Análisis de un problema derivado del proceso de endurecimiento

Análisis de un problema derivado del proceso de
endurecimiento de una barra de acero
Marı́a Teresa González Montesinos
Dpto. de Matemática Aplicada I, Universidad de Sevilla
[email protected]
Francisco Ortegón Gallego
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Cádiz
[email protected]
Resumen
Nuestro objetivo es analizar la existencia de soluciones débiles de un sistema
parabólico–elı́ptico no lineal que modela el proceso industrial de calentamiento
de una pieza de acero. Las incógnitas son el potencial eléctrico, el vector potencial magnético y la temperatura. Introducimos el régimen armónico para tratar
las diferentes escalas temporales entre el potencial eléctrico, el vector potencial magnético y la temperatura, obteniendo ası́ un nuevo sistema no lineal de
ecuaciones en derivadas parciales.
Sección en el CEDYA 2011: EDP
1.
Introducción
En este trabajo abordamos la existencia de soluciones débiles de un sistema
acoplado y no lineal de ecuaciones en derivadas parciales que modelan el proceso industrial de endurecimiento del acero. Son numerosos los autores que han
abordado este problema durante los últimos años ([5, 7, 8, 10, 11, 12, 13]).
Figura 1: barra de dirección de un automóvil.
Nuestro objetivo es estudiar el modelo de inducción–conducción que describe el calentamiento de la barra de dirección de un automóvil (véase la figura 1).
Tanto la barra como el piñón son piezas fundamentales del vehı́culo y el fabricante ha de asegurar su eficacia durante al menos 20 años.
La finalidad de este tratamiento térmico es producir martensita (una fase
del acero dura y quebradiza) a lo largo de la zona dentada, que va soportar
grandes tensiones, y al mismo tiempo manteniendo dúctil el resto de la pieza.
De entre los distintos procedimientos de endurecimiento superficial, aquı́ tratamos el de inducción. Ası́, un inductor de cobre se pone en contacto con la
barra de acero como se indica en la figura 2. Entonces se hace pasar una corriente eléctrica de alta frecuencia a través de la bobina formada por la barra
y el inductor de cobre, generándose un campo magnético, que a su vez induce
corriente eléctrica generando calor (efecto Joule) donde es necesario. Una vez
D
Ωc
Γ
S
Ωs
Figura 2: dominios del problema.
que se alcanza la temperatura deseada en la zona dentada, se corta la corriente
eléctrica y se somete la pieza a una ducha acuosa para enfriarla rápidamente. La densidad de corriente suministrada se modela mediante condiciones de
contorno tipo Neumann sobre una sección transversal ficticia en el inductor de
cobre (véase la figura 2).
El proceso industrial de calentamiento–enfriamiento está gobernado por un
sistema acoplado no lineal de ecuaciones en derivadas parciales y ecuaciones diferenciales ordinarias. La descripción matemática del planteamiento correspondiente a la figura 2 se encuentra en [9] junto a algunas simulaciones numéricas.
Este trabajo está organizado como sigue. En la sección 2 se describe matemáticamente el proceso del calentamiento. La sección 3 está dedicada a introducir el régimen armónico junto con el análisis de la existencia de soluciones
débiles. En la sección 4 mostramos la notación usada en el trabajo, introducimos algunos espacios funcionales y recordamos algún resultado de compacidad.
También damos a conocer las hipótesis sobre los datos iniciales, enunciamos
la noción de solución débil adaptada a nuestro problema y el resultado principal. Finalmente, en la sección 5 desarrollamos la demostración del resultado de
existencia.
2.
Planteamiento del problema
Nuestro objetivo fundamental es analizar la existencia de soluciones débiles
de un modelo simplificado en el que no se tienen en cuenta los efectos mecánicos.
Para ello, sean Ω, D ⊂ R3 abiertos conexos y lipschitzianos tales que Ω̄ ⊂ D,
Ω = Ωc ∪ Ωs ∪ S es el conjunto de conductores, Ωc el inductor de cobre, Ωs la
pieza de acero, siendo Ωc y Ωs conjuntos abiertos, y S = Ω̄c ∩ Ω̄s es la superficie
de contacto entre Ωc and Ωs , Ωc ∩ Ωs = ∅ (véase la figura 2). Escribiremos
ΩT = Ω × (0, T ) y DT = D × (0, T ), siendo T el tiempo de calentamiento.
