PDF (La forma del árbol y su volumen)

( 38
4.
LA FORMA DEL ARBOL y SU VOLUMEN
Al trazar un corte verticalmente por la méd'ula de un árbol se obtiene como resultado una Unea característica de su contorno de configurac i6n, llamada éurva del fus te.
Algunos árboles presentan un contorno convexo desde el pie hasta
una fracci6n de su altura, luego pueeen presentar un contorno recto o c6nca vO hasta las ramas, etc.
Las propiedades particulares de los árboles, las influencias ajenas,
y las medidas silviculturales provocan divergencias de forma con
respecto a la forma ideal que se tenga de ellos.
.'
Por ejemplo las especies de hoja ancha subdividen
su tronco .ea 'ra.
mas gruesas de modo que se pierde el caracter monopodial, especialmente en árboles que crecen aisladamente, pero cuando se aumenta su densidad, las ramas se someten a proces6s naturales,
( como la poda natural), que limitan el tamaño de ellos.
Un espaciamiento amplio provoca un reforzado del pie del árbol y
levantamientos en ciertos puntos de inflexi6n.
Las coníferas aisladas se acercan a una figura de tronco de cono
lineal. En conjunto, a veces se vuelven ciHndricos o casi ciIfndricos al igual que las especies de hoja ancha en bosques densos de
cierto tipo.
Han sido propuestas algunas teorfas para explicar las leyes que
regulan la forma del tronco del árbol.
Las"teorfas fisiol6gicas " representadas por Pressler y Jaccard,
se fundamentan enlas funciones de transporte de savia yagua dentro del tronco y las presiones internas liberadas en él.
Las11 teorías mecánicas 11 , representadas por Metzger, Hoenadl, etc.
tienen como base las cargas y tensiones dinámicas y mecánicas originadas por viento, densidad del árbol y peso de sus partes, colnO factor muy importante para la configuraci6n del tronco.
.
Una teorfa moderada es .aquella que Itonjuga ambas tendencias.
Generalmente el corte de una secci6n transversal no señalará una
forma circular, sino más bien una forma elfptica u ovalada ya que
por acciones de la estática natural, el árbol se refuerza para contrarestar agentes externos. Asf el diámetro mayor se muestra a
menudo; como es de esperarse, en la direcci6n del viento, y en
los pendientes en la direcci6n de la vertiente. La divergencia de la
•
( 39
forma circular, es una consecuencia de la fuerza del viento y de la
gra vedad en las ve:rtientes, como se puede observar en los ár~oles
localizados en los pe rfmetros de 105 roda1e·s. Esta s ituaci6n se conserva con la altura.
Idealmente se sabe que los cuerpos naturales vivos en su crecimiento están sometidos a la ley de la simetría, y será ésta la que se usará para ciertas características ideales del tronco.
El árbol crece normalmente en una forma ideal con un tronco derecho y vertical, con sus cortes transversales en forma de crrcu10 cuyo centro 10 constituye la médula, la cual puede considerarse como
el eje de simetrfa y de equilibrio deltronco.
Un corte longitudinal del tronco que pa!"e por. el eje de simetrfa ·revela en sus lados exteriores una curva de contorno, a cuya rotaci6n
alrededor del eje de simetría se debe la forma y volumen del tronco. Entonces, suponiendo que las secciones transversales son de
forma circular se considerará el árbol o su tronco, como un cuerpo de rotaci6n que al final resultará ser la comninaci6n de figuras
estereométricas (cilindros), paraboides, conos, neiloides, e intermedia s entre ellos).
•
!~f" 1)1:'
fP'OT4ClO
1
1
1
1
I
La médula corresponde al eje de rotaci6n, la circunferencia transversal es asimilable a la directriz y la recta o curva externa del
perímetro longitudinal es la generatriz de un cuerpo de rotaci6n. La mayoría de las veces, la forma del tronco nO es más que una
combinaci6n de es tas figuras estereométricas.
1
----( 40
•
•
P:'2ABOLOIPc
'TeUAJC ¿DO
§
§'
ti
O
-
---
<:)
\)
~
~
~
- - - - ~",
--
- -
---
..
•
•
-
La curva del tronco es una curva potencial, asim.ilable a una curva
parabolica general que tiene por ecuaci6n
donde y es el radio correspondiente a la distancia X
X es una distancia
P es una constante, y
nente m6rfico.
r
es un exponente llamado expo-
También puede escribirse la generatriz como y
= a
+ bx+cx l -td;x.'3i .-.+ ~)tYl
4.1 Deducci6n de la F6rmula general del Volumen de un cuerpo estereométrico de rotaci6n partiendo de la curva exponencial ya = PX ...
Sea una curva generatriz de cuya rotaci6n se obtenga un cuerpo estereométrico de rotaci6n ( un cono, o un conoide, una parabola o paraboloide, un nei loide, etc.) de la forma Y¿" = Px/
donde:
Yi = radio de la dire~triz a una altura Xi del vértice supe•
rlor
P = Parámetro constante
Xi = Altura de la figura desde el vértice superior hasta un
radio ':Ji.
r
•
= Exponente de forma de acuerdo al cuerpo generado
( 41
4.2. Otra deducci6n de la fórmula
Por el método elemental anterior se lleg6 a la conclusi6n de que el
volumen de un s6lido de revoluci6n es igual al volumen de un cilindro; con la misma área basal y la misma altura; multiplicado por
un factor que se llam6 factor m6rfico, que depende de la forma del
s6lido y del exponente m6rfico.
El exponente m6rfico adopta diferentes valores y la curva genera
diferentes s6lidos de acuerdo a ellos. Los valores de r son:
r=O
Para el cilindro
Paraboloide
Cono
r=
Neiloide
r=
1
2
r=
3
Los factores m6rficos entonces serán:
Para el cilindro F = 1
Para el paraboloide F = 1/2
Para el cono F= 1/3
Para el neiloide F = 1/4
Por el m~todo de integraci6n se llega a la misma conclusión anterior.
-
---
A
-Jo- -
_....:.,..'"
'f
,
1.
;v
I
I
I
I
Sea
10 = d 0/2
== diámetro de la base
"'
- -
___
~~~rtfiL,
AE---
d.
el
A_~
--~
--~)I,
•
s
(. 42
,Se va a partir para la demostraci6n de un paraboloide con altura
)< = 1. dividida en'tt partes iguales.
•
La altura desde el vértice a cada base serán; x/n , z'J.I'tI&., ----n)C /n y los radios corres'pondientes '/" L/t.,
-1/""
.- - , '
Ver la figura que sigue:
e/s. - --
--
-- -
L'J.~-
- - - .L-1.,-
-
- - - -
La f6rmula general de la curva generatriz referida a las varias parte s de la figura queda:
V,"). = P (-)In )f = P (~. X )r
tl. = P
("l. :Jc./.,,)r = P
(~ ..,. )r
f =P
(!. .)()f
t~';: P (3L)n
~
1." -, =
~: =
P
(",'l )( )r --
p
-
P
"
- 'í- f
en.....
I
11
p(».{.,r
-
)1.
A
( !!.
.,.,
,x
)r
La proporci6n entre cada parte de la curva y la curva total quedará:
'/. 1
Y;
•
•
IJ lo:
1-"...
'1" 'L
1",t.
-r.:
P(Yh' X)r
_
-
re';,rX) f
Pl2fh ''Ji)' =
pe "'/" '1-) r
- fr(~-IYn·t 1Y =
PC"/".x] ..
= P ( "J,.)( {
P
('1".)l )'""
--
Pn-f
t-;-.]r
I
•
B
tn~lr
:Jr
•
( 43
Resolviendo las ecuaciones a partir de (B) pa'ra cada
•
de 1)J'I se tendrá:
~¿ en funci6n
t' =1~' H-r
U.NH'ERSlD:tD 11.,
•
·~A.ClONAL·
Biblioteca Ciencias Á-'
6 C1COIas
~, =~:(~r
•
,
C
•
1¡
Considerando
como radio de la base de los cilindros de altura
X/n, el volumen de estos cilindros
será:
•
-r
~1~:
n
\
,,
I
V ..,
><
n
--
2
r
nr ...,
JTx~."
••
¡
t
lo
-- n;,r ITx1"
=" 1.... .~ =lT
")t
rtl
La suma de estos volúmenes dará un volumen muy cercano al volumen total que engendra la curva al girar.
""
V=L... ,,~.
•
(. :: I
,)1
r
tP a.
7" .,. . ;:::2__ n X /.,
. TI:t.
",..,..1
-#- - - - - .. t-
-- --
r+1
.
La expresi6n del paréntesis es una progresi6n cuya suma Sn =
Nl
r+I
_'~
'_...
\"+1
Cuando
~e
,..
.,-1
rn - 1- ?1a-¡. - + _ _ _ _ _ - - - --..,.. n _ +
al
~
CA}C~I
hace infinito el número de cilindros el volumen total será
•
(. 44
v
= /,~
".,-eo
en donde todas las expresiones del paréntesis excepto la primera son
iguales a cero.
v ;:: --'-77X 1"1r+I
,p
si en lugar de usar 1'tJ se usa d./2 ( el diámetro /2 en el punto o ) y
en lugar de x, la altura.l, la f6rmula gene ral del volumen del cuerpo de rotaci6n deducida de la base y de la altura será
v
1
=
r+l
~l¡
4
d:¿
pero se acostumbra dar como área de la base con diámetro do; a go
J! do~
=
•
4
v
= 1
go
¿
r+1
Este volumen se puede escribir como V = f. w en donde w representa
un cilindro que ' tiene por base go yaltura..f y
1/ ((' ..... , ) representa un factor llamado factor m6rfico que corrige el volumen del
cilindro en una cantidad menor hasta eliminarle el volumen generado
por el plano triangular esférico, A Be.
f ::
A "'wllse le conoce también como volumen básico.
