Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia

Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de
la frecuencia
F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2012-2013
1
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Contenido
Función de densidad espectral
Definición
Relación con la transformada de Fourier
Propiedades
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Funcion de densidad espectral cruzada
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Densidad espectral de algunos procesos estocásticos
Generación de realizaciones artificiales
2
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Función de densidad espectral
◮
◮
◮
◮
◮
En el dominio del tiempo, un proceso estocástico queda
caracterizado si conocemos la función de medias µX (t) y la función
de autocorrelación RX (τ ) (o la función de autocovarianzas).
Los procesos estocásticos estacionarios tienen propiedades muy
importantes cuando se analizan en el dominio de la frecuencia.
Un proceso estocástico queda caracterizado en el dominio de la
frecuencia mediante la función de densidad espectral, que es la
transformada de Fourier de RX (τ ).
La descripción en el dominio de la frecuencia de una señal
determinista x(t) viene dado por la transformada de Fourier X (ω) (y
por tanto, también por el espectro, |X (ω)|2 ).
Sin embargo, no siempre es posible calcular la transformada de
Fourier de una señal aleatoria. La función de densidad espectral si se
puede calcular.
3
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Para que una función f (t) tenga transformada de Fourier se tiene que
cumplir
1. La función es absolutamente integrable
Z +∞
|f (t)|dt < ∞
−∞
2. Cualquier discontinuidad de f (t) es finita.
Sea {X (t)} un proceso estocástico. En principio, todos los procesos
estocásticos que vamos a considerar no tienen discontinuidades infinitas.
Para que se cumpla la primera propiedad se tiene que dar que X (t) → 0
cuando t → −∞ y t → ∞. Esto no pasa en los procesos estocáticos!
Por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier de X (t).
Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función de
autocorrelación, que es la que nos sirve para caracterizar el proceso
estocástico en el dominio del tiempo.
4
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Para procesos estacionarios, la función de autocorrelación se puede poner
como:
RX (τ ) = E (X (t)X (t + τ ))
Los procesos estocásticos estacionarios dejan de estar correlacionados
para valores muy grandes de τ , esto es
lim RX (τ ) = E (X (t))E (X (t + τ )) = µ2X
τ →∞
Si la media del proceso es distinta de cero, se le resta la media y por
tanto cumple que
lim RX (τ ) = 0
τ →∞
Por tanto
Z
∞
|RX (τ )|dτ < ∞
−∞
Luego la función de autocorrelación de los procesos estocásticos
estacionarios (con media cero) tiene transformada de Fourier.
5
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Definición
Definición
Sea {X (t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad
espectral de {X (t)}, que se escribe como SX (ω), se define como la
transformada de Fourier de la función de autocorrelación:
Z ∞
1
SX (ω) =
RX (τ )e −iωτ dτ
2π −∞
Z ∞
RX (τ ) =
SX (ω)e iωτ dω
−∞
Las ecuaciones anteriores se conocen también como las ecuaciones de
Wiener-Kinchin en honor a los matemáticos Norbert Wiener y Aleksandr
Khinchin.
Como la función de autocorrelación caracteriza al proceso estocástico en
el dominio del tiempo, la función de densidad espectral caracteriza al
proceso en el dominio de la frecuencia.
6
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
Relación con la transformada de Fourier de X (t)
◮
Si estamos trabajando con el proceso estocático {X (t)} y con la
Transformada de Fourier (T.F.), sería deseable que la función de
densidad espectral estuviese definida a partir de la T.F. de {X (t)}
Z ∞
1
T .F .
X (t)e −iωt dt
X (t) ⇐⇒ X (ω) =
2π −∞
◮
Sin embargo, si el proceso estocástico es estacionario,
R ∞teóricamente
X (t) se extiende desde −∞ hasta +∞, y por tanto −∞ |X (t)|dt no
es finita, por lo que en principio no se puede hacer la T.F. de X (t).
Para resolver este problema vamos a considerar X (t) en el intervalo
(0, T ), y hacemos cero en el resto. Ahora si está definida la T.F.
Z ∞
Z T
1
X (t)e −iωt dt =
X (t)e −i2πft dt
X (f , T ) =
2π −∞
0
◮
◮
Vamos a trabajar con f en lugar de con ω para evitar el factor
1
2π .
