Gk=0,6kN/m.
Fd = Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q = 0,6kN /m ⋅ 1,35 + 25kN /m ⋅ 1,5 = 38,3kN /m
Gk:
Acciones permanentes características
0,6kN/m
Qk:
Acciones variables características
25kN/m
γG:
Coeficiente parcial para acciones constantes
1,35
γQ:
Coeficiente parcial para acciones variables
1,5
fy:
Límite elástico del acero
γM:
Coeficiente parcial de seguridad del acero
S355 = 355N/mm2
-1-
1,1
PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
Suponiendo un perfil con espesor de ala tf <40mm, la resistencia de cálculo fyd a tomar será:
f yd =
fy
γM
=
355 N /mm 2
= 323 N / mm 2
1,1
Sabemos que el máximo momento flector de cálculo está presente en el empotramiento y vale:
F ⋅ L2 38,3kN /m ⋅ (4m )
= d
=
= 306,4kNm
2
2
2
M sd
se precisa entonces una sección que sea capaz de aportar un momento resistente Mc.Rd tal que
M c.Rd > M sd = 306,4kNm
Si estimamos que la sección será de Clase 1 (lo cual comprobaremos más tarde) el momento
resistente de cálculo vendrá dado por el momento plástico de la sección Mpl,Rd
M c.Rd = M pl . Rd = W pl . y ⋅ f yd > M sd = 306,4kNm
W pl . y >
M sd 306,4 ⋅ 106 N⋅mm
=
= 948607 mm3 ≅ 949cm3
2
323 N /mm
f yd
Mc.Rd: Momento resistente
Mpl.Rd: Momento plástico de la sección
Wpl.y: Módulo resistente plástico respecto del eje fuerte y
Elegimos un IPE360 que presenta un módulo plástico Wpl=1020cm3 y unas características:
h:
Canto total =
360mm
b:
Anchura del ala =
170mm
c:
Anchura del semiala = 85mm
r:
Radio de la raiz =
d:
Altura entre cordones = 298mm
tf :
Espesor del ala =
12,7mm
tw :
Espesor del alma =
8,0mm
18mm
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PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
A:
Área de la sección = 72,7cm2
Iy:
Momento de inercia respecto del eje fuerte y = 16270cm4
Iz:
Momento de inercia respecto del eje débil z = 1040cm4
Gk:
Peso del perfil = 0,57kN/m. Valor inferior al supuesto inicialmente de 0,6kN/m.
1-a) Clasificación de la sección IPE360 a flexión simple.
El alma del perfil será de clase 1 si cumple:
CLASE 1 ⇒
d
≤ 72 ⋅ ε
tw
( S 355 → ε = 0,81) ;
298
= 37,25 < 72 ⋅ ε = 58 ⇒ CLASE 1
9,0
El ala comprimida por flexión será de clase 1 si se verifica:
CLASE 1 ⇒
c
85
≤ 10 ⋅ ε ;
= 6,7 < 10 ⋅ ε = 8,1 ⇒ CLASE 1
tf
12,7
2º) E.L.U. de agotamiento por cortante
Vamos a evaluar la magnitud del esfuerzo cortante presente en la viga y si es necesaria una
reducción en el momento resistente tomado para la sección. El máximo esfuerzo cortante se
presenta, como nos indica el diagrama, en la sección de empotramiento. Su valor de cálculo es
Vsd = Vk max ⋅ γ f = (Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q ) ⋅ L = Fd ⋅ L = 38,3kN /m ⋅ 4m = 153,2kN
Para que no se produzca un agotamiento por cortante se requiere que la sección transversal
presente una resistencia plástica de cálculo a cortante Vpl.Rd tal que se cumpla:
V pl .Rd > Vsd = 153,2kN
siendo
V pl .Rd = Av ⋅
(f
/ 3
γM
y
)
-3-
> Vsd = 153,2kN
PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
donde Av representa el área resistente a cortante de la sección que para perfiles I y H vale:
Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f =
72,7cm 2 − 2 ⋅ 17cm ⋅ 1,27cm + (0,8cm + 2 ⋅ 1,8cm ) ⋅ 1,27cm = 35,1cm 2
En el caso de secciones transversales en I y cuando el plano de carga es el de simetría del alma
el EC3 permite calcular el área resistente a cortante mediante una expresión aproximada que
conduce a unos resultados similares siempre del lado de la seguridad:
Av.apox. = 1,04 ⋅ h ⋅ t w = 1,04 ⋅ 36cm ⋅ 0,8cm ≅ 30cm 2
<
Av.real = 35,1cm 2
De modo que la resistencia plástica de cálculo a cortante Vpl.Rd valdrá en nuestro caso:
V pl .Rd
 355 N /mm 2 