El símbolo es caracterrstico a cada forma adoptada por la curva generatriz y aplicado a la f6rmula general del s6lido de rotaci6n yZ = Px r
recibe el nombre de exponente m6rfico.
8
I.IJ!.~ VOl.tJHEJJ SUPP/HIDO
I
;'
;>012 El. 1='ACT~12. ~OI2FlC.O
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1,
Sea g o = área circular de la base
v
= Volumen del s6lido
W
= volumen del cilindro
.'
.e = longitud de 1 s 6lido
y
= p Xf
Se toma un diferencial de volumen dv.
."..!/¡x
dv = go dx =
l
V =111f. e/x
~
v
= 71 p
e
-:::-
ff p..x..
r
d;;c.
;>
[~ r.' ] ~
r+'
~
c.
reemplazando el valor de p = _Y_.~_
Xf
v
el volumen =
lT
=
Y.
o
xr
f
l
1 t _ nt._X_,
rf-l Jo r+1 o
)(fi"
Yt-I
4. 2.L Ejemplo para un caso particular
Sea por ejemplo encontrar la f6rmula para el volumen del Neiloid e
-
---
--
1.
I
'V
I
I
I
\<
dv =
V
=
77'1 zd:::c..
jipr¡Ux;
e
~
v
=
z.,.
y = Px
n P i~Jx =/P ~1
o
4
.
V - II '1 z
::z.1J
,.
p,/1/ =..L
f
=
::
-41
1
r+1
n do
TI'I~
4
o
1
.f
4
4
4
v
--
4-
;?3
v -
l
W
=- 1
4
.•.
r=
3
4.3. Factor diamétrico de forma
Es otro factor concebido para estimar el volumen de los fustes o de
los árboles. Se llama también cociente de forma . Es una relaci6n
entre dos diámetros; generalmente con referencia al D. A. P. y un
diámetro menor por encima de él.
se designa como CF.
CF
=Diámetro
cualguiera por encima del D. A. P.
o
=Da
D. A. P.
según el lugar en se tome DI se han creado varios CF.
4.3.1. Cociente normal o de Schiffel
Se obtiene tomando un diámetro en la mitad de la altura del árbol
total
C F" =
-=D;..J.I---l(..:a;.;lt::.;:~=-=r:..=a:..........:L/.:...::2:...--.-L)_
D. A.P.
43.2. Cociente absoluto
Cuando D, se toma a una altura de (
L- 1. 30 }/2. es decir restando
a la altura total la de la base al D. A. Po
4.3.3. Cociente de Girard
Cuando DI se toma a una altura de 17.3 pies del suelo y sin corteza.
( 47
4.4.
~elaci6n
entre factor m6rfico y cociente de forma,
•
Ya se sabe que f= Volumen real del árbol
volumen de un cilindro con igual base y altura que el árbol
CF = D.
D. A.P.
Además
-'--------
•
p ~~
como el volumen del árbol =
. L
(para algún D
)
4
- ....n:--."T'A-..-P ~ JT.
volumen del cilindro
L
4
77/)/'.L
entonces F-
4 (D. A. P. ).
4
-
2.
D
,•
L
.f
= (CF)
f".
•
p.r $,
Es decir el factor m6rfico es igual al cuadrado del cociente de forma, si
la base se toma en el D. A.
se '¡P"tlbD./a. et1» le / .p, Qd~,"~q.,/o
Cuando se considera la base de 1 árbol real, el volumen real del árbol
se puede escribir cOmO
"
-A-.ll;......::D:::;"/t....-_. L
si D,# Do
siendo D,algúndiámetro) es de-
4
cir D, = K Do
El volumen del árbol con base al D. A. P. =
( D. A. P:F Do
CO)o1
"r:1s.~ J)o
) . P,,~d~
¡'OC'BY'sfe
C"nc~~¡'
'1 #d¡"" >-a 1...
f
= lT
D/x L
471(P.A.P)~L. K
»
4
Ce,.,
"Ú?
A.
4
K
L. K,
e) yolcnn~n eI~ I (t/h ;'q'~"o
~
=
pl
'1.
( D,
D.A.P
~
=
K (CF)
Este valor no tiene mucha utilidad prác tica ya que es difrcil dete rmi nar D,
.
4.5 Instrumentos básicos para apreciar la forma.
Generalmente son loe mismos que se utilizan para apreciar diámetros de árboles en pie a diferentes alturas como el relascopio de Bitterlich, el dendr6metro 6ptico de Barr y Stroud, las forcrpulas, las
cintas diamétricas, varilla de Bietmore, etc; dividiéndose en general
eninstrumentos
directos e indirectos de acuerdo a la necesidad o no
de contacto con el árbol.
•
7
I
( 48
4.5.
L.
~ompás finlandés
~
Diseñado para acoplarlo a un mango de modo .que permita leer
diámetros a diferentes alturas. Su graduaci6n permite leer directamente el diámetro en los puntos de tangencia del árbol
como podrá apreciarse.
_
L
_ -_ _
~~-
,
4.5. 2.
Medidor angular de Diámetro de Bitterlich
0
Sobre dos rectas que forman un ángulo de 135 se apoya el tronco
cuyo diámetro se quiere medir, se lanzan tangenciales con una
aguja al tronco y sobre una cara graduada previamente se lee directamente el diámetro.
4 . 5.3.
Diatromb
Usa un principio análogo a la varilla de Biltmore . Con este instrumento se hacen las medidas a una dis tancia fija requiriendo conocer
las alturas en el punto apropiado donde se desean medir f/; , lo cual
se lo g ra con ayuda de un clin6metro u otro aparato.
Nota: Consulte Journal of Foresty (vo163 #1. de 1965).
4.5.4.
Teodolito=
Se supone suficientemente conocido el empleo de este apa rato, no
obstante se desea reco rdar que para su uso se mide el ángulo horizontal formado por las tangentes en la altura donde se debe medir
el diámetro.
•
( 49
r/; =
2 d tan
-ol
cos ot..
2
dpnde
fj
-
2
•
= diámetro
d = distancia del árbol al teodolito
= ángulo horizontal formado por los tangentes del tronco
4.5.5.
Forcíeula 6ptica o dendr6metro
de Friedrich
,
Realmente es una forcípula cuyos brazos han sido sustituídos por
un par de lentes paralelos y movibles que se desplazan sobre una
regla graduada, la cual va montada generalmente sobre un trípode
cOn sistema nivelante.
Este aparato puede ser utilizado desde cualquier distancia.
/
I
I
I
I
I
I
rcee ¡P()J. ~
I
I
11
ír,
I
I
I
4.5.6.
I
I
I
/
DI>TICA
,
Otros instrumentos
Existen otros instrumentos famososaparte del relascopio corno los
dendr6metros 6pticos de Barr y de Stroud, así como los pris mas,
qu~aunque muy conocidos para el cálculo de áreas basales empiezan
a utilizarse posiblemente para mediciones de diámetros a diferentes
alturas.
4.6. !prmulas Rara el volumen de s6lidos truncados
Sea un s6lido truncado de altura
y dn/2 respectivamente.
t , volumen V
y
base~
con radios do/2
( 50
(
(\~
I
f. ~)
V
I
I
I
I
I
I
BASE 8 0
El volumen del s6lido truncado será igual al volumen de base Bo y
alturajmenos el volumen de base Bn y altura
1'2
--
Volumen truncado
Volumen V + V,
Volumen VI
Volumen truncado
-
1
~
-
~
( V+ V, ) -
--
1
rr
r+l
4
dO·¿
7T
r
1
+ 1
..::;.....--
r +1
f, d.
dna/2-
4
íT
4
Nota: Observe que se trata de encontrar el volumen al s61ido de altural, esto sugiere entonces expresar.tl , y f~ como funcio( es decir f, = f ( I ) ,
ft= f
(! )
nes de
¿ ,
.
1 6
1 Y 2 -- Px r
P ara 1ograr 1o anterlor se recurre nuevamente a a f rmu a
Para cada una de las bases se tiene:
•
( 51
..
dividiendo .... (l).;. (2) se eliminan los términos que no se conocen y los
que nO Be necesitan
-21...
,-
~61m«. queda
Extrayendo la raíz
do
=
dn 'ljT
/J
.Pi
(3)
;7
~z
Esto sugiere aplicar una ley de las proporciones ya que la resta
de
f% da el valor necesitado ~' o sea que la (3) también se
puede escribir
¡;¡ -
2/r
l)y
do
-
-
- dn
dn 7./,
"l/Y
(4) yapli-
Si se invierte la proporci6n (3) asr , dn
do~Y
cando el mismo principio de las proporciones se obtiene:
-a)1
dn
2/,.