7
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
◮
La media de |X (f , T )|2 para cada frecuencia f se calcula como
E (|X (f , T )|2 ) = E (X (f , T )X ∗ (f , T ))
Z T
Z
=E
X (t)e −i2πft dt
0
=E
Z
T
0
◮
Z
T
X (s)e
+i2πfs
T
X (t)X (s)e
0
ds
0
−i2πf (t−s)
ds dt
!
!
La región de integración se muestra en la figura siguiente (a). Si
definimos τ = t − s, la nueva área de integración es (b).
!
Z Z
T
t
X (t)X (t − τ )e −i2πf τ dτ dt
E (|X (f , T )|2 ) = E
0
t−T
8
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
◮
Si intercambiamos el orden de integración y tomamos la esperanza
dentro:
Z TZ t
2
E (|X (f , T )| ) =
E (X (t)X (t − τ )) e −i2πf τ dτ dt
0
=
Z
0
◮
T
t−T
t
Z
RX (τ )e −i2πf τ dτ dt
t−T
Como el integrando no depende de t, integramos primero en t y
luego en τ . Hay dos regiones de integración, como se observa en (c):
para τ ∈ (−T , 0) ⇒ t ∈ (0, τ + T ); τ ∈ (0, T ) ⇒ t ∈ (τ, T ).
9
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
E (|X (f , T )|2 ) =
Z
Z 0
−i2πf τ
RX (τ )e
=
0
−T
=
=
Z
t+τ
dt dτ +
0
−T
Z T
RX (τ )e
−i2πf τ
Z
(τ + T )dτ +
0
T
RX (τ )e
−i2πf τ
Z
T
dt
τ
!
dτ
T
Z
RX (τ )e −i2πf τ (τ − T )dτ
0
RX (τ )e −i2πf τ (T − |τ |)dτ
−T
◮
◮
La integral anterior va a infinito cuando T → ∞. Dividimos por T
para que esto no ocurra:
Z T
1
|τ |
E (|X (f , T )|2 ) =
RX (τ )e −i2πf τ 1 −
dτ
T
T
−T
Para T grande
1
E (|X (f , T )|2 ) =
lim
T →∞ T
Z
∞
−∞
RX (τ )e −i2πf τ dτ = SX (f )
10
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
Teorema
Sea {X (t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad
espectral de {X (t)} se puede expresar como:
1
E (|X (f , T )|2 )
T
1
SX (ω) = lim
E (|X (ω, T )|2 )
T →∞ 2πT
SX (f ) = lim
T →∞
◮
◮
A grandes rasgos, lo que quiere decir el teorema anterior es que,
para un proceso estocástico estacionario, el espectro de amplitudes
del proceso se calcula como la media de los espectros de amplitudes
de las diferentes realizaciones y se denomina función de densidad
espectral (como una señal aleatoria no tiene transformada de Fourier
hay que dividir por T y calcular el límite).
El espectro de amplitudes también se conoce como periodograma.
Pero el periodograma se suele representar en función del periodo, no
de la frecuencia (T = 1/f ).
11
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Relación con la transformada de Fourier
Ya vimos un resultado similar en el tema de Fourier: la Transformada de
Fourier de la correlación de dos funciones es igual al producto de la
conjugada de la Transformada de Fourier de la primera función y la
Transformada de Fourier de la segunda función.
Z ∞
TF
y (t) =
x(τ )h(t + τ )dτ ⇐⇒ Y (f ) = H(f )X ∗ (f )
−∞
Cuando h(t) = x(t), la correlación se conoce como autocorrelación de
x(t). Entonces se tiene
Z ∞
TF
y (t) =
x(τ )x(t + τ )dτ ⇐⇒ Y (f ) = X (f )X ∗ (f ) = |X (f )|2
−∞
La correlación anterior es entre dos funciones deterministas. En el caso de
funciones aleatorias, tenemos que tomar esperanzas y dividir por T
lim
T →∞
1
1
E (Y (f )) = lim
E (|X (f )|2 ) = Sx (f )
T →∞ T
T
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
Propiedades
◮
◮
◮
◮
La función de densidad espectral refleja el contenido en frecuencias
del proceso estocástico, como se desprende de la relación entre la
función de densidad espectral y la transformada de Fourier. Por
tanto, dibujando la función de densidad espectral podemos observar
qué frecuencias son las más importantes.
Simetría
SX (−ω) = SX (ω)
Se basa en el hecho de que |X (ω, T )| es simetrico.
La función de densidad espectral es positiva para todo ω.