Planteamos entonces el problema
∇ · [σ(θ)∇φ] = 0 en ΩT ,
∂φ
∂φ
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
σ(θ)
= jS sobre Γ × (0, T ),
∂n
∂ν Γ
1
σ0 (θ)A,t + ∇ ×
∇ × A − δ∇(∇ · A) + σ0 (θ)∇φ = 0 en DT ,
µ
A = 0 sobre ∂D × (0, T ),
2
θ,t − ∇ · (κ(θ)∇θ) = σ(θ)|A,t + ∇φ| + G en ΩT ,
∂θ
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
∂n
θ(·, 0) = θ0 en Ω,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
donde θ es la temperatura, φ el potencial eléctrico, A el vector potencial magnético, σ0 (x, s) = σ(x, s)χ{Ω̄} y κ son las conductividades eléctrica y térmica, respectivamente, µ la permeabilidad magnética, jS la fuente externa de densidad
de corriente y G es un término fuente proveniente de las transiciones de fases y
las deformaciones mecánicas. En (2), [ · ] denota la función de salto a través de
Γ, y ν es el vector normal unitario sobre Γ. Sin pérdida de generalidad, hemos
supuesto en (5) que la densidad del conductor, ρ, y su calor especı́fico, c, son
contantes tales que ρc = 1. Finalmente, δ > 0 es una constante (pequeña) de
penalización.
3.
El régimen armónico
Los campos electromagnéticos generados por corrientes de alta frecuencia
son sinusoidales en el tiempo, de manera que tanto φ como A son de la forma
([2, 3, 17, 18]) F (x, t) = Re eiωt F (x) , donde F es un campo complejo, y
ω = 2πf es la frecuencia angular, siendo f la frecuencia de la corriente eléctrica.
En general, F también depende de t, pero a una escala de tiempo mucho mayor
que 1/ω. Ası́, podemos introducir los campos complejos ϕ, A y j como
φ = Re[eiωt ϕ(x)], A = Re[eiωt A(x)], jS = Re[eiωt j(x)].
(8)
El uso de las nuevas variables ϕ and A resultan muy útiles en la simulación
numérica de un sistema como (1)–(7) (véase [9]), pues la escala temporal que
describe la evolución de las mismas es mucho más pequeña que la de la temperatura θ. En el caso del tratamiento término del acero, f ronda los 80 KHz.
Sin embargo, los campos ϕ y A siguen dependiendo del tiempo debido al
término σ(θ), con θ = θ(x, t). Es más, la mayorı́a de autores (véanse [2, 3, 17, 18],
entre otros) sólo realiza el cambio de variables (8) para llevar a cabo simulaciones
numéricas, pero no analizan la existencia de solución del modelo obtenido.
En este trabajo no vamos a obviar dicha dependencia, y definimos
φ = Re[eiωt ϕ(x, t)], A = Re[eiωt A(x, t)], jS = Re[eiωt j(x, t)].
(9)
Usando (9) en (1)–(7) deducimos el llamado régimen armónico, esto es,
∇ · (σ(θ)∇ϕ) = 0 en ΩT ,
∂ϕ
∂ϕ
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
σ(θ)
= j sobre Γ × (0, T ),
∂n
∂ν Γ
1
iωσ0 (θ)A + ∇ ×
∇ × A − δ∇(∇ · A) + σ0 (θ)∇ϕ = 0 en DT ,
µ
A = 0 sobre ∂D × (0, T ),
θ,t − ∇ · (κ(θ)∇θ) =
σ(θ)
|iωA + ∇ϕ|2 + G en ΩT ,
2
∂θ
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
∂n
θ(·, 0) = θ0 en Ω.
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
En (12) hemos despreciado el término A,t , al ser muy pequeño frente a iωσ0 (θ)A.
Además, en (14) hemos sustituido el término |A,t + ∇φ|2 por |iωA + ∇ϕ|2 /2,
que representa el calentamiento por el efecto Joule. Ésta es una aproximación
de la media de |A,t + ∇φ|2 sobre un perı́odo de tiempo, es decir,
1
ω
Z
t+ω
|A,t + ∇φ|2 ≈
t
1
|iωA + ∇ϕ|2 .
2
Nótese que esta expresión es una igualdad cuando A = A(x).
4.
Hipótesis y resultado principal
Nuestro objetivo es la resolución del sistema (10)–(16), donde las incógnitas
correspondientes al vector potencial magnético, A, y al potencial eléctrico, ϕ,
son campos complejos vectorial y escalar, respectivamente.