-
el. "J/"
do
--
* observe
. ~
lo cual sugiere multiplicar ambos lados por (-1
~7'
do
-
dn
'J),
-
J
do
-
z/Y
do '1.1 Y
-dn 'Ir
El volumen truncado queda entonces V = .-=.1_
1+J
V:-I 1J..~
('+1
4
do z/do
'%
d"
)
JT
4
d'J1%
Z/y
dO~T _dn eh-
•
•
j
( 52
v==
4.7
?-/t
do
1
r
+f
'Z-
do
4
-r}1
2
dn
dn
_ dn 3/"
D~.~e~d~u~c~c~i~6~n~d~e~l_V~0~l~u=r.n~e~n~d~e=l~s~6~l~i=d~o-=d~e~~~~~~~~~~~~c~onoc~
un diáme tro a cual uier altura "a 11 sobre el
Sea un tronco del cual se conocen los elementos:
f
== altura total del tronco
"a" = altura a la que se encuentra un diámetro da cual•
qUlera.
da
V
== diámetro medido a una altura "a 11 del suelo
:z:
volumen del tronco entero.
l-tJ..
-- --
,1
l'
con base al diámetro do
11
11
con base al diámetro da
se puede escribir
p
r d~
L
(j -a {
p
(2)
t
y
(1)
( 53
•
f!l
(2)
1
r
ti -
•• •
dot2 = da.t
,
II - a
a ]
En la ecuaci6n general del volumen
TTtA~jse
v =1
~-
~+I
r+l
lT
reemplaza
4
do por F (da)
v =-=-1
l]r
da-2
4
Conocidos los elementos anteriore!'l, ee puede entrar a la teorra del
factor m6rfico.
"8
Teorra del factor m6rfico.
Ya se habra expresado con anterioridad que la noci6n de forma del
árbol sirve o ayuda a calcular su volumen geométrico. La forma;como
Be ptñIe apreciarjva variando con la altura, pues los diámetros decrecen con ésta. Para valorar la forma, se recurre entre otras cosas a
relacionar el volumen del árbol con el de un s6lido geométrico de revOluci6n . o a relacionar dos diámetros del mil!lmo fuste, o varios de ellos
y sus volúmenes, etc. (18)
Cuando se trata de relaci6n del volumen del árbol con el del s6lido geométrico aparece el concepto de "factor m6rfico " , el cual también es conocido como coeficiente m6dico ( CM ), fa.ctor de forma (F F ), form
factor, etc.
El factor m6rfico es un número que permite deducir el volumen de un
árbol con base a un cilindr o que tenga igual base e igual altura que él "
( de acuerdo a la posici6n de la baee aparecen varios conceptos de factor m6rfico).
Generalmente el F
relaci6n.
•
es menor que la unidad y se puede expresar por la
F = V = Volumen de un írbol con ba se g¡l(
W
volumen de un cilindro con base
t/
~I
altura.P
g;(, altura
I
Factor m6rfico calculado en base al cilindro con
basehgá' a cualquier altura 11 a"'~ del piso .
•
,
•
( 54
.'
•
I
I
I
I
I
I
DOS
,
I
I'JK
e OAX. E?ro!>
j-~
DJFEeEN1E'S
bE FAGT'OR HCN<f:/Co
~
1
I
I
: YK
I
I
t
I
I
I
I
I
I
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Q)
I
•
I
I
I
a..
I
I
01 cJ/",tI,t:1
o eD/~'¡/Qtlo
T.c.lo \'"
"C1t:."~'" mor/leo c~,¡~,,/_d~ c.,.,.., J,fllISe
go f.
.:tI ed,.no'.,.o
Con
ga." etlQI9"'~Y t:I//'f/)'CA.'áll.,Je/"
aunque en la teoría del factor m6rfico. existen otros referidos al árbol
entero, a las ramas. al tronco, etc. , s610 se ha encontrado cierta utilidad práctica en el factor m6rfico del fuste, por lo cual solo se hace
menci6n de los otros.
Usando la ecuaci6n encontrada en el numeral 4.7. en la definici6n del
factor m6rfico se encuentra.
1
F=V
-'IV
-
r+
1I
)(
4
1
!T
,
da (
¿ )~ ¿
l.-o..
da'l1.
4
que da F =....;l~
r +1
t
]r
1
)J-a-
factor m6rfico de un árbol con base al cilindro con base medida a cual. r a 1tura /1a # del suelo.
qUle
cuando a
1
= o .). F =-=--
r+
ó""e
1
•
( 55
4.&1 Análisis de la f6rmula
-
Las f6rmulas an teriores revelan que el diámefro escogido para calcular el factor m6rfico no tiene influencia directa sobre él y que este factor solo depende del transcurso o recorrido de la generatriz dominado
por el exponente m6rfico 11
y la altura
del árbol y la. indicaJord!.
" a " pues fes funci6n de ellos.
(F = f( r ,~, a)
).
1.
r"
- -
Según la altura indicadora "a" que se elija para medir el
entonces varios conceptos de factor m6rfico.
4.8. 2.Factor m6rfico absoluto
r; aparecen
(F')
Este es el factor calculado con una altura indicadora ,'{' = o , es decir
midiendo la base sobre el suelo como lo sugiere la figura 1 del numeral
4.8
I
F =
v.
Wo
Como la altura indicadora en es te caso = O
./
1
r+
1
I
Esta f6rmula expresa que en el F no tienen influencia ni el diámetro
ni la altura, sino exclusivamente el exponente m6rfico r , dependiendo
pues exclusivamente de la forma del tronco.
A pesar de su sencillez, entonces esta f6rmula se vuelve un crrculo
vicioso ya que se está buscando la forma de un elemento cuando se d e-o
be conocer
o viceversa.
r
•
Además, prácticamente no es útil por
1) la gran irregularidad de la base a la altura del suelo
2) cambio de forma con la altura y por tanto cambio de
pues un
árbol a veces presenta en su fuste formas varias como de neiloide
en la base, ciHndrica después, parab6lico al final, etc.
3) Una relaci6n muy variable del volumen de la parte baja del tronco
con relaci6n al volumen del tronco en te ro.
r,
4.8.3.Fac tor m6rfico no auténtico o factor m6rfico a la altura del pecho
•
Para eliminar lo!! inconvenientes del absoluto, se propus o encontrar
el F al D. A. P. ( F}, en base a una altura única como base de medici6n que permitiera por lo menos uniformar posibles comparaciones y
( 56
medidas y se toma como base altura al D. A. P. :::: 1. 3 m ya que a esta
altura se suponen desaparecidas las irregularidádes de la base como
también superada la forma neilordica inicial que incide en el cambio de
valor para r , además de la comodidad para la medici6n que esa altura
permite.
Con base a la ecuaci6n del numeral 4.8 entonces
:::: F
F no auténtico, o F al D. A.P.
::::~1
r+ 1
Este factor no expresa propiamente la forma del tronco, pues es funci6n de
sino que permite encontrar puntos de comparaci6n al uniformar a la medida "a tI; inclusive se puede apreciar que cuerpos con
igual exponente m6rfico, es decir con igual forma pero con diferentes
alturas tendrán diferente F.
r
Por ejemplo: sean dos árboles entre cilrndricos y paraboloidicos pero
más cercanos al paraboloide, con r encontrado de 0.8 y con altura de
22m y 29 m.
sus correspondientes F al D. A. P. serán
F 22 = 1
1 + 0.8
F 29
--
1
1+ 0.8
x
t
t
22
22-1.!
22
29-1.3 ,
f>.f
1-
1
1.8
-
J
0.5832
o.t
!).~
--
l22
20.7
o. g
--
1
1.8
h~~ 7}
- 0.5763
Como se puede apreciar los dos factores calculados son diferentes y como era de esperarse el árbol más pequeño presenta un F más grande
( porqué ?) aunque la forma supuesta era igual. Esta contradicci6n causa el nombre a este factorJY para los que se vl1.n, influyen muchas condiciones: como ubicaci6n eco16gica de los árboles, calidad de sitio, densidad del rodal. edad, altura, D. A. P. , formas de copa y su rrictsa. etc.
4.8.3.1 Influencia de la ul?icaci6n ecol6gica en el
~.
La zona eco16gica tiene una marcada influencia en el crecimiento debido
a las diversas temperaturas, regrmenes de precipitaci6n y radi.a ci6n solar, perrodos climáticos en general que influyen en la producci6n no solo
cuantitativa sino cualitativa y por ende en la forma.
4.8.3. 2.
Influencia de la calidad de sitio
Para percatarse de esto, serra conveniente comparar datos obtenidos
¡
( 57
en diferentes rodales. Con diferentes calidades de sitio.
No se cree necesario recurrir a ello y más bien se dan los conocimien tos del análisis de algunos de ellos como el hecho de que a medida que
la calidad del sitio es más baja, los factores m6rficos a la altura del
pecho s0ll.mayoreB, esto en base a la conclusi6n sacada por concepto
de altura, a mayor altura menor F y también debido a que la participaci6n de la masa de la copa,(ramas gruesas, etc.) es mayor en la mas
total con respecto a la menor altura y menor diámetro.
4.8. 3.3 Influencia de la densidad
La densidad del rodal tiene una marcada influencia en el facto m6r~"~ o
ya que aumentos en la densidad eliminan parte del tamaño de copa, i.
cual provoca una formaci6n más cilrndrica de los árboles y por tal raz6n aumenta el factor m6rfico del tronco.