El área definida por la función de densidad espectral es igual al valor
cuadrático medio del proceso estocástico (que es constante por
definición de estacionaridad):
Z ∞
Z ∞
RX (0) = E (X 2 (t)) =
SX (ω)e 0 dω =
SX (ω)dω
−∞
−∞
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
◮
Luego el valor cuadrático medio
Z ∞
ψX2 =
SX (ω)dω
−∞
◮
Como la media del proceso estocástico es cero:
Z ∞
Z
σX2 =
SX (ω)dω y de igual manera σX2 =
−∞
◮
◮
∞
SX (f )df
−∞
es decir, el área bajo la función de densidad espectral (ya sea en
rad/s o Hz) es igual a la varianza del proceso.
Estas relaciones son importantísimas. Por ejemplo, permiten
comprobar si está bien calculada la función de densidad espectral.
Tambien se utilizan para conocer las unidades de SX (ω).
* Si U son las unidades de X (t)
* las unidades de SX (ω) son U 2 /(rad /s);
* las unidades de SX (f ) son U 2 /(Hz).
Por ejemplo, si estamos trabajando con aceleraciones, la funcion de
densidad espectral se mide en (m/s 2 )2 /(rad/s) o en (m/s 2 )2 /Hz.
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
◮
Para cambiar de unidades de radianes por segundo a hertzios:
SX (f ) = 2πSX (ω)
En efecto, ω = 2πf ⇒ dω = 2πdf
Z ∞
SX (f )df
σX2 =
−∞
Z
Z ∞
SX (ω)dω ⇒ σX2 =
σX2 =
−∞
◮
∞
SX (ω)2πdf
−∞
Si las frecuencias negativas son suprimidas, la función de densidad
espectral tiene que multiplicarse por dos para que se siga
conservando el área.
2SX (ω)
ω≥0
GX (ω) =
0
ω<0
15
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
Se definen por tanto 4 posibles representaciones de la densidad espectral
(a) es conocido como densidad espectral biliteral (two-sided).
(b) es conocido como densidad espectral uniliteral (one-sided).
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
Función de densidad espectral de potencia (PSD)
◮
◮
Antes de la llegada de los ordenadores, los espectros se calculaban
simulando las funciones mediante señales eléctricas.
La energía de una señal x(t) se define como:
Z ∞
E=
|x(t)|2 dt
−∞
◮
◮
La potencia media de una señal x(t) entre 0 y T se define como:
Z
1 T
|x(t)|2 dt
P = lim
T →∞ T 0
Las definiciones anteriores provienen de las señales eléctricas: si v (t),
i(t) y R son potencial, intensidad y resistencia respectivamente:
v (t)i(t)
= i 2 (t) ⇒ potencia instantánea por ohmio
R
La energía total y la potencia media disipadas en la resistencia son:
Z ∞
Z
1 T 2
E =
|i 2 (t)|dt (Julios), P = lim
|i (t)|dt (Watios)
T →∞ T 0
−∞
p(t) =
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Función de densidad espectral
Propiedades
◮
Se definen los siguientes espectros:
1. Espectro de energía. Sea una señal x(t) con energia finita, esto es,
Z ∞
E =
|x(t)|2 dt < ∞
−∞
Por tanto, se cumple la condición fundamental para que exista la
transformada de Fourier. El espectro se calcula como:
ΘX (ω) =
1
|X (ω)|2
2π
Se conoce también como densidad espectral de energía.
2. Espectro de potencia. Si la señal x(t) no tiene energía finita no se
puede calcular su transformada de Fourier. Para calcular el espectro
cogemos la señal entre 0 y T y:
ΦX (ω) = lim
T →∞
1
|X (ω, T )|2
2πT
Debido a la semejanza de esta fórmula con la densidad espectral, a
SX (ω) también se conoce como densidad espectral de potencia.
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos
estocásticos lineales
En en dominio del tiempo hemos estudiado los siguientes modelos
estocásticos lineales:
◮ Proceso de Ruido blanco.
◮ Proceso MA(q).
◮ Proceso AR(p).
Para estos procesos, las ecuaciones de Wiener-Kinchin se suelen escribir
como
N/2
X
S(f ) =
γ(h)e −i2πfh ,
−1/2 ≤ f ≤ 1/2
h=−N/2+1
γ(h) =
Z
1/2
S(f )e i2πfh df ,
h = 0, ±1, ±2, . . .
−1/2
Es decir, transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT): los datos
son discretos, γ(h) = {γ(− N2 + 1), · · · , γ(−1), γ(0), γ(1), γ( N2 )}, pero la
funcion de densidad espectral se define continua.