Como Ω es un abierto acotado, conexo y lipschitziano, el espacio cociente
H 1 (Ω)/C dotado de la norma
kûkH 1 (Ω)/C = ı́nf kukH 1 (Ω)
u∈û
(17)
es un espacio de Hilbert. Es más, la seminorma û ∈ H 1 (Ω)/C 7→ |u|H 1 (Ω) es
equivalente a la norma (17).
Si V es un espacio normado, escribiremos V = (V )3 , y si X es un espacio
de Banach, denotaremos Lp (X) = Lp (0, T ; X) y W 1,p (X) = W 1,p (0, T ; X), y
p′ será el exponente conjugado de p.
Para el espacio de Hilbert H01 (D) tenemos el siguiente resultado (véase ([1])):
Teorema 1. |v|2H 1 (D) = k∇ × vk2L2 (D) + k∇ · vk2L2 (D) , para cualquier v ∈
H01 (D).
Para el análisis de problemas parabólicos (véase [19]) tenemos el siguiente
Lema 1. Sean X, B e Y tres espacios de Banach tales que X ֒→ B ֒→ Y , siendo
todas las inyecciones continuas y X ֒→ B compacta. Para 1 ≤ p, q < +∞, sea
W el espacio de Banach definido por W = {v ∈ Lp (X) / v,t ∈ Lq (Y )}. Entonces
la inyección W ֒→ Lp (B) es compacta.
Por último, sean V ⊂ H 1 (Ω) un subespacio cerrado tal que H01 (Ω) ⊂ V ⊂
H (Ω), y denotemos por V = L2 (V ) y V ′ = L2 (V ′ ).
Las hipótesis sobre los datos iniciales del sistema (10)–(16) son:
1
(H.1) σ, κ : Ω×R 7→ R son funciones de Carathéodory y existen unas constantes
σ1 , σ2 κ1 , κ2 tales que, casi por doquier x ∈ Ω y para cualquier s ∈ R,
0 < σ1 ≤ σ(x, s) ≤ σ2 ,
0 < κ1 ≤ κ(x, s) ≤ κ2 .
(H.2) j ∈ L2 (H −1/2 (Γ)) y hj(t), 1iΓ = 0, casi por doquier t ∈ (0, T ), donde
h·, ·iΓ = 0 denota la dualidad entre H 1/2 (Γ) y H −1/2 (Γ).
(H.3) µ ∈ L∞ (D) y existe una constante µ0 tal que 0 < µ0 ≤ µ en D.
(H.4) G ∈ L1 (ΩT ) y θ0 ∈ L1 (Ω).
Nota 1. En la práctica la permeabilidad magnética viene dada por
µ(x) = µ1 χΩs + µ2 χΩc + µ3 χD\Ω ,
donde µi , 1 ≤ i ≤ 3, son constantes tales que 0 < µ2 < µ3 ≪ µ1 .
Definición 1. Se dice que la terna (ϕ, A, θ) es solución débil de (10)–(16) si
ϕ ∈ L2 (H 1 (Ω)/C), A ∈ L2 (H01 (D)),
′
θ ∈ Lp (W 1,p (Ω)) ∩ C [0, T ]; (W 1,p (Ω))′ , 1 ≤ p < 5/4,
θ(·, 0) = θ0 en Ω,
Z
ΩT
Z
(18)
(19)
(20)
T
σ(θ)∇ϕ · ∇ψ̄ +
hj, ψ̄iΓ = 0, para cualquier ψ ∈ L2 (H 1 (Ω)/C), (21)
0
Z
Z
Z
1
iω
σ(θ)A · v̄ +
∇ × A · ∇ × v̄ + δ
∇ · A ∇ · v̄
DT
ΩT
DT µ
Z
+
σ(θ)∇ϕ · v̄ = 0, para cualquier v ∈ H01 (D),
(22)
ΩT
Z
Z
Z
Z
−
θζ,t +
κ(θ)∇θ∇ζ =
Fζ +
θ0 (x)ζ(x, 0),
ΩT
ΩT
ΩT
Ω
para cualquier ζ ∈ C 1 (Ω̄ × [0, T ]) tal que ζ(·, T ) = 0 en Ω,
donde F = σ(θ)|iωA + ∇ϕ|2 /2 + G.
(23)
Nota 2. Como N = 3, del lema 1 se colige que L1 (Ω) ⊂ (W 1,q (Ω))′ cuando
q > 3. Es más, al ser p < 5/4 tenemos que p′ > 5; en particular, L1 (Ω) ⊂
′
(W 1,p (Ω))′ para cualquier p ∈ [1, 5/4). Ası́, gracias a (H.5) y a la regula′
ridad (19), la condición inicial (20) tiene sentido, al menos, en (W 1,p (Ω))′ .