fy / 3
3
2
2 
 = 654kN
= Av ⋅
= 35,1 ⋅ 10 mm ⋅
γM
1,1
(
)
>> Vsd = 153,2kN
valor superior al cortante de cálculo que además, al no alcanzar el 50% de la resistencia
plástica a cortante, no implica reducción alguna en el momento resistente ya calculado.
Vsd = 153,2kN < 50% (V pl . Rd ) = 327 kN
⇒ M c. Rd = M pl .Rd
(*) ¿Qué sucedería si el cortante de cálculo Vsd alcanzara un 65% ó un 75% de Vpl.Rd?
En este caso el momento resitente de la sección Mv.Rd se calcula empleando un límite elástico
reducido para el área de cortante que depende de la relación entre el cortante solicitante y el
correspondiente valor de agotamiento.

p ⋅ Av2  f y
M v. Rd = W pl −
⋅
4 ⋅ tw  γ M

 2 ⋅ Vsd

− 1
p=
 V pl . Rd



2
2

 2 ⋅ 0,65 ⋅ V pl . Rd



Si Vsd = 0,65 ⋅ V pl .Rd → p =
− 1 = 0,09


V pl .Rd




2
 2 ⋅ 0,75 ⋅ V pl . Rd




− 1 = 0,25
Si Vsd = 0,75 ⋅ V pl .Rd → p = 

V pl .Rd



-4-
PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
Así tendríamos unos momentos resistentes Mv.Rd:
(V
sd
(V
sd
(
= 65% ⋅ V pl . Rd )

0,09 ⋅ 35,1⋅102 mm 2
⇒ M v.Rd = 1020⋅103 mm3 −
4 ⋅ 8mm

= 75% ⋅ V pl . Rd )

0,25 ⋅ 35,1⋅102 mm 2
⇒ M v.Rd = 1020⋅103 mm3 −
4 ⋅ 8mm

(
)  ⋅355N /mm
2

1,1
)  ⋅355N /mm
2

2
1,1
2
= 318kNm
= 298kNm
Si recordamos que el momento de cálculo valía Msd=306,4kNm, los resultados indican que el
perfil seleccionado IPE360 seguiría siendo válido en el caso de Vsd =65%·Vpl.Rd, (Mv.Rd > Msd)
pero no sería seguro para la situación de un cortante Vsd =75%·Vpl.Rd en donde Mv.Rd < Msd.
3º) E.L.S. de flecha máxima
Para analizar este estado límite de servicio calcularemos la flecha en el extremo de la ménsula
teniendo en cuenta que los coeficientes de ponderación serán unitarios: γf =1,0.
La flecha total para una viga genérica (EC3) se obtiene como:
δ max = δ1 + δ 2 − δ 0
δ max : flecha máxima en el estado final
δ1 : flecha debida a cargas permanentes
δ 2 : flecha debida a cargas variables
δ 0 : contraflecha en estado de descarga
En nuestro caso tenemos δ 0 = 0
La expresión que nos da la flecha para una ménsula de longitud L flectada respecto de su eje
fuerte y-y sometida a una carga uniformemente repartida de intensidad genérica p es:
4