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Ya vimos que la DTFT se definía (para datos con tiempo normalizado, es
decir, ∆t = 1)
X (ω) =
N−1
X
xk e −iωk
k=0
xk =
1
2π
Z
X (ω)e iωk dω
2π
En estas fórmulas, k = 0, 1, . . . , N − 1, y ω está definida en cualquier
intervalo de longitud 2π ⇒ [0, 2π], [− π2 , π2 ]. Si utilizamos frecuencias
lineales, ω = 2πf , ⇒ dω = 2πdf , [− π2 , π2 ] −→ [− 21 , 21 ] (el intervalo de
integración es cualquier intervalo de longitud uno), luego
X (f ) =
N−1
X
xk e −i2πfk
k=0
xk =
Z
1
2
− 21
X (f )e i2πfk df
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Densidad espectral del ruido blanco
El ruido blanco se define como
wt ∼ N(0, σw2 )
Su función de autocovarianza es
γw (h) =
Luego
Sw (f ) =
N/2
X
σw2 si h = 0
0 si h 6= 0
γw (h)e −i2πfh = σw2 ,
−1/2 ≤ f ≤ 1/2
h=−N/2+1
Si trabajamos sólo con frecuencias positivas
Gw (f ) = 2σw2 ,
0 ≤ f ≤ 1/2
Luego todas las frecuencias tienen la misma potencia o son igualmente
importantes (igual que la luz blanca). El ruido blanco excita todas las
frecuencias por igual.
21
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Pero hemos visto que la densidad espectral también se escribe como
SW (f ) = lim
T →∞
1
1
E (|W (f , T )|2 ) = lim
E (W (f , T )W (f , T )∗ )
T →∞ T
T
dónde W (f , T ) quiere decir la transformada de Fourier de una señal de
ruido blanco wk de longitud T (si la señal se extiende de −∞ hasta +∞
no tiene transformada de Fourier!). Pero hemos visto que
Sw (f ) = σw2
1
E (W (f , T )W (f , T )∗ ) = σw2
T →∞ T
Esta propiedad la vamos a utilizar en los apartados siguientes.
⇒ lim
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Densidad espectral de un proceso MA(q)
La ecuación de un proceso estocástico MA(q) es:
xt = wt + θ1 wt−1 + θ2 wt−2 + · · · + θq wt−q ,
wt ∼ N(0, σw2 )
La función de densidad espectral de un proceso MA(q) es
Sx (f ) = σw2 |1+θ1 e −i2πf +θ2 e −i4πf +· · ·+θq e −i2πqf |2 ,
−1/2 ≤ f ≤ 1/2
Gx (f ) = 2σw2 |1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf |2 ,
0 ≤ f ≤ 1/2
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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Para poder probar la fórmula anterior, hay que utilizar las siguientes
propiedades de la transformada de Fourier:
◮
Linealidad
T .F .
zk = axk + byk ⇐⇒ Z (f ) = aX (f ) + bY (f )
◮
Despalzamiento en el tiempo (time shifting)
T .F .
xk ⇐⇒ X (f )
T .F .
xk−m ⇐⇒ e −i2πfm X (f )
es decir, si la T.F. de xk es X (f ), entonces la transformada de
Fourier de xk−m es e −i2πfm X (f ).