Con hipótesis más restrictivas sobre κ (véase (H.5)), podemos probar que θ ∈
C([0, T ]; L1 (Ω)) y, por tanto, (20) también tiene sentido en L1 (Ω).
Consideremos también la siguiente hipótesis sobre la κ:
(H.5) Existen ε0 > 0 y L0 > 0 tales que, para cualquier ε ∈ (0, ε0 ],
|κ(x, s1 ) − κ(x, s2 )| ≤ L0 |s1 − s2 |,
casi por doquier x ∈ Ω y cualesquiera s1 , s2 ∈ R tales que |s1 − s2 | < ε.
Teorema 2. Bajo las hipótesis (H.1)–(H.4), existe solución débil del sistema
(10)–(16) en el sentido de la definición 1.
Es más, θ ∈ C([0, T ]; L1 (Ω)) si la conductividad térmica κ verifica (H.5), y
satisface la formulación variacional
Z
Z
Z
Z
Z
−
θζ,t +
θ(x, T )ζ(x, T ) −
θ0 (x)ζ(x, 0) +
κ(θ)∇θ∇ζ =
F ζ,
ΩT
Ω
Ω
ΩT
1
para cualquier ζ ∈ C (Ω̄ × [0, T ]).
5.
ΩT
(24)
Demostración del resultado principal
Esta sección está dedicada a la demostración del teorema 2: introducimos
primeramente una sucesión de problemas aproximados, seguidamente deducimos estimaciones a priori y, por último, pasamos al lı́mite.
5.1.
Problemas aproximados
Para cada k ∈ N, sea Tk (s) = sg s mı́n(k, |s|) la función de truncamiento a
la altura k y definamos la sucesión de funciones (Fk ) ⊂ L∞ (ΩT ) como
Fk =
1
σ(θk )Tk |iωAk + ∇ϕk |2 + Tk (G),
2
donde Ak y ϕk se definen más adelante. Sea también (jk ) ⊂ C([0, T ], H −1/2 (Γ))
satisfaciendo
jk → j fuerte en L2 (H −1/2 (Γ)).
(25)
Planteamos pues la sucesión de problemas aproximados de (10)–(16) como sigue:
∇ · (σ(θk )∇ϕk ) = 0 en ΩT ,
(26)
∂ϕk
∂ϕk
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
σ(θk )
= jk sobre Γ × (0, T ),
(27)
∂n
∂ν Γ
1
∇ × Ak − δ∇(∇ · Ak ) + σ(θk )∇ϕk = 0 en DT , (28)
iωσ(θk )Ak + ∇ ×
µ
Ak = 0 sobre ∂D × (0, T ),
θk,t − ∇ · (κ(θk )∇θk ) = Fk en ΩT ,
∂θk
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
∂n
θk (·, 0) = Tk (θ0 ) en Ω.
(29)
(30)
(31)
(32)
Tenemos entonces el siguiente (véase [15])
Teorema 3. Para cada k ∈ N, el problema aproximado (26)–(32) posee una
única solución débil (ϕk , Ak , θk ) en el sentido siguiente:
ϕk ∈ L2 (H 1 (Ω)/C), Ak ∈ L2 (H01 (Ω)), θk ∈ V ∩ C [0, T ]; L2 (Ω) ,
(33)
Z
Z
σ(θk )∇ϕk · ∇ψ̄ + jk ψ̄ = 0, ψ ∈ H 1 (Ω)/C, c.p.d. t ∈ (0, T ),
(34)
Ω
Γ
Z
Z
Z
1
iω
σ(θk )Ak · v̄ +
∇ × Ak · ∇ × v̄ + δ
∇ · Ak ∇ · v̄
µ
Ω
D
D
Z
+ σ(θk )∇ϕk · v̄ = 0, v ∈ H01 (D), c.p.d. t ∈ (0, T ),
(35)
Ω
Z
Z
hθk,t , viV ′ ,V +
κ(θk )∇θk ∇v =
Fk v c.p.d. t ∈ (0, T ), v ∈ V,
(36)
Ω
Ω
θk (·, 0) = Tk (θ0 ).
(37)
con Fk = 12 σ(θk )Tk |iωAk + ∇ϕk |2 + Tk (G).
