Hoja nº 2 - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Matemáticas
Álgebra Conmutativa. Curso 2015-16
ÁLGEBRA CONMUTATIVA
Hoja 2: Homomorfismos, cocientes y Teoremas de Isomorfı́a
1. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos.
a) Demuestra que si u es una unidad en R entonces f (u) es una unidad en S.
b) Si a ∈ R no es una unidad, ¿puede ser f (a) una unidad en S?
c) Si b ∈ R es un divisor de cero, ¿es f (b) necesariamente un divisor de cero en S?
d) Si b no es un divisor de cero en R, ¿puede ser f (b) un divisor de cero en S?
2. Homomorfismos desde cuerpos. Demuestra las siguientes afirmaciones.
a) Sea f : K → R un homomorfismo de anillos donde K es un cuerpo. Entonces f es necesariamente
inyectivo.
b) Un anillo R es un cuerpo si y sólo si todo homomorfismo de anillos R → S es inyectivo.
3. Considera el homomorfismo natural de paso al cociente:
π : Z −→ Z/⟨10⟩
r 7→
r.
a) Describe π(⟨3⟩), π(⟨5⟩), π(⟨15⟩), π(⟨30⟩), π(⟨2⟩) y π(⟨8⟩).
b) Encuentra todos los ideales de Z/⟨10⟩ y calcula su preimagen por π.
c) A la vista de los apartados anteriores, ¿cuál es la relación entre m y n si π(⟨n⟩) = π(⟨m⟩)?
d) ¿Qué ideales de Z están en correspondencia biyectiva con los ideales de Z/⟨10⟩?
e) ¿Cuántos ideales hay en Z/⟨n⟩?
4. ¿Existe algún homomorfismo de anillos entre Z6 y Z3 ? ¿Y entre Z6 y Z12 ? Encuentra la condición
necesaria y suficiente para que exista un homomorfismo de anillos entre Zn y Zm , con n, m ≥ 1 naturales.
5. Considera el k-homomorfismo φ : k[x, y] → k[t] con φ(x) = t2 y φ(y) = t3 . Decide de manera razonada
si φ factoriza por k[x, y]/⟨x2 − y 2 ⟩. ¿Y por k[x, y]/⟨x3 − y 2 ⟩?
6. Teorema chino del resto. Sea R un anillo y sean I1 , . . . , In ideales en A. Consideramos el siguiente
homomorfismo de anillos:
ϕ : R −→ R/I1 × . . . × R/In
r 7→
(r1 , . . . , rn ),
donde ri denota la clase de r módulo Ii . Demuestra que:
a) ϕ es sobreyectiva si y sólo si Ii e Ij son primos entre si cuando i ̸= j;
b) ϕ es inyectiva si y sólo si ∩Ii = (0).
Sugerencia general: empieza considerando el caso n = 2. Sugerencia para (a): (⇒) observa que (1, 0) y
(0, 1) tienen preimagen; (⇐) basta comprobar que (1, 0) y (0, 1) tienen preimagen. Sugerencia para (b):
calcula el núcleo de ϕ.
7. Demuestra que:
a) Si (n, m) = 1 entonces Znm ≃ Zn × Zm ;
b) Demuestra que R[x]/⟨(x2 − 1)x3 ⟩ es isomorfo a la suma directa de tres anillos locales, que dos de
ellos son un cuerpo y que el tercero tiene nilpotentes.
8. Encuentra ejemplos de anillos que verifiquen las siguientes condiciones:
a) Un anillo que tenga exactamente 2 ideales maximales y al menos un nilpotente no nulo.
b) Un anillo con un único ideal primo p (por tanto necesariamente maximal) que no sea un cuerpo.
9. Demuestra que todo ideal I ( R está contenido en un primo minimal siguiendo los siguientes pasos: (a)
Considera el conjunto Σ := {Ideales primos de R que contienen a I} y demuestra que Σ ̸= ∅; (b) define en
Σ el siguiente orden parcial: p ≤ p′ si p′ ⊆ p, y demuestra que toda cadena creciente de elementos en Σ
tiene una cota superior en Σ; (c) usa el Lema de Zorm.
10. Sea I ⊂ R un ideal, y sea M el conjunto de los ideales primos que contienen a I. Demuestra que
√
I = ∩p∈M p.
Sugerencia: considera el cociente R/I; ¿qué es Nil(R/I)?
11. Utiliza
el ejercicio anterior para demostrar que dados dos ideales I, J ⊂ R se tiene que
√
√
I ∩ J. Sugerencia: el ejercicio 5 de la hoja 1 puede ser útil.
√
√
IJ = I ∩ J =
Ejercicios para entregar
1. Sea R un anillo y sea p ⊂ R un ideal primo. Demuestra que p contiene un primo minimal, es decir,
demuestra que existe un primo q ⊂ p tal que si r ⊂ R es otro ideal primo con r ⊂ q entonces r = q.
Sugerencia: Puedes usar una idea parecida a la del ejercicio 9.
2. Encuentra todos los primos minimales en Z12 , Z9 [x], k[x]/⟨x3 (x − 1)⟩, y R[x, y]/⟨x − y 2 ⟩.
3. Sea f : R → T un homomorfismo de anillos.
(a) Demuestra que si J ⊂ T es un ideal entonces f −1 (J) = {r ∈ R : f (r) ∈ J} es un ideal en R.
Demuestra que necesariamente Ker (f ) ⊂ f −1 (J).
(b) Demuestra que si I ⊂ R es un ideal, entonces f (I) = {f (r) : r ∈ I} en general no es un ideal en T .
(c) Demuestra que si I ⊂ R es un ideal y f es sobreyectiva entonces f (I) es un ideal en T .
Sea I ⊂ R un ideal. Aunque en general f (I) no tiene por qué ser un ideal en T , podemos considerar el ideal
que genera en T . Denotaremos por I e al ideal generado por f (I) en T .
(d) Demuestra que I ⊂ f −1 (I e ), y que en general el contenido es estricto.
(e) Sea J ⊂ T un ideal. Demuestra que (f −1 (J))e ⊂ J y que en general el contenido es estricto.
4. Trabajamos en R[x, y]. Sean a, b ∈ R. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un maximal
de la forma ⟨x − a, y − b⟩ contenga al ideal ⟨x − y 2 ⟩? Sugerencia: ⟨x − y 2 ⟩ ⊂ ⟨x − a, y − b⟩ si y sólo si el
homomorfismo de paso al cociente R[x, y] → R[x, y]/⟨x − a, y − b⟩ ≃ R factoriza por R[x, y]/⟨x − y 2 ⟩ ¿Por
qué? . . . . Y ahora piensa, ¿cuál es el homomorfismo composición R[x, y] → R?
5. Demuestra que el ideal ⟨x2 + x − y⟩ ⊂ R[x, y] es primo. ¿Es maximal?