24
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
MA(q) ⇒ xk = wk + θ1 wk−1 + θ2 wk−2 + · · · + θq wk−q
La transformada de Fourier de xk es
X (f , T ) = W (f , T ) + θ1 e −i2πf W (f , T ) + · · · + θq e −i2πqf W (f , T )
X (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf W (f , T )
y el complejo conjugado
X ∗ (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf
Por tanto
∗
W ∗ (f , T )
2
X (f , T )X ∗ (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + · · · + θq e −i2πqf W (f , T )W ∗ (f , T )
Tomando esperanzas y el limite
1
Sx (f ) = lim
E [X (f , T )X ∗ (f , T )] =
T →∞ T
2
1
E [W (f , T )W ∗ (f , T )]
= 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf lim
T →∞ T
2 2
= 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf σW
25
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Densidad espectral de un proceso AR(p)
La ecuación de un proceso estocástico AR(p) es:
xt = φ1 xt−1 + φ2 xt−2 + · · · + φp xt−p + wt ,
wt ∼ N(0, σw2 )
La función de densidad espectral de un proceso AR(p) es
Sx (f ) =
σw2
|1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πpf |2
Gx (f ) =
−1/2 ≤ f ≤ 1/2
,
2σw2
|1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πpf |2
,
0 ≤ f ≤ 1/2
26
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
AR(p) ⇒ xk = φ1 xk−1 + φ2 xk−2 + · · · + φp xk−p + wk
La tranformada de Fourier de xk es
X (f , T ) = φ1 e −i2πf X (f , T ) + · · · + φp e −i2πpf X (f , T ) + W (f , T )
W (f , T )
(1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf )
y el complejo conjugado
X (f , T ) =
X ∗ (f , T ) =
(1 − φ1 e −i2πf
W ∗ (f , T )
∗
− φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf )
W (f , T )W ∗ (f , T )
X (f , T )X ∗ (f , T ) =
|1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf |
Tomando esperanzas y el limite
2
limT →∞ T1 E [W (f , T )W ∗ (f , T )]
1
E [X (f , T )X ∗ (f , T )] =
2
T →∞ T
|1 − φ1 e −i2πf − · · · − φq e −i2πqf |
Sx (f ) = lim
=
2
σW
|1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf |
2
27
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Ejemplo
Dibujar la función de densidad espectral del proceso MA(1) definido por
xt = wt + wt−1 ,
wt ∼ N(0, σw2 = 1)
Para un proceso MA(1)
xt = wt + θ1 wt−1 = (1 + θ1 B)wt = θ(B)wt
con función de densidad espectral
Gx (f ) = 2σw2 |1 + θ1 e −i2πf |2
= 2σw2 (1 + θ1 e −i2πf )(1 + θ1 e i2πf )
= 2σw2 (1 + θ12 + θ1 (e i2πf + e −i2πf ))
= 2σw2 (1 + θ12 + 2θ1 cos(2πf )),
0 ≤ f ≤ 1/2
28
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales
Funcion de densidad espectral de xt = wt + wt−1
10
Sx(f) [U2x /Hz]
8
6
4
2
0
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
f (Hz)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
Funcion de densidad espectral unilateral
10
Gx(f) [U2x /Hz]
8
6
4
2
0
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
f (Hz)
0.1
0.2
29
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Funcion de densidad espectral cruzada
Funcion de densidad espectral cruzada
Sea X (t) un proceso estocastico estacionario. La función de
autocorrelación se definió como
RXX (τ ) = E [X (t)X (t + τ )]
Sean X (t), Y (t) dos procesos estocasticos estacionarios. Se define la
función de correlación cruzada como
RXY (τ ) = E [X (t)Y (t + τ )]
RYX (τ ) = E [X (t + τ )Y (t)]
La función de densidad espectral cruzada se define como la transformada
de Fourier de la función de correlación cruzada. Por tanto hay dos de
densidad espectral cruzada
Z ∞
1
SXY (ω) =
RXY (τ )e −iωτ dτ
2π −∞
Z ∞
1
RYX (τ )e −iωτ dτ
SYX (ω) =
2π −∞
30
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Funcion de densidad espectral cruzada
Propiedades
◮
Las funciones de correlación se obtienen haciendo la transformada de
Fourier inversa
Z ∞
RXY (τ ) =
SXY (ω)e iωτ dω
−∞
Z ∞
SYX (ω)e iωτ dω
RYX (τ ) =
−∞
◮
◮
Las funciones de densidad espectral cruzada toman valores
complejos.
Si X (t) e Y (t) son procesos estasticos con valores reales
∗
SXY (ω) = SYX
(ω)
◮
Sea Z (T ) suma de dos procesos estocasticos
Z (t) = aX (t) + bY (t)
Entonces se cumple
SZZ (ω) = a2 SXX (ω) + abSXY (ω) + abSYX (ω) + b 2 SYY (ω)
31
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Estimación no paramétrica. Método general.
La estimacion puede ser:
◮ No paramétrica.
◮ Paramétrica. Se ajusta un modelo matemático a los datos.
Para definir la estimación no paramétrica, vamos a utilizar la definición
de la función de densidad espectral a partir de la T.F.:
1
E (|X (ω, T )|2 )
T →∞ 2πT
SX (ω) = lim
Si se tienen M realizaciones del proceso estocástico.
ŜX (ω, T , M) =
M
1 1 X
|Xm (ω, T )|2
2πT M m=1
Evidentemente, esta estimación será mejor si disponemos de muchas
realizaciones (M >>). En general, la longitud de las realizaciones T debe
ser suficiente para que la función de autocorrelación converga a cero.
32
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Pero tenemos que adaptar las fórmulas anteriores a señales discretas.