4.8, 3.4. Influencia de la edad
La influencia de la edad es menor de lo que aparentemente se preb"llderra. Estudios realizados as! lo demuestran. entre árboles de diferentes edades pero dimensiones casi iguales. De aquí que muchos 'lUtores de tablas volumétricas hayan ignorado casi este factor.
4.8. 3.5. Influencia de la altura
•
Ya este factor fue analizado, se sabe que F disminuye con el aumer¡<o
de la altura debido a las relaciones de las medidas con las tomadas a
la altura del pecho.
4.8.3.6. Influencia del D. A. P• .
A unque no a parece en la f6rmula, el D. A. P. tiene s ir íluencia y 'nu
ma reada en el F , pero debe ser analizada en cada rodal. Esto se p 'ed ....
concluír ya que existen correlaciones importantes entre D. A. P. Y d
ra y ya se ri6 la influencia de esta en el F,
I
4.8.3.7. Influencia de la ub' caci6n y formas de la
cop~
Debido a los efectos dinámicos de la copa, su extensi6n, pos id6n. forma, etc, su masa debe influrr necesariamente en el F. La masa de 1
copa debe aumentar el F , ya que para sostener una gritn masa de Co a,
la parte it.lal del fuste debe tener una buena relaci6n con la inicial, cOn
tendencia a s6lidos ciUndricos, lo cual aumenta el F.
Visto lo anterior, puede apreciarse que el F nO perrnite apreciar exacta-
( 58
mente la forma de los árboles, sino más bien que actúa como un factor
de reducci6n para la determinaci6n de volúmenes.
Cuando se recogen F a masas, su uso para árboles individuales puede
ocasionar errores hasta de +
15%.
-
A pesar de 10 anterior es el F más sencillo de usar. Muchos autores
apreciando los fallos del F presentaron sus f6rmulas individuales ( como Schiffel, Guttemberg, Kunze, etc.) que no se cree oportuno mencionar pues adolecen de defectos similares al que quisieron remediar.
4.8 . 4 Factor m6rfico auténtico o normal. F"
Como soluci6n a los problemas que se apreciaban con los anteriores
factores, Smalian propuso abandonar la toma de medidas a alturas
predeterminadas y hacerlo a una altura alrcuota (proporcional) a la altura total del árbol; según la proporci6n a ::: ti n.
en donde
"a":z: altura alícuota en donde se mide el
?
/ = altura total del tronco
n
= un número fijo (10,20, X ...... etc.).
Usando la ecuaci6n encontrada en la secci6n 4. 7 el F se puede obtener
asr:
"lo
F 'I :::
V
W
, -iT
r ....
--
d.t¡~
•
/.j.
JI. d~ . .f.
#
F" ;:
1
r+ 1
[:le"Jl
(~
..e
!
-Y/n
r
"
-
!
1
r+
1
11/ - -:¿
r-
-
1
\r + 1
~rJ1
r
tC'rf-1J
"h.
~n
n-l
Jr
,
•
•
•
( 59
La ecuaci6n encontrada expresa que el F es funci6n dery de la parte
alrcuota de la altura (~), la cual puede consigerarse como una constante. (5, 10, 15, ---etc.). arbitraria.
Como este factor caracteriza la forma del tronco, Pressler lo denomina " Factor m6rfico auténtico o normal".
Cuando se toman valores altos de 'l. en árboles bajos, puede ser muy
cerca del suelo donde el área es muy irregular, lo cual podrra alterar
resultados.
4.9
Concepto de forma geométrica
Ya se han planteado varios conceptos relativos a la forma del árbol.
Se desea plantear ahora uno nuevO, que tiene o tOIna en cuenta en vez
de valores absolutos, longitudes relativas dentro de la altura total del
árbol, con el objeto de estimar la verdadera forma geométrica del árbol.
Por ejemplo se tienen los datos de dos árboles así:
A#l
L=20m.;
A #2 L = 10m .
D.A.P.
= 25cm.
D. A. P.
= 12..6·eM
Se les tomaron diámetros en cm. a diferentes alturas cada 2m. y se
obtuvo:
-
~
uqa altura L
DA#l
DA# 2
-
1
3
5.
1.3
25.5 25.0 23.3 22.3
14. O 12.6 12.6 10.6
7.
11
15, 17
13
19
9
20.7 19.0 17. O 14. 7 11. 7 8.7 5.8
8.0 3.9
v
Con estos datos se obtuvieron los siguientes cocientes de forIna = D
D.A.P
QQcientes de forma
L
7
13
15
1 1.3
S
17
3
19
9 11
A#l
1. 01 1. 00 .93 .89 .83 76 .68 .59 .47 35 .23 CF#l
•
CF#2
1. 01 1. 00 .2 0 76 57 27
Afi.2
~-_._-
•
•
Como se aprecia al usar el concepto de cociente de forma no permite
apreciar ninguna s imilaridad entre los árboles.
Para obviar lo anterior se puede dividir el árbol en longitudes relativas a la altura y como fracciones de ella, por ejemplo quintos de ella,
o décimos de ella, etc. ( L/S , L/la, etc. ) . Por ejemplo y arbitraria"
.
,
•
•
( 60
•
mente, sea para el caso anterior fracciones iguales a 0.2L
r~·2L
~
<'.'ZL
I
I
I
I
I
l'
I
I
I
da?
J
I
I
I
I
I
I
r-
I
I
I
Ja.r-
J
---
I
I
J
J
I
I
,~
I
.o.2L.4
I
I
I
I
I
1
.....
I
dM
I
I
-
.
I
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d •. J
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~ '1
I
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~
I
I
I
I
I
JD.'f
~
I
o."2.L
I
I
•
[,
I
I
L
<:
~
d 0.9. d 0.7--- d 0.1, son los diámetros medios de cada secci6n
empezando de la cima a la base del árbol.
.
En
circunstancias las alturas a las cuales se busc6 el cocien. . ..estas
.
té " d'~ for~ lueron, lo trismo que los respectivos CF.
;.
L
,
, . .... ...-.
'
A
#
..
1
A # 2
CF
•
..:.
6
10
14
18
1
3
5
7
9
2
A
#
1
1. 00
0.896
0.75
0.562 0.271
A
#2
1. 00
0.896
0.75
0.562 0.271
Con lo cual se puede apreciar que ambos árboles presentan la misma
forma aeométrica.
El método anterior fue propuesto por Hoenadl y da origen a un parámetro denominado "Coeficiente de convexidad l l o"H.úmeros de combadura l l , para 10 cual se enuncia as! lo propuesto:
Para comparar las formas del tronco de diferentes árboles, no se debe hacer uso de diámetros absolutos a diferentes alturas. s ino más bien
emplear un coeficiente de convexidad que es un valor correspondiente a
los diámetros relativos a un diámetro básico, para lo cual se divide la
altura en un número fraccionario exacto como l/S L, ( O. 2L ), etc y se
trabaja con el diámetro medio de las secciones determinadas, a los cuales se les denominará como d 0.1, d 0.2---- d 0.9 para la divisi6n en 5
11
•
( 61
partes por ejemplo para la cual se espesan resultados suficientemente
exactos ".
La f6rmula para el cálculo del volumen propuesto por Hoendal eS
I--J~.'!
e>.2~
- - - - -4-
----t----
ti.
(J. 7
-~
- - ----
-t
O.2~
v
= 0.2 h.
lT
{
]1.
jl
jZ
t
dO.9 + dO . 7+ctO.5+do.3
..
+
J1..}
d~.l
(1)
4
Hoendal se plante6 la pegunta:
" Es posible sustiturr la serie de diámetros ( que él llamó serie
de los números de comba) de números de comba por un número
único que pueda considerarse como el factor m6rfico ?
La respuesta es afirmativa con una comparaci6n posible y aut~ntica
cuando las mediciones se tomen en puntos hom6logos y cuando el diállletro básico se encuentre también en un lugar hom6logo.
Por lo anterior Hoen.tll escogi6 el diámetro d 0.9, que se encuentra
siempre a una altura de L/lO sobre el nivel del suelo y por 10 tanto
fácil de medir.
•
( 62
De lo anterior resulta una serie de " Coeficientes de convexidad puros"
también l~amados \\ Coeficientes de forma puros \\ , llamados
(eta)
"l
1o. 9 =
d~1
'1~. 7
J,C.1
=
d.o.?
= 1
- ., .
dc.q
•
't
0. 1 =
do .•
C{o.q
Cfn los cuales se puede modificar la f6rmula (l), multiplicando por
dO.9 el segundo miembro de la igualdad y dividiendo por él cada término del (
)
V = 0.2 h.
lT
+ --------
)C
4
1, quedará como
{I "1..~ • '1 ~.s + 1.:.3 '10.1
Con 10 cual el volumen en términos de
t
V " 0.2 h.
{.
lO.9
t
En esta f6rmula h ~~4
0 . 9 corresponde al volumen del cilindro de
di¡{metro d 0.9 Y altura h. Los demás componentes de la f6rmula corresponden a un factor de reducci6n, mediante el cual se reduce el vOlurne n del cilindro al volumen del tronco, y al cual se le da el nombre
de
ítO.9 (lambda 0.9 ) llamado "factor puro de Hoenadl". el cual
se compone de la suma de cuadrados de los coeficientes de convexidad,
multiplicados por el largo relativo de las secciones del tronco.