Es más, se tiene la estimación
Z
Z tZ
Z
Z tZ
1
1
|θk (t)|2 + κ1
|∇θk |2 ≤
|θk (t)|2 +
κ(θk )|∇θk |2
2 Ω
2 Ω
0
Ω
0
Ω
Z
Z tZ
1
=
|Tk (θ0 )|2 +
Fk θk para cualquier t ∈ [0, T ].
(38)
2 Ω
0
Ω
Nota 3. Gracias a la regularidad de jk , se puede demostrar que ϕk ∈ L∞ (H 1 (Ω)/C)
y Ak ∈ L∞ (H01 (D)).
5.2.
Estimaciones a priori
Aplicando el teorema de Lax-Milgram se demuestra que
(ϕk ) está acotada en L2 (H 1 (Ω)/C),
(Ak ) está acotada en L
2
(H01 (D)).
(39)
(40)
Ası́, de la definición de Fk , (39) y (40), deducimos que
(Fk ) está acotada en L1 (ΩT ).
(41)
La estimación (41) junto a (H.5) nos conduce a que
(θk ) está acotada en Lp (W 1,p (Ω)), para cualquier 1 ≤ p < 5/4.
(42)
Nota 4. En [4] encontramos una demostración de (42) en el caso de condiciones de contorno Dirichlet homogéneas, y en [6] una extensión al caso de
condiciones de contorno Neumann homogéneas. Procediendo de forma análoga
a estos trabajos, se deduce (42).
De (H.1) y (42) se deduce que (κ(θk )∇θk ) está acotada en Lp (Lp (Ω)), con
′
lo que (∇ · (κ(θk )∇θk )) está acotada en L1 ((W 1,p (Ω))′ ). En vista de la nota 2,
se tiene la inyección continua
′
′
L1 (Ω) + (W 1,p (Ω))′ ֒→ (W 1,p (Ω))′ , con 1 ≤ p < 5/4,
y, consecuentemente,
′
(θk,t ) está acotada en L1 ((W 1,p (Ω))′ ), 1 ≤ p < 5/4.
5.3.
(43)
Paso al lı́mite
′
Sean 1 ≤ q < 3p/(3−p), X = W 1,p (Ω), B = Lp̄ (Ω) e Y = (W 1,p (Ω))′ . Como
las inyecciones X ֒→ B y B ֒→ Y son continua y compacta, respectivamente, el
lema 1 implica que el espacio de Banach
n
o
′
W = v ∈ L1 (W 1,p (Ω)) / v,t ∈ L1 ((W 1,p (Ω))′ )
es tal que la inyección W ֒→ Lp (Lq (Ω)) es compacta. Por otro lado, si 1 ≤ p <
5/4 entonces 1 ≤ q < 15/7 y, gracias a (42) y (43),
(θk ) es relativamente compacta en Lp (Lq (Ω)), 1 ≤ p <
15
5
,1≤q<
.
4
7
(44)
Existe pues una función θ ∈ Lp (Lq (Ω)) tal que, para una subsucesión,
θk → θ fuerte en Lp (Lq (Ω)) y c.p.d. en ΩT .
(45)
Por otro lado, como (σ(θk )) está acotada en L∞ (ΩT ), a partir de la definición
de σ, (H.1) y (45) se colige que
σ(θk ) ⇀ σ(θ) débil–∗ en L∞ (ΩT ) y c.p.d. en ΩT .
(46)
Si además suponemos (H.6) deducimos que
θ ∈ C([0, T ]; L1 (Ω)).
(47)
La demostración de este resultado es bien conocida. De hecho, se puede probar
que (θk ) ⊂ C([0, T ]; L1 (Ω)) es una sucesión de Cauchy en este espacio y, por
tanto, θk → θ fuerte en C([0, T ]; L1 (Ω)) (véase [16]).
En lo que a ϕk se refiere, tenemos primeramente que (39) implica la existencia de una función ϕ ∈ L2 (H 1 (Ω)/C) tal que, para una subsucesión,
ϕk ⇀ ϕ débil en L2 (H 1 (Ω)/C).
(48)
A partir (46) y (48) es inmediato que
σ(θk )∇ϕk ⇀ σ(θ)∇ϕ débil en L2 (L2 (Ω)).