Sean N valores discretos de X(t), ⇒ xk = x(k∆t), k = 0, 1, . . . , N − 1
La T.F. de xk ⇒ Xn =
N−1
X
xk e −i2πnk/N ,
n = 0, 1, . . . , N − 1
n=0
El cuadrado del módulo de Xn es


N−1
X
|Xn |2 = Xn Xn∗ = 
xj e −i2πjn/N 
j=0
=
N−1
X N−1
X
N−1
X
xm e
i2πmn/N
m=0
xj xm e −i2π(j−m)n/N ,
!
n = 0, 1, . . . , N − 1
j=0 m=0
El valor esperado de esta cantidad es:
X N−1
X
N−1
RX ((j − m)∆t)e −i2π(j−m)n/N ,
E |Xn |2 =
n = 0, 1, . . . , N − 1
j=0 m=0
La doble suma se simplifica considerando el cambio de variables
r = j − m,
j =s
33
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
E |Xn |
2

=
0
X
(N−1)+r
r =−(N−1)
X
s=0
+

N−1
X N−1
X
r =1 s=r
n = 0, 1, . . . , N − 1
 RX (r ∆t)e −i2πrn/N ,
La suma correspondiente a s tiene que realizarse primero porque está
expresada en términos de r . La suma es
N−1
X |r |
RX (r ∆t)e −i2πrn/N
1−
E |Xn |2 = N
N
r =−(N−1)
Para N suficientemente grandes
E |Xn |2 = N

N 
=
∆t
N−1
X
RX (r ∆t)e −i2πrn/N
r =−(N−1)
N−1
X
r =−(N−1)

RX (r ∆t)e −i2πrn/N ∆t  ,
n = 0, 1, . . . , N − 1
34
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
La suma en la segunda expresión es una aproximación a la función de
densidad espectral:
Z ∞
SX (f ) =
RX (τ )e −i2πf τ dτ
−∞
luego
Despejando
N
SX (fn ),
E |Xn |2 =
∆t
SX (fn ) =
y en rad/s
SX (ωn ) =
∆t
E |Xn |2 ,
N
∆t
E |Xn |2 ,
2πN
n = 0, 1, . . . , N − 1
n = 0, 1, . . . , N − 1
n = 0, 1, . . . , N − 1
35
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Basándonos en estas fórmulas, la función de densidad espectral discreta
se puede estimar como
∆t
Ê |Xn |2 , n = 0, 1, . . . , N − 1
ŜX (fn ) =
N
Si tenemos M realizaciones del proceso estocástico, la estimación de la
esperanza es
M
1 X
Ê |Xn |2 =
|Xmn |2 ,
M m=1
n = 0, 1, . . . , N − 1
por lo que finalmente
ŜX (fn ) =
M
∆t X
|Xmn |2 ,
MN m=1
n = 0, 1, . . . , N − 1
y la función de densidad espectral unilateral
ĜX (fn ) =
M
2∆t X
|Xmn |2 ,
MN m=1
n = 0, 1, . . . ,
N
2
36
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Estimación por máxima verosimilitud
◮
Si estimamos por máxima verosimilitud, el estimador obtenido es:
ŜX (fn ) =
◮
M
∆t X
|Xmn |2 ,
NM m=1
n = 0, 1, . . . , N − 1
es decir, se obtiene el mismo resultado. Pero lo importante de este
método es que podemos calcular la media y la varianza del estimador
La media del estimador de la función de densidad espectral es:
2k
∞
X
∆f
1
(2k)
SX (fn )
E ŜX (fn ) = SX (fn ) +
(2k + 1)(2k)!
2
k=1
(∆f )2 ′′
S (fn ), n = 0, 1, . . . , N − 1
24 X
La varianza del estimador de la función de densidad espectral es:
(S (f ))2
X n
Var ŜX (fn ) =
, n = 0, 1, . . . , N − 1
M
es decir, cuanto mayor es SX (fn ), mayor es la varianza del estimador.
≈ SX (fn ) +
◮
37
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Aspectos prácticos de la estimación de la densidad espect.
◮
◮
Las fórmulas descritas en los apartados anteriores se utilizan para
estimar la función de densidad espectral de un proceso estocástico
estacionario.