,¿1.
Relativo al cilindro ~O. 9 llamado cilindro básico cuyo diámetro es
Y altura h, se encuentra el volumen del árbol como
J 0.9
,
V ;:
eo. 9 f.o. 9
7l
4
lo.9
h · fO. 9
(2)
4 . 9 . 1 Factor m6rfico puro de Hoenadl
De la ecuaci6n )2} anterior se puede conclufr
)0.9;: V
Co.C)
llamado factor m6rfico de Hoenadl
La idea de Hoenadl del factor )..0.9 compuesto de una serie de "números
de combadura" o de "convexidad" es excelente, aunque un poco diffcil de
utilizar para árboles en pie debido al gran número de obstáculos que se
presentan. Sinembargo, puede apreciarse su utilidad a medida que mejoren los aparatos para medir diámetros y mientras más precisi6n se re-
(.63
••
•
qUiera.
4.9.2 Método de Hoenadl
0./ F
ara lle ar del
•
Viceversa.
1/,
•
La dificultad de medir los
cuando no se requiera de mucha precisi6n puede eliminarse en parte a partir de las f6rmulas:
v
=
ea. 9 . Aa. 9
-
7í
4
con elementos tornados a la altura del pecho.
Como el volumen debe ser el mismo entonces
1T
-4
t
7T
J'a.9 h)a.9=
4
J'O. 9~;~q=J\. 3· f
~O. 2
J 1. 3.th,f 1. 3
--
,11. 3
dO.9
F1.3
1.
3
T
=
{ fh
)l
El Ches un factor llamado cociente de Hoenadl, y expresa la relaci6n
entre D. A. PI Y un ~ tomado a 1/10 de la altura del árbol, medida desde el pie mismo.
( El Ch, sirve además como un índice para las costillas, cuyas dimensiones y altura absolutos ;:l.umentan con la altura del árbol e influyen
sobre el D. A. P. provocando su aumento absoluto y relativo).
Mediante el cuadrado del cociente de Hoenadl se hacen facilmente las
transformaciones entre factores.
).0.9 =
•
F (€h)lf
y F =
~0.9 /(éh)t.
4.10. Concepto de altura m6rfica
•
El concepto de altura m6rfica trata de crear un valor de reducci6n y
simplificaci6n de cálculo para hallar volúmenes.
Se puede definir como el producto de la altura de un árbol por su respectivo factor m6rfico y se expresa como hm.
h m::: F. h.
Este valor podrra usarse cuando se hacen tablas de cubicaci6n rápida y
rl
( 64
podrra aclararse el concepto as!:
, ---..;:'
. ...
.. . --.,..
•
•
•
.
.".
•
•
-•
..
'.
.......
~ • • •~.
¡
,1
Imagrnese un tronco de un árbol T, que pudiera derretirse como parafina
encerrado en un tubo cili'ndrico de vidrio. El tronco no llena completamente el tubo. Cuando el tronco se derrita, llenará completamente el tubo hasta una cierta altura que correspo.pderá al concepto de altura m6rfica hm.
la multiplicación de la base del cilindro por la altura m6rfica dará el volumen del tronco.
v
=
~hm.
Este concepto sirve por 10 menos para simplificar cálculos y puede emplearse en labores de cubicaci6n rápida.
Existen tablas de altura m6rfica sin valor actual por ser muy especializada s o locales, pero se pueden construfr algunas para suplir deficien•
clas
..
4.11
Cubicaci6n de Troncos
-
4. 11.1
Fórmula de Smalian
La fórmula de Smalian propuesta en 1806 eS la siguiente, para
la cubicación de troncos:
( 65
r
V=
•
J~ + d~
h
4
=h
2
Esta f6rmula es la consecuencia l6gica de la f6rmula deducida para el
volumen truncado del s6lido de revoluci6n, y en este caso, para. el paraboloide, haciendo = 1
r
V truncado
=1
Parar
En lugar de
d6 + d~
==
-
7í
1
r+ 1
h
Jo· J;Jr _ d; d.. l1r
d# l/y- ti."~¡.,.
4
V tNnc _
-
1
7T
"-
2
5
se puede escribir
J'+
o - el t1 Ji
h
=lL
dao - d))
t
4
2
If ~ot +Jj
z
y la fórmula quedará
2
V =
E
h
~t=fh
.. ( TT $
,=
r)
4
4
4.11.1. 1.
't
Deducci6n Analrtica
La f6rmula general de la generatriz del s6lido de revoluc i6n
también se puede escribir aSl:
Y = A
z
.3
+ BX + ex + DX + ----------
(1)
x
I
J
i?'.I.l--~
10.- -
-
-
-
--
.....
,
:
"
-
-
-
-
-
-
-
-
-V/T.T
,
,~o
~I(---
h
----------~
1,
-,
~----!I-
1
--
/
1)( t'\
---~)i
La ecuaci6n (r) puede transformarse a una ecuaci6n de áreas
multiplicando por TT /4 quedando una nueva ecuaci6n de en funci6n de X ( acuerdese que con
se expresa el área X ).
gy.
g
•
•
•
,
•
( 66
A
3
l
)j'%.=
•
,
a + bX + eX + dX + -------- (2)
El lado derecho de la ecuaci6n (2) supone que sus términos sean
determinables, conociendo las áreascrliferentes alturas. Esta
condici6n se vuelve importante, si se tiene en cuenta que cuando
se dedujo el volumen de cuerpos truncados se parti6 de la f6rmu~
r
la Y = PX que no corresponde exactamente al curso de la generatriz verdadera a menos que el tronco coincida perfectamente
c on el s6lido de revoluci6n que tenga por modelo, ya que el tronCO es la combinaci6n de varios de éstos. Por ello se r~uiere tener muchos datos deg , acortando h, ( o X en este caso).
Smalian a pesar de 10 anterior utiliza solo dos áreas, go y gn
con 10 cual pueden determinarse s6lo los dos primeros coeficient~s de la ecuaci6n (2), a y b . 10 cual quedará entonces como.
gx.=
a+bX.
Con 10 cual para la figura se tendrá
<go
=a
+ bX o
gn = a + b Xn
Pero Xo = O
ya que es el origen y Xn = h; entonces
(3)
go = a
(4)
gn = a
+ b h.
Restando (3) de (4) gn - go = bh, con 10 cual se puede"determinar perfectamente los coeficientes a y b.
La f6rmula general del volumen de un s6lido
pued~escribirse
V=JgXdX
=
La cual entre los límites Xo
O; Xn = h, puede escribirse
It
.t
V
=
a + bx ) dx
.;jSxJ'I-
V = aX
j(
k
+ bx2
,
-
2
V = 2 a h
2
a h
t
+ -bh
2
2
+ bh
=h
-2
( 2 a
+ bh
)
•
•
•
•
•
( 61'
.sustituyendo en esta ecuaci6n los valores, de a ' = B~ de la ecua ci6n (3) y bh = gn - Be. (uniendo (3) y (4)
v
= -h
= -h
2
2
Con lo cual se llega al resultado de tratar al tronco como si se
tratara de un paraboloide, lo cual l6gicamente debe traducirse
en algún error, el cual debe ser igual a la diferencia de volúmenes según Smalian y volumen verdadero,
4.ll.L 2. Ejemplo del error obtenido al aplicar Smalian a un tronco de
cono
El volumen del tronco de cono como se sabe es igual
7T
3
-4
( d~ + do
dn
+ d~
)
---------------
I
I
I
)1
Llamando 6 al error, quedará entonces
Vsn = volumen según Smalian
Vtc
.6=
-
h
2
=
11
tronco verdadero
JL ( d~ + d~ ) - 1l- -7T (d~ + do
3
4
dn
+ d~ ) = -h
6
4
-
4
Como se observa (do-dn) siempre será mayor que O, lo cual permi te deducir que la f6rmula de Smalian aplicada al cono truncado muestra volúmenes mayores que los reales, Aplicada al Neiloide, aparece
•
\
•
s
. ( 68
••
todavra un mayor error.
•
Experiencias elementales llevadas a cabo por Medloch y rencor
muestran valores de volúmenes mayores entre un 2. 3 ~ y un 6.30/0
aproximadamente.
4.11.2.
F6rmula de Huber
Aunque varios autores antes que éste ( Kastner, Krünitz, Konig,
Hartig, etc.) utilizan el método que se expone a continuaci6n, se
le da el nombre de f6rmula de Huber, por ser ~ste quien la da a
conocer públicamente,
La f6rmula de Huber, cubica el tronco usando un s610 diámetro
ubicado en la mitad de la altura de un cuerpo perfecto (cilindro,
paraboloide, etc.). Esta f6rmula se usa ampliamente para la cubicaci6n actual y es base de muchas tablas de cubicaci6n.
~- ~h :: f _-.:*~- hilo ~.f --~~
I
I
I
I
I
l-
-----
I
t
I
~-
1__
I
---=71
I
I
)(0
I
-------';:>4
j(
La f6rmula de Huber
V
= 11
b'lh
= ~h.
4
Utilizando un proceso similar al anteriormente descrito para
Smalian en base a solo dos áreas a cualquier altura entre ellas.
se puede escribir
9~ = a + bX
•
(.6 9
~ = a
En la figura
,
+ bX,
9JZ, = a + bXn
--11..