0,57 N /mm ⋅ (4000mm )
Gk ⋅ L4
δ
= 0.53mm
=
=
 1
8 ⋅ E ⋅ I y 8 ⋅ 210000 N /mm 2 ⋅ 16270 ⋅ 104 mm 4
p ⋅ L4 
δ=

4
8⋅ E ⋅ Iy 
25 N /mm ⋅ (4000mm )
Qk ⋅ L4
δ 2 = 8 ⋅ E ⋅ I = 8 ⋅ 210000 N /mm 2 ⋅ 16270 ⋅ 104 mm 4 = 23,4mm
y

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PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
Por lo tanto la flecha máxima, presente en el extremo libre de la viga valdrá:
δ max = δ1 + δ 2 − δ 0 = 0,53mm + 23,4mm ≅ 24mm
En la tabla 4.1 del EC3 se nos recomiendan unos valores límites para la flecha máxima y para
la flecha δ 2 debida a la carga variable. Se indica expresamente que para vigas en ménsula, la
longitud a considerar será dos veces la longitud del proyecto del voladizo. Tomando un caso
general, deberíamos cumplir los límites:
δ max ≤
δ2 ≤
2 ⋅ 4000mm
L
; δ max = 24mm <
= 32mm → Válido
250
250
2 ⋅ 4000mm
L
; δ 2 = 23,4mm <
= 26,6mm → Válido
300
300
Podemos concluir finalmente que el perfil seleccionado, un IPE360 resulta idóneo.
-6-
PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN
¿Cuál será la magnitud de la carga horizontal uniformemente repartida que junto con la
ya aplicada en sentido gravitatorio haría agotarse el perfil seleccionado?
Como sabemos las vigas sometidas a flexión esviada presentan un eje neutro oblicuo cuya
inclinación depende de la relación de momentos aplicados y de la forma de la sección. La
expresión de agotamiento para la acción conjunta de flexión en dos planos viene dada por:
α
β
 M y.Sd 
 M z .Sd 
 +

 ≤1
M
 M cy .Rd 
cz
.
Rd


Expresión en la que ya conocemos el momento flector de cálculo para las cargas verticales:
Fd ⋅ L2 38,3kN /m ⋅ (4m )
=
= 306,4kNm
2
2
2
M y .sd =
el momento resistente para la flexión respecto del eje fuerte:
M cy. Rd = M ply .Rd = W pl . y ⋅ f yd = 1020000mm3 ⋅ 0,323kN / mm 2 = 329,4kNm
y los coeficientes α y β que para secciones I ó H se pueden tomar como α=2 y β=1.
Α continuación vamos a obtener Mcz.Rd, que representa el momento resistente para la flexión
respecto del eje débil (plano horizontal) y de la expresión deduciremos el momento de cálculo
de agotamiento para la flexión en dicho plano Mz.Sd obteniendo finalmente la carga asociada.
Teniendo que cuenta que el módulo plástico respecto del eje débil es Wpl.z=191,1cm3, se tiene:
M cz. Rd = M plz . Rd = W pl . z ⋅ f yd = 191100mm3 ⋅ 0,323kN / mm 2 = 61,7kNm
α
β
2
1
 M y .Sd 
 M z .Sd 
 306,4kNm   M z .Sd 

 +
 ≤ 1;
 329,4kNm  +  61,7 kNm  ≤ 1

 

 M cy .Rd 
 M cz .Rd 
[0,93]2 + M z.Sd ≤ 1 ⇒ M z.Sd ≤ 8,31kNm
61,7
M z .Sd =
Fzd ⋅ L2
8,31kN m ⋅ 2
≤ 8,31kNm ⇒ Fzd ≤
= 1,04kN /m
2
(4m)2
En términos de carga de servicio con γQ=1,5 tendríamos finalmente Fzkmax=0,69kN/m
-7-