SOBRE LA PROPAGACION DEL ERROR EN LAS MEDICIONES

Revisla Mexicana de Física 32 No. I (1985) 169.173
169
SOBRE LA PROPAGACION DEL ERROR
EN LAS MEDICIONES INDIRECTAS
Carlos Delfina Galles
Facultad de Ingenierfa
Universidad
Nacional de Mar del PI~ta
(recibido enero 3, 1985; aceptado junio 19, 1985)
RESLt-1EN
El error con que está afectada una medición indirecta es ~eterminado de una forma muy simple y didáctica, sin involucrar el uso de derivadas
parciales.
ABSTRACf
The error affecting indirect measurements is deternlined irla
simple didactical fashion, without involving the use of partial derivatives.
170
En el primer año de estudios
tudiante
de física tome contacto
medio de trabajos
experimentales
n6meno sino que incluyan
afectado
el resultado
de las mab~itudes
el problema
de un cálculo
des obtenidas por medici6n directa.
aún un adecuado
conocimiento
realizado
del análisis
que esta soluci6n
dista de ser la ideal y contribuye
colecci6n
de recetas sin conformar
El prop6sito
la dificultad
elementales.
un verdadero
factoria
-y de inmediata
una medici6n
comprensión-
indirecta.
dicada para las primeras
Es evidente
en mucho a que la te~
vez. lU13
cuerpo de teoría.
de determinar
una forma mñs satis
el error con que está
Esta forma se considera
etapas de la enseñanza
es su-
c6mo se pr~
con ella por primera
de esta nota es el de presentar
afectada
no poseen
que prescriben
en las diferentes
a quien se enfrenta
del fe
al mismo.
sobre la base de cantida-
matemático,
operaciones
por
con qué error es
Dado que los estudiantes
pagan los errores
parezca,
inherentes
de determinar
perada generalmente imponiendo reglas prefijadas
ría de errores
se intenta que el c~
que no se limiten a la obscn'3ci6n
la mcdici6n
De esta forma pronto se plantea
t~
universitarios
con la realidad del método científico
especialmente
i~
de la física a nivel lU1ive~
sitario.
Consideremos
la función
Z(x.y) que sl~inistra
nitud Z en función de las variables
conocidos
por medición
ci6n Ax y Óy(l).
Generalmente
es rnLO'fácil determinar
intervalo
x
x e y. cuyos valores ~edios
junto con los respectivos
por simple inspecci6n
errores
y
e
son
de rncdi-
de la f6rmula
Z(x,y)
el valor máximo y el valor mínimo que toma Z en el
de indetenminaci6n
respectivamente.
ejemplo
directa
el valor de la ma~
de x e y; llamaremos
a estos valores
A este respecto y para mayor claridad
Z. y Z~
se ruega ver el
al final de esta nota.
Es evidente
de la rncdici6n indirecta está
+
por los valores Z y Z , tal como se
que el valor promedio
en el centro del intervalo
indica en el siguiente
definido
diagrama:
Z
_______
+-
Resultado
cuya versión
Z
+-
algebraica
-t
es
-.;>
Z
171
(1)
Por su parte, el error de la mcdici6n
entorno
de I tal que abarque
21
("+
l.
-
cst~ dado por el
de indetenminaci6n.
Vale decir,
al intervalo
indirecta
z-)
(2)
Esta f6Ilrn.lla, que puede ser interpretada
rativa del error, es aceptada
con facilidad
rapidez apl~ndcn a utilizarla.
mas permite
dar respuesta
recta.
CUandoel estudiante
s6lo ténminos
zrx,Y)
de donde,
~z
!
sustituyendo
que coincide
cuáles
+
son las variables
la f6rmula
"pnJCba"
x,y
I [~~)-x,y-1
en serie de Taylor,
~y
(3)
(4 )
~y
fórmula que da la propagaci6n
cotidim4'
de laboratorio
del error)
para estimar
al error que se asigna
Es de señalar que para el mero cálculo
(2) cooouce
a operaciones
más sencillas
Además es necesario
aplicar
análisis
recal~'r que en muchos casos es posible,
y dependiendo
esta posibilidad
finaldel
que las que resu..!..
tan del uso de (4), dado que este último caso implica la eval~'ci6n
vadas.
y consi-
la expresi6n,
la expresión
que ~~s contribuyen
deseada.
convincente del valor g£.
se puede escribir
en (2) se obtiene
en la pr5ctica
mente a la ~'gnitud
error
~!
con la bien conocida
y que es utilizada
una
Usando el desarrollo
I[~;)--I~ I[~~)--1
x,y
rrcdici6n ind.!.
es irunediata.
ya ha aprendido algunos rudimentos del anáI!
de primer orden,
I [~~)-x,y_1
con
que surgen al halIJ1..1
ideas a m5s de dos variables
sis rnatt."'l!1áticose le puede presentar
neral de la f6~lula (2).
más comunes
está afectada
qlr
quienes
o~
modelo matemático que present~
a las interrogantes
La cxtcnsi6n de estas
derando
por los estudiantes
El sencillo
cer consideraciones sobre el error con
cor.x>lUla definici6n
de derl
sin
de la forma que tenga la
172
funci6n Z(x,y),
detenminar los factores
mental que se ha presentado
ciones algebraicas,
de propagaci6n con el método ele-
(fórmula 2), con s6lo agregar algunas ~,nipul~
tal corro se 8uestra
en la parte
final del ejemplo que
acompaña esta nota.
Ejempto
Consideremos el caso de la medici6n de la aceleraci6n
vedad con un péndulo.
lA f6nmula en cuesti6n
de la gra-
es
donde £ es la longitud del hilo y T el perÍcx:lo de oscilaci6n.
Supongamosque por medición directa
T =
l'
! 6T
f:n estas condiciones,
tienen
g
los siguientes
!
son conocidos
4n'
.....
(1' +
y sin considerar
la incertidtnnbre en Tr, se
valores extremas de g:
6T)'
De acuerdo con la f6rmula (2) se oht ¡ene para el error
dici6n de la gravedad la siguiente
2n'
I¡ +
6£
L(f
6T)'
la cual es, por supuesto,
de
Cf
+
expresi6n:
6~
6T) 2
suficiente
en 1<1 me-
j
para el cálculo del error en el valor
g.
Es de acotar que un poco de álgebra simple pcnnite,
s610 términos de primer grado en los errores,
considerando
hacer la aproxiooción que se
173
da a continuaci6n:
[¡;
+
6~
f' - 21
~ ~ [ (I
+
" 4TI'
f'
6T
6£)
f'
6~ ]
+
216T
[1 2 -::] +
(1 - 6£)
[1 - 2 -:: 1J-
T
r6~
b'
+
21:
2
TJ
6Tl
'PJ
Este resultado coincide,
como el lector puede con~robar, con el
que se logra por aplicación
de la clásica
do en el cálculo precedente
sin hacer
f6rmula (4), pero que es obteni-
Q~Ode
derivadas parciales.
REFER~CIAS
l.
Se consideran
conocidos
Véase por ejemplo:
Maiztegu;.
Gleiser.
los elementos
de la teoría
IntlLoducci.6H a icu med.i.ciol1u
de los errores.
de iaboJta.to'Úo,
Edi-
ción Guayqui, Córdoba (1976); Giamberardino, Teo~a de iD. E~o~••.
Editorial
Reverté
Venezolana.
1982.