Sustituyendo X,
y Xn = h
2
~=
-
+ bh/2
a
~11. ;:: a
--
+ bh.
~"-gl --
a+bl
a + 2b.t
bl
Se pueden conocer entonces a y b
g, - b¿
a ;:
y.bl
= ~n/
a ;:: ~,
-
SI
(~" -
8J
-
.)
El volumen quedará entonces como:
V ;::
f,e
o
,gs,¡edX ;::
V -- 2 a
V
4.10.2.1
Jze
1+
"
(a + bX )
dx -- a X + bX
2
b
l
2b! = 2 ) ( a + b f )
"\d) \- _
-- 2 fi} ;: h ~
D.j'
Error al aplicar Huber a cuerpos estereo-métricos regulares
Usando el mismo procedimiento que para Smalian
A = V Huber - V verdadero.
•
ze
Z
J
el error
Como se habra deducido previamente el volumen de un sólido
conocido su diámetroa cualquier altura sobre el piso
J
V ;:: 1
r+1
cuando
a ;::
¿
7T
4
el!
~
ro Ti
•
2
•
•
.
b'
\
( 70
v = ~.-1
1'+1
para el caso
V
Ll=~h
-
--
1
y+ 1
r
.tl h
r+ 1
2
r
11
2
)
-
h.
'1
2
h " (1 -
r
r+
1
4.11.2.1.1. ~rror con respecto al cilindro
r
=0
{ 1 - -T ]
=0
Se sabe que para el cilindro
ll==~h
411.2.1.2 Error de Huber con respecto al
Para el paraboloide
r
paraboloid~
== 1
El valor obtenido hace hasta el momento más confiable la
f6rmula de Huber.
4.11.2.1.3 Error con respecto al Conoide y Neiloide
Como
t'
= 2
~- -h
3
-
La fórmula de Huber para el cono entero de volúmenes menores en la tercera parte del volumen exacto.
Con respecto al Neiloide ~ = - "l.h, es decir que aplicada al
neiloide entero dará solamente la mitad del volumen exacto.
Por 10 anterior, se puede apreciar que la f6rmula de Huber
es aplicable estrictamente para el cilindro y paraboloide", sieD:.do inaceptable para conoides y neiloides.
4.11.2.1.3 Error con respecto al cono truncado
Este volumen
V = h/3
rr/4
( J~ + do
dn
+ J~
)
•
..
.'
escribir
En la fórmula de Huber es posible
en vez de
= do + dn
2
S
Con lo cual V Huber
7í 52. h
=~h -
[ d~
Entonces
para el cono truncado
7J
=
4
vh=h
4
(71
h
4
+ d~
+ 2do dn
4
t
dO
; dn
r
]
será
IJ.
( d~ + 2
=
f:¡ = -
do dn + d~ ) - 7T h
434
(d~+
do
dn+~~)
7íh
48
En general entonces,al analizar la f6rmula de Huber, varios autores
han hecho estudios para arboles en particular, dando resultados que
no tienen validez entre nosotros por lo exclusivos, pero que muestran
un camino a seguir cuando se quiera emplear esta f6rmula.
4.11.3 F6rmula de Newton
La f6rmula de Newton para el volumen de conoides truncados es
-rr
V = h
-
6
(d~ + d~ + 4 8")
4
Usando el mismo procedimiento que para Smalian y Huber se puede
llegar a la f6rmula de Newton •
•
l---~~
t
I
I
~
I
-
,
o
"a ~
al" ~ : Ir ci' ':
----
-
r1 -
t i ,'
-
, '1
\
\ l'
•
-
t.;'
~ -::::_-~~
\1r
_--- I
11
-
-
-
-
---,
I
I
1
1
I
I r" I
II )(J1.
. { ----iCi*~
j)
I
71
•
ca
( 72
e.
Observe que el diárre tro di ;:::
el tom~do en el punto medio
de la altura total que se quiere cubicar. .
Se parte de la ecuaci6n de la generatriz 'Y~ a + bX ... e x~ ~5d~JCJ
las secciones transversales 8ft., ~o gn. , con alturas o abscisas
Xo
o , Xl;::: ~ X",;::: 2 ~
h. con ellos se obtiene
=
=
t,= a
+ bxo
+ Cxt
;::: a
Cx~
::: a
~/;:::
a + bx! +
~'l=
a + bxn + Cx!1. ;::: a +lbe
+ b.f+
c
+4
¿t
C
ez.
Operando con las ecuaciones anteriores se obtiene
g, -$ o;::: b.l... c ¿
(1)
2-
(2)-:~
- n = b.f + 3 C t z
~n.
~
•
(3)
!tt - 2.f,+ 1.;:::
2cR2.
Con lo cual es posible determinar los coeficientes a, b, c.
V
;:ze
;:::~ ~%. d x.;:::
;:::ax+ bx'"
j~e
o
+ bx + cx 2
( a
+ cx
2
3
le
]
3
V = 6a.R+ 6bt'+ 8 C¿ =
3
dx
/).
4b('
2
D
J
f)'l
A
= 2a.(+
)
/J
-C
3
(6a +
6b~
+
/)3
8Ct'
3
1
+8C¿ )
Despejando de las ecuaciones anteriores los coeficientes se encuentra.
a ;:::
(4)
b ~;::: J¡
(5)
C/'-=
- fo _ C f
t
.9n - 21, +1c
2
Llevando (5) a (4).
•
( 73
(4g,- 3t. -fn ) + 4'(gn - 2"
~(lT
- 3
ComQ
!.
-
~
+
do
4
+3.~
r
¿
17 " dn)
4
h
6
3
V
t
=-h -7T { do
6 4
+
c1; + 4
~~')
La fórmula de Newton vale tanto rara el paraboloide truncado, co mo también para el cono y neiloide truncados.
Tanto esta fórmula como la de Smalian tienen como defecto el hacer los cálculos usando la base inferior del tronco, es decir con
la base cerca del suelo cuya forma es irregular muy a menudo por
lo cual la dete rminación del diámetro do. tropieza con dificultades
•
• •
e lmpreclslones.
4.11.4 F6rmula de Simony
La f6rmula de Simony fue publicada en el año de 1876.
Vsi =
.h.... . (ZSl/4 + Zg3/4 -
f)
3
Para esta fórmula se divide la altura del tronco en 4 partes iguales.
I
"" 1/
I
I
r
I
I
\
Se miden los diá metros en cada una de estas partes .
•
I
•
,
( 74
En la figura
1=
h/4
•
x, = ,t
XI.=
21
x$
=
3'¿
x,.;::
4.f
•
=h
2
Como se sabe la f6rmula general de la generatriz y
S
't
;:: A + BX + CX + DX +
Aplicando como en Smalian ---- etc. la sustitutiva.
~x = a + bx' + cx?+ dx3
Se obtienen las siguientes ecuaciones
g, = a
J)~
t.
+ b~+ e.f+ d¿::
~= a
+
2b~+ 4c¿\ 8
93;::
+
3b
a
3
d1
i + 9 cJ+'" 27 d R!
!J'l
11 3
~;:: a + 4b--t + 16 c' + 64d<
Se determinan los coeficientes a, b, c, d Y se llevan a la ecuaci6n
del volumen.
1I
V ;::
( a +bx + cx~+ dx 3
)
dx
f
Nota: En la f6rmula de Simony
es el área tomada en h/2 y se elimina el problema de usar diámetros en la base .
•
,]lJ
I
4.11.5 F6rmula de, cubicaci6n en base al diámetro eromedio
El diámetro promedio es el tomado como promedio de los dos diámetros extremos do y dn.
d~
= do + dn
2
La f6rmula para el volumen del tronco sera V ;::
1l h • (l m
)
4-
Esta f6rmula de;¡. resultados no muy exactos, lo cual se puede veri•
o"
,
ficar
(- 75
..
encontrando 10s!J. para cada figura.
Cubicaci6n por secciones
•
El volumen de un t ronco o de una troza se puede encontra r cada ve z son
maY0t...exactitud dividiéndolo en secciones pequeñas. Al estudiar algun a s
de las muchas f6rmulas propuestas para cubicar conoides en el nurnel"a l
anterior, se observa que la exactitud va aumentando el grado de comp ~e
j idad para solucionar el problema, lo cual puede obviarse (lo complejo),
aumentando el tiem.po de trabajo seguramente, o algún otro parámetro .
Para la cubicaci6n por secciones se divide el tronco en varias de ellas
a las cuales se les dará el tratamiento de cilindros aunque se afecte un
poco la precis i6n.
4 .12.1 f6rmula de Breym.an,
En 1865 se propone por parte del autor la siguiente f6rmula de cubicaci6n para conoides truncados, partiendo la altura en 3 partes iguales.
+
= h
-8
)
3
tt
~
~
I
go
.
"
\
t IT~r~
J. H -
'"
1 ,
\ 1I
I
I
__
(:.1-g~.3
! ,. .L
_____ ~I
'"
III
\
,
e -*)(, -t
J
)<0
1I ~~
11
\
I
I
~?>J
~
La notaci6n8 1/3 ,
2/3 , significa la búsqueda del diámetro.a 1/3, 2/3
etc. de la altura del tronco,
Como para las f6rmulas anteriores se recurre a la f6rmula general de
la generatriz.