Sin embargo, a menudo sólo disponemos de una realización y
tenemos que considerar el proceso estocástico como ergódico. La
estimación en este caso sería:
ŜX (fn ) =
∆t
|Xn |2 ,
N
n = 0, 1, . . . , N − 1
Esta estimación es muy mala. Por ejemplo, su varianza es el
cuadrado de la función estimada:
2
Var ŜX (fn ) = (SX (fn ))
◮
Para mejorar la estimación considerando sólo una realización
aplicamos windowing.
38
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
◮
◮
Windowing consiste en tomar segmentos de la señal, calcular el
espectro de cada segmento y luego hacer la media.
Al dividir la señal en segmentos, disminuye la resolución en
frecuencias del espectro, es decir, la separación entre las frecuencias
aumenta. Si la señal original está muestreada con ∆t y tiene N0
puntos, y cada segmento tiene N1 puntos:
* Señal original: Frecuencia de Nyquist: fnq0 = 1/(2∆t); frecuencias:
fn0 = n/(N0 ∆t) ⇒ ∆fn0 = 1/(N0 ∆t).
* Segmentos: Frecuencia de Nyquist: fnq1 = 1/(2∆t); frecuencias:
fn1 = n/(N1 ∆t) ⇒ ∆fn1 = 1/(N1 ∆t).
* Por tanto, fnq0 = fnq1 , ∆fn0 < ∆fn1 .
◮
◮
◮
◮
Los segmentos se obtienen multiplicando la señal original por una
función de peso o ventana.
Cada ventana introduce un error en la DFT denominado leakage.
Ventanas habituales: rectangular, Hamming, Hanning, Barlett,
Chebyshev,...
Para aumentar el número de medias a la hora de estimar E |Xn |2
se utiliza el solapado de las ventanas ⇒ Método de Welch.
39
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Estimación paramétrica
◮
◮
Los métodos no paramétricos no imponen ninguna condición a las
señales, salvo que sean estacionarias. Si asumimos que el proceso
estocástico se ajusta a un modelo matemático entonces tenemos
estimación paramétrica.
Nosotros sólo vamos a estudiar el modelo AR(p). Si los datos se
ajustan a un modelo AR(p)
xt = φ1 xt−1 + φ2 xt−2 + · · · + φp xt−p + wt , wt ∼ N(0, σw2 )
entonces el espectro será
Gx (f ) =
◮
|1 − φ1
e −i 2πf
− φ2
2σw2
−i
e 4πf
− · · · − φq e −i 2πpf |2
,
0 ≤ f ≤ 1/2
Por lo tanto, si estimamos el modelo AR(p) a partir de los datos
xt = φ̂1 xt−1 + φ̂2 xt−2 + · · · + φ̂p xt−p + ŵt , ŵt ∼ N(0, σ̂w2 )
la estimación de la función de densidad espectral será
Ĝx (f ) =
2σ̂w2
|1 − φ̂1 e −i2πf − φ̂2 e −i4πf − · · · − φ̂q e −i2πpf |2
,
0 ≤ f ≤ 1/2
40
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Ejemplo
Sea el proceso MA(1) definido por
xt = wt + wt−1 , wt ∼ N(0, σw2 = 1)
t = 1, 2, 3, . . . , N, N = 10000, ∆t = 0,1 s
Estimar su función de densidad espectral.
Ya conocíamos su función de densidad espectral teórica
Gx (f ) = 2σw2 (1 + θ12 + 2θ1 cos(2πf )),
0 ≤ f ≤ 1/2
Como conocemos ∆t, lo ideal es que la funcion de densidad espectral
esté definida en 0 ≤ f ≤ fnq = 1/(2∆t)
0 ≤ f ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f ≤ fnq = 1/(2∆t)
Luego hemos dividido las frecuencias por ∆t. Como el área bajo la
función de densidad espectral se tiene que conservar, multiplicamos Gx
por ∆t.
La estimación se lleva a cabo con la fórmula
2∆t
Ê (|Xn |2 ), n = 0, 1, . . . , N/2
ĜX (fn ) =
N
41
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Estimacion de la funcion de densidad espectral
Funcion de densidad espectral teorica
Estimacion con una realizacion
2
G1(f) [U2x /Hz]
Gx(f) [U2x /Hz]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
f (Hz)
Estimacion con 100 realizaciones
5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
f (Hz)
Estimacion con Welch de matlab
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
Estimacion con una realizacion dividida en 10 segmentos
2
1
0.5
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
Estimacion parametrica con un AR(20)
2
GAR(f) [U2x /Hz]
2
GWelch(f) [U2x /Hz]
1.5
0
5
1.5
1
0.5
0
1
0.5
0
G1s(f) [U2x /Hz]
G100(f) [U2x /Hz]
2
1.5
1.5
0
1
2
3
f (Hz)
4
5
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
42
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Densidad espectral de algunos procesos estocásticos
Densidad espectral de algunos procesos estocásticos
43
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Generación de realizaciones artificiales
Generación de realizaciones artificiales
Si se conoce la función de densidad espectral de un proceso estacionario,
se pueden calcular realizaciones del proceso estocástico que verifiquen
dicha función de densidad espectral. Estas realizaciones artificiales se
pueden utilizar para carcular la respuesta del sistema en el tiempo.