(49)
Haciendo k → ∞ en (34) y teniendo en cuenta (25) y (49), tenemos que
Z
σ(θ)∇ϕ · ∇ψ̄ = −
ΩT
Z
0
T
Z
ψ ∈ L2 (H 1 (Ω)/C).
j ψ̄,
(50)
Γ
Tomando ahora ψ = ϕk en (34) y gracias a (50),
Z
ΩT
σ(θk )|∇ϕk |2 = −
Z
T
0
Z
k→∞
jk ϕ̄k −→ −
Γ
Z
0
T
Z
j ϕ̄ =
Γ
Z
σ(θ)|∇ϕ|2 ,
ΩT
es decir, kσ(θk )1/2 ∇ϕk kL2 (L2 (Ω)) → kσ(θ)1/2 ∇ϕkL2 (L2 (Ω)) . Esta convergencia
junto con (49) nos lleva directamente a que
σ(θk )1/2 ∇ϕk → σ(θ)1/2 ∇ϕ fuerte en L2 (L2 (Ω))
(51)
y, claramente, gracias a (46),
σ(θk )∇ϕk → σ(θ)∇ϕ fuerte en L2 (L2 (Ω)).
(52)
Más aún, de (H.1) y (52) es inmediato que
ϕk → ϕ fuerte en L2 (H 1 (Ω)/C).
(53)
Para el vector potencial magnético tenemos que, en vista de (40), existe una
función A ∈ L2 (H01 (D)) tal que, para una subsucesión,
Ak ⇀ A débil en L2 (H01 (D)).
(54)
Por otro lado, (46) y (54) implican que
σ(θk )1/2 Ak ⇀ σ(θ)1/2 A débil en L2 (L2 (Ω)).
(55)
Haciendo k → ∞ en (35) y teniendo en cuenta (46), (52), (54) y (55), deducimos
que, para cualquier v ∈ L2 (H01 (D)),
Z
Z
Z
Z
1
iω
σ(θ)A·v̄+
∇×A·∇×v̄+δ
∇·A∇·v̄+
σ(θ)∇ϕ·v̄ = 0. (56)
ΩT
DT µ
DT
ΩT
Realizando algunos cálculos llegamos a que
Z
Z
2
σ(θk )|Ak | →
σ(θ)|A|2 ,
ΩT
ΩT
Z
Z
Z
Z
1
1
|∇ × Ak |2 + δ
|∇ · Ak |2 →
|∇ × A|2 + δ
|∇ · A|2 ,
µ
µ
DT
DT
DT
DT
de donde, teniendo en cuenta (54) y (55) obtenemos, respectivamente,
Ak → A fuerte en L2 (H01 (D)),
1/2
σ(θk )
1/2
Ak → σ(θ)
2
(57)
2
A fuerte en L (L (Ω)).
(58)
Finalmente, (51) y (58) implican que
σ(θk )|iωAk + ∇ϕk |2 → σ(θ)|iωA + ∇ϕ|2 fuerte en L1 (ΩT ),
(59)
y, en consecuencia,
Fk → F fuerte en L1 (ΩT ).
(60)
Nota 5. En [15] se estudia un sistema similar a (1)–(7) bajo la hipótesis de
que la conductividad eléctrica no es uniformemente elı́ptica. Concretamente se
supone que σ0 viene dada por

 σs (s) si x ∈ Ωs , s ∈ R,
σc (s) si x ∈ Ωc , s ∈ R,
σ0 (x, s) =

0
if x ∈ D \ Ω̄, s ∈ R.
Aquı́ σ = σ0 |Ω×R , σs , σc ∈ W 1,∞ (Ω), y existen unas constantes C1 , C2 , K1 , K2 >
0 tales que, para cualquier s ∈ R y algún α ≥ 2,
0<
C1
≤ σs (s) ≤ C2 ,
1 + |s|α
0 < K1 ≤ σc (s) ≤ K2 .
(61)
Como σs (s) no está acotada inferiormente por una constante positiva, en general
no podemos esperar la regularidad φ(·, t) ∈ H 1 (Ω). Además esta hipótesis sobre
σs afecta tanto a φ como A. En situaciones reales nos encontramos con que
σs (s) =
1
,
a + bs + cs2 + ds3
para algunas constantes a, b, c, d ∈ R, lo cual es incluso más restrictivo que
nuestra hipótesis sobre σs .
La principal dificultad reside en (61). De hecho, la existencia de soluciones
débiles de (1)–(7) bajo (61) es un problema abierto.
Acknowledgements
Este trabajo ha sido financiado por el Proyecto MTM2010–16401 del Ministerio de Ciencia e Innovación/FEDER, y la Consejerı́a de Educación y Ciencia
de la Junta de Andalucı́a, a través del grupo FQM–315.
Bibliografı́a
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