~
~ x
=a
+ bx + exZ+ dx:5 + - - - •
•
n
( 76
,1
y para cada valor de X ;:: O
z
t, 3 ¿ . se "tiene
+ bxo + cx~ + dx;
90= a
=a
•
etc. se bus can todos
108
coeficientes.
4.12. Z F6rmula de Smalian para cubicaci6n por secciones
Para ello se divide el tronco en cierto número de secciones de igual
altura
¿ ..
,~
•
seCClones
Se calculan los volúmenes de las distintas
=.!{gofá,
VI
--
)
1
-
( $0 + 11)
2
2
V, --
~
( ~, + 8z.)
.-
2
.,,-1 -
V
V1t
--
V
r
-
Vr
-
~
•
( glt-~ + gn-/)
Z
•
1 ( B"-1 g" )
2
.
¿ (SofÉI +9IfS21---+g,,-zfg.,-'+ ~"-I+g,,)
f
2
.t (g. + zg,t28'1.+
---12g~_J I-g't)
2
V7
-
(
/. f
Z
~+t
+ gI
r
g
t.
~
- - -f
7,,-1 )
•
( 77
4.12.3
F6rmula seg1.Úl Huber•
Aplicando el mismo proceso anterior,
V,
=
V2
=
t
ti/. z ¿
1'(,
I
I
•
,
I
Vn
/
-,
4 .12 A
•
Método de N ewt?n -R ieke- o regla de Si.npson
La f6rmula de Newton para cubicaci6n de troncos es
=.l!. (~D +
V
.6
.
Se puede aplicar en dos
cualquiera de secciones
ellas medir el diámetro
do dos !!lecciones en una
mero par de secciones.
•
,
4
11.
+
Bn
)
formas, dividiendo el tronco en un número
de igual longitud "l." y en cada una de
superior, medio e ÍJjlferior; o también uniencon un largo
= 2 k I pero tomando un nú -
~~ ~
I
I
•
I
ql
~f
I
~
I
I
I
I
I
I
,
I
I
.f
•
,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
~
I
I
1.. ·,
,
,
I
I
I
J
I ~n.,
I
I
,
\L
~
r ~..
I
I
\U
~
••
I
I
~
I
I
I
v,
I
---
k
•
En el primer caso
vJ =
•
-6
I
V"/~~
,,
I
I
- -f (fn-
Vn
( 78
1
+ 4/1[ + ··~n
)
6
Sumando y sustituyendo valores
v
I
=
6
En el segundo caso cuando se unifican dos secciones en una sola con
largo
z.f ,y se calcula el volumen usando la misma f6rmula de
Newton.
=
\,
v
=
1
2
6
Z.t'
V=
( g.
( g~ +
6
Vn =
Z...e
ge .-)
+ 4 &, +
a~
4g~+
+ 4é n-,+ ~'t
(&n-2
)
)
6
Vt
=2¿
6
Vt =
1.
-
{~o + ~n
3
Esta última f6rmLlla es la conocida como f6rmula de SII'''lpson.
4.12.5 Cubicaci6n po~ Secciones de Hoenadl.
Cuando se estudi6 la teorla del factor m6rfico, se adelant6 en parte éste método.
Hoenedlpropone dividir la traza en 5, lO, o más secciones, pero recomendando como 5 al núme ro que puede dar muy buenos resultados.
~
1
1I
I
I
I
I
I
r:¡~.1
I
II
1 1\
Ir¡
I
,
I
I
,'¡.!toa
_ IJ.¡. _
, 1,
I
,
\ II
\
I
III
.d.o,;
~
1\ "I
o. z t.
I
1
I
el"" A
I
1
I
__
' d_~_.i _ _ _<.t_O_.'_~>\
( 79
Como se ve cada secci6n queda con una altura O. 2h. y los diámetros
de sus puntos medios empezando por la cima del toc6n se designan
como d 0.1, dO. 3 --- d 0.9 (El diámetro dO. 9 siempre quedará entonces a 1/10 de altura total del toc6n. (Sirve para árboles en pre ).
Se acude a la f6rmula de Hube r.
-
V, -
...
q
,
TT x 0.2 h ( d 0.9 )
4
Vz --
7T x 0 ..2 h ( d 0.7)
~
4
•
•
•
•
Vs
- n
x O. 2 h ( do. 1)
t
4
v =
lT
4
4 . 13
Cubicaci6n de árboles en pfe
Existen varios métodos para esta labor, basados en mediciones directas (con elementos ya estudiados
indirectos (acudiendo al 'relascopio, dendr6metros, teod6litos), etc. que se podrían resumir
así:
T,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Empleando las f6rmulas conocidas para árboles volteados,
Con ayuda de factores m6rficos
Por medio de alturas indicadoras
Con ayuda de tablas de volúmenes en píe
Por es tima ci6n ocular
Por aerofotografías
Otros métodos.
4.13.1. C ubicaci6n con f6rmulas de árboles volteados
Este tnétodo, debido al avance en los aparatos de rnedici6n indirec ta para alturas y diámetros, ha dejado de ser lo complicado ,que se
le creía anteriormente, además de volverse bastante preciso. S6lo
•
las limitaciones de tiempo y dinero son obstáculo para su empleo,
pero la precisi6n lo hace recomendable para cierto tipo de trabajos.
4.13.2. Cubicaci6n con ayuda de factores m6rficos
Conocida la teorra es muy simple su aplicaci6n. Su precis i6n depen-
( 80
de de la capacida.d para ubicar un árbol dentro de la forma más aproximada pos ible. Para cierto tipo de árbo\es de • forma elementales es
de gran versatilidad.
4.13.3. ~ubicaci6n de árboles en píe por medio de alturas indicadoras
Aunque existen varios métodos desarrollados para encontrar el volumen de árboles de acuerdo a ciertas alturas llamadas indicadoras,
solamente se estudiará el método de Pressler que se considera el
más racional y fácil de usar en bosques tropicales.
4.13 .3.l Alturas indicadoras de Pres sler
Pressler para cubicar árboles en pre sugiere medir el D. A. P. Y
buscar una altura indicadora donde el diámetro corresponda a un
valor de D. A. P. /2, 10 cual aunque arbitrario puede justificarse.
"J:~
,
Z I
I
-- I
I
I
I
I
I
I
I
I
-
-I
I
I
I
I
I
I
I
H
I
I
I
I
I
I
I
•
I
I
I
I
I
I
I
I
I
YOLa I'U:~ ,,'
•
I
I
I
I
I
•
( 81
•
Sea H:= La altura indicadora ( se mide 1esde el toc6n, a veces desde
la base del árbol).
•
•
g
Afea basal a la altura del pecho
:=
Vi := Volumen del tronco desde el D. A. P. hasta la cima
VII = Volumen entre el toc6n y el D. A. P.
=
V
V'
+
W
11' = Volumen del cilindro de altura h + h y base 8
m
=Altura
desde el tocón hasta D. A. P,
El volumen en base a la altura indicadora de Pressler tiene la forma
•
V=
Se parte de la f6rmula
~~'12=_p
(h+li{'
~ 7 f:= J? (~ {
dividiendo J!L
Y
'2
= Px r para
los radios d/2 y d/2/2
(l) por encimadelD. A,P.
•
(2) por encima delD.A.P./2
:
(3)
(2)
\tt4:= h
Extrayendo la r-es"."a rafz, (3) queda
,
~
-
+H
H
I
,
.
Expresando" como funci6n de h para eliminarla luego.
aparece
VI
A --
==--1
7T
. r+l
4
d
2
h
'V4- l
(h+H ):= 1
~(h+hl):= 1 '.
r+l
r+ 1
•
Vi := 1
~
r+ 1 ::>
•
fL-
:=
1 ( ,</4'-1
'f+
•
.
$(h
+ h
.
'f4!.1
g. h.
•
( 82
Donde por teorra de factor m6rfico, este dene ser igual a -.;l=--_'Y':Jl,r_4.::..-·-:-=--==-_---::;-1
({[4 -lf
yo+!
Dándole valores a
r
se obtienen los siguientes valores para F.
r
F6rmula
'!L4
F = 1
( 'V'4- l )
r +1
Valor aproximado F
F
0.5
2/2.81
2/3
1.0
2/3
2/3
1.5
2/3. 015
2/3
-2/3
2.0
2/3
2.5
2/2.979
2/3
3.0
2/2.959
2/3
3.5
2/2.942
2/3
4.0
2/2.929
2/3
_.-
-
Casi en el 1000/0 de los árboles del bosque, se expresan
raboloidicas o tirando a con6idicas, y se ve de la tabla
ellos ( cuando r
1 Y 1" 2 ), el factor mórficfl según
exactamente 2/3 , siendo muy aproximado a las demás
=
=
-
formas paque para
Pressler es
formas.
•
Se puede escribir entonces
v'
•
=
.L.JL
3
d~ h.
4
Expresando h en función de la altura indicadora de Pressler h = F (H)
h ;::: ( H-m )
v'
= =2
3
-174
d
&
(H- m ) =
.L
VI ;:::
- m )
3
p", r<, obtener el volumen del fuste entero V = Vi
cular
B (H
+W
, solo basta cal-
S m.
•
,
•
( 83
.'