Sea un proceso estocástico {X (t)} del que conocemos su función de
densidad espectral unilateral discreta, GX (ωn ). Sabemos que
∆t
E (|Xn |2 )
Nπ
N−1
1 X
xk e −i2πnk/N
Xn =
N
Gx (ωn ) =
k=0
xk =
N−1
X
Xn e i2πnk/N
n=0
por tanto, si generamos los Xn de manera que verifiquen la primera
ecuación, podemos calcular una realización xk (utilizando la última
ecuación) con la función de densidad espectral buscada.
44
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Generación de realizaciones artificiales
En general, de la teoría de la transformada de Fourier discreta sabemos
que los Xn son complejos
Xn = An + iBn ⇒
|Xn |2 = A2n + Bn2
E (|Xn |2 ) = E (A2n ) + E (Bn2 )
Como estamos trabajando con procesos estocásticos de media cero, se
cumple que
E (An ) = 0, E (Bn ) = 0
En efecto
N−1
N−1
N−1
X 1
X 1
1 X
xk sin(2πnk/N)
xk e −i2πnk/N =
xk cos(2πnk/N)−i
Xn =
N
N
N
k=0
k=0
k=0
Tomando esperanzas
E (Xn ) =
N−1
X
k=0
E (xk )
N−1
X
1
1
cos(2πnk/N) − i
E (xk ) sin(2πnk/N)
N
N
k=0
Como el proceso tiene media cero E (xk ) = 0 ⇒ E (An ) = 0, E (Bn ) = 0.
45
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Generación de realizaciones artificiales
Por tanto se cumple que
E (A2n ) = Var (An ),
E (Bn2 ) = Var (Bn )
⇒ E (|Xn |2 ) = Var (An ) + Var (Bn )
Si tomamos
Nπ
GX (ωn )
An ❀ N 0, σ 2 =
2∆t
Nπ
2
Bn ❀ N 0, σ =
GX (ωn )
2∆t
entonces se cumple
∆t
∆t
E (|Xn |2 ) =
Nπ
Nπ
Nπ
Nπ
GX (ωn ) +
GX (ωn ) = Gx (ωn )
2∆t
2∆t
Y obtenemos la función de densidad espectral buscada.
46
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Generación de realizaciones artificiales
Hay que tener en cuenta las propiedades de la transf. de Fourier discreta:
◮ Si N es par:
P
N−1
* X0 es real, en concreto es la media X0 = N1 k=0
xk . Como
trabajamos con procesos estocásticos de mecia cero, X0 = 0.
* XN/2 también es real
XN =
2
N−1
N−1
1 X
1 X
xk e −i πk =
xk cos(πk)
N
N
k=0
k=0
Por tanto tomamos
2
Nπ
2
GX (ω N )
X N ❀ N 0, σ =
2
2
∆t
* Los términos entre n = 1 y n = N2 − 1 se calculan generando An y
Bn como se ha indicado. Los términos entre n = N2 + 1 y n = N − 1
son complejos conjugados de éstos.
◮
Si N es impar:
* X0 sigue siendo la media ⇒ X0 = 0.
* Los términos entre n = 1 y n = N−1
se calculan generando An y Bn
2
y n = N − 1 son
como se ha indicado. Los términos entre n = N+1
2
complejos conjugados de éstos.
Una vez que tengamos calculados los Xn ⇒ xk = ifft(Xn ).
47
Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia
Generación de realizaciones artificiales
Funcion de densidad espectral dada
G
20
10
0
0
10
20
30
w (rad/s)
Realizacion generada
40
50
60
100
xt
0
−100
0
100
200
300
400
500
t (s)
Metodo Welch por defecto de matlab
600
700
Gx
20
10
0
0
10
20
30
40
50
w (rad/s)
Metodo Welch con ventanas Hamming de 500 datos, solapadas el 75%
10
20
60
Gx
20
10
0
0
30
w (rad/s)
40
50
60
48