V=Lg(H-m)+gm
3
= ~g
H
+g.!!!.
3
+m
,
=.Lg
)
3x 2
3
(H + m
2
3
-
3
Cuando no se tiene en cuenta pues el toc6n, el volumen según la altura indicadora de Pres sler se encuentra
v=
Lg
(H+O.65)
3
A la altura ( H+ 0.65 ) la llam6 Pressler altura indicadora corregida.
Como se observa, para aplicar esta f6rmula, solo se trata de averiguar la altura indicadora H para la cual el diámetro sea la mitad del
D. A. P., lo cual es fácil si se usan dendr6metros 6pticos. etc.
Al usar reiteradamente este concepto se han encontrado errores que
oscilan entre - 14. 5 %, y 7. 9%.
4. 14.
•
Estimaci6n rápida de volúmenes de árboles en píe
A veces se precisan estimaciones rápidas para volúmenes de árboles en p(e. Varios autores han ideado sus métodos, pero algunos resl1ltan supremamente restringidos, por l<2-cual solo se darán unos
p"cos métodos .
La simple apreciaci6n de alturas se logra en base a una gran experiencia, y se pueden alcanzar buenas aproximaciones hasta de un
90%, lo mismo acontece con el ~. Por ende, también es posible
habituarse a los volúmenes con cierto grado de aproximaci6n.
4 .14.1 Método de Denzin para la estimaci6n ocular
Para este método es necesario tomar D. A. P. Denzin deduce el volumen de la f6rmula
V
=
'2
_ D.A.P.
-
(1)
1000
Esta f6rmllla es supremamente restringida , pues solamente tiene validez para ciertas relaciones entre
F Y altura.
ti.
•
•
.
•
,
•
V
Si
:::
F'B'
g se da en
m
( 84
.'
h
:2
v
•
v
(
= 7T
4
r2.
(D.AP.~
h.r.
100
---2
= 71
D .A. P.
_
_ _-..!.!.h. F ( 2)
4
.
10.000
Si el volumen obtenido por (1) y (Z) es el mismo entonces
---2
D.A.P. 1000
-
TT
4
---2
D.A P.
10.000
hf. (Observe que h f coincide con el concepto de altura m6rfica).
Este concepto será el preponderante para res tringir la f6rmula, es
decir aquellos árboles con una hf'igual a la que sigu'e, podrán calificar para usar la f6rmula de Denzin
D. A .P~.
hf =
1000
--=~-====:=:;;r:;-
p.2
TT
D.A
4
10.000
= 40
7T
= lZ. 74
4.14.1.1. Aplicaci6n práctica del concepto de Denzin•
Suponga un cuerpo con una forma indefinida entre cilindros y parab6lica, pero acentuadamente más cerca del paraboloide .
•
Se elige entonces una
r
= O. 75 Y se lleva a la ecuaci6n anterior.
h x 0.75 = lZ.74
h =lZ. 74 = 16. 98
~ 17m
0.75
Esto implica que bajo las condiciones dadas, tipo de árbol, aquellos cuya forma es semejante a la anterior y con una altura alrededor de los 17m pueden cubicarse con un buen grado de aproximaci6n por la f6rmula de Denzin .
•
Cuando se trate de emplearla para alturas diferentes o la prome,
•
•
.
•
•
,
•
•
•
( 85
•
dia del caso que se presente, es probable hacer correcciones en por•
centaje.
•
* Se
•
sugiere disefiar algún tipo de correcd6n a la f6rmula de Denzin
4.14.2. Cubicaci6n rápida de Pachler
Pachler publica en 1919 su f6rmula para cubicaci6n rápida, la cual
es
---2
V ::: D.A.P.
4
3
2
h. ~
Analizando esta f6rmula se puede apreciar que el factor m6rfico
que la origina, debe corresponder al F
factor no auténtico o al
D.A.P.
En efecto, por la teorra del factor m6rfico se sabe
-w -
F = V
volumen de 1 tronco
Vol~men cilindro con un ~ cualquiera
En el caso que se estudia
F::: Volumen según Pachler
Volumen cilindro con~.A.P.~
Esta conclusi6n sale al mirar la f6rmula
terior entonces.
___ s
D.AP
4
F:::
e
7T
•
•
4
3
..p . De
acuerdo a lo an-
h.
:;: 3
2
---~
-=--
= 0.47746
0.48
2IT
D:A.p. h
Luego averiguando el exponente rn6rfico se puede sacar una conclus i6n importante.
F:::
1
r+ 1
r+
1 = . =1_ _ -:::t. 2.09
0.48
•
•
• • •
•••
r ::: 1. 09 ..
Con 10 cual se puede suponer que la f6rmula se calcula con tr.oncos
con tendencia al paraboloide.
Como se ve el aporte de esta f6rmula no es importante, pues presenta una limitante no superada facilmente como es la identificaci6n
de la forma pero, para formas parab01icas es aceptable.
•
I
( 86
4.14
.3
•
...
Cubicaci6n rápida de Fishe r
-
,--
Esta f6rmula data de 1915. Fisher cree encontrar
una relaci6n im,
portante entre los centrmetros del diámetro a la altura del pecho y
los metros de altura del árbol, en lo que él llam6 "Expe riencia de
la regla decimal" que afirmaba que un árbol debía tener tanta altura en m, como centímetros a la altura del pecho, En otras palabras
,
.-
-~
•1
•,.
:c..;.
•
h = 100 D.A. p. m.
Según lo anterior sería
3
V=40 ( D.A.P. )
2
El origen de la f6rmula es: V -
7T.
(D. A. P. ) h. F.
4
,
2
V = "
4
3
(DAP)xlOODAP.F=lOoK (D.A .P. ). F
4
3
IV
Si esta f6rmula es realmente igual a la de Fisher 25 (D. A. P. ) F=40(D. A. p/
lo cual solo es cierto para un factor m6rfico = 0.51.
La prueba de la suposici6n de que h= 100 D.A.P. es la siguiente
7T
___ 2
'
3
D.A.P. h.F= 40.D.A.P. :.
4
U sando el valor obtenido F= O. 51
ff
h.F= 40.D.A.P.
4
h=160D.A.P. =lOOD.A.P.
O. 51 ¡r
Esta fórmula es muy ingeniosa pero nO es exacta, ni vale para todos los árboles, pues se van acomodando situaciones que no se dan
en la realidad.
Sin embargo valdrra la pena trabajar en forma similar, pues pue den existir situaciones en las cuales se puedan encontrar correlaciones l6gicas entre D. A. P. y h. para llegar a una c6moda f6rmula de V.
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1,
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I
•
( 87
..
•
•
4.15
Hallazgo ,de la Altura M6rfica usando el Relascopio de Bitterlich. (4)
Este concepto se encuentra en alguna literatura de la casa
constructora del Relascopio como "medida directa del producto de la altura y el factor m6rfico (mediada! h
}I'.
Id
.-
Para ello se basa Bitterlich en el punto de la altura indicadora de Pressler, que como se sabe es aquel punto de la al ...
tura de un árbol para el cual se encuentra un diámetro d~D. A. P. /2.
Para encontrar este punto llamado "Richpunkt", se recomienda el -qso de la escala de altura 25 del relascopio, en
uni6n de la franja de 1, sola o con algunas de las franjitas
adyacentes, para lo cual se dan las siguientes normas; de acuerdo a la franja que se use.
4.l5.1.U80 de la escala 1, más las cuatro franjas adyacentes
Se busca la distancia correcta desde el árbol, para la cual
coincidan el D. A. P. y la franja de 1 más las cuatro siguientes. Se inclina luego el relascopio hasta que algún diámetro
del árbol coincida con la franja de "1" solamente .
•
Se lee la escala de 25m entre este punto y la base del árbol
(recuerde que L= Lo-(- Lu) ~ Lo Lu
•
I
L
~
Lo = altura por encima de la
horizontal.
altura total
Lu = altura por debajo de la horizontal.
/
( 88
.H
El resultado L s e multiplica por 2/3, con lo cual se obtiene
la altura m6rfica relativa.
4.15.2. Uso de la escala "1", más dos franjas adyacentes.
Como en el caso anterior, se procede a buscar la distancia
conveniente, en la cual el D. A. P. coincida con la franja "1"
más dos adyacentes. Luego se inclina el relascopio hasta el
punto en que algún diámetro coincida con el ancho de tres
franjas adyacentes de las pequeñas, y se lee entonces la altura en la. escala de 25m, la cual debe ser corregida multiplicando por 8/9.
4.15.3. Uso de la Escala "1"
Se procede como en los casos anteriores, obteniendo el punto de Pressler cuando algún diámetro en especial coincida con
dos franjitas de las pequeñas, obteniéndose la altura m6rfica,
al multiplicar el valor encontrado en la escala de 25lTl por 4/3
4.15.4 Altura M6rfica de árboles inclinados ( con Relascopio)
Para árboles inclinados o deformados, se considera la parte
más gruesa de ellos como la prolongaci6J'l formal del tronco.
Para obtenerla se usa el procedimiento anterior, usando inclinadamente el relascopio y describiendo un cifculo hasta la
vertical hipotética que hubiera ocupado el tronco si fuera recto. La siguiente figura aclar a el proceso para troncos bifurcados y para troncos defectuosos o torcidos.
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1